ｆｏｏｔｍａｒｋさんからの質問１

問題
　２進数で表すと、２個の１と任意の個数の０とで表される自然数の列
　｛３,５,６,９,１０,１２,１７,１８,２０,２４,３３,３４,…｝
　を、一般式にする。

解答
　方針は以下の通りです。

のように、桁数でグループ化し、グループ内にも番号を付けたとき、
一般項 ａ_n は
　ａ_n＝２^m＋２^k-1
と表せます。

グループ番号ｍをｎで表す
　各グループの最後の数ｎと、グループ番号ｍの間には
　　ｍ（ｍ＋１）／２＝ｎ
　という関係があります。これを、グループの最後の数に限らず、任意のｎについて、
　ｍを求めてみます。
　解の公式より、
　　ｍ²＋ｍ−２ｎ＝０
　　ｍ＝{−１＋√(１＋８ｎ)｝／２
　これを各ｎについて求めると、

のようになります。ここで、小数以下切り上げにすれば、グループ番号に一致します。
ガウス記号を使って、−［−ｍ’］とすれば、ｍ’ の整数位切り上げが出来ます。

グループ内順位ｋをｎで表す
　ｋ＝ｎ−（１つ前のグループの最後の数）
ですから、前出のグループ番号ｍを用いて
　ｋ＝ｎ−ｍ（ｍ−１）／２
とすれば、ｋが求められます。

結局、一般項 ａ_n は、
　ｂ_n＝−[−{−１＋√(１＋８ｎ)｝／２]＝−[{１−√(１＋８ｎ)｝／２]
を用いて、、
　ａ_n ＝２^ｂn＋２^{n-1-bn(bn-1)/2}
と表せます。

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