理科の実験で使用するビーカーを想像してください。
開口部にも底の部分にもＲ部分があります。
それぞれのＲ（半径）をｒ１、ｒ２ とし、高さｈ、直径ｄの場合の体積を出す方程式をお教えください。
C：x=t-sint, y=1-cost (０≦ｔ≦2π)がある。
傾き-1/√3の直線Lが曲線Cと点Pで接している。
（１）接線Pの座標と直線Lの方程式を求めよ。
（２）曲線と直線およびX軸の ｘ≧2π の部分とで囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。
ただし（０＜ａ＜ｂ）の表面積を求めよ。
２つの円柱の重なった部分の立体について、
（1）体積を求めよ。（横に輪切りにしてカバリニリの原理を使う、半径１の球の体積との比）
（2）葉っぱのような図形を４枚つなげれば、この立体をつくることが出来る。この葉っぱの形を調べよ。（曲線を関数の式として表せ）
放物線 Ｃ：ｙ＝ｘ2に点Ｐから２本の接線、Ｌ、Ｍを引く時、Ｃ，Ｌ，Ｍで囲まれる図形の面積が常に１８となるような点Ｐの軌跡を求めよ。
問２．
曲線ｙ＝ｘ4−２ｘ2＋ｘ上のある点における接線Ｇが曲線上の他の点で再び接している。
（１） ２つの接点の座標、及び接線Ｇの方程式を求めよ。
（２） 曲線と接線Ｇとで囲まれた図形の面積を求めよ。
問３．
２つの曲線ｙ＝ｘ（ｘ−１）2、ｙ＝ｋｘ2 （ｋ＞０）について、次の問に答えよ。
（１） この２つの曲線は相異なる３点で交わることを示せ。
（２） この２曲線で囲まれる２つの図形の面積が等しくなるような ｋ の値を求めよ。
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ｍ（０＜ｍ＜１）を変化させて、灰色の部分の面積が最小になるようにします。 このとき、ａ の値を求めなさい。 |
（１）f(x)がｘ≧０で単調増加するような点（a，ｂ）の範囲Gを図示せよ。
（２）ｘ≧０におけるｙ＝f(x)の逆関数をｘ＝f-1（ｙ） （ｘ≧０）とする。点（a，ｂ）がGを動くとき
定積分
の最小値を求めよ。（底面積）×（高さ）÷３
を証明せよ。
mが奇数、ｎ が n≠0の偶数であるとき、次の値はいくらですか?
問題２
とする時、
(1)A+B を求めよ。
(2)AおよびBを求めよ。
また、円C上に頂点Aを持つ放物線y=-(x-p)2+qをC2とする。
(1)C2の頂点Aが原点以外にある時、C1とC2は異なる2点で交わることを示し、その交点のx座標を求めよ。
(2)C1とC2によって囲まれる図形の面積をSとする。C2の頂点Aが円C上を動くとき、Sの最大値とそのときのAの座標を求めよ。
dc/dt＝αS−βｃ
のような関係がある。α、β、Ｓ はいずれも定数であるとき、関数 ｃ＝f(t) を求めよ。
ただし、f(0)＝０ とする。
曲線 y＝x＋2sinx と x軸 、および直線 x＝2π で囲まれた部分の面積を求めよ。
また、その部分を x軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。
問題２
自然数nに対し、In＝∫（1〜e)(logx)^n dxとおく。
部分積分法を使ってIn＝e−nIn-1を示せ。またI1 I2 I3 I4を求めよ。
と、ｘ軸とで囲まれる部分をＤ１とし、４点Ｏ(0,0),Ａ(4,0),Ｂ(4,4),Ｃ(0,4)を頂点とする正方形の内部と周をＤ２とする。
（１）放物線Ｃはａの値によらず直線 ｙ＝[ア]ｘ／[イ] ＋ [ウ]に接する。
（２）Ｄ１⊆Ｄ２となるようなａの範囲は、０＜ａ≦√[エオ] − [カ] である。
（３）Ｄ１∩Ｄ２の面積Ｓ（ａ）はａ＝[キ]／[ク]のとき、最大値[ケコ]／[サ]をとる。
半径ｒ、中心角∠ＡＯＢ＝2θ、弧ＡＢ＝2a、弦ＡＢ＝2b とすると
扇形の重心Ｇは扇形の対称軸上にあり、中心Ｏから 2rb/3a の
距離にある点であることを示せ。
またこの直線と２つの放物線とで囲まれた部分の面積を求めよ。
接線との交点のy座標は1である。
（１）a,b,c,を求めよ。
（２）この放物線と（0,0）における接線（2,-2）における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。
(1) 放物線上の点（a,a2-2a＋4)における接線の方程式をy=px＋qの形で表せ。
(2) (1)で求めた接線が原点を通るとき、その接線の方程式を求めよ。
(3) (2)の２本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ。