ウツノミヤンさんからの質問
１,どうして直交する二直線の傾きの積は−１なのですか？
２,どうして数学的帰納法による証明は正しいといえるのでしょうか？ｎ＋100なら違っているかもしれないじゃないですかぁ……。

の公式がどういう理屈で成り立っているのか分かりません。証明はできます。

を解けば出せますし、数学的帰納法でもスマートに出せます。
しかし、理解は出来ても納得出来ないのです。
これだと、Σk³の一般項を出そうとしてたまたま導き出せたような気がします。
「これはテクニックだ」なんて余計に納得出来ません。
Σk²の意味に沿った解説というものは出来ないのでしょうか。

４,不良の矢田まさる君が、どうして今回は魔女に格上げなのでしょうか？(笑)

５,丹下桜さんに声優復帰して欲しいと願うのは僕だけでしょうか？

回答
１. ここでは、当然、ｘ軸やｙ軸に平行な直線は扱わず、その他の直線について考えます。
　傾きとは、ｘが１増えたときにｙがどれだけ変化するかという量です。

左図のように、直行する２直線ＡＢ、ＡＣがあるとき、ＡＢの傾きはＢＤ ＡＣの傾きは−ＤＣです。必ず一方が正、一方が負になります。 ＡＢとＡＣが直行しているので、 △ＡＢＤと△ＣＡＤは相似となり、 　ＡＤ：ＢＤ＝ＤＣ：ＡＤ となります。ＡＤ＝１　であるので、 　ＢＤ・ＤＣ＝１ となります。一方、傾きどうしの積は、−ＢＤ・ＤＣ であり、 これは、−１になります。

２. 数学的帰納法の仕組みは、
　　ある規則的な数列Ａ_n（ｎは自然数）（通常Ａnは自然数であることが多い）の任意の項について
　　成り立っていることを示したい命題があるとき、
　　(1) 数列の初項Ａ₁について命題が成り立つことを示す。
　　(2) 数列上の任意の連続する２項Ａ_k，Ａ_k+1において、Ａ_kについて命題が成り立つという条件下では、
　　　　Ａ_k+1についても、命題が成り立つことを示す。
　　という論法です。ここで重要なのは、(2) は数列上のどの連続する２項をとってもいいということです。
　　そして、Ａ₁について成り立つということが、既に示されていますので、Ａ₂についても成り立つ。
　　そうすると、Ａ₃についても成り立つ。よって、Ａ₄についても成り立つ。従って、Ａ₅についても成り立つ。
　　ゆえに．．．もういいね。
　　そして、このつながりは途中で切れることはありません。(2) は特別に選んだ連続する２項について
　　成り立つのではなく、すべての連続する２項について、成り立つからです。

３. Σk² の証明は、Σk のように、順番を入れ換えて一発というわけには行きません。
　　１から１００までの自然数の和参照。
　　Σk3 からの副産物のようなものはイヤといわれるなら、こんなのはどうでしょう？
　　やはり、多少テクニック（式のいじくり）を使いますが。

　　1²= 1
　　2²= 1 + 3
　　3²= 1 + 3 + 5
　　5²= 1 + 3 + 5 + 7
　　・・・・・・
　　n²= 1 + 3 + 5 + 7 + ・・・ + (2n-1)

（以下Σの範囲省略）
Σk²＝Σ{-2k²+(2n+3)k-(n+1)}
３Σk²＝Σ{(2n+3)k-(n+1)}＝(2n+3)n(n+1)/2-n(n+1)
　　　　＝n(n+1)(2n+1)/2
よって、
　Σk²＝n(n+1)(2n+1)/6

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