アナニャさんからの質問１

問題
　ｔ の関数 ｃ について
　　dc/dt＝αS−βｃ
　のような関係がある。α、β、Ｓ はいずれも定数であるとき、関数 ｃ＝f(t) を求めよ。
　ただし、f(0)＝０ とする。
解答
(1) β＝０ のとき
　dc/dt＝αＳ　（一定）　より、
　ｃ＝αＳｔ＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
　ｔ＝０　のとき　ｃ＝０　より、Ｃ＝０
　よって、　ｃ＝f(t)＝αＳｔ
(2) β≠０ のとき
　dc/dt＝αS−βｃ を変形して
　　dc/(αS−βｃ)＝ｄｔ
　両辺積分して、
　　log|αS−βｃ|＝−βｔ＋Ｃ₁　(Ｃ₁ は積分定数)
　　αS−βｃ＝±ｅ^{−βｔ＋Ｃ₁}＝Ｃ₂ｅ^−βｔ
　よって、
　　ｃ＝Ｃ₃ｅ^−βｔ＋αＳ/β
　ｔ＝０　のとき　ｃ＝０　より、Ｃ₃＝−αＳ/β
　よって、
　　ｃ＝αＳ(−ｅ^−βｔ＋１)/β

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