ヨッシーの八方掲示板

2008年01月の投稿ログ

35829．お願いします

名前：優未日付：1月31日(木) 22時38分

aを正の定数とする。
放物線Ｐ：y=ax^2上の動点Ａを中心とし、x軸に接する円をＣとする。
動点Ａが放物線Ｐ上のすべての点を動くとき、座標平面上でy＞0の表す領域において、どの円Ｃの内部にも含まれない点がある。
この点の集まりを図示せよ。

この問題が分かりません。X軸Y軸両方に接する円を求めたり色々したのですが分かりませんでした。
ヒントや解法の手順などでもかまいませんのでよろしくお願いします。

	35833．Re: お願いします
	名前：みっちぃ日付：2月1日(金) 0時43分
	こういった領域を図示する求める問題では，「点の座標を(X,Y)と置く」→「問題の条件に合うX，Yの関係式を不等式などで求める」→「図示」の流れを取ります。軌跡の方法とかなり似てますね。この問題では，『(X,Y)が円Ｃの内部にも含まれない…(※)』を満たすようなX，Yの関係式を作ります。ただし，今はY>0のときのみを考えます。円の中心が(t，at^2)の円の内部をD(t)とすると，半径はat^2なので D(t)：(x-t)^2+(y-at^2)^2<at^2 ⇔ x^2+y^2 -2tx -2at^2y +t^2<0です。さて，ここで… (※) ⇔「(X，Y)がどのtに対してもD(t)に含まれない」 ⇔「(X，Y)がどのtに対してもX^2+Y^2-2tX-2at^2Y+t^2≧0となる」と言い換える事ができます。てことで，全てのtに対して (1-2aY)t^2 -2Xt +(X^2+Y^2)≧0となるようなX，Yの関係式を求めればよい事になります。答えはある円の「周と内部-原点」になるハズです。

	35840．Re: お願いします
	名前：ヨッシー日付：2月1日(金) 18時0分
	図だけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35842．Re: お願いします
	名前：優未日付：2月1日(金) 20時38分
	みっちぃさんありがとうございます♪解き方も勉強になりました。みっちぃさんの教えのとおりにやってみますね。ヨッシーさん有難う御座います。図はなんか凄く感動しました。

	35844．Re: お願いします
	名前：KYOKO 日付：2月1日(金) 23時31分
	ヨッシー先生、すごいですね。私も感動！なんていう会社に行けば「高等技能学校」で勉強できるのかなあ。1から勉強したいです。尊敬しています。

35828．微分（数Ⅱ）の問題です

名前：デ・カルド 日付：1月31日(木) 22時3分

０以上の実数aに対し，関数f(x)=x^3-3a^2xの-1≦x≦1における最大値をM(a)とする。aがa≧0の範囲を動くときのM(a)の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

	35835．Re: 微分（数Ⅱ）の問題です
	名前：ヨッシー日付：2月1日(金) 6時56分
	f(x)=x^3-3a^2x をｘで微分して、　f'(x)＝3x^2-3a^2 よって、f'(x)＝０を満たすのは　ｘ＝±ａａ≧１のとき(極大、極小が -1≦ｘ≦1 の範囲外) 　M(a)＝f(-1)＝3a^2-1 最小値は２ 0≦ａ≦1 のとき(極大、極小が -1≦ｘ≦1 の範囲内) 　f(-a)＝2a^3 　f(1)＝1-3a^2 のうち、小さくない方が最大値。　2a^3+3a^2-1≧０　(a+1)^2(2a-1)≧０より、ａ≧1/2 のとき、2a^3≧1-3a^2 よって、 0≦ａ≦1/2 のとき M(a)＝1-3a^2　最小値は 1/4 1/2≦ａ≦1 のとき M(a)＝2a^3　最小値は　1/4 以上より、a=1/2 のとき M(a) の最小値は 1/4 　 http://yosshy.sansu.org/

35814．角度

名前：ラディン.ms 日付：1月31日(木) 18時14分

四角形ＡＢＣＤにおいて，
　∠ＤＢＡ＝２０°，∠ＤＢＣ＝６０°，∠ＡＣＢ＝５０°，∠ＡＣＤ＝３０°
であるとき，∠ＡＤＢの大きさを求めよ。

よろしくお願いします。

	35816．Re: 角度
	名前：教得手　学日付：1月31日(木) 19時16分
	図がなくて分かり辛いかもしれませんが、ご容赦を。ＢＡのＡ側の延長線上に∠ＥＣＢ＝60°である点Ｅをとります。ＥＣとＢＤの交点をＦとし、ＡとＦを結んだ図を描いてください。このとき、次のことがいえることを順に確かめていってください。 (1) △ＢＥＣ≡△ＣＤＢ　を経てＤＥ//ＢＣ (2) △ＦＢＣ,△ＥＦＤは正三角形 (3) ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝50°より、ＢＦ＝ＢＣ＝ＢＡ（△ＢＡＦは二等辺三角形） (4) (3)の結果より ∠ＥＦＡ＝180°－∠ＢＡＦ＝180°－80°＝40° 　また　∠ＢＥＡ＝40°だからＡＥ＝ＡＦ (5) (2)(4)の結果を使うと、△ＡＥＤ≡△ＡＦＤ(三辺相等) (6) ゆえに、∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＦ＝∠ＥＤＦ/２＝３０°

	35817．Re: 角度
	名前：ラディン.ms 日付：1月31日(木) 19時36分
	お答えくださりありがとうございます。 > (3) ∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝50°より、ＢＦ＝ＢＣ＝ＢＡ（△ＢＡＦは二等辺三角形）とありますが，△ＢＡＦはなぜ二等辺三角形といえるのですか？

	35819．Re: 角度
	名前：ラディン.ms 日付：1月31日(木) 20時0分
	すみません。自己解決しました。

	35820．Re: 角度
	名前：ラディン.ms 日付：1月31日(木) 20時10分
	すみません。自己解決しました。 >　また　∠ＢＥＡ＝40°だからＡＥ＝ＡＦ ∠ＡＦＥ＝４０°の間違いでしょうか？

