問題
a,bを0<a<bを満たす定数とする。
初項A1=a,第二項A2=b である等差数列{An} (n=1,2,3・・) に対して、
xy平面の直線Lnを
Ln ： Anx-An+1y+An+2=0 (n=1,2,3・・)
とする。
（１） Lnはｎの値にかかわらずある定点を通ることを示せ。
（２）ｐ＞２をみたすｐに対して領域DをD={(x、y)│x≧ｐ、y≦ｐ}とするとき、
どのようなｎに対しても、LnとDが共有点をもたないためのｐについての条件を求めよ。
解答
（１）
初項A1=a,第二項A2=b なので、この数列の公差は ｂ−ａ です。
すると、初項ａ、公差ｂ−ａの等差数列の一般項は
An＝ａ＋(ｂ−ａ)(ｎ−１)＝(ｂ−ａ)ｎ＋２ａ−ｂ
と書けます。これを、Anx-An+1y+An+2=0 に代入すると、
{(b-a)n+2a-b}x - {(b-a)n+a}y + {(b-a)n+b} = 0
n{(b-a)x - (b-a)y + (b-a)} + {(2a-b)x - ay +b} = 0
これが、n についての恒等式となるためには、
(b-a)x - (b-a)y + (b-a) = 0 ・・・(i) かつ
(2a-b)x - ay +b = 0 ・・・(ii)
b-a＞0 より、(i) の両辺を(b-a) で割って、
x - y + 1 = 0 ・・・(i)'
と書けます。これと(ii)の連立方程式を解いて、
ｘ＝１，ｙ＝２
よって、Ln は常に点（１，２）を通ります。
（２）
Ln の傾きを ｄn とすると、ｄn＝An/An+1 ですが、これは、
ｄ1＝a/b より、 ０＜ｄ1＜１
ｎ→∞ のとき、ｄn→１ になります。
一方、Ｄ は、図のような領域なので、L1 が、Ｄに触れなければ、他のＬnは、
点（ｐ，ｐ）から離れる方向なので、L1 が、点（ｐ，ｐ） に触れるときが、ｐ の限界となります。
L1：ax - by + 2b-a = 0
と、直線 ｙ＝ｘ との交点は ｘ＝ｙ＝(2b-a)/(b-a) より、
２＜ｐ＜(2b-a)/(b-a)
が、ｐの条件となります。
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