おおさわさんからの質問１
問題
τ(k) = ∑i=1～ki とする。このとき、
τ1(k) = τ(k)
τn+1(k) = ∑i=1～kτn(i)
とすると、
τn(k) = (k(k+1)(k+2)…(k+n))/(n+1)! ・・・ (a)
となることを証明しなさい。
解答
ｎ＝１ のとき
τ1(k) = k(k+1)/2! = ∑i=1～ki = τ(k)
より、(a) は成り立つ。
ｎ＝ｔ のとき、(a) が成り立つとすると
τt(k) = (k(k+1)(k+2)…(k+t))/(t+1)!
このとき、ｎ＝ｔ＋１ について考えると、
τt+1(k) = ∑i=1～kτt(i)
= {1・2・3…(1+t) + 2・3・4…(2+t) + 3・4・5…(3+t) + ………
+ k(k+1)(k+2)…(k+t)}/(t+1)!
| 補題 (2+t)Σi=1～ki(i+1)(i+2)…(i+t) = k(k+1)(k+2)…(k+t+1) ・・・ (b) 補題の証明 ｋ＝１ のとき (左辺) = 1・2・3…(1+t)(2+t) = (右辺) ｋ＝ｓ のとき (b) が成り立つとすると、 (2+t)Σi=1～si(i+1)(i+2)…(i+t) = s(s+1)(s+2)…(s+t+1) このとき、ｋ＝ｓ＋１ について考えると、 (2+t)Σi=1～s+1i(i+1)(i+2)…(i+t) = s(s+1)(s+2)…(s+t+1) + (2+t)(s+1)(s+2)(s+3)…(s+1+t) = (s+1)(s+2)(s+3)…(s+1+t)(s+2+t) となり、(b) は成り立つ。 よって、任意の自然数について、(b) は成り立つ。 |
補題によって、
{1・2・3…(1+t) + 2・3・4…(2+t) + 3・4・5…(3+t) + ……… + k(k+1)(k+2)…(k+t)}
＝k(k+1)(k+2)…(k+t+1)/(2+t)
よって、
τt+1(k) =k(k+1)(k+2)…(k+t+1)/(2+t)(t+1)!
= k(k+1)(k+2)…(k+t+1)/(t+1+1)!
よって、任意の自然数について、(a) は成り立つ。
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