問題
ｎ×ｎの正方形ABCDを，碁盤の目のように，一辺が１の正方形がｎ２個できるように区切ります．
そのとき対角線ACに交わる長方形の数はいくつになるのでしょうか？
長方形の頂点が対角線ACに触れる場合も交わると見なします．
解答
まず、すべての長方形の数を求めます。
ある格子点を考えて、その点より右かつ下にある点の個数がその格子点を
左上の頂点とする長方形の数です。
４×４の場合とｎ×ｎの場合の図を描きます。
長方形の総数は、格子点上の数をすべて足して、
Σi=1〜n(Σj=1〜n ｉｊ)＝ Σi=1〜nｎ(ｎ＋１)ｉ/２＝ｎ2（ｎ＋１）2/４
このうち、対角線と離れているものは、対角線ＡＣよりも右下にある格子点に
示された長方形の数の総数になります。
１{１＋２＋・・・(n-2)}+２{１＋２＋・・・(n-3)}＋・・・＋(n-3)(１＋２)＋(n-2)・１
＝Σi=1〜n-2Σj=1〜n-1-iｉｊ＝Σi=1〜n-2ｉ(n-1-i)(n-i)/２
＝Σi=1〜n-2{ｉ3−(2n-1)ｉ2＋n(n-1)ｉ}
＝(ｎ4−２ｎ3−ｎ2＋２ｎ)/２４
＝(n-2)(n-1)n(n+1)/24
対角線の左上にも同じ数だけあるので、それらを、長方形の総数から引くと、
ｎ2（ｎ＋１）2/４−２(n-2)(n-1)n(n+1)/24
＝ｎ（ｎ＋１）(ｎ2＋３ｎ−１)/６ ・・・答え
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