	35821．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：1月31日(木) 20時19分
	ＤＣ上に点Ｅを、∠ＣＢＥ＝20°となるように取ると、ＡＢ，ＢＣ，ＢＥ，ＡＥ，ＤＥがいずれも等しく、　∠ＡＤＥ＝70° 　∠ＡＤＢ＝30° となります。図の数字は、10°単位です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35822．Re: 角度
	名前：ラディン.ms 日付：1月31日(木) 20時25分
	ヨッシーさんもありがとうございます。補助線の引き方によって解き方が随分と楽になるものなのですね。。。

	35826．Re: 角度
	名前：教得手　学日付：1月31日(木) 21時53分
	>>　また　∠ＢＥＡ＝40°だからＡＥ＝ＡＦ > ∠ＡＦＥ＝４０°の間違いでしょうか？失礼しました。タイプミスです。 (4) の部分を次のように訂正します。（【】のところが直したところです。） (3)の結果より ∠ＥＦＡ＝180°－∠Ｂ【ＦＡ】＝180°－80°＝40° 　また　∠ＢＥ【Ｆ】＝40°だからＡＥ＝ＡＦ確かに、ヨッシーさんの解法の方がスマートですね。（んっ！？）

35813．二項定理，無限等比級数

名前：酪魔日付：1月31日(木) 18時5分

(3x^2−y)^7 を展開して整理したとき，係数が21 となる項のyの次数を求めよ。という問題で，3^(7-r)・(-1)^r・7Cr=21とおいた後，どうなるかが分かりません。お願いします。
あと、
△OP_1P_2 を二等辺三角形とし，∠O=∠P_1 = θ，OP_1=1 とする。直線OP_1 上に点P_3
を∠OP_2P_3 =θ となるようにとる。次に直線OP_2 上に点P_4 を∠OP_3P_4 =θ となるよ
うにとる。以下，同じようにして，点P_5，P_6，……をとる。
（1）P_nP_(n+1) の長さを求めよ。
（2）無限級数P_1P_2+P_2P_3+……P_nP_(n+1)+……が収束するθ の値の範囲を求め，そのときの和を求めよ。
という問題が分かりません。お願いします。

	35815．Re: 二項定理，無限等比級数
	名前：ヨッシー日付：1月31日(木) 19時9分
	3^(7-r)・(-1)^r・7Cr=21 において、 3^(7-r)、(-1)^r、7Cr いずれも整数であり、 7-r≧2 だと、９の倍数になり、２１にはならないので、ｒ＝６，７のいずれかです。ｒ＝６のとき　3^(7-r)・(-1)^r・7Cr＝3・1・7＝21 ｒ＝７のとき　3^(7-r)・(-1)^r・7Cr＝1・(-1)・1＝-1 より、ｒ＝６(次) となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35818．Re: 二項定理，無限等比級数
	名前：X 日付：1月31日(木) 19時43分
	二問目) (1) 題意から ∠OP[n]P[n+1]=∠O=θ ですので△OP[n]P[n+1]に注目すると P[n]P[n+1]=OP[n+1] (A) 一方、余弦定理により OP[n+1]^2=P[n]P[n+1]^2+OP[n]^2-2OP[n]・P[n]P[n+1]cosθ (B) (A)(B)よりOP[n]についての漸化式ができますので OP[1]=1 の下で解き、結果を(A)に代入します。 (2) (1)の結果を使うと、問題の級数は等比級数となりますので、収束するための公比に対する条件を考えます。

	35823．Re: 二項定理，無限等比級数
	名前：酪魔日付：1月31日(木) 20時32分
	ありがとうございます。１問目については理解できましたが、２問目は余弦定理を使うところまでは分かったのですが、その後がよく分かりません。

	35839．Re: 二項定理，無限等比級数
	名前：X 日付：2月1日(金) 14時19分
	(A)を(B)に代入すると OP[n+1]^2=OP[n+1]^2+OP[n]^2-2OP[n]・OP[n+1]cosθ これより OP[n]^2-2OP[n]・OP[n+1]cosθ=0 OP[n]{OP[n]-2OP[n+1]cosθ}=0 OP[n]≠0ですので OP[n]-2OP[n+1]cosθ=0 ∴OP[n+1]={1/(2cosθ)}OP[n] これは{OP[n]}が公比1/(2cosθ)の等比数列であることを示していますので…。

35804．分数関数の不等式

名前：nori 日付：1月31日(木) 0時25分

二つの関数
y=【4/(x＋2)】
y=2x＋2

【4/(x＋2)】=2x＋2
よりx=0,-3

【4/(x＋2)】≧2x＋2の解が
x≦-3, -2<x≦0となることが分かりません

同様に
【4/(x＋2)】≦2x＋2の解が
-3≦ｘ<-2 ,　0≦x
になることが分かりませんのぢえ教えてください

	35807．Re: 分数関数の不等式
	名前：ヨッシー日付：1月31日(木) 1時20分
	グラフで理解しましょう。青が、4/(x＋2)≧2x＋2 赤が、4/(x＋2)≦2x＋2 を満たす範囲です。ｘ＝－２の点は、いずれにも含まれません。式で解くなら、　4/(x＋2)≧2x＋2 x+2>０つまり、ｘ＞－２のとき、　4≧2(x+1)(x+2) 　2≧x^2+3x+2 　x^2+3x≦０　－３≦ｘ≦０これより　－２＜ｘ≦０ x+2＜０つまり、ｘ＜－２のとき、　4≦2(x+1)(x+2) 　2≦x^2+3x+2 　x^2+3x≧０　ｘ≦－３　または　ｘ≧０これより　ｘ≦－３以上より、　ｘ≦－３　および　－２＜ｘ≦０といった具合です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35825．Re: 分数関数の不等式
	名前：nori 日付：1月31日(木) 21時44分
	【4/(x＋2)】≧2x＋2の解が x≦-3, -2<x≦0となることが分かりません同様に【4/(x＋2)】≦2x＋2の解が -3≦ｘ<-2 ,　0≦x になることが分かりませんのぢえ教えてください x≦-3, -2<x≦0 と-3≦ｘ<-2 ,　0≦xの表れかたがわかりません

