ガーボンさんからの質問

問題
　ｙ＝（ax³+bx²+cx+d)/(x²-x-2)
が
　lim[x→∞]ｙ=1, lim[x→2]ｙ=0
を満たすときのa,b,c,d(定数）の値を求めよ。

解答
ｘ→∞ のとき、０でない値に収束するには、分子分母が同じ次数でなければならないので、
　ａ＝０
　ｙ＝（bx²+cx+d)/(x²-x-2)
において、分子分母を ｘ² で割って、
　ｙ＝（b+c/x+d/x²)/(1-1/x-2/x²)
ｘ→∞ のとき、ｙ→ｂ なので、ｂ＝１
分母は
　x²-x-2＝(x-2)(x+1)
にもかかわらず、ｘ→2 で ｙ→0 になるということは、
分子も (x-2) で割り切れる。
　x²+cx+d＝(x-2)(x+α)
とおくと、
　ｙ＝(x+α)/(x+1)
　ｘ→2 で、ｙ→(2+α)/3
よって、
　(2+α)/3=0
より、
　α＝-2
　x²+cx+d＝(x-2)²＝x²-4x+4
　よって、ｃ＝−４、ｄ＝４

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