まりさんからの質問１

部分積分の公式

問題１
曲線 y＝x＋2sinx と x軸 、および直線 x＝2π で囲まれた部分の面積を求めよ。
また、その部分を x軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。

解答１
　ｙ’＝１＋2cosｘ
より、ｙ’＝０ となるのは x=2π/3、4π/3 および、それに2πの整数倍を加えた数。
よって、０≦ｘ≦2π の範囲での増減表は

となり、4π/3−√3＞０ より、y＝x＋2sinx のグラフはこの範囲で常にｙ≧０です。
（ｘ軸と 原点以外で交わらない→面積を求めるのに積分するだけで良い）
さらに、ｆ（ｘ）＝x＋2sinx とすると、ｆ（ｘ＋2π)＝ｆ（ｘ）＋2π なので、ｘが2πより大きい部分で
ｘ軸と交わることもない。
また、f(-x)＝-f(x) より、このグラフは原点について対称であるので、ｘ＜０の範囲でも、
ｘ軸と交わることはない。

以上より、求める面積Ｓは、
　Ｓ＝∫_0〜2π(x＋2sinx)dx＝［ｘ²/2−2cosｘ］_0〜2π＝2π²

回転体の体積Ｖは、
　Ｖ＝π∫_0〜2πｙ²dx＝π∫_0〜2π(x＋2sinx)²dx
　　＝π∫_0〜2π(ｘ²＋4ｘsinｘ＋4sin²ｘ)dx
　∫_0〜2πｘ²dx＝[ｘ³/3]_0〜2π＝8π³/3
　∫_0〜2π4ｘsinｘdx＝-4∫_0〜2πｘ(cosｘ)’dx＝-4[ｘcosｘ]_0〜2π＋4∫_0〜2πcosｘdx
　　　＝-4[ｘcosｘ]_0〜2π＋4[sinｘ]_0〜2π＝-8π
　∫_0〜2π4sin²ｘdx＝∫_0〜2π2(1−cos２ｘ)dx＝[2ｘ−sin２ｘ]_0〜2π＝4π
よって、
　Ｖ＝π(8π³/3−4π)＝8π⁴/3−4π²

問題２
自然数nに対し、I_n＝∫_1〜e(logx)ⁿ dxとおく。
部分積分法を使ってI_n＝e−nI_n-1を示せ。またI₁, I₂, I₃, I₄ を求めよ。

解答２
　上の公式において、f(x)＝ｘ、g(x)＝(logx)ⁿ　とおく。
　I_n＝∫_1〜e(logx)ⁿdx＝∫_1〜eｘ’(logx)ⁿdx
　　　＝[ｘ(logx)ⁿ]_1〜e−∫_1〜eｘ{(logx)ⁿ}’dx
一方
　{(logx)ⁿ}’＝n(logx)^n-1×(logｘ)’＝n(logx)^n-1/ｘ
より、
　I_n＝[ｘ(logx)ⁿ]_1〜e−∫_1〜en(logx)^n-1dx
　　＝ｅ−n∫_1〜e(logx)^n-1dx
　　＝e−nI_n-1　　・・・　答１

　I₁＝∫_1〜elogxdx＝∫_1〜eｘ’logxdx＝[ｘlogｘ]_1〜e−∫_1〜eｘ・(1/x)dx
　　＝[ｘlogｘ]_1〜e−[ｘ]_1〜e＝１
　I₂＝ｅ−2I₁＝ｅ−２
　I₃＝ｅ−3I₂＝ｅ−3(ｅ−２)＝−２ｅ＋６
　I₄＝ｅ−4I₃＝ｅ−4(−２ｅ＋６)＝９ｅ−２４

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