問題
a,bを定数とする。
関数f(x)=x3+ax2+bx は x=1 で極大となり、極小値は０である。
このときのa,b,f(x)の極大値，極小値を取るxの値をそれぞれ求めなさい。
解答
まず、f(x) には、定数項がないので、f(0)=0 であることがわかる。
つまり、y=f(x) のグラフは原点を通る。
さらに極小値が０であることより、y=f(x) のグラフは、以下の２通りが
考えられるが、ｘ＝１で極大となることより、左の方のグラフは不可である。
これより f(x) は、
f(x)＝ｘ(ｘ−α)2
の形になる。展開して
f(x)＝ｘ3−２αｘ2＋α2ｘ
微分して、
f'(x)＝３ｘ2−４αｘ＋α2
f'(1)＝0 より、
f'(1)＝α2−４α＋３＝（α−１）（α−３）＝０
より、 α＝１，３
α＞１より、α＝３
よって、
f(x)＝ｘ3−６ｘ2＋９ｘ
であるので、
答：ａ＝−６，ｂ＝９，ｘ＝１で極大、ｘ＝３で極小
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