YK さんからの質問１
問題
半径rの球の体積が4πr³/3であることの証明を積分を使って行う方法を解説してください。

解答

図のように、ｘ軸に垂直な面で、球を細かく切ります。
切る幅が微小なとき、その１つ１つは円柱と考えられます。
位置ｘにおける円柱の半径ｙ、厚さ（＝高さ）dx とすると、
　ｙ＝√(ｒ²−ｘ²)
より、円柱の体積は、
　πｙ²dx＝π(ｒ²−ｘ²)dx
これをｘ＝０からｘ＝ｒまで積分して２倍すると、球の体積になります。
　

算数・数学の部屋に戻る