問題
球を任意の平面で切り取ったとき，切り取った球の一部の重心の求め方を教えてください。
解答
ここでは、半球（ちょうど２等分したときの片方）か、それより小さい方の立体について考えます。
残りの立体も、同様に考えるか、大小あわせて、体積で比例配分して、全球の重心が中心にくるように
大きい立体の重心位置を決めればできます。
球の半径をｒとし、切り口の平面が、中心から x1 の距離にあるとします。
ただし、０≦x1＜ｒ。
切り口に垂直な方向にｘ軸を取ります。
中心から ｘ（x1≦ｘ＜ｒ) の位置に、厚さdx（微小量）の円盤を考えます。
この円盤の半径をｙとすると、ｙ＝√(ｒ2−ｘ2) より、円盤の底面積は
Ｓ＝πｙ2＝π(ｒ2−ｘ2)
Ｓ・dxを、x1からｒまで積分すると、体積が出ます。
Ｖ＝π∫(x1〜r)(ｒ2−ｘ2)dx＝π[ｒ2ｘ−ｘ3/3](x1〜r)＝π(２ｒ3/３−ｒ2x1＋x13/３)
一方、球の密度を１とし、各円盤の原点まわりのモーメント ｘＳdx を
x1からｒまで積分すると、原点まわりのモーメントが出ます。
Ｉ＝π∫(x1〜r)(ｒ2ｘ−ｘ3)dx＝π(ｒ4/４−ｒ2x12/２＋x14/４)
よって、重心の原点からの位置は、
Ｉ/Ｖ＝(ｒ4/４−ｒ2x12/２＋x14/４)/(２ｒ3/３−ｒ2x1＋x13/３)
となります。
参考までに、半球（x1＝０ の場合）は、重心の位置は
原点から３ｒ/８ の位置。
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