知也さんからの質問１

問題
a₁=3， a₂=6， a_n+2-2a_n+1+2a_n=0
のような漸化式で表される数列{a_n}の一般項を求めよ。

解答
　a_n+2-2a_n+1+2a_n=0
が
　a_n+2-αa_n+1=β(a_n+1-αa_n)
のように書けたとします。展開して、
　a_n+2-(α+β)a_n+1+αβa_n=0
係数を比較して
　α+β=2，αβ=2
２次方程式の解と係数の関係より、α、βは、２次方程式
　x²-2x+2=0
の解となります。これを解いて、
　x=1±i
ここで、α=1+i，β=1-i とおきます。（逆においても解けます）
　a_n+2-(1+i)a_n+1=(1-i){a_n+1-(1+i)a_n}
b_n=a_n+1-(1+i)a_n とおくと、{b_n}は、初項
　b₁ = a₂-(1+i)a₁ = 6-3(1+i) = 3-3i
公比 1-i の等比数列であるので、　　　　※等比と呼べるかは別として
　b_n = 3(1-i)ⁿ
よって、
　a_n+1-(1+i)a_n = 3(1-i)ⁿ　………(1)
さらに、
　a_n+1-γ(1-i)ⁿ⁺¹=(1+i){a_n-γ(1-i)ⁿ}
と書けたとします。展開して
　a_n+1-(1+i)a_n = γ(1-i)ⁿ⁺¹-(1+i)γ(1-i)ⁿ
　　　= γ(1-i)ⁿ{(1-i)-(1+i)}
　　　= -2γi(1-i)ⁿ
(1) と比較して、
　3=-2γi
よって、　γ=3i/2
c_n = a_n-γ(1-i)ⁿ = a_n-3i(1-i)ⁿ/2　とおくと、{c_n} は、初項
　c₁ = a₁ - 3i(1-i)¹/2 = 3(1-i)/2
公比 1+i の等比数列であるので、
　c_n = 3(1-i)(1+i)^n-1/2
よって、
　a_n = c_n + 3i(1-i)ⁿ/2 = 3{(1-i)(1+i)^n-1 + i(1-i)ⁿ}/2
ここで、オイラーの公式より、
　1+i = √2{cos(π/4) + isin(π/4)} = √2 ｅ^πi/4
　1-i = √2{cos(-π/4) + isin(-π/4)} = √2 ｅ^-πi/4
これを代入して、
　a_n = 3(√2)ⁿ{ｅ^-πi/4・ｅ^(n-1)πi/4 + iｅ^-nπi/4}/2
　　 = 3(√2)ⁿ{ｅ^(n-2)πi/4 + iｅ^-nπi/4}/2
　　 = 3(√2)ⁿ[{cos(n-2)π/4 + i sin(n-2)π/4} + i {cosnπ/4 - i sinπ/4}]/2
　　= 3(√2)ⁿ[{cos(nπ/4-π/2) + i sin(nπ/4-π/2)} + i {cosnπ/4 - i sinπ/4}]/2
公式　cos(θ-π/2) = sinθ， sin(θ-π/2) = -cosθ より
　a_n = 3(√2)ⁿ[{sin(nπ/4) - icos(nπ/4)} + {icos(nπ/4) + sin(nπ/4)}]/2
　　　= 3(√2)ⁿsin(nπ/4)
答　a_n = 3・2^n/2sin(nπ/4)

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