まりさんからの質問３

問題
(1) f(x)=log(1-x²) をマクローリン展開せよ。
(2) (1) のf(x)で、対数微分法によってf'(x)を求めよ。
(3) F(x)=x²log(1+x) において
　f(x)=x², g(x)=log(1+x) として、Leibnizの公式を使うことにより　F⁽ⁿ⁾(x)を求めよ。

解答
(2)
普通にf(x) を微分すると
　f'(x)＝(1-x²)’/(1-x²)＝-2x/(1-x²)
となりますが、
　f(x)＝log(1+x)(1-x)＝log(1+x)＋log(1-x)
であることを利用すると、
　f'(x)＝1/(1+x) − 1/(1-x)
となります。

(1) このことを利用すると、
　f"(x)＝-1/(1+x)² − 1/(1-x)²
　f⁽³⁾(x)＝2/(1+x)³ − 2/(1-x)³
　　　・・・・・・
　f⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)^n-1(n-1)！/(1+x)ⁿ − (n-1)！/(1-x)ⁿ
よって、
　f(0)＝0, f'(0)＝0, f"(0)＝-2, f⁽³⁾(0)＝0, f⁽⁴⁾(0)＝-12, ・・・
となり、自然数ｎについて、
　ｎが奇数のとき　f⁽ⁿ⁾(0)＝0
　ｎが偶数のとき　f⁽ⁿ⁾(0)＝-2・(n-1)！
マクローリン展開の公式より
　f(x)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋f"(0)ｘ²/２！＋・・・・＋f⁽ⁿ⁾(0)ｘⁿ/ｎ！＋・・・
　　＝Σ_k=1〜∞f^(2k)(0)ｘ^2k/(2k)！
　　＝−2Σ_k=1〜∞(2k-1)！ｘ^2k/(2k)！
　　＝−2Σ_k=1〜∞ｘ^2k/2k

(3)
Leibnizの公式より、
　F⁽ⁿ⁾(x)＝Σ_r=0〜n nＣr・ｆ^(n-r)(x)ｇ^(r)(x)
　f'(x)＝2x, f"(x)＝2 で３階以上の微分は f^(r)(x)＝０ であるので、
　F'(x)＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)＝2xlog(1+x)＋x²/(1+x)
　F"(x)＝f"(x)g(x)＋2f'(x)g'(x)＋f(x)g"(x)＝2log(1+x)＋4x/(1+x)−x²/(1+x)²
ｎ≧３ である自然数ｎに対して
　F⁽ⁿ⁾(x)＝nＣ2・f"(x)g^(n-2)(x)＋nＣ1・f'(x)g^(n-1)(x)＋nＣ0・f(x)g⁽ⁿ⁾(x)
ここで、
　g'(x)＝1/(1+x), g"(x)＝-1/(1+x)², g⁽³⁾(x)＝2/(1+x)³, ・・・ , g⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)^n-1(n-1)！/(1+x)ⁿ
より、
　F⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)^n-1(n-3)！(2x²＋2nx＋n²−n)/(1+x)ⁿ

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