tを媒介変数として表せるサイクロイドの一部
C：x=t-sint, y=1-cost (０≦ｔ≦2π)がある。
傾き-1/√3の直線Lが曲線Cと点Pで接している。
（１）接線Pの座標と直線Lの方程式を求めよ。
（２）曲線と直線およびX軸の ｘ≧2π の部分とで囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。
解答
（１）
媒介変数表示された式の微分係数の公式
を用いて、 dy/dx= -1/√3 となる点を見つける。
dy/dt = sint
dx/dt = 1-cost
より、
√3・sin t = -1 + cos t
√3・sin t - cos t= -1
sin t・cos π/6 - cos t・sin π/6 = -1/2
三角関数の加法定理より、
sin(t-π/6) = -1/2
これを、０≦ｔ≦2π で解くと、
ｔ＝４π／３ または ２π
ただし、ｔ＝２π は、分母＝０ となり不適。
よって、ｔ＝４π／３ となり、点Ｐの座標は、
(x,y)=(４π／３＋√３／２，３／２）
Ｌの方程式は、
ｙ−３／２＝-1/√3・（ｘ−４π／３−√３／２）
整理して
ｙ＝−√３ｘ／３＋４√３π／９＋２
（２）
Ｌの方程式で ｙ＝０ とおき、ｘ軸との交点を調べると、
ｘ＝４π／３＋２√３
よって、面積を求める図形は、以下のようになる。
つまり、△ＡＢＰの面積から、サイクロイドを含む図形ＡＣＰ（以下図形Ｍと呼ぶ）の面積を
引けばよい。
△ＡＢＰの面積は
1/2 × 3/2 × 3√3/2 ＝ 9√3/8
図形Ｍの面積は
サイクロイドの式を、ｙ＝ｆ（ｘ） とおくと、
で求められます。これを、媒介変数ｔを用いると、
ｙ＝1 - cos t
dx = (1 - cos t)dt
より、上式は、
と書ける。
(1 - cos t)2 = 1 - 2cos t + cos2t
= 1 - 2cos t + (1 + cos 2t)/2
= 3/2 - 2cos t + cos 2t/2
より、上式を計算して、
よって、求める面積は、
9√3/8 - (π - 9√3/8) = 9√3/4 - π
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