隆さんからの質問２

問題
数列A(1),A(2),A(3),…,A(n),… は2でも3でも割りきれない自然数を小さいほうから順に並べたものとする.
第n項A(n)と第n項までの和S(n)を求めよ.

解答
実際に書き上げてみると、
　１，５，７，１１，１３，１７，１９，２３・・・
です。２と３の最小公倍数が６なので、
　１を初項とする　１，７，１３，１９・・・　という列と
　５を初項とする　５，１１，１７，２３・・・　という列を合わせた数列になります。
ｎが奇数のとき m＝(n+1)/2 に対して
　A(n)＝６ｍ−５
ｎが偶数のとき m＝n/2 に対して
　A(n)＝６ｍ−１
以上をまとめると
　A(n)＝　３ｎ−２　（ｎが奇数）
　　　　　　３ｎ−１　（ｎが偶数）
一つの式にするには、
　A(n)＝　３ｎ−3/2−1/2　（ｎが奇数）
　　　　　　３ｎ−3/2＋1/2　（ｎが偶数）
と考えて
　A(n)＝３ｎ−3/2＋(-1)ⁿ/2

　S(n)＝Σ_k=1〜n(３ｋ−3/2＋(-1)^k/2)
　　　＝３ｎ（ｎ＋１）／２−３ｎ／２＋{(-1)ⁿ−1}/4
　　　＝{６ｎ²＋(-1)ⁿ−1}/４

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