35802．化学Ｉ：ヘスの法則

名前：なお　高1 日付：1月30日(水) 21時51分

1.次に示すようなメタンCH4からメタノールCH3OHを生成するときの反応熱ＱKJの値をしたの熱化学方程式1.2を利用して求めよ。
CH4+(1/2)O2=CH3OH(液)+ＱKJ
CH4+2O2=CO2+2H2O(液)+891KJ･･1
2CH3OH(液)+3O2=2CO2+4H2O+1450KJ･･2

2.次の熱化学方程式1～3を利用し、アンモニアNH3の生成熱を表す熱化学方程式を導け。
2H2+O2=2H2O(液)+572KJ･･1
N2+O2=2NO-180KJ･･2
4NH3+5O2=4NO+6H2O+1154KJ･･3

この2問の解き方を教えてください。

	35812．Re: 化学Ｉ：ヘスの法則
	名前：ヨッシー日付：1月31日(木) 8時46分
	これらは、方程式の消去法のような変形で、出来ると思います。 (1) 　CH4+2O2=CO2+2H2O(液)+891KJ･･1 　2CH3OH(液)+3O2=2CO2+4H2O+1450KJ･･2 を　Ａ+2Ｂ=Ｃ+2Ｄ+891　・・・(i) 　2Ｅ+3Ｂ=2Ｃ+4Ｄ+1450　・・・(ii) のように書き換えて、Ｃ、Ｄを消去して、　Ａ+(1/2)Ｂ=Ｅ+Ｑの形にしようという試みです。 (i) を2倍して　2Ａ+4Ｂ=2Ｃ+4Ｄ+1782　・・・(i) (ii) を引いて　2Ａ＋Ｂ－2Ｅ＝332 移項して2で割って　Ａ+(1/2)Ｂ=Ｅ+166 よって、　CH4+(1/2)O2=CH3OH(液)+166KJ となります。 (2) 　2H2+O2=2H2O(液)+572KJ　・・・(i) 　N2+O2=2NO-180KJ　・・・(ii) 　4NH3+5O2=4NO+6H2O+1154KJ　・・・(iii) Ａ、Ｂ、Ｃとおくのを省略すると、 (iii)－2×(ii) 　4NH3+3O2-2N2=6H2O+1514KJ　・・・(iv) (iv)－3×(i) 　4NH3-6H2-2N2=-202KJ 移項して4で割ると　(3/2)H2＋(1/2)N2＝NH3＋50.5KJ 　　 http://yosshy.sansu.org/

35799．微分

名前：みな日付：1月30日(水) 21時31分

次の関数を微分せよ｡
y＝(sin)^x(0<x<π)

どなたかお願いします！

	35801．Re: 微分
	名前：らすかる日付：1月30日(水) 21時51分
	sinは関数名ですからsinをx乗することはできません。もしも (sin)^x が (sinx)^2 の意味ならば y'=2・sinx・(sinx)' =2sinxcosx =sin2x となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35793．教えてください。

名前：KYOKO 日付：1月30日(水) 19時49分

又お邪魔します。兄に、夕べの問題を見せようと、ずっと探して
いるのですが。どこか、分からなくなりました。教えてください。
ヨッシー先生の「【コメント】
　みごと正解です。
【問題１】は、慶應義塾中等部の入試問題の数値を変えたものです。
具体的な数値が与えられているし、理由は問われないとはいえ、これを解ける小学生はすごいですねぇ。」と書かれているところです。
ノートの分配です。よろしくお願いします。まだ。見慣れていなくて
すみません。

	35796．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：1月30日(水) 20時18分
	私のページの中ではありませんね。こちらの解答だと思います。コメントは、当ＨＰ管理者の青木さんです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35831．Re: 教えてください。
	名前：KYOKO 日付：1月31日(木) 23時20分
	ご迷惑おかけしました。コピーしたのですが、抜けているところがあったので、探していました。有難うございました。

35789．逆関数

名前：nori 日付：1月30日(水) 16時54分

f(x)=(x＾2)-4(x≧0)について

(1)y=f(x)とy=【f＾(-1)】(x)のグラフの交点の座標を求めなさい
y=【f＾(-1)】(x)が分かりません。

	35790．Re: 逆関数
	名前：X 日付：1月30日(水) 17時46分
	y=x^2-4 とすると x^2=y+4 条件よりx≧0ですので x=√(y+4) ∴f^(-1)(x)=√(x+4) です。

	35794．Re: 逆関数
	名前：nori 日付：1月30日(水) 20時16分
	f^(-1)(x)が分かりません

	35806．Re: 逆関数
	名前：nori 日付：1月31日(木) 0時27分
	√(x+4)＝(x＾2)-4 からどのようにxを求めるのか教えてください

	35808．Re: 逆関数
	名前：七日付：1月31日(木) 1時58分
	y=f(x)とy=f^－1(x) のグラフは直線y＝xについて対称ですから，交点も直線y＝x上にあります。 y＝x²－4 と y＝√(x+4) を連立して x²－4＝√(x+4) を解こうとするより交点の座標を(t，t)とおくと t＝t²－4 または t＝√(t+4) を解く方が簡単です。

	35809．Re: 逆関数
	名前：七日付：1月31日(木) 2時8分
	書き忘れました。 t＝√(t+4) の方はt≧0ですから問題ないのですが t＝t²－4 の解のうち，t≧0 を満たす方が交点のx(y)座標です。

	35827．Re: 逆関数
	名前：nori 日付：1月31日(木) 22時1分
	y=f(x)とy=f－1(x) のグラフは直線y＝xについて対称となることがよく分かりません。

	35832．Re: 逆関数
	名前：七日付：1月31日(木) 23時31分
	他の証明方法もあると思いますが y=f(x) のグラフ上に点A(p，q) があれば，その点は y=f^－1(x) のグラフ上の点A'(q，p)に移る。ということは分かりますか？線分AA' の中点は((p＋q)/2，(p＋q)/2)でy＝x上にあります。直線AA’の傾きは－1ですからy＝xと垂直です。逆関数について習いだしたところなら教科書の少し先にもう少しましな証明が書いてあると思います。

