杖風呂さんからの質問１

問題
a₁=1,a₂=1,a_n+2=a_n+1+a_n (n=1,2,3,,,)を満たす数列 {a_n} を考える。
a_nを5で割ったときの余りをb_nとおく。
(1) b_n=4,b_n+1=3のとき,b_n+2を求めよ。
(2) b₅,b₁₁を求めよ。
(3) b_1+m=b₁,b_2+m=b₂が同時に成り立つような整数mを求めよ。
(4) b₂₈₆を求めよ。

解答
(1) a_n+1＝５ｓ＋b_n+1、a_n＝５ｔ＋b_n　（ｓ、ｔ は整数）とおける。
　a_n+2=a_n+1+a_n＝(５ｓ＋b_n+1)＋(５ｔ＋b_n)＝５（ｓ＋ｔ）＋３＋４
　　　＝５（ｓ＋ｔ＋１）＋２
　よって、b_n+2＝2
(2) A を５で割った余りが B であることを　Mod(A)=B と書くことにします。
　b_n+2=Mod(b_n+1+b_n) が成り立ちます。（余りだけでa_n+2=a_n+1+a_n を考えていいということです）
　b₁=1,　b₂=1,　b₃=1+1=2,　b₄=1+2=3,　b₅=Mod(2+3)=0
　b₆=3+0=3,　b₇=0+3=3,　b₈=Mod(3+3)=1,　b₉=3+1=4,　b₁₀=Mod(1+4)=0,　b₁₁=4+0=4
　答え　b₅=0,　b₁₁=4
(3) 以下同様に調べると、
　b₁₂=4,　b₁₃=3,　b₁₄=2,　b₁₅=0,　b₁₆=2,　b₁₇=2,　b₁₈=4,　b₁₉=1,　b₂₀=0,　b₂₁=1,　b₂₂=1
　これ以降は、b₃からb₂₂の繰り返しになる。つまり、
　{b₁, b₂, ・・・ b₂₀}, {b₂₁, b₂₂, ・・・ b₄₀}, {b₄₁, b₄₂, ・・・ b₆₀} の２０項ずつが同じ内容である。
　答え　ｍは２０の倍数
(4) b₂₈₆＝b₆＝3　答え　３

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