space さんからの質問1
問題
関数f(x)=x3+ax2+(b-a-1)xについて次の問に答えよ。
(1)f(x)がx≧0で単調増加するような点(a,b)の範囲Gを図示せよ。

(2)x≧0におけるy=f(x)の逆関数をx=f-1(y) (x≧0)とする。点(a,b)がGを動くとき
定積分の最小値を求めよ。

解答
(1)f(x) を x で微分して、
 f'(x)=3x2+2ax+(b−a−1)
これが、x≧0で常に正になるためには、y=f'(x) のグラフが、以下のようになるとき。

i) 判別式<0
 判別式をDとすると、
  D/4=a2−3(b−a−1)<0
 より、
  3b>a2+3a+3
  3b>(a+3/2)2+3/4
  b>(a+3/2)2/3+1/4 ………(a)
ii) 軸≦0 かつ f'(0)>0
 軸の式は x=−a/3≦0
 より、 a≧0 ………(b)
 f'(0)=b−a−1>0
 より、b>a+1 ………(c)
以上より、(a,b)の範囲は以下の通り。
ただし、境界線上の点は含まない。


(2)は、下図の斜線部分の面積を表す。

3+ax2+(b-a-1)x=b となるのは、x>0ではx=1であるので、
求める定積分は、となる。(1×bの長方形から斜線部以外を引く)
=b−{1/4+a/3+(b-a-1)/2}
   =b/2+a/6+1/4
k=b/2+a/6+1/4
 3b=−a+6k−3/2
(1)の答えのグラフに 3b=−a+6k−3/2 のグラフを重ねて、
(1)の領域と共有点を持ちつつ、y切片をできるだけ小さくした時が、
kの最小値となる。

3b=a2+3a+3 と 3b=−a+6k−3/2=−a+M を連立させて、判別式=0 とすると、
 M=−1 (a=−2,b=1/3 のとき)
6k−3/2=−1 より、
 k=1/12

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