35788．逆関数

名前：nori 日付：1月30日(水) 16時47分

逆関数の定義域の求めかたを教えてください

(1)y=x/(x-2)の逆関数はy=2x/(x-1)ですが
どうして定義域はx<1 , 1<xとなるのですか？

(2)どうようにy=(2＾x)＋1の逆関数はy=log【2】(x-1)ですが
定義域はx>1になるのでしょうか？

	35792．Re: 逆関数
	名前：X 日付：1月30日(水) 17時53分
	(1) y=2x/(x-1) =2+2/(x-1) 第二項の分子は0ではありませんので、分母は0以外の値になる必要があります。従って x-1≠0 これより x≠1 これを不等号を用いて表すと x<1,1<x となります。 (2) ＞＞定義域はx>1になるのでしょうか？を「どうして」定義域はx>1になるのでしょうか？のタイプミスと見て回答します。真数条件を考えましょう。

	35795．Re: 逆関数
	名前：nori 日付：1月30日(水) 20時17分
	タイプミス　すいません。真数条件だとx-1>0で　x>1だけではないのでしょうか？

	35803．Re: 逆関数
	名前：七日付：1月30日(水) 23時18分
	逆関数の定義域はもとの関数の値域(yの変域)のyをxに変えたものになります。値域はもとの関数の定義域(xの変域)のxをyに変えたものになります。このことは逆関数の作り方を考えれば容易に理解できると思います。 (1)y=x/(x-2)＝2/(x－2)＋1 ですから定義域は x＜2，2＜x，値域は y＜1，1＜y 逆関数y=2x/(x-1) の定義域は x＜1，1＜x，値域は y＜2，2＜y となります。 (2)y=(2＾x)＋1の定義域は xはすべての実数，値域は y＞1 逆関数y=log【2】(x-1) の定義域は x＞1，値域は y はすべての実数となります。

	35805．Re: 逆関数
	名前：nori 日付：1月31日(木) 0時25分
	親切にありがとうございました

35776．(untitled)

名前：高１・ゆき 日付：1月29日(火) 23時9分

三直線のx-2=0,x-y-4=0,x＋7y-12=0で作られる三角形について、その外接円の半径と外心を求めなさい。
答：半径５、外心（1,2）

よろしくお願いします！

	35785．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：1月30日(水) 8時38分
	ｌ：x-2=0 ｍ：x-y-4=0 ｎ：x＋7y-12=0 とします。ｌｍの交点はＡ(2,-2)、ｍｎの交点はＢ(5,1)、ｎｌの交点はＣ(2,10/7) ＡＣの中点(2,-2/7) を通り、ｌに垂直な直線 y=-2/7 とＡＢの中点(7/2,-1/2) を通り、ｍに垂直な直線 y=-x+3 との交点 (23/7, -2/7) が外心であり、これと、たとえばＡまでの長さ　{√(9^2＋12^2)}/7＝15/7 が、半径となります。問題か、解答かのどちらかが違うようです。　 http://yosshy.sansu.org/

35775．微分・積分

名前：DEBORAH 日付：1月29日(火) 22時13分

高校二年の問題です。

放物線C:y=x(3-x)上に点P(t,t(3-t))をとる。また、O(0,0),H(t,0)とし、
三角形OHPの面積をS(t)とする。ただし、0<t<3である。
S(t)が、最大となるときの点Pの座標を求めよ。

先日は、どうもありがとうございました。
今回も、ぜひとも、よろしくお願いします。

	35777．Re: 微分・積分
	名前：ヨッシー日付：1月30日(水) 0時26分
	↓下の方の　35728 の問題と同じでは？　 http://yosshy.sansu.org/

	35778．Re: 微分・積分
	名前：DEBORAH 日付：1月30日(水) 0時34分
	同じでした。ありがとうございました。

	35781．Re: 微分・積分
	名前：ぐるる日付：1月30日(水) 1時55分
	私の質問した問題と同じだ。奇遇ですね。しかも近い時期に。

35774．円錐(中３入試問題)

名前：かずひろ 日付：1月29日(火) 21時18分

半径ａｃｍ、中心角１０８°のおうぎ形ＯＡＢの紙があります。弧ＡＢを６等分する点を、点Ａに近いほうから、順にＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇとします。円周率をπとして次の(１)～(３)を考えなさい。
(１)ａ＝１０のとき、おうぎ形ＯＡＢの面積を求めなさい。
(２)おうぎ形ＯＡＢを、線分ＯＡと線分ＯＢが重なるようにして、円錐　　の形をした帽子をつくりました。この帽子の点Ａから側面上に沿っ　　て母線ＯＥ上の点の点Ｔを通り、点Ｇまで糸を巻きつけます。ａ＝　　１２のとき、糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さを求めな　　さい。
(３)おうぎ形ＯＡＢを線分ＯＡと線分ＯＦ、線分ＯＢと線分ＯＤがそれ　　ぞれ重なるようにして、円錐の形をした帽子をつくりました。つぎ　　に、この帽子がぴったり入る直方体の箱を、次のア、イの条件を満　　たすように紙でつくります。
　　ア　帽子の２点Ｏ、Ｃは、直方体の２辺ＨＩ，ＫＪの中点とそれぞ　　　　れ重なります。
　　イ　帽子の３点Ａ，Ｅ，Ｄは直方体の側面に接しています。
　　円錐の底面の円の中心をＰ、点Ｅから母線ＯＣへの垂線をＥＱとし　　ます。ａ＝２５のとき、直方体の形の箱の体積を求めなさい。ただ　　し、紙の厚さは考えないものとする。

図がなくてすみません。文章から考えて教えていただけると幸いです。また、図がつけれるのであればつけいただけるとさらにありがたいのでお願いします。

	35786．Re: 円錐(中３入試問題)
	名前：ヨッシー日付：1月30日(水) 9時16分
	(1)(2) は、展開図だけで考えられるので、途中は省略します。 (1)40π　(2)12√2 (3) は、重なった部分を無視すると、中心角∠ＡＯＦ＝72°の扇形で、円錐を作ったのと同じですから、円錐の底面の半径は　25×72/360＝5 となります。図は、箱と円錐の三面図です。体積は、25×10×ＥＱであるので、ＥＱの長さを求めます。ＥＱ＝ｘとおくと、 △ＣＥＱにおける三平方の定理より　ＣＱ＝√(100－ｘ^2) △ＯＥＱにおける三平方の定理より　ＯＱ＝√(625－ｘ^2) ＣＱ＋ＯＱ＝２５　より　√(100－ｘ^2)＋√(625－ｘ^2)＝２５移項して　√(100－ｘ^2)＝２５－√(625－ｘ^2) 両辺２乗して　100－ｘ^2＝625－ｘ^2＋625－50√(625－ｘ^2) 整理して、　50√(625－ｘ^2)＝1150 　√(625－ｘ^2)＝２３両辺２乗して　625－ｘ^2＝529 　ｘ^2＝96 　ｘ＝4√6 以上より、求める体積は　25×10×4√6＝1000√6 　 http://yosshy.sansu.org/

