シンさんからの質問１

問題
数学的帰納法によって、 ｎ!≧２^ｎ-1　が成り立つことを示し、
これを利用して、 １＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜2 が成り立つことを示せ。
また、１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜7/4が成り立つことを示せ。

解答
　ｎ!≧２^ｎ-1………(1)
において、
　ｎ＝１のとき　１！≧２^1-1＝１
より、(1) は成り立つ。
　ｎ＝ｋ のとき、ｋ!≧２^k-1 が成り立っていると仮定して、ｎ＝ｋ＋１のときを
考えると、
　ｋ＋１≧２＞０　を ｋ!≧２^k-1 に辺々掛けて、
　(ｋ＋１)ｋ!≧２^k-1・２
　(ｋ＋１)！≧２^k
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも、(1) は成り立ち、すべての自然数ｎについて、
(1) は成り立つ。また、等号はｎ＝１、２ のとき。

　１≦１
　1/2!≦1/2
　1/3!≦1/2²
　・・・・・・
　1/n!≦1/2^n-1
を辺々足して
　１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!≦(1+1/2+1/2²+・・・+1/2^n-1)
　(右辺)＝２−1/2^n-1 (等比数列の和より)
よって、
　１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!≦２−1/2^n-1＜２　証明終わり

また、ｎ＝１のとき、明らかに
　１＜7/4
ｎ≧２において、
　１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜１＋1/2＋1/6＋1/18＋・・・＋1/(2・3^n-2)
　1/2＋1/6＋1/18＋・・・＋1/(2・3^n-2)＝3/4−1/(4・3^n-2)＜3/4
よって、
　１＋1/2!＋1/3!＋……＋1/ｎ!＜１＋3/4＝7/4　証明終わり

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