高１さんからの質問１

問題
等差数列｛a_n｝がありa₃=7/2, a₆+a₈=15 である。
(1)a_ｎをｎを用いてて表せ。
(2)数列｛b_n｝はb₁=1/2, b_n+1-b_n=a_n (n=1,2,3....)
によって定まるものとするb_nをnを用いて表せ。
(3)(2)の数列｛b_n｝について、b_kの整数部分をc_k(k=1,2,3...)とするΣ_（k=1〜2n)c_kをnを用いて表せ。

解答

(1) 公差を d とすると
　　a₆ = a₃ + 3d, a₈ = a₃ + 5d
　より、
　　a₆ + a₈ = 2a₃ + 8d
　2a₃ = 7, a₆ + a₈ = 15 より
　　8d = 8, d = 1
　これより、
　　a₁ = a₃ - 2 = 3/2 ・・・ 初項
　よって、｛a_n｝の一般項は
　　ａn = 1/2 + n

(2) 階差数列の公式より、n≧2 なる n に対して、
　b_n = b1 + Σ_(k=1〜n-1)a_k
　　= 1/2 + Σ_(k=1〜n-1)1/2 + Σ_(k=1〜n-1)k
　　= 1/2 + (n-1)/2 + n(n-1)/2
　　= n²/2

(3) ｛b_n｝は、n が奇数の時、小数部 0.5 を持ち、偶数の時、整数である。
　Σ_（k=1〜2n)b_k と Σ_（k=1〜2n)c_k を比べたとき、
　Σ_（k=1〜2n)c_k の方が n/2 だけ小さい。(１〜2n の中に奇数は n 個あるので）
　　Σ_（k=1〜2n)b_k = 2n(2n+1)(4n+1)/12 = (8n² + 6n² + n)/6
　よって、
　　Σ_（k=1〜2n)c_k = (8n³ + 6n² + n)/6 - n/2 = (4n³ + 3n² - n)/3
　　　　= n(n+1)(4n-1)/3

算数・数学の部屋に戻る