	35797．Re: 円錐(中３入試問題)
	名前：かずひろ日付：1月30日(水) 20時27分
	ありがとうございます。とてもわかりやすい解説です。すみませんが、(１)・(２)はどうしてそのようになるのかうまくいかないので教えていただけませんか？宜しくお願いします。

	35798．Re: 円錐(中３入試問題)
	名前：ヨッシー日付：1月30日(水) 20時51分
	すみません。(1)は誤りです。 (1) 半径10、中心角108°なので、　10×10×π×108/360＝30π (2) 図において、∠ＡＯＧ＝18°×5＝90°なので、 △ＡＯＧは直角二等辺三角形となり、ａ＝１２よりＡＧ＝12√2 　 http://yosshy.sansu.org/

35773．有意確率

名前：もりこ 日付：1月29日(火) 21時15分

有意確率の求め方がわからないので、よろしくお願いします。

35772．統計

名前：もりこ 日付：1月29日(火) 19時31分

統計のデータで不偏推定量を求めることがありますが
どんなメリットがあるのですか？

35758．数Ａ

名前：みどり 日付：1月28日(月) 23時24分

高校2年生です。

問題．５個の数字｛０,１，２,３,４｝がある。
これについて次の問に答えなさい。
（1）これらの数字から２個の異なる数字を並べて２桁の
整数を作る時、何通りの整数が作られるか？
（2）これらの数字から３個の異なる数字を並べて３桁の
整数を作る時、何通りの整数が作られるか？
（3）これらの数字から４個の異なる数字を並べて４桁の
整数を作る時、何通りの整数が作られるか？
（4）同じ数字を繰り返し使ってもよいとして、３桁の
整数を作る時、何通りの整数が作られるか？
同じ数字を繰り返し使ってもよいとして、４桁の
整数を作る時、何通りの整数が作られるか？

（1）は４×4Ｐ1＝１６（通り）
（2）は４×4Ｐ2＝４８（通り）
（3）は４×4Ｐ3＝９６（通り）
と考えたんですが合ってるでしょうか？

（4）（5）はわかりません・・教えてください。

	35760．Re: 数Ａ
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 23時55分
	(1)(2)(3)は合っています。 (4) 100の位に来る数字は、１，２，３，４の４通り　10の位に来る数字は、０，１，２，３，４の５通り　１の位に来る数字は、０，１，２，３，４の５通り以上より、４×５×５=１００(通り) (5) は同様です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35768．Re: 数Ａ
	名前：みどり日付：1月29日(火) 11時9分
	(5)は４×５×５×５＝５００ですね。ありがとうございました！

35757．三角関数

名前：ぐるる 日付：1月28日(月) 23時12分

θの方程式cos2θ-3cosθ-a+1=0 ……①　がある。ただし、0≦θ＜2π、aは定数とする。
（１）cosθ＝xとおくとき、①の左辺をxとaで表せ。
（２）a=2のとき、方程式①を満たすθの値を求めよ。
（３）方程式①を満たすθの値が４つあるようなaの値の範囲を求めよ。

わかりません。教えてもらえますか？

	35762．Re: 三角関数
	名前：ヨッシー日付：1月29日(火) 0時0分
	まず、　cos2θ＝2cos²θ－１という公式が、頭に入っているかどうかですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	35780．Re: 三角関数
	名前：ぐるる日付：1月30日(水) 1時48分
	その公式を使えばいいんですね。計算してみたんですが、疑問があります。 cosθ＝2って存在しますか？

	35811．Re: 三角関数
	名前：七日付：1月31日(木) 5時57分
	> θの方程式cos2θ-3cosθ-a+1=0 ……①　がある。ただし、0≦θ＜2π、aは定数とする。 > （１）cosθ＝xとおくとき、①の左辺をxとaで表せ。 (1) で出来る方程式は－1≦cosθ≦1 ですから正確には 2x²－3x－a＝0 (－1≦x≦1) となります。

	35824．Re: 三角関数
	名前：ぐるる日付：1月31日(木) 20時42分
	はい。では、（２）は2x^2－3x－２＝0で、これも (－1≦x≦1) だから、 cosθ＝2はないってことですね。（３）はどうしたらいいのでしょうか。

	35830．Re: 三角関数
	名前：七日付：1月31日(木) 23時19分
	(2) で 2x^2－3x－2＝0 (－1≦x≦1) (x－2)(2x＋1)＝0 より x＝－1/2 つまり cosθ＝－1/2 これを満たす θは 0≦θ＜2π の範囲には θ＝(2/3)π，(4/3)πと2つの解があります。したがって (3) は 2x^2－3x－a＝0 (－1＜x＜1) が－1＜x＜1 の範囲に異なる2つの実数解をもてばいいですね。 cosθ＝x＝1 のときは θ＝0 cosθ＝x＝－1 のときは θ＝π という風にあてはまるθが1つずつしかありませんから。

	35885．Re: 三角関数
	名前：ぐるる日付：2月3日(日) 23時6分
	なるほど。そういうことですね。ありがとうございます。

35754．位置ベクトルと図形

名前：もも日付：1月28日(月) 22時11分

高校１年生で、数Bのベクトルをやっています。

△OABにおいて
①OA＝５、OB＝４、∠AOB＝６０度、頂点OからABに下ろした
　垂線の足をHとする。
　↑OA＝↑a、↑OB＝↑bとおくとき、↑OHを↑aと↑bを使って表せ。

②OA＝２、OB＝３、∠AOB＝６０度、↑OA＝↑a、↑OB＝↑bとする。
　∠AOBの二等分線上に点Pをとり、BP⊥OAとなるとき、↑OPを
　↑aと↑bを使って表せ。

という問題です。
どちらも角度が分かっているのですが、内積を使えばいいのでしょうか。
それとも、余弦定理でもう一辺の長さを求めるのでしょうか。

よろしくお願いします!!

