ＴＡＮＥさんからの質問８

問題
(1) ｙ＝ｘ2で表される放物線をＣとする。
　０≦ｔ≦２と し、放物線Ｃ上の点（ｔ、ｔ2）における接線、直線ｘ＝２、 およびｘ軸により囲まれる部分
　の面積をＦ（ｘ）と表すことにする。
　 このとき、
　　Ｆ（ｘ）＝（ア）ｔ3−（イ）ｔ2＋（ウ）ｔ
　よって、
　　ｔ＝（エ）
　のとき、Ｆ （ｘ）は最大値（オ）をとる。
(2) 点Ｐは曲線ｙ＝ｘ2−２ｘ＋４の上を動き、点Ｑは直線ｙ＝２ｘ−５上を動くものとすると、
　線分ＰＱの長さの最小値は（カ）であ る。
　また、ＰＱの長さが（カ）となるのは、Ｐの座標が（キ、ク）でＱの座標が（ケ、コ）のときである。

(3) ｓｉｎθ＋７ｃｏｓθが最大となるのは、ｔａｎθ＝( サ） のときで、その最大値は（シ）である。

解答　
(1)

　g（ｘ）＝ｘ2
とおくと、
　g’（ｘ）＝２ｘ
よって、点（ｔ，ｔ2）における接線の式は、
　ｙ＝２ｔ（ｘ−ｔ）＋ｔ2　・・・(i)
(i) にｘ＝２を代入して、
　ｙ＝２ｔ（２−ｔ）＋ｔ2＝４ｔ−ｔ2
より、(i) と直線ｘ＝２との交点は、
　（２，４ｔ−ｔ2）
また、(i) にｙ＝０を代入して、
　０＝２ｔ（ｘ−ｔ）＋ｔ2
ｔ＝０のときは、面積は０となるのでｔ≠０も条件下でこれを解くと、
　ｘ＝ｔ/２
よって、面積は
　Ｆ（ｘ）＝（２−ｔ/２）（４ｔ−ｔ2）／２
　　　　＝ｔ3/４−２ｔ2＋４ｔ　・・・(ア)＝1/4、(イ)＝２、(ウ)＝４
Ｆ（ｘ）をｘで微分して、
　Ｆ’（ｘ）＝３ｔ2/４−４ｔ＋４
　Ｆ’（ｘ）＝０となるのは、ｘ＝4/3、４
０≦ｘ≦２ の範囲で増減表を書くと
ｘ ０ 4/3 ２
Ｆ’（ｘ） ＋ ＋ ０ − −
Ｆ（ｘ） ０ 増 64/27 減 ２
よって、ｘ＝4/3 のとき、Ｆ（ｘ）は最大値 64/27 をとる。
(エ)＝4/3、(オ)＝64/27

(2)

直線 ｙ＝２ｘ−５ と平行な直線を、図のように
曲線 ｙ＝ｘ2−２ｘ＋４ と接するように引いたとき、そのときの
接点をＰ、Ｐから直線 ｙ＝２ｘ−５ に下ろした垂線の足をＱとするとき、
線分ＰＱの長さｄは最小になる。
　ｙ＝ｘ2−２ｘ＋４
を微分して、
　ｙ’＝２ｘ−２
　ｙ’＝２ となるのは、ｘ＝２のとき。
よって、点Ｐを（２，４）にとる。・・・（キ、ク）
直線ＰＱの傾きは、−１／２なので、直線ＰＱの式は、
　ｙ＝−（ｘ−２）／２＋４
　ｙ＝−ｘ／２＋５
　ｙ＝２ｘ−５ との交点を求めると、Ｑ：（４，３）・・・（ケ、コ）
よって、ＰＱの長さは、
　√{(４−２)2＋(３−４)2}＝√５・・・(カ)

別解
　この問題では、点Ｑの座標まで答えさせているので、上記のように解いたが、
ＰＱの長さだけをきく問題であれば、ｙ＝２ｘ−５ を ２ｘ−ｙ−５＝０ と変形して、
点と直線までの距離の公式より、
　　ＰＱ＝|２・２−４−５|／√(２2＋１2)＝√５・・・(カ)
としてもよい。

(3)
ｆ（θ）＝ｓｉｎθ＋７ｃｏｓθ　とおく。
sinφ＝７／√50、 cosφ＝１／√50 となるような角度φをとると、
　ｆ（θ）＝√50(sinθcos φ＋cosθsinφ)
　　　　＝√50sin(θ＋φ)
とかける。
sin(θ＋φ)＝１ のとき、ｆ（θ）は最大値 √50 となる。
つまり θ＋φ＝π/2＋２ｎπ　（ｎは整数） のときであるが、このとき、
　θ＝π/2−φ＋２ｎπ
tanθ＝tan(π/2−φ)＝cotφ＝cosφ/sinφ＝１／７
よって、tanθ＝１／７ のとき、最大値 √50 をとる。・・・(サ)(シ)

ただし、tanθ＝１／７ のとき、必ずしも最大にはならないことは、念頭に置いておく必要がある。
この問題では、「最大となる」ことを前提に話をしているので一応これでも良いが、最小値もまた、
tanθ＝１／７のときに現れる。

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