ＴＡＮＥさんからの質問３

問題：等比数列｛ａ_n｝の
　　　初項から第３項までの和が３、
　　　第２項から第４項までの和が−６であるとき、
　　　初項ａ₁と公比ｒを求めよ。

解答１
　まずは、公式に当てはめてみるやり方です。

　等比数列（初項ａ₁、公比ｒ）の初項から第ｎ項までの和を Ｓ_n とするとき
　　Ｓ_n＝ｎａ₁　　　　　　　　　　　　　（ｒ＝１　のとき）
　　Ｓ_n＝(ｒⁿ−１)ａ₁／(ｒ−１)　　　　（ｒ≠１　のとき）
　これが、等比数列の和の公式です。
注目：第ｍ項から第ｎ項（１＜ｍ＜ｎ）までの和は　Ｓ_n−Ｓ_m-1 と書けます。
　　　例えば、第４項から第６項の和(ａ₄＋ａ₅＋ａ₆)は、
　　　初項から第６項までの和(ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋ａ₄＋ａ₅＋ａ₆)から
　　　初項から第３項までの和(ａ₁＋ａ₂＋ａ₃) を引けばいいという意味です。
また、Ｓ₁＝ａ₁　です。

　さて、この問題の場合、公比ｒが１だと、初項から第３項までの和も、第２項から第４項までの和も
同じになるはずですから、ｒ≠１　としていいでしょう。
　初項から第３項までの和を Ｐ、第２項から第４項までの和を Ｑ とすると、
　　Ｐ＝Ｓ₃＝(ｒ³−１)ａ₁／(ｒ−１)＝(ｒ²＋ｒ＋１)ａ₁
　　Ｑ＝Ｓ4−Ｓ1＝(ｒ⁴−１)ａ₁／(ｒ−１)−ａ₁＝(ｒ³＋ｒ²＋ｒ＋１)ａ₁−ａ₁
　　　＝(ｒ³＋ｒ²＋ｒ)ａ₁＝ｒＰ
　ここで、Ｐ＝３、Ｑ＝−６　より、ｒ＝−２　となります。
　これを Ｐ＝(ｒ²＋ｒ＋１)ａ₁ に代入して、
　　３＝３ａ₁
　　よって、初項ａ₁は、ａ₁＝１
　答え：初項　１、公比　−２

解答２
　特に公式を使わないやり方です。
　初項から第３項までの和を Ｐ、第２項から第４項までの和を Ｑ とするとき、
　それぞれの項を比較すると、
　　ａ₁　→ｒ倍→　ａ₂
　　ａ₂　→ｒ倍→　ａ₃
　　ａ₃　→ｒ倍→　ａ₄
　のように、Ｑの各項は、Ｐの各項のそれぞれｒ倍になっているので、その和のＱも、
Ｐのｒ倍ということになります。
　ここで、Ｐ＝３、Ｑ＝−６　より、ｒ＝−２　となります。
　さらに、Ｐの各項を調べると、
　　ａ₁・・・ａ₁ の　１倍
　　ａ₂・・・ａ₁ の−２倍
　　ａ₃・・・ａ₂ の−２倍・・・ａ₁ の　４倍
　つまりＰ(＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃)は、ａ₁ の (１−２＋４＝)３倍となります。
　Ｐ＝３　ですから、ａ₁＝Ｐ÷３＝１　となります。
　答え：初項　１、公比　−２

このことから、等比数列｛ａ_n｝に対し、
　ｂn＝ａ_n＋ａ_n+1＋・・・＋ａ_n+t　（ｔは自然数の定数）
　ｂn＝ａ_n＋ａ_n+2＋・・・＋ａ_n+2t　（ｔは自然数の定数）
　ｂn＝ａ_2n＋ａ_2n+1＋・・・＋ａ_2n+t　（ｔは自然数の定数）
なども、等比数列になることがわかります。

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