TANEさんからの質問8

問題
(1) y=x2で表される放物線をCとする。
 0≦t≦2と し、放物線C上の点(t、t2)における接線、直線x=2、 およびx軸により囲まれる部分
 の面積をF(x)と表すことにする。
  このとき、
  F(x)=(ア)t3−(イ)t2+(ウ)t
 よって、
  t=(エ)
 のとき、F (x)は最大値(オ)をとる。
(2) 点Pは曲線y=x2−2x+4の上を動き、点Qは直線y=2x−5上を動くものとすると、
 線分PQの長さの最小値は(カ)であ る。
 また、PQの長さが(カ)となるのは、Pの座標が(キ、ク)でQの座標が(ケ、コ)のときである。

(3) sinθ+7cosθが最大となるのは、tanθ=( サ) のときで、その最大値は(シ)である。

解答 
(1)

 g(x)=x2
とおくと、
 g’(x)=2x
よって、点(t,t2)における接線の式は、
 y=2t(x−t)+t2 ・・・(i)
(i) にx=2を代入して、
 y=2t(2−t)+t2=4t−t2
より、(i) と直線x=2との交点は、
 (2,4t−t2
また、(i) にy=0を代入して、
 0=2t(x−t)+t2
t=0のときは、面積は0となるのでt≠0も条件下でこれを解くと、
 x=t/2
よって、面積は
 F(x)=(2−t/2)(4t−t2)/2
    =t3/4−2t2+4t ・・・(ア)=1/4、(イ)=2、(ウ)=4
F(x)をxで微分して、
 F’(x)=3t2/4−4t+4
 F’(x)=0となるのは、x=4/3、4
0≦x≦2 の範囲で増減表を書くと
4/3
F’(x)
F(x) 64/27
よって、x=4/3 のとき、F(x)は最大値 64/27 をとる。
(エ)=4/3、(オ)=64/27

(2)

直線 y=2x−5 と平行な直線を、図のように
曲線 y=x2−2x+4 と接するように引いたとき、そのときの
接点をP、Pから直線 y=2x−5 に下ろした垂線の足をQとするとき、
線分PQの長さdは最小になる。
 y=x2−2x+4
を微分して、
 y’=2x−2
 y’=2 となるのは、x=2のとき。
よって、点Pを(2,4)にとる。・・・(キ、ク)
直線PQの傾きは、−1/2なので、直線PQの式は、
 y=−(x−2)/2+4
 y=−x/2+5
 y=2x−5 との交点を求めると、Q:(4,3)・・・(ケ、コ)
よって、PQの長さは、
 √{(4−2)2+(3−4)2}=√5・・・(カ)

別解
 この問題では、点Qの座標まで答えさせているので、上記のように解いたが、
PQの長さだけをきく問題であれば、y=2x−5 を 2x−y−5=0 と変形して、
点と直線までの距離の公式より、
  PQ=|2・2−4−5|/√(22+12)=√5・・・(カ)
としてもよい。

(3)
f(θ)=sinθ+7cosθ とおく。
sinφ=7/√50、 cosφ=1/√50 となるような角度φをとると、
 f(θ)=√50(sinθcos φ+cosθsinφ)
    =√50sin(θ+φ)
とかける。
sin(θ+φ)=1 のとき、f(θ)は最大値 √50 となる。
つまり θ+φ=π/2+2nπ (nは整数) のときであるが、このとき、
 θ=π/2−φ+2nπ
tanθ=tan(π/2−φ)=cotφ=cosφ/sinφ=1/7
よって、tanθ=1/7 のとき、最大値 √50 をとる。・・・(サ)(シ)

ただし、tanθ=1/7 のとき、必ずしも最大にはならないことは、念頭に置いておく必要がある。
この問題では、「最大となる」ことを前提に話をしているので一応これでも良いが、最小値もまた、
tanθ=1/7のときに現れる。

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