杖風呂さんからの質問1

問題
a1=1,a2=1,an+2=an+1+an (n=1,2,3,,,)を満たす数列 {an} を考える。
anを5で割ったときの余りをbnとおく。
(1) bn=4,bn+1=3のとき,bn+2を求めよ。
(2) b5,b11を求めよ。
(3) b1+m=b1,b2+m=b2が同時に成り立つような整数mを求めよ。
(4) b286を求めよ。

解答
(1) an+1=5s+bn+1、an=5t+bn (s、t は整数)とおける。
 an+2=an+1+an=(5s+bn+1)+(5t+bn)=5(s+t)+3+4
   =5(s+t+1)+2
 よって、bn+2=2
(2) A を5で割った余りが B であることを Mod(A)=B と書くことにします。
 bn+2=Mod(bn+1+bn) が成り立ちます。(余りだけでan+2=an+1+an を考えていいということです)
 b1=1, b2=1, b3=1+1=2, b4=1+2=3, b5=Mod(2+3)=0
 b6=3+0=3, b7=0+3=3, b8=Mod(3+3)=1, b9=3+1=4, b10=Mod(1+4)=0, b11=4+0=4
 答え b5=0, b11=4
(3) 以下同様に調べると、
 b12=4, b13=3, b14=2, b15=0, b16=2, b17=2, b18=4, b19=1, b20=0, b21=1, b22=1
 これ以降は、b3からb22の繰り返しになる。つまり、
 {b1, b2, ・・・ b20}, {b21, b22, ・・・ b40}, {b41, b42, ・・・ b60} の20項ずつが同じ内容である。
 答え mは20の倍数
(4) b286=b6=3 答え 3

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