問題１
Oを原点とする座標平面上に放物線C１：ｙ＝−ｘ2/4＋x/4＋３と直線 ｌ ：3x＋4ｙ-12＝0がある。
C1と ｌ は２点A（０，３） B（４，０）で交わる。
３点A,B,Oを通る円C2の中心の座標は（２、3/2）、半径は5/2である。
ｌ と C1 によって囲まれた部分（境界を含む）をD、
C2の周および内部が ｌ によって分割される二つの部分のうち、Oを含む部分（境界を含む）をEとする。
(1)DまたはEを点（ｘ、ｙ）が動くとき、３ｘ+４ｙは
ｘ＝□、ｙ＝□
のとき最大値□をとる。また、最小値は□である。
（２）点Pが領域Dを、点Qが領域EをA,B,P,Qが四角形の頂点となるように動くとき、
四角形APBQの面積の最大値は□である。
解答１
(1)
直線ｍ：３ｘ＋４ｙ＝ｋ
とおきます。ｋ がいろいろ変わるとき、直線ｍ のグラフは ｌ に平行な状態で
上下に動きます。このとき、ｙ切片は ｋ/４
直線ｍが領域ＤまたはＥと共有部分を持ちながら変化するとき、ｙ切片が
最大（最小）のとき ｋ が最大（最小）になります。
図において、直線ｍが点Ｐを通るとき ｋ が最大、点Ｑを通るとき ｋ が最小になります。
＜Ｐを求める＞
ｙ＝−ｘ2/4＋x/4＋３
の接線で、傾きが−３/４ のものを見つけます。
ｙをｘで微分して、
ｙ’＝−ｘ/２＋１/４
ｙ’＝−３/４ より、ｘ＝２
このとき ｙ＝５/２
よって、Ｐの座標 (２，５/２)
このとき
３ｘ＋４ｙ＝１６・・・最大値
＜Ｑを求める＞
C2 の中心をＦとし、図のように直角三角形ＦＧＱを作ると、
ＦＱ＝5/2、ＦＧ：ＧＱ＝４：３ より
ＦＧ＝２，ＧＱ＝3/2
よって、Ｑのｘ座標：２−3/2＝1/2、Ｑのｙ座標：3/2−２＝-1/2
このとき、
３ｘ＋４ｙ＝-1/2・・・最小値
(2)
△ＡＢＰと△ＡＢＱに分けて、それぞれが最大となることを考えます。
ＡＢを底辺として、出来るだけＡＢから遠い位置にＰ、Ｑを置けば、面積最大となりますが、
それらは、上の図のＰ、Ｑにあたります。
△ＡＢＱのＡＢを底辺としたときの高さは ＦＱ＝5/2 とわかっていますので、ここでは、
△ＡＢＰの高さを求めます。
（解き方１）
点Ｐを通り ｌ に平行な直線を ｎ とし、点Ａから直線 ｎ に垂線ＡＨをおろします。
また、直線 ｎ のｙ切片をＩ：（０，４）とします。
ＡＩ＝１，ＡＨ：ＨＩ：ＩＡ＝４：３：５ より、ＡＨ＝4/5・・・高さ
（解き方２）
点Ｐ： (２，５/２) から 直線 ｌ ：3x＋4ｙ-12＝0 までの距離は、公式より
|３・２＋４・(5/2)−１２|/√(32+42)＝4/5・・・高さ
また、ＡＢ＝√(32+42)＝５
以上より、
△ＡＢＰ＝５×4/5÷２＝２
△ＡＢＱ＝５×5/2÷２＝25/4
四角形ＡＰＢＱの面積＝２＋25/4＝33/4
問題２
放物線 C：ｙ＝-ｘ2+1 （ｘ＞０） の上の点P（ｘ、ｙ）における接線をｔ、
それに直交しPを通る直線を ｌ とする。
(1) ｌ と ｘ軸との交点のｘ座標が最小となるときの点Pの座標を求めよ。
答 P（√6/6、5/6）
(2) このとき、ｔ と ｌ と ｘ軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。
答 125√6/432
解答２
(1)
ｙ’＝-2x
より、ｔの傾きは -2x。
ｘ＞０ より l の傾きは 1/2x。
点Ｐの座標を（a，-a2+1） とおくと、点Ｐにおける ｌ の傾きは 1/2a。
ｌ の式は
ｙ＝(x-a)/2a-a2+1
この直線とｘ軸との交点のｘ座標は、ｙ＝０ とおいて
x=2a3-a
ｘ を a で微分すると、
dx/da = 6a2-1
dx/da=0 となるのは a=±√6/6
増減表を書くと