	35755．Re: 位置ベクトルと図形
	名前：X 日付：1月28日(月) 22時28分
	(1) 内積を使うより、まず余弦定理でABを求め、次に△OAH,△OBHに三平方の定理を使ってAH,BHを求める方針のほうが早いと思います。 (2) これは内積を使います。題意より ↑OP=k(↑a/\|↑a\|+↑b/\|↑b\|) =k{(1/2)↑a+(1/3)↑b} (A) (kは実数) と置くことができます。ここで BP⊥OA ですので ↑BP・↑a=0 ∴(↑OP-↑b)・↑a=0 (B) (A)を(B)に代入して ↑a・↑b=2・3・cos60°=3 などを用いて変形すると、kについての方程式が導かれます。

	35770．Re: 位置ベクトルと図形
	名前：七日付：1月29日(火) 12時46分
	計算は間違っているかも知れませんが (1)は図のようにも出来ます。

	35771．Re: 位置ベクトルと図形
	名前：七日付：1月29日(火) 13時28分
	見事に間違っていましたね t＝5/7 のようです。 ↑OH＝(2/7)↑a＋(5/7)↑b ですね。

35746．初めまして、よろしくお願いします。

名前：KYOKO 日付：1月28日(月) 17時49分

数学のこの問題と決められないのですが
とにかく「食塩の濃度」の問題が見るだけで
もう、拒否反応起します。何パーセントの濃度のＡのビーカーと
何パーセントの濃度のＢのビーカーを混ぜると濃度は何パーセントかなどに始まって、もう、ダメですが、私は、1からやり直す決心を
しました。お願いです。どのようなものから始めて、何を勉強
していけばいいか、教えてください。この質問ももしかしたら
分かっていなくて、伝わらないかも知れませんが。
高校に行くと、もっと複雑になりそうで、今頑張って小学校に
戻ってもいいですから、教えてください。訳が分からないが
本心です。まず基本はどこからか。私はどこで、なんの勉強を
しなかったから、チンプンカンなのかもわかりません。
教えてください。お願いします。

	35747．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：七日付：1月28日(月) 18時11分
	具体的な問題があるわけではないので少し抽象的かも知れませんが食塩水の濃度の問題については aパーセントの食塩水がxgあると言うとき食塩水全体のxgのaパーセントが食塩の質量であるという意味です。したがって x×(a/100)gが溶けている食塩の質量です。そしてどんな問題でも「食塩の質量についての式は必ず作る。」という方針でいれば，それほど難しくはないと思いますよ。具体的な問題を解いて分からなければまた質問してください。

	35748．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 18時15分
	食塩水に関する公式は　食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ　・・・(1) です。１０％の食塩水が２００ｇあったら、そのうちの20ｇは食塩ですよ、という意味です。あとは、これを変形して、　濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ　・・・(2) 　食塩水の重さ＝食塩の重さ÷濃度　・・・(3) (1)(2)(3) の順に、頻度が高いと思います。それで、食塩水の問題の多くは、濃度の違う２つの食塩水を混ぜて、別の濃度の食塩水になるパターンです。濃度の違う２つの食塩水をＡ，Ｂ。混ぜたあとの食塩水をＣとすると、混ぜる前後において、食塩、食塩水の式を作ります。つまり　Ａの食塩＋Ｂの食塩＝Ｃの食塩　Ａの食塩水＋Ｂの食塩水＝Ｃの食塩水方程式にしろ、逆算にしろ、使うのはこれだけです。あとは、求める量をｘ、ｙなどとおいて、式を立てます。　　　 http://yosshy.sansu.org/

	35749．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 18時35分
	こちらや、こちらや、こちらや、こちらや、こちらや、こちらなどに天秤算による方法がありますが、小学生ならともかく、中学以上なら、上のような計算が出来た上での、答え合わせ程度ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	35763．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：KYOKO 日付：1月29日(火) 2時12分
	ヨッシー先生、七先生、有難うございました。今まで、教えていただいたことを元に、基礎編を持ってきてやっていました。もうなんていうかこんな先生がどうしていなかったのだろうと思うほどで「できるうううう」本当に嬉しいです。数学が嫌いでないのでいつも悔しかったです。もうテストも最近は見ず、答えは空白で終わらせていました。でも、実力テスト、模試、受験用の問題集には必ず出てきて、いよいよ解決しないとと思うほど複雑で、私は。基礎が出来ていないと、ずっと自分で分かっていました。理科にも出てきたので、これは、やっておかないとと思いだし、質問させていただきました。答えが合うってこんなにうれしい事だったのかと思いました。有難うございました。ついでに、ヨッシー先生の答えの中に「こちら」や「こちら」全て見せていただいて、そのうちのめり込んで高校まで読んでいました。場合の数少し、危なかったです。あの「さとる君」小学生なのにすごいですね。ところで、それらの中で、図形でもないのに【7Ｃ2】Ｃとは、なんの略でしょうか。又教えてください。こんな先生がたくさーーんいる学校がよかったなあ。どうしたら、ヨッシー先生みたいになれるのかなあって今は思っています。あの、正六角形を見てみるのに、消しゴムを 10個ほどカッターで使ってしまいました。面白かったです。あの図の動いているのとか、どうなってるんだろうって今まで色々と見ていました。他にも、沢山動く解説パソコンも勉強しないとここで答えておられる先生になれないですね。私は、今誰もが知っている、塾へ現役のテストを受けて行っています。でも今日、もう通っているのが無駄なような気がしました。それよりもこちらで、「化学と数学」の勉強思いっきりしてみたいなあと思うようになりました。ヨッシーの数学テキストは一応何事もなく出来ます。こちらの、ＨＰのどこからどのように始めていけば高校3年生までの事が出来ますか？それも教えてください。それから、何か問題を載せる前に、どのような方法で似た問題を探すようになっているのでしょうか。なるべく迷惑にならないように、できるだけ自分で頑張ってみたいです。すみません。今度来る時には、問題もって来ます。投稿されておられる人のを色々と見ていましたらこんな時間になりましたが、まだまだ見たい気持ちにさせてくれました。それでは、もう少し、よろしくお願いします。

