Toshi さんからの質問８

問題
数列{An}は整数pを初項とし、公差3の等差数列、
数列{Bn}は整数3pを初項とし、公差1の等差数列である。
S_n=��_k=1〜n|Ak-Bk| をpの関数と考えて、その最小値をnを用いて表しなさい。

解答
条件より、
　A_n=3n+p-3
　B_n=n+3p-1
よって、
　A_k-B_k=2k-2p-2
A_k-B_k=0 となるのは、k=p+1 のとき。

1) p+1≦1 のとき、1≦k≦n の全範囲において、k≧p+1 なので
　|A_k-B_k|=A_k-B_k
よって、
　S_n=��_k=1〜n(A_k-B_k)=��_k=1〜n(2k-2p-2)
　　=��_k=1〜n2k-��_k=1〜n(2p+2)
　　=n(n+1)-n(2p+2)
　　=-2np+n²-n

2) 1＜p+1＜n のとき
　1≦k≦p のとき　|A_k-B_k|=B_k-A_k
　p+1≦k≦n のとき　|A_k-B_k|=A_k-B_k
よって、
　S_n=��_k=1〜p(B_k-A_k)+��_k=p+1〜n(A_k-B_k)
　　=��_k=1〜p(-2k+2p+2)+��_k=p+1〜n(2k-2p-2)
　　=-p(p+1)+p(2p+2)+{0+2+4+・・・+(2n-2p-2)}
　　=p(p+1) + 2{0+1+2+・・・+(n-p-1)}
　　=p(p+1) + (n-p-1)(n-p)
　　=2p²+2(1-n)p+n²-n
　　2{p+(1-n)/2}² + (n²-1)/2

3)n≦p+1 のとき、1≦k≦n の全範囲において、k≦p+1 なので
　|A_k-B_k|=B_k-A_k
よって、
　S_n=��_k=1〜n(B_k-A_k)=��_k=1〜n(-2k+2p+2)
　　=-��_k=1〜n2k+��_k=1〜n(2p+2)
　　=-n(n+1)+n(2p+2)
　　=2np-n²+n

以上より、S_n と p の関係をグラフにすると、以下のようになる。

赤が直線、青が放物線です。
S_n の最小値は放物線の頂点付近にあることがわかります。
頂点は((n-1)/2, (n²-1)/2) です。
(n-1)/2 が整数の時は、頂点が最小の点となります。
(n-1)/2が整数でないときは、頂点に一番近い格子点が最小の点になります。

nが奇数の時 p=(n-1)/2 のとき S_n は最小値 (n²-1)/2。
nが偶数の時は、p=(n-1)/2+1/2 または p=(n-1)/2-1/2 つまり、
　p=n/2 または p=n/2-1 のとき S_n は最小値 n²/2
（S_n = 2{p+(1-n)/2}² + (n²-1)/2 に p=n/2 を代入して求めます。
　p=n/2-1 を代入しても同様）

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