紅さんからの質問６

問題
放物線y=ax²+bx+cは２点（0,0）,（2,-2）を通り、（0,0）における接線と（2,-2）における
接線との交点のy座標は1である。
（１）a,b,c,を求めよ。
（２）この放物線と（0,0）における接線（2,-2）における接線により囲まれる図形の面積を求めよ。

解答
　ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ とおきます。
２点（0,0）,（2,-2）を通ることより、
　ｆ（０）＝ｃ＝０
以下、ｃ＝０ を利用します。
　ｆ（２）＝４ａ＋２ｂ＝−２
より、
　２ａ＋ｂ＝−１　・・・(i)

　ｙ’＝ｆ’（ｘ）＝２ａｘ＋ｂ
より、
　ｆ’（０）＝ｂ
　ｆ’（２）＝４ａ＋ｂ
（０，０）における接線の式は、
　ｙ＝ｂｘ
（２，−２）における接線の式は、
　ｙ＝(４ａ＋ｂ)(ｘ−２)−２
この２つの式を連立させて解くと、
　ｘ＝(４ａ＋ｂ＋１)/２ａ
　ｙ＝ｂ(４ａ＋ｂ＋１)/２ａ
ｙ＝１ とすると、
　ｂ(４ａ＋ｂ＋１)＝２ａ　・・・(ii)
(i) (ii) をａ≠０ の条件下で解くと、
　ａ＝−１、ｂ＝１
答え　ａ＝−１、ｂ＝１、ｃ＝０

この時、放物線は　ｙ＝−ｘ²＋ｘ であり、
２接線は、ｙ＝ｘ、ｙ＝−３ｘ＋４ となり、求める面積は、
∫_０〜１ｘ²ｄｘ＋∫_１〜２(ｘ²−４ｘ＋４)ｄｘ　＝　２／３

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