	35764．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：1月29日(火) 8時33分
	ＣはCombination の略で、日本語では、「組み合わせ」といいます。詳しくは、こちらをご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35782．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：KYOKO 日付：1月30日(水) 2時4分
	こんばんは。ヨッシー先生有難うございました。又、今まで色々なところを見ていました。解いてもみました。算チャレ過去問補完計画１も見せていただきました。第４７回（97.2.20～97.2.26）の問題は、これだと思いました。アレルギー体質は、昨日解決したばかりなのに、まだ残っていました。（ギョッ！）。ノートの分配では、慶應の中学受験でひっくり返りました。ヨッシー先生が、この問題を解ける小学生はすごいって言われるくらいですから。ショックでした。今頃、塾の受験でようやく、入れましたが、何だか自信がなくなってって昨日母に愚痴をこぼしてしまいました。「母は、大丈夫よ」って言った後「前に進むしかないでしょ？お腹の中にもう一度戻してやり直すことも出来ないし」って。本当に、もう一度お腹から出たところからやり直すから、戻してよって言いそうでした。頑張らなきゃ。

	35783．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：KYOKO 日付：1月30日(水) 2時29分
	あれ？お礼がどこかへ・・・・。ご迷惑おかけしました場所を探していたのですがどこにもありません。改めて。ヨッシー先生有難うございました。「算チャレ」でいきなり、食塩水で、落ち着こうと思い考えました。夕べでアレルギーは治ったと思っていたのですが「ギョッ！！」でした。頑張ってみようって思っています。最後まで。ヨッシー先生も驚く慶應の中学受験もみました。日本中が知っている。本来予備校ですが、現役に合格しましたがもう、負けたあって、お手上げのものばかりです。どこからやり直そう・・・・。

	35784．Re: 初めまして、よろしくお願いします。
	名前：KYOKO 日付：1月30日(水) 2時32分
	あれ？載っていました。どこに行っていたのでしょう。二重投稿となり大切な場所汚してごめんなさい。何度も。ごめんなさい。有難うございました。

35740．(untitled)

名前：さとる 日付：1月28日(月) 15時7分

分子量が７．２×１０＾９の二本鎖のDNA分子がある。１個のヌクレオチドの
平均分子量を３．０×１０＾２とする。このDNAから生じるタンパク質の平均
分子量は３．５×１０＾４で、その構成アミノ酸の平均分子量は１．４×１０＾２である。このDNAに関して次の（１）（２）の問に答えなさい。
（１）このDNAの長さは何mmになるか。ただし、１本鎖のDNAの隣接する塩基
間の長さは０．３４ｎmとされている。

（２）このDNAの塩基がすべてのタンパク質を指定する遺伝暗号であるとすると、このDNAの一本鎖はいくつの遺伝子からなるか。

解説お願いします。

35739．(untitled)

名前：さとる 日付：1月28日(月) 14時57分

お久しぶりです♪
また生物の質問お願いします！！

DNAリガーゼとDNAポリメラーゼの違いがよくわかりません････。
詳しい説明お願いします☆☆☆

35737．数A

名前：なお日付：1月28日(月) 14時51分

問1.男子8人の中あら2里、女子6人の中から2人を選び、この4人を1列に並べる方法は何通りあるか。
答えは、8C2×6C2×4P4なんですが、なぜこうなるのでしょうか？8P2×6P2ではいけないのですか？
問2.男子8人の中から4人を選出する。次のようにする場合、選出の方法は何通りか。
（1）特定の2人を含むように選出する場合
（2）特定の2人のうち、一方のみを含むように選出する場合
問3．女子7人を3人と4人のグループに分ける。次のようにする場合、分ける方法は何通りあるか。
（1）特定の2人が同じグループに入るようにする場合
（2）特定の2人が違うぐるーぴに入るようにする場合

解き方を教えてください。

	35738．Re: 数A
	名前：なお日付：1月28日(月) 14時52分
	打ち間違いがありましたので訂正します。問1.男子8人の中から2人、女子6人の中から2人を選び、この4人を1列に並べる方法は何通りあるか。答えは、8C2×6C2×4P4なんですが、なぜこうなるのでしょうか？8P2×6P2ではいけないのですか？問2.男子8人の中から4人を選出する。次のようにする場合、選出の方法は何通りか。（1）特定の2人を含むように選出する場合（2）特定の2人のうち、一方のみを含むように選出する場合問3．女子7人を3人と4人のグループに分ける。次のようにする場合、分ける方法は何通りあるか。（1）特定の2人が同じグループに入るようにする場合（2）特定の2人が違うグループに入るようにする場合解き方を教えてください。

