問題
2つの曲線 y=3x2(x≧0), y=1/3(x-4)2 (x≧0) と x軸で囲まれた図形をDとする。
D内にあり、1辺がx軸上にある長方形の面積の最大値を求めよ。
解答
グラフは以下のようになります。
図のようにｘ1，ｘ2 を決めると、
ｘ1＝√(3ｙ)/3
ｘ2＝４−√(3y)
と書けます。
長方形の面積Ｓは
Ｓ＝(ｘ2-ｘ1)ｙ＝(４−４√(3y)/3)ｙ
＝４ｙ−(４√3/３)ｙ3/2
ｚ＝√ｙ とおいて、０＜ｚ＜√３ でのＳの最大値を求めると、
Ｓ(z)＝４ｚ2−(４√3/３)ｚ3
Ｓ'(z)＝８ｚ−４√3ｚ2
Ｓ'(z)＝０ となるのは、ｚ＝０，２√３/３ のとき。増減表は、