壺月さんからの質問３

問題
x軸上の点P(a,0)から曲線y=e^5xへ引いた接線の接点をQ、
Pから曲線y=5e^-xヘ引いた接線の接点をRとする。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)Qのx座標はa+([1]/[2])である。
(2)△PQRの面積はa=-([3]/[4])log_e[5]のとき最小値をとる。

解答
(1)
Ｑの座標を(k, e^5k) とします。点Ｑにおける接線の傾きは
　y'=5e^5x
より、5e^5k となり、接線の式は
　ｙ＝5e^5k(ｘ−ｋ)＋e^5k
これが、点Ｐ(a, 0) を通ることより、
　5e^5k(ａ−ｋ)＋e^5k＝０
両辺 e^5k（≠０）で割って、
　5(ａ−ｋ)＋１＝０
　ａ−ｋ＝-1/5
　ｋ＝ａ＋１／５　・・・　[1]/[2] の答え

(2)
Ｒの座標を(t, 5e^-t) とします。点Ｒにおける接線の傾きは
　y'=-5e^-x
より、-5e^-t となり、接線の式は、
　ｙ＝-5e^-t(x-t)＋5e^-t
これが、点Ｐ(a, 0) を通ることより、
　-5e^-t(a-t)＋5e^-t＝０
両辺 -5e^-t(≠０)で割って、
　ａ−ｔ＝１
　ｔ＝ａ−１
よって、点Ｑ、Ｒの座標は、
Ｑ：(a+1/5, e^5a+1)、Ｒ： (a-1, 5e^-a+1)
よって、ＰＱ＝(1/5, e^5a+1)、ＰＲ＝(-1, 5e^-a+1)　太字はベクトル
２△ＰＱＲ＝1/5×5e^-a+1−(-1)e^5a+1　　こちらを参照
　＝e^-a+1＋e^5a+1
　f(a)＝e^-a+1＋e^5a+1
とおく。
　f'(a)=-e^-a+1＋5e^5a+1
f'(a)＝０となるのは
　e^-a+1＝5e^5a+1
のとき。
　５＝ｅ^log5　logの底はe
より、
　e^-a+1＝e^5a+1+log5
　-a+1＝5a+1+log5
　6a＝-log5
　ａ＝-(1/6)log_e5　・・・　-([3]/[4])log_e[5] の答え

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