数学大好き(大学生)さんからの質問１

問題
扇形ＯＡＢがあります。
半径ｒ、中心角∠ＡＯＢ＝2θ、弧ＡＢ＝2a、弦ＡＢ＝2b とすると
扇形の重心Ｇは扇形の対称軸上にあり、中心Ｏから　2rb/3a　の
距離にある点であることを示せ。

解答

図のように、中心〇を原点、対称軸をｘ軸に取り、この扇形を
ｙ軸のまわりに回転させて出来る立体を考えます。
この立体は、半径ｒの球から、円錐と弓形を回転させた立体を２つずつ
くりぬいた形です。

赤い部分の体積は
π∫_b〜r(r²−y²)dy＝π(b³/3−br²＋2r³/3)
青い部分の体積は
πb(r²−b²)/3
よって、残りの部分の体積は、
4πr³/3−２{π(b³/3−br²＋2r³/3)＋πb(r²−b²)/3}
　＝4πbr²/3

一方、パップス・ギュルダンの定理
　回転体の体積＝２π×(回転軸から焦点までの距離)×断面積
より、求める距離を ｄ とおくと、断面積＝ar　より、
　4πbr²/3＝２πｄａｒ
よって、
　ｄ＝2rb/3a

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