問題
ｘｙ平面上において、放物線Ｃ：ｙ＝−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ （ａ＞０）
と、ｘ軸とで囲まれる部分をＤ１とし、４点Ｏ(0,0),Ａ(4,0),Ｂ(4,4),Ｃ(0,4)を頂点とする正方形の内部と周をＤ２とする。
（１）放物線Ｃはａの値によらず直線 ｙ＝[ア]ｘ／[イ] ＋ [ウ]に接する。
（２）Ｄ１⊆Ｄ２となるようなａの範囲は、０＜ａ≦√[エオ] − [カ] である。
（３）Ｄ１∩Ｄ２の面積Ｓ（ａ）はａ＝[キ]／[ク]のとき、最大値[ケコ]／[サ]をとる。
解答
(1)
ｙ軸に平行な直線に接することはあり得ないので、求める直線を
ｙ＝ｍｘ＋ｎ
とおきます。ｙ＝−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ と連立させて、
ｘ2／ａ2−（ａ＋６）ｘ／３ａ＋ｍｘ＋ｎ＝０
ｘ2／ａ2−{（ａ＋６）／３ａ＋ｍ}ｘ＋ｎ＝０
判別式を取って、
Ｄ＝{（ａ＋６）／３ａ＋ｍ}2−４ｎ／ａ2
＝｛(９ｍ2＋６ｍ＋１)ａ2＋(３６ｍ＋１２)ａ＋(３６−３６ｎ)｝／９ａ2
これがａに関係なく０になるためには、
９ｍ2＋６ｍ＋１＝０
３６ｍ＋１２＝０
３６−３６ｎ＝０
よって、ｍ＝-1/3、ｎ＝１
求める式は、 ｙ＝−ｘ／３＋１ ・・・答(1)
(2)
この放物線の軸は、
ｘ＝(ａ2＋６ａ)/６＞０ （aに対して単調増加）
であり、
ｙ＝−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ
のグラフは、原点を通ることから、ｘ軸とのもう一つの交点が点Ａであるときが、
ａの最大である可能性があります。またそのようなとき、もし、頂点が正方形ＯＡＢＣの外部にあるなら、
(1) で求めた直線を突き抜けてしまうので、点Ａを通るときのａが（存在するなら）最大になります。
ｙ＝−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ
に、ｘ＝４，ｙ＝０ を代入して、
−１６／ａ2＋４（ａ＋６）／３ａ＝０
これを解いて、
ａ＝−３±√21
ａ＞０ より、 ａ＝√21−３ ・・・答(2)
(3)
ａが変化すると、放物線は、図のように変化します。
ａ＜√21−３ のときより、ａ≧√21−３ (D1 がＤ２からはみ出している)の方が、面積は大きくなります。
その面積は、−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ を、ｘ＝０から４まで積分すれば求められます。
∫0〜4(−ｘ2／ａ2＋（ａ＋６）ｘ／３ａ)ｄｘ＝[−ｘ3/３ａ2 ＋ (a+6)ｘ2/６ａ]0〜4
＝８(ａ2＋６ａ−８)/３ａ2
ａで微分して、-144ａ2＋384ａ/９ａ4
これが０になるのは ａ＝０、８／３
よって、ａ＞０ の範囲では、ａ＝８／３ が極大（かつ最大） になります。
このとき、面積は、
８(ａ2＋６ａ−８)/３ａ2＝１７／３ 答 ａ＝８／３ のとき 最大値 １７／３
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