問題
放物線y=x2−2x＋4について、
(1) 放物線上の点（a,a2-2a＋4)における接線の方程式をy=px＋qの形で表せ。
(2) (1)で求めた接線が原点を通るとき、その接線の方程式を求めよ。
(3) (2)の２本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ。
解答
(1) y=x2−2x＋4 を ｘ で微分して、
y' = 2x - 2
よって、点（a,a2-2a＋4) における接線の傾きは、2a-2。
求める接線は、点（a,a2-2a＋4) を通り、傾き 2a-2 の直線なので、
y = (2a-2)(x-a) + a2-2a＋4
整理して、
y = (2a-2)x -a2+4 ・・・答え
(2) (1) の答えに x=0, y=0 を代入して
0 = -a2 + 4
これを解いて、 a = ±2
よって、接線の式は、
a=-2 のとき y = -6x
a=2 のとき y = 2x
(3)
こちらの公式３より、求める面積Ｓは、
Ｓ = {2 - (-2)}3/12 = 16/3 ・・・答え
なお、この公式を使わない手順は、
となります。
「算数・数学」の部屋に戻る