数列 a, b, c, a2, ab, ac, b2, bc, c2, a3, a2b, a2c, ab2, abc, ac2, b3, b2c, bc2, c3, A4, a3b, a3c, …
（同次では辞書式の順）において、
（１） n次の項は何項あるか。
（２） akb2は第何項か。
解答１
（１）例えば、３次の項は次のように考えます。
○○○｜｜
のように、３つの○と２本の｜を、いろいろな順番に並べます。
○○○｜｜
○○｜○｜
○○｜｜○
○｜○○｜
○｜○｜○
○｜｜○○
｜○○○｜
｜○○｜○
｜○｜○○
｜｜○○○
の１０通りがあります。
求め方は ５！／(３！×２！) です。
｜で仕切られた３つの部分をそれぞれ
（ａの次数）｜（ｂの次数）｜（ｃの次数）
と見なし、○の数が次数（○がないときはその文字はない）を表していると考えると、
上の図は、上から順に、
a3, a2b, a2c, ab2, abc, ac2, b3, b2c, bc2, c3
を表しています。
一般に、ｎ次の項であれば、ｎ個の○と２本の｜の並べ方なので、
（ｎ＋２）！／（ｎ！×２！）＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２
となります。
一般にｎ種類のものからｍ個のものを取るやり方は
重複組み合わせと言って、nＨm で表します。
nＨm＝n+m-1Ｃm
の関係があります。
（２） akb2は、ｋ＋２次の項の４番目の項です。
まず、１次からｋ＋１次までに、いくつ項があるかを調べます。
（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２ を ｎ＝１〜ｋ＋１まで足すと、
となり、整理すると、
（ｋ＋１）（ｋ2＋８Ｋ＋１８）／６ 数列の和参照
これに４を足して、
（ｋ＋１）（ｋ2＋８Ｋ＋１８）／６＋４
または
（ｋ3＋９ｋ2＋２６ｋ＋４２）／６
問題２
自然数の列A1、Ａ2、Ａ3、A4、A5は等比数列であるとし、
Ｓ=Ａ1+Ａ2+Ａ3+A4+A5
Ｓ'=Ａ1-Ａ2+Ａ3-A4+Ａ5
Ｔ=Ａ12+Ａ22+A32+Ａ42+A52
とおく。
（１）整数Ｔは整数Ｓで割り切れ，その商はＳ’となることを示せ。
（２）Ｔが素数となる場合のＴの値を求めよ。
解答２
A1=a, A2=ar, A3=ar2, A4=ar3, A5=ar4
とおく。ただし、a, r はともに自然数。
また一般に
An-rAn+r=An2 ただし 0≦r＜n
（１）Ｓ＞０ なので、
Ｔ＝ＳＳ’
を示せばよい。
ＳＳ’＝(A1+A3+A5)2-(A2+A4)2
＝A12+A32+A52+2A3A5+2A5A1+2A1A3-A22-A42-2A2A4
＝A12+A32+A52+2A42+2A32+2A22-A22-A42-2A32
＝A12+A22+A32+A42+A52 ＝ Ｔ
以上より、ＴはＳで割り切れ、その商はＳ’である。
（２）Ｔが素数ならば、
Ｔ＝ＳＳ’ および Ｓ＞Ｓ’より、
Ｓ＝Ｔ Ｓ’＝１
一般にｎが自然数のとき、
ｎ≦ｎ2
であり、等号は ｎ＝１ のときに成り立つ。いま、
A1≦A12
A2≦A22
A3≦A32
A4≦A42
A5≦A52
を、辺々加えて、
Ｓ≦Ｔ
ただし等号は、A1=A2=A3=A4=A5=1 のときに成り立つ。
よって、Ｓ＝Ｔ のとき、
Ｓ＝Ｔ＝５
答え：Ｔ＝５
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