質問・問題に答えるコーナー(数列)

分野 質問された方 掲載日 質問内容　答えは質問者のお名前をクリック
証明問題 ウツノミヤンさん 2001/03/13 どうして数学的帰納法による証明は正しいといえるのでしょうか？ｎ＋100なら違っているかもしれないじゃないですかぁ……。
等比数列 ＴＡＮＥさん３ 2000/03/24 等比数列｛ａn｝の初項から第３項までの和が３、
第２項から第４項までの和が－６であるとき、初項ａ1と公比ｒを求めよ。
数列 ＴＡＮＥさん４ 2000/03/27 初項から第ｎ項までの和Ｓnが、Ｓn＝ｎ3 である数列｛ａn｝の一般項を求めよ。
数列 ＴＡＮＥさん４ 2000/03/27 　次の条件によって定まる数列｛ａn｝と｛ｂn｝の第４項を、それぞれ求めよ。
　　ａ1＝１，　ｂ1＝０，　ａk+1＝ａk＋ｂk，　ｂk+1＝２ｂk＋１
数列 ＴＡＮＥさん４ 2000/03/27 次の条件によって定まる数列｛ａn｝の一般項を求めよ。
　　ａ1＝３，　ａn+1＝ａn+２n　　〈ｎ＝１，２，３、・・・・・・）
数列 ゆりさん 2000/12/26 (１）２，６，１０，１４，１８，２２･･･　　（２）９，７，５，３，１･･･
これらの一般項はどうなるのですか？
数列の和 ゆりさん 2000/12/26 （１）１から１００までの自然数
（２）１＋３＋３2＋･･･＋３9
それぞれの和はいくつになるのですか？
数列 ぺんたごんさん 2001/03/09 数列 a, b, c, a2, ab, ac, b2, bc, c2, a3, a2b, a2c, ab2, abc, ac2, b3, b2c, bc2, c3, A4, a3b, a3c, …
（同次では辞書式の順）において、
（１） n次の項は何項あるか。
（２） akb2は第何項か。
数列 ぺんたごんさん 2001/03/09 自然数の列A1、Ａ2、Ａ3、A4、A5は等比数列であるとし、
　Ｓ=Ａ1+Ａ2+Ａ3+A4+A5
　Ｓ'=Ａ1-Ａ2+Ａ3-A4+Ａ5
　Ｔ=Ａ12+Ａ22+A32+Ａ42+A52
とおく。
（１）整数Ｔは整数Ｓで割り切れ，その商はＳ’となることを示せ。
（２）Ｔが素数となる場合のＴの値を求めよ。
数列の和 ウツノミヤンさん 2001/03/13
n n(n+1)(2n+1)
Σ k2= --------------
k=1 6

の公式がどういう理屈で成り立っているのか分かりません。証明はできます。

n n-1
Σ k3 = 1+ Σ (k+1)3
k=1 k=1

を解けば出せますし、数学的帰納法でもスマートに出せます。
しかし、理解は出来ても納得出来ないのです。
これだと、Σk3の一般項を出そうとしてたまたま導き出せたような気がします。
「これはテクニックだ」なんて余計に納得出来ません。
Σk2の意味に沿った解説というものは出来ないのでしょうか。

