junさんからの質問２

問題
　無限級数　Σ((n^2)/(2^n)) を求めよ。

解答
数列　{(n^2)/(2^n)} の第ｎ項までの和をＳとします。
　Ｓ＝1/2 + 4/4 + 9/8 + ・・・+ (n-1)^2/2^(n-1) + n^2/2^n
２倍して
　２Ｓ＝1 + 4/2 + 9/4 + 16/8 + ・・・ + n^2/2^(n-1)
下の式から上の式を引いて
　Ｓ＝1 + (4-1)/2 + (9-4)/4 + (16-9)/8 + ・・・ +{n^2-(n-1)^2}/2^(n-1) - n^2/2^n
公式 x^2-y^2＝(x-y)(x+y) を利用して分子を計算すると、
　Ｓ＝1 + (1+2)/2 + (2+3)/4 + (3+4)/8 + ・・・ +{(n-1)+n}/2^(n-1) - n^2/2^n
ここで
　Ｔ＝1/2 + 2/4 + 3/8 + ・・・ + (n-1)/2^(n-1)
　Ｕ＝1/1 + 2/2 + 3/4 + ・・・ + n/2^(n-1)
とおくと、
　Ｓ＝Ｔ＋Ｕ- n^2/2^n
となります。
　Ｔ＝1/2 + 2/4 + 3/8 + ・・・ + (n-1)/2^(n-1)
２倍して
　２Ｔ＝1 + 2/2 + 3/4 + ・・・ + (n-1)/2^(n-2)
下の式から上の式を引いて
　Ｔ＝1 + 1/2 + 1/4 + ・・・ + 1/2^(n-2) - (n-1)/2^(n-1)
等比数列の和の公式を使って和を求めると
　Ｔ＝{2 - 1/2^(n-2)} - (n-1)/2^(n-1)
一方
　Ｕ＝1/1 + 2/2 + 3/4 + ・・・ + n/2^(n-1)
２倍して
　２Ｕ＝2 + 2/1 + 3/2 + ・・・ + n/2^(n-2)
上の式から下の式を引いて
　Ｕ＝2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ・・・ + 1/2^(n-2) - n/2^(n-1)
等比数列の和の公式より
　Ｕ＝{4 - 1/2^(n-2)} - n/2^(n-1)
以上をまとめると
　Ｓ＝Ｔ＋Ｕ−n^2/2^n
　　＝6 - 1/2^(n-3) - (2n-1)/2^(n-1) - n^2/2^n
となり、ｎ→∞ で第２項以降は０に収束し６だけ残ります。

答え　Σ_n=1〜∞((n^2)/(2^n))＝６

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