質問・問題に答えるコーナー(微分法とその応用)

分野 質問された方 掲載日 質問内容　答えは質問者のお名前をクリック
微分 ＴＡＮＥさん８ 2000/12/31

ｙ＝ｘ2で表される放物線をＣとする。
　０≦ｔ≦２と し、放物線Ｃ上の点（ｔ、ｔ2）における接線、直線ｘ＝２、 およびｘ軸により囲まれる部分
　の面積をＦ（ｘ）と表すことにする。
　 このとき、
　　Ｆ（ｘ）＝（ア）ｔ3−（イ）ｔ2＋（ウ）ｔ
　よって、
　　ｔ＝（エ）
　のとき、Ｆ （ｘ）は最大値（オ）をとる。
微分 ＴＡＮＥさん８ 2000/12/31

点Ｐは曲線ｙ＝ｘ2−２ｘ＋４の上を動き、点Ｑは直線ｙ＝２ｘ−５上を動くものとすると、
　線分ＰＱの長さの最小値は（カ）である。
　また、ＰＱの長さが（カ）となるのは、Ｐの座標が（キ、ク）でＱの座標が（ケ、コ）のときである。
サイクロイド じゅんさん 2000/01/14 半径２の円の中に、半径１の円が、円周沿いを回転しながらすべることなく移動します。
小さい方の円の一点Pは、最初大きい円と接してます。回転しながら移動すると、点Pは、どのような動きをしますか？
また、半径１を半径０．５にするとどうなるでしょうか？
極限値 ガーボンさん 2001/08/05 　ｙ＝（ax3+bx2+cx+d)/(x2-x-2)
が
　lim[x→∞]ｙ=1, lim[x→2]ｙ=0
を満たすときのa,b,c,d(定数）の値を求めよ。
微分 壺月さん３ 2002/02/04 x軸上の点P(a,0)から曲線y=e5xへ引いた接線の接点をQ、
Pから曲線y=5e-xヘ引いた接線の接点をRとする。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)Qのx座標はa+([1]/[2])である。
(2)△PQRの面積はa=-([3]/[4])loge[5]のとき最小値をとる。
微分 メソポタミアリズム☆さん１ 2002/05/06 a,bを定数とする。
関数f(x)=x3+ax2+bx は x=1 で極大となり、極小値は０である。
このときのa,b,f(x)の極大値，極小値を取るxの値をそれぞれ求めなさい。
微分 miyukiさん１ 2002/06/01 区間[０，２π]において、関数 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ２ｘ の極値を求めよ。
２次曲線 うっしーさん１ 2002/07/07 x2−2xy＋2y2＝1　のグラフはどんな形か？
微分 高２さん２ 2002/09/14 関数f(x)=x3-3a2xの0≦x≦1における最大値、最小値を求めよ。
ただし、a＞0とする。
微分 高２さん１ 2002/09/14 2つの曲線 y=3x2(x≧0), y=1/3(x-4)2 (x≧0) と x軸で囲まれた図形をDとする。
D内にあり、1辺がx軸上にある長方形の面積の最大値を求めよ。
微分 トンボちゃんさん１ 2002/10/06 (1)f(x)=x3＋2x2＋1の極大値と極小値が、g(x)=x3＋3px＋qの極大値と極小値に、それぞれ等しい。実数p,qの値を求めよ。
(2)f(x)=x3-2x2,g(x)=-x2＋x＋aとする。x≧-1のどのようなx1,x2にたいしてもf(x1)≧g(x2)となる実数の定数aの値の範囲を求めよ。
微分 柳家さん１０ 2002/10/30 問題１
Oを原点とする座標平面上に放物線C１：ｙ＝−1/4ｘ2＋1/4ｘ＋３と直線ｌ：３ｘ＋4ｙ-12＝0がある。
C1と ｌ は２点A（０，３）　B（４，０）で交わる。
３点A,B,Oを通る円C2の中心の座標は（２、3/2）、半径は5/2である。
ｌ と C1 によって囲まれた部分（境界を含む）をD、
C2の周および内部が ｌ によって分割される二つの部分のうち、Oを含む部分（境界を含む）をEとする。
(1)DまたはEを点（ｘ、ｙ）が動くとき、３ｘ+４ｙは
　ｘ＝□、ｙ＝□
のとき最大値□をとる。また、最小値は□である。
（２）点Pが領域Dを、点Qが領域EをA,B,P,Qが四角形の頂点となるように動くとき、
四角形APBQの面積の最大値は□である。

問題２
放物線　C：ｙ＝-ｘ2+1　（ｘ＞０）　の上の点P（ｘ、ｙ）における接線をｔ、
それに直交しPを通る直線を ｌ とする。
(1) ｌ と ｘ軸との交点のｘ座標が最小となるときの点Pをもとめよ。
(2) このとき、ｔ と ｌ とｘ軸とで囲まれた図形の面積をもとめよ。
微分 まりさん２ 2002/11/24 次の関数のグラフを、凹凸、変曲点まで調べてかけ。
(1) y=xe-x2/2
(2) y=x2logx
(3) y=2x-1/x2
微分 紅さん３ 2003/03/31 ｆ(x)=x3+kx2+x+1　が　x＞0　の領域で極小値をもつような定数kの値の範囲を求めよ。
微分 紅さん４ 2003/03/31 方程式x3+px+q=0（ただしｐとｑは実数）が、３つのお互いに異なる実数解をもつための必要十分条件を求めよ。
微分 まりさん３ 2003/05/01 (1) f(x)=log(1-x2) をマクローリン展開せよ。
(2) (1) のf(x)で、対数微分法によってf'(x)を求めよ。
(3) F(x)=x2log(1+x) において
　f(x)=x2, g(x)=log(1+x) として、Leibnizの公式を使うことにより　F(n)(x)を求めよ。

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