無知な大学受験生さんからの質問１
問題
問１．
放物線 Ｃ：ｙ＝ｘ2に点Ｐから２本の接線、Ｌ、Ｍを引く時、Ｃ，Ｌ，Ｍで囲まれる図形の面積が常に１８となるような点Ｐの軌跡を求めよ。
問２．
曲線ｙ＝ｘ4−２ｘ2＋ｘ上のある点における接線Ｇが曲線上の他の点で再び接している。
（１） ２つの接点の座標、及び接線Ｇの方程式を求めよ。
（２） 曲線と接線Ｇとで囲まれた図形の面積を求めよ。
問３．
２つの曲線ｙ＝ｘ（ｘ−１）2、ｙ＝ｋｘ2 （ｋ＞０）について、次の問に答えよ。
（１） この２つの曲線は相異なる３点で交わることを示せ。
（２） この２曲線で囲まれる２つの図形の面積が等しくなるような ｋ
の値を求めよ。
解答
| 問１． 放物線 Ｃ：ｙ＝ｘ2 上の異なる２点(ａ， ａ2), (ｂ, ｂ2) (ａ＜ｂ) における接線は それぞれ傾きが ２ａ、２ｂ なので、接線の式は、 ｙ＝２ａ(ｘ−ａ)＋ａ2＝２ａｘ−ａ2 ｙ＝２ｂｘ−ｂ2 これらの交点は、連立方程式を解いて、（(ａ＋ｂ)/２, ａｂ) ２接線と放物線で囲まれる部分の面積は  (積分の途中の式は省略) つまり、この問題は (ｂ−ａ)3/12=18 (ａ＜ｂ) の条件下で、点（(ａ＋ｂ)/２, ａｂ) の軌跡を求めよ、という問題に置き換えられる。 (ｂ−ａ)3/12=18 および、ａ、ｂ が実数であることより、 ｂ−ａ＝６ つまり、 ｂ＝ａ＋６ ｘ＝(ａ＋ｂ)/２、ｙ＝ａｂ に代入して ｘ＝ａ＋３、ｙ＝ａ2＋６ａ ａ を消去して、 ｙ＝(ｘ−３)2＋６(ｘ−３) ｙ＝ｘ2−９・・・答え |
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| 問２． （１） 接線Ｇがｙ軸に平行であることはあり得ないので、接線Ｇの式を ｙ＝ｍｘ＋ｎ （ｍ、ｎは実数） とおく。 曲線ｙ＝ｘ4−２ｘ2＋ｘ と、接線Ｇの位置関係は右図のようになっているはずであるが、 これは、両式を連立させた ｘ4−２ｘ2＋ｘ＝ｍｘ＋ｎ ………(1) が、２組の重解を持つことを示している。つまり、(1) が (ｘ−α)2(ｘ−β)2＝０ ………(2) の形に書けるということである。 (※一般には ａ(ｘ−α)2(ｘ−β)2＝０ と置くべきですが ａ＝１ は自明なので省略) (2) を展開して ｘ4−２(α＋β)ｘ3＋(α2＋４αβ＋β2)ｘ2−２αβ(α＋β)ｘ＋α2β2＝０ (1) を移項した ｘ4−２ｘ2＋(１−ｍ)ｘ−ｎ＝０ と係数を比較して α＋β＝０ α2＋４αβ＋β2＝−２ −２αβ(α＋β)＝１−ｍ α2β2＝−ｎ α＜β として、これらを解くと、 ｍ＝１、ｎ＝−１、α＝−１、β＝１ 接線Ｇの方程式は ｙ＝ｘ−１・・・答え（１） |
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（２）
求める面積は
問３．
（１）
ｙ＝ｘ（ｘ−１）2 と ｙ＝ｋｘ2 を連立させて、
ｘ（ｘ−１）2＝ｋｘ2
移項して整理すると
ｘ{ｘ2−(ｋ＋２)ｘ＋１}＝０
これより、この方程式のｘの解は、１つは
ｘ＝０ であり、あと２つは
ｘ2−(ｋ＋２)ｘ＋１＝０
の解である。これを解いて、
ここで、ｋ＞０ より、ｋ2＋４ｋ＞０ であるので、
は、異なる２実解である。
ｋ＋２＋√(ｋ2＋４ｋ) ＞０ は自明であり、また、
ｋ＋２＝√(ｋ2＋４ｋ＋４)＞√(ｋ2＋４ｋ)
より、ｋ＋２−√(ｋ2＋４ｋ) ＞０
以上より、ｙ＝ｘ（ｘ−１）2 と ｙ＝ｋｘ2 は異なる３個の実解を持ち、
グラフは、相異なる３点で交わる。
| （２） α＝{ｋ＋２−√(ｋ2＋４ｋ)}/２ β＝{ｋ＋２＋√(ｋ2＋４ｋ)}/２ と置く。 図の、２つの図形の面積が等しくなるには、 ｘ（ｘ−１）2 −ｋｘ2 を ０ から β まで積分して０になればよい。  β2{３β2−４(ｋ＋２)β＋６}/１２＝０ β2＞０ より、 ３β2−４(ｋ＋２)β＋６＝０ βは ｘ2−(ｋ＋２)ｘ＋１＝０ の解なので、 β2−(ｋ＋２)β＋１＝０ より、 β2＝(ｋ＋２)β−１ を代入して、 ３{(ｋ＋２)β−１}−４(ｋ＋２)β＋６＝０ (ｋ＋２)β＝３ ｍ＝ｋ＋２ (＞２) とおくと、 β＝{ｍ＋√(ｍ2−４)}/２ より、 ｍ{ｍ＋√(ｍ2−４)}/２＝３ ｍ2＋ｍ√(ｍ2−４)＝６ ｍ√(ｍ2−４)＝６−ｍ2 両辺２乗して ｍ2(ｍ2−４)＝(６−ｍ2)2 ｍ4−４ｍ2＝ｍ4−１２ｍ2＋３６ ８ｍ2＝３６ ｍ＝３/√２ よって、 ｋ＝３/√２−２＝(３√２−４)/２ |
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| （２）の別解 ごろーさんより （α、βの値は上と同じです） ｙ＝ｘ（ｘ−１）2 と ｙ＝ｋｘ2 を連立させた ｘ3−(ｋ＋２)ｘ2＋ｘ＝０ において、 ｆ(ｘ)＝ｘ3−(ｋ＋２)ｘ2＋ｘ とおくと、３次曲線の変曲点に関する対称性から ｆ’’(α)＝０ つまり、ｘ＝αの位置が、変曲点になれば、右図のように２つの図形の面積は ちょうど等しくなる。 ｆ’(ｘ)＝３ｘ2−２(ｋ＋２)ｘ＋１ ｆ’’(ｘ)＝６ｘ−２(ｋ＋２) より、 ｆ’’(α)＝３{ｋ＋２−√(ｋ2＋４ｋ)}−２(ｋ＋２)＝０ ｋ＋２＝３√(ｋ2＋４ｋ) ２乗して ｋ2＋４ｋ＋４＝９(ｋ2＋４ｋ) ８ｋ2＋３２ｋ−４＝０ ２ｋ2＋８ｋ−１＝０ これを ｋ＞０ で解くと ｋ＝(−４＋３√２)/２ |
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