問題
四角錐の体積の公式
（底面積）×（高さ）÷３
を証明せよ。
※以下の解答は、四角錐に限らず、一般の錐体でも成り立ちます。
解答１（積分を使う方法）
底面積をＳ、高さをｈとします。
高さ方向にｚ軸を取り、四角錐の先端を０，底面をｈとします。
位置ｚでのｚ軸に垂直な面での切り口の面積ｆ(z) は、ｚ2に
比例するので、ｆ(0)＝０，ｆ(h)＝Ｓ になるように係数を決めると
ｆ(z)＝Ｓｚ2/ｈ2
これを０〜ｈまで積分すると体積Ｖは、
となります。
解答２（積分を使わない方法）
図のように、高さ方向にｎ等分します。
左の図は、ｎ個の四角柱が四角錐の内部にあります。
右の図は、四角錐がｎ個の四角柱の内部にあります。
つまり、求める四角錐の体積は、左と右の各四角柱の体積の間にあり、
ｎを大きくしていくと、求める体積に近づきます。
底面積をＳとすると、
左の四角柱の体積の合計V1は、
右の四角柱の体積の合計Ｖ2は、
である。ｎ→∞ のとき
Ｖ1→Ｓｈ/３
Ｖ2→Ｓｈ/３
であるので、求める体積も、Ｓｈ/３ となる。
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