ＴＡＮＥさんからの質問４

３問あります。

問題１：
　初項から第ｎ項までの和Ｓ_nが、Ｓ_n＝ｎ³ である数列｛ａ_n｝の一般項を求めよ。

解答１−１：
　一般に、数列の和がわかっているときは、
　　ａ₁＝Ｓ₁　・・・(1)
　　ａ_k＝Ｓ_k−Ｓ_k-1　（ｋ＝２，３，４・・・）・・・(2)
　が成り立つ。（第４項までの和Ｓ₄から、第３項までの和Ｓ₃を引くと、第４項ａ₄ だけが残るという理屈）
　(2) より、
　　ａk＝ｋ³−(ｋ−１)³＝３ｋ²−３ｋ＋１
　これは、(1) も満たすので、一般に
　　ａ_n＝３ｎ²−３ｎ＋１
　である。

解答１−２：
　一般に、
　　一般項が１次式ならば、数列の和は２次式
　　一般項が２次式ならば、数列の和は３次式
　ような関係があることを知った上で、
　　ａ_n＝６ｐｎ²＋２ｑｎ＋ｒ
　とおく。（※ｐｎ²＋ｑｎ＋ｒ　でも良いが、分数になることを嫌ってこうした）
　第ｎ項までの和Ｓ_n は、
　　Ｓ_n＝ｐｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＋ｑｎ（ｎ＋１）＋ｒｎ
　　　　＝２ｐｎ³＋（３ｐ＋ｑ）ｎ²＋（ｐ＋ｑ＋ｒ）ｎ
　　　　＝ｎ³
　これが、ｎについての恒等式になるので、
　　２ｐ＝１、３ｐ＋ｑ＝０、ｐ＋ｑ＋ｒ＝０
　これを解いて、
　　ｐ＝0.5、ｑ＝-1.5、ｒ＝１
　よって、求める数列の一般項は
　　ａ_n＝３ｎ²−３ｎ＋１・・・答え

問題２：
　次の条件によって定まる数列｛ａ_n｝と｛ｂ_n｝の第４項を、それぞれ求めよ。
　　ａ₁＝１，　ｂ₁＝０，　ａ_k+1＝ａ_k＋ｂ_k，　ｂ_k+1＝２ｂ_k＋１

解答２−１：
　これの問題は、一般項を求めるのではなく「第４項」がわかればいいので、
漸化式に従い、順々に求めていく。
　漸化式を順々に使うと、
　　ａ₁＝１
　　ｂ₁＝０
　　ａ₂＝ａ₁＋ｂ₁＝１＋０＝１
　　ｂ₂＝２・０＋１＝１
　　ａ₃＝ａ₂＋ｂ₂＝１＋１＝２
　　ｂ₃＝２・１＋１＝３
　　ａ₄＝ａ₃＋ｂ₃＝２＋３＝５
　　ｂ₄＝２・３＋１＝７
　よって、
　　ａ4＝５，ｂ4＝７

解答２−２：
　では、実際に一般解を求めると、以下のようになる。
　　ｂ_k+1＝２ｂ_k＋１
　は、
　　ｂ_k+1＋１＝２（ｂ_k＋１）
　と書ける。ここで、数列ｃ_n を
　　ｃ_n＝ｂ_n＋１
　と定義すると、
　　ｃ₁＝ｂ₁＋１＝１
　　ｃ_n+1＝２ｃ_n
　より、数列ｃ_n は、初項１、公比２の等比数列となり、一般項は
　　ｃ_n＝２^n-1
　よって、
　　ｂ_n＝ｃ_n−１＝２^n-1−１　・・・(1)
　また、
　　ａ_k+1＝ａ_k＋ｂ_k
　は
　　ａ_k+1−ａ_k＝ｂ_k
　と表せ、数列ｂ_n は、数列ａ_n の階差数列である。このとき、

(1),(2) において、ｎ＝４とおくと、
　ａ4＝２³−４＋１＝８−４＋１＝５
　ｂ4＝２³−１＝８−１＝７

問題３：
　次の条件によって定まる数列｛ａ_n｝の一般項を求めよ。
　　ａ₁＝３，　ａ_n+1＝ａ_n+２ⁿ　　〈ｎ＝１，２，３、・・・・・・）

解答３：
　数列ａ_n の階差数列をｂ_n とする。つまり、
　　ｂ_n＝ａ_n+1−ａ_n

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