Pad さんからの質問１

問題
a₁=100
d=a₁₀×1.05
a_n+1=a_n×1.05-d
この時の一般項を求めよ。

解答
まず、a₁₀ がいくつかを求めます。
　a_n+1=a_n×1.05-d=1.05(a_n−a₁₀)
より、
　a₂=1.05(a₁-a₁₀)=1.05(100-a₁₀)
　a₃=1.05(a₂-a₁₀)=1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)
　a₄=1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)
　………………
　a₁₀=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)
両辺 1.05 で割って、
　a₁₀/1.05=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀
-a₁₀ を移項して
　(1+1.05)a₁₀/1.05=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)
以下同様に、
　(1+1.05)a₁₀/1.05²=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀
　(1+1.05+1.05²)a₁₀/1.05²=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)
　(1+1.05+1.05²)a₁₀/1.05³=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀
　(1+1.05+1.05²+1.05³)a₁₀/1.05³=1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(1.05(100-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)-a₁₀)
　　………………
　(1+1.05+1.05²+………+1.05⁸)a₁₀/1.05⁸=1.05(100-a₁₀)
　(1+1.05+1.05²+………+1.05⁸)a₁₀/1.05⁹=100-a₁₀
　(1+1.05+1.05²+………+1.05⁹)a₁₀/1.05⁹=100

ここで、
　S=1+1.05+1.05²+………+1.05⁹
とおくと、
　1.05S=1.05+1.05²+………+1.05⁹+1.05¹⁰
下の式から、上の式を引いて、
　1.05S-S=0.05S=1.05¹⁰-1
　S=20(1.05¹⁰-1)
よって、
　a₁₀=100×1.05⁹/S=5×1.05⁹/(1.05¹⁰-1)
　d=1.05a₁₀=5×1.05¹⁰/(1.05¹⁰-1)

さらに、
　a_n+1=a_n×1.05-d
を変形して、
　(a_n+1-20d)=1.05(a_n-20d)
　b_n=a_n-20d
とおくと、
　b₁=100-20d=100(1-1.05¹⁰/(1.05¹⁰-1))=-100/(1.05¹⁰-1)
　b_n+1=1.05b_n
より、
　b_n=1.05^n-1b₁=-100・1.05^n-1/(1.05¹⁰-1)
　a_n=20d+b_n=100×1.05¹⁰/(1.05¹⁰-1)-100・1.05^n-1/(1.05¹⁰-1)
　　　=100(1.05¹⁰-1.05^n-1)/(1.05¹⁰-1)

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