数列の和 シンさん１ 2001/09/02 数学的帰納法によって、 ｎ!≧２ｎ-1　が成り立つことを示し、 これを利用して、
１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜2 が成り立つことを示せ。
また、１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜7/4が成り立つことを示せ。
数列 footmarkさん１ 2001/10/16 ２進数で表すと、２個の１と任意の個数の０とで表される自然数の列
　｛３,５,６,９,１０,１２,１７,１８,２０,２４,３３,３４,…｝
を、一般式にする。
数列 家永さん１ 2001/11/28 ５以上の自然数ｎについて、座標平面上の第一象限で直線ｘ+ｙ＝ｎより下にあり、x座標、y座標がもとに整数である点を考える。
この中の異なる４点を頂点とし、辺が軸に平行な長方形の個数をａnとする。このとき次の問いに答えよ。
(1)数列 {ａn} が満たす漸化式を求めよ。
数列 Padさん１ 2002/01/08 a1=100
d=a10×1.05
an+1=an×1.05-d
この時の一般項を求めよ。
数列 杖風呂さん１ 2002/02/16 a1=1,a2=1,an+2=an+1+an (n=1,2,3,,,)を満たす数列 {an} を考える。
anを5で割ったときの余りをbnとおく。
(1) bn=4,bn+1=3のとき,bn+2を求めよ。
(2) b5,b11を求めよ。
(3) b1+m=b1,b2+m=b2が同時に成り立つような整数mを求めよ。
(4) b286を求めよ。
数列 セシウムさん１ 2002/03/13 　an+1 = -√6an +(4+2√6)(√6)n-1 -√6 -1
の一般項を求めよ。ただし、初項はａ1とする。
数列 shouさん１ 2002/03/05 -5,a1,a2,…,am,10,b1,b2,…,bn,15がこの順で等差数列をなしている
問１、n=1のとき、b1およびmの値を求めよ
問２、mをnを用いて表せ
問３、この数列の和が205になる時のnの値を求めよ
数列 高１さん１ 2002/11/02 等差数列｛an｝がありa3=7/2, a6+a8=15 である。
(1)aｎをｎを用いてて表せ。
(2)数列｛bn｝はb1=1/2, bn+1-bn=an (n=1,2,3....)
によって定まるものとするbnをnを用いて表せ。
(3)(2)の数列｛bn｝について、bkの整数部分をck(k=1,2,3...)とするΣ（k=1～2n)ckをnを用いて表せ。
数列 高校１年さん１ 2002/11/17 Σk=1～nk4, Σk=1～nk5, Σk=1～nk6 をｎの式で表せ。
数列 林檎さん３ 2002/11/20 数列ａ1，ａ2，…ａn の初項から第ｎ項までの和がＳｎ＝３n2＋５nとする。
数列{ａn2}の初項から第ｎ項までの和をｎで表せ。
数列 おおさわさん１ 2002/12/07 τ(k) = ∑i=1～ki とする。このとき、
τ1(k) = τ(k)
τn+1(k) = ∑i=1～kτn(i)
とすると、

τn(k) = (k(k+1)(k+2)…(k+n))/(n+1)!　・・・　(a)
となることを証明しなさい。
数列 一太太一さん１ 2002/12/03 問題１
　①借入金元本　　　　3,000,000円
　②毎月の元利返済額　　　20,000円
　③借入金の金利6％(年利）
　　のとき、10年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？
問題２
　①借入金元本　　　　480,000円
　②借入金の金利　　10％(年利、月払い）
　③元利均等償還率　11％(年換算）
　　のとき、6年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？
数列 知也さん１ 2003/03/07 a1=3， a2=6， an+2-2an+1+2an=0
のような漸化式で表される数列{an}の一般項を求めよ。
数列 Ｋ．Ｎ．Ｇさん１ 2003/02/08 ｎ×ｎの正方形ABCDを，碁盤の目のように，一辺が１の正方形がｎ２個できるように区切ります．
そのとき対角線ACに交わる長方形の数はいくつになるのでしょうか？
長方形の頂点が対角線ACに触れる場合も交わると見なします．
数列 Toshiさん８ 2003/04/05 数列{An}は整数pを初項とし、公差3の等差数列、
数列{Bn}は整数3pを初項とし、公差1の等差数列である。
Sn=∑k=1～n|Ak-Bk| をpの関数と考えて、その最小値をnを用いて表しなさい。
数列 junさん２ 2003/05/08 無限級数　Σ((n^2)/(2^n)) を求めよ。
数列 隆さん２ 2003/05/05 数列A(1),A(2),A(3),…,A(n),… は2でも3でも割りきれない自然数を小さいほうから順に並べたものとする.
第n項A(n)と第n項までの和S(n)を求めよ.
数列 ＡＺＵＫＩさん１ 2004/08/11 a,bを0<a<bを満たす定数とする。
初項A1=a,第二項A2=b である等差数列{An}　(n=1,2,3・・)　に対して、
xy平面の直線Lnを
　Ln　：　Anx-An+1y+An+2=0　(n=1,2,3・・)
とする。
（１） Lnはｎの値にかかわらずある定点を通ることを示せ。
（２）ｐ＞２をみたすｐに対して領域DをD={(x、y)│x≧ｐ、y≦ｐ}とするとき、
　どのようなｎに対しても、LnとDが共有点をもたないためのｐについての条件を求めよ。

算数・数学の部屋に戻る