一太太一さんからの質問１

問題１
　�@借入金元本　　　　3,000,000円
　�A毎月の元利返済額　　　20,000円
　�B借入金の金利6％(年利）
　　のとき、10年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

問題２
　�@借入金元本　　　　480,000円
　�A借入金の金利　　10％(年利、月払い）
　�B元利均等償還率　11％(年換算）
　　のとき、6年後の借入金元本返済率Pはいくつになるか？

解答
どちらの問題も、償還率と利率と返済率の関係がわかれば解けるので、
まずそれを調べます。
償還率：ｄ、利率：ｒ とし、ｎ年後の元金残高をＡ_n 、Ａ₀＝１ とすると、ｎ＋１年後において、
　返済額：ｄ、内利息：ｒＡ_n、返済元金：ｄ−ｒＡ_n、元金残高：Ａ_n−(ｄ−ｒＡ_n)
よって、
　Ａ_n+1＝(１＋ｒ)Ａ_n−ｄ　　　ここからの解き方はこちら参照

　Ａ_n+1−ｄ/ｒ＝(１＋ｒ)(Ａ_n−ｄ/ｒ)
Ｂ_n＝Ａ_n−ｄ/ｒ とおくと、
　 Ｂ_n+1＝(１＋ｒ) Ｂ_n、　 Ｂ₀＝１−ｄ/ｒ
よって、
　Ｂ_n＝(１−ｄ/ｒ)(１＋ｒ) ⁿ
　Ａ_n＝(１−ｄ/ｒ)(１＋ｒ) ⁿ＋ｄ/ｒ

これを月に置き直すと、
　Ａ_m＝(１−ｄ/ｒ)(１＋ｒ/12) ^m＋ｄ/ｒ
返済率は
　１−Ａ_m＝(１−ｄ/ｒ）−(１−ｄ/ｒ)(１＋ｒ/12) ^m
　　　　　＝(ｄ/ｒ−１）{(１＋ｒ/12) ^m−１}

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