	35741．Re: 数A
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 16時28分
	問１人数を減らして、男子3人の中から2人、女子3人の中から2人を選び、この4人を1列に並べる方法は何通りあるか。とします。男子をＡＢＣ、女子をＤＥＦとすると、　8P2×6P2　にあたる　3Ｐ2×3Ｐ2 というのは、男子の並べ方、　ＡＢ，ＡＣ，ＢＡ，ＢＣ，ＣＡ，ＣＢの６通りに女子の並べ方　ＤＥ，ＤＦ，ＥＤ，ＥＦ，ＦＤ，ＦＥの６通りをつなげた、ＡＢＤＥ，ＡＣＤＥ，ＢＡＤＥ，ＢＣＤＥ，ＣＡＤＥ，ＣＢＤＥＡＢＤＦ，ＡＣＤＦ，ＢＡＤＦ，ＢＣＤＦ，ＣＡＤＦ，ＣＢＤＦＡＢＥＤ，ＡＣＥＤ，ＢＡＥＤ，ＢＣＥＤ，ＣＡＥＤ，ＣＢＥＤＡＢＥＦ，ＡＣＥＦ，ＢＡＥＦ，ＢＣＥＦ，ＣＡＥＦ，ＣＢＥＦＡＢＦＤ，ＡＣＦＤ，ＢＡＦＤ，ＢＣＦＤ，ＣＡＦＤ，ＣＢＦＤＡＢＦＥ，ＡＣＦＥ，ＢＡＦＥ，ＢＣＦＥ，ＣＡＦＥ，ＣＢＦＥだけしか数えていません。ところが、他にも、男女男女　や　男女女男　などの並び方もあるので、これでは、数え切れていません。まず、男２人(たとえばＡＢ)と女２人(たとえばＤＥ)を選んで、それを並べると、　ＡＢＤＥ，ＡＢＥＤ，ＡＤＢＥ，ＡＤＥＢ・・・のように、4Ｐ4＝24通りあります。これが、男２人女２人の選び方、3Ｃ2×3Ｃ2 通りについて、それぞれ24通りずつあるので、　3Ｃ2×3Ｃ2×4Ｐ4 となります。問２ (1)特定の２人は先に選んでおいて、残りの２人を６人から選ぶので、　6Ｃ2＝15(通り) (2)解法１選び方は全部で 8Ｃ4＝70(通り) このうち、特定の２人について、どちらも選ばない選び方は　6Ｃ4＝15(通り) ２人とも選ぶ選び方は　15通りよって、どちらか一人を選ぶのは　70-15-15＝40(通り) (2)解法２一人目は特定の２人のうち１人を選び、残り３人は６人から選ぶと考えると、　2Ｃ1×6Ｃ3＝2×20＝40(通り) 問３ (1) 特定の２人が３人のグループに入る場合：残り５人のうち１人が３人のグループに入るので、　5Ｃ1＝5(通り) 特定の２人が４人のグループに入る場合：残り５人のうち２人が４人のグループに入るので、　5Ｃ2＝10(通り) あわせて、15通り。 (2)特定の２人を、Ａ，Ｂとし、Ａ、Ｂの２人から、１人が３人のグループに入る入り方は、　2Ｃ1＝2(通り) 残り５人のうち、２人が３人のグループに入る入り方は、　5Ｃ2＝10(通り) よって、　2×10＝20(通り) 　 http://yosshy.sansu.org/

	35800．Re: 数A
	名前：かんな　高1 日付：1月30日(水) 21時38分
	ありがとうございます！

35736．ベクトルの外積について

名前：のぶ日付：1月28日(月) 14時30分

3次元ベクトルA（ー１、０、１）をB（０、１、１）に重ねる際の回転角、－９０度という値が欲しいのですが、どうすれば求めることが出きるでしょうか？

外積から、ASINを使えば求められると思っていたのですが、符号が失われてしまい、
－９０度と求める事ができません。

どなたかご指導していただけないでしょうか？

	35742．Re: ベクトルの外積について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 16時34分
	回転角、－９０度というのは、どこの角でしょうか？単純にａとｂのなす角というと、60°ですよね？　 http://yosshy.sansu.org/

	35743．Re: ベクトルの外積について
	名前：のぶ日付：1月28日(月) 16時51分
	Z軸を回転軸にして、AをBに重ね合わせるときの回転角をAとBの外積から、 ASINを求めると、９０度になりますよね？その９０度が、本当はマイナス９０度と値が出てきて欲しいのですが、普通にAsinをつかってると、必ず符号が落ちてしまって。。なんとかして、回転の方向を判定したいんですが、なにか方法がないでしょうか？？

	35744．Re: ベクトルの外積について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 17時2分
	ｚ軸周りの回転で重なると言うことがわかっているなら、ｘｙ平面への射影を考えて、　Ａ’＝（－１，０，０）、Ｂ’＝（０，１，０）として、　Ａ’×Ｂ’＝（０，０，－１）となり、sinθ＝－１/\|Ａ’\|\|Ｂ’\|＝－１　→　θ＝-90° と出せます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35745．Re: ベクトルの外積について
	名前：のぶ日付：1月28日(月) 17時11分
	有難うございます！！もう少しお聞きしたいのですが、例えば、軸が任意の軸の場合（二つのベクトルの外積から、回転の軸を求める）でも、回転の方向を判定する場合には、上記の方法で求めることで、判定は可能なのでしょうか？

	35750．Re: ベクトルの外積について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 18時51分
	「二つのベクトルの外積から、回転の軸を求める」ことが出来るかは疑問です。というより、両ベクトルの共通始点を通り、両者のなす角の二等分線を含む平面に含まれる直線であれば、どれでも軸になれます。で、上の問題では、　ａ×ｂ＝（－１，１，－１）ですが、このベクトル方向から見れば、ａからｂは、＋60°回転です。たとえば、ｚ軸方向、あるいは、(ｐ，ｑ，ｒ) の方向などと決まっていて、その方向から見たとき、＋の方向に回した方が近いか、逆かを見分けるには、外積の結果と、回転軸の方向とで、内積を取って、正なら、＋方向、負なら－方向、０なら、180°回転なので、どちらも同じ。ということはわかります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35751．Re: ベクトルの外積について
	名前：のぶ日付：1月28日(月) 19時47分
	ご回答、心から感謝します。ヨッシーさんの言っている、回転軸の方向と言うのは、「回転軸の三次元の座標そのもの」という理解で正しいのでしょうか？「二つのベクトル」の外積と「回転軸」との内積（つまり、3次元ベクトル同士の内積）をとると言うように解釈したのですが、この解釈で正しいでしょうか？

	35752．Re: ベクトルの外積について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 20時0分
	回転軸の方向を表すベクトル、といった方が良いでしょうか。座標そのものというより、その座標で表される位置ベクトルです。ｚ軸なら（０，０，１）です。別に、（０，０，２）でも良いです。また、その方向から見て、というのは、そのベクトルの終点から、始点の方向を見たときという意味です。ｚ軸なら、座標（０，０，１）から、原点を見た場合です。「3次元ベクトル同士の内積をとる」のくだりは、正しいです。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35759．Re: ﾍﾞｸﾄﾙの外積について
	名前：のぶ日付：1月28日(月) 23時36分
	軸の位置ベクトルというのは、例えば回転軸が（1、4、５)という軸であった場合、その位置ベクトルは（1、4、5）でいいですか？何度も質問して申し訳ありません。。

	35761．Re: ベクトルの外積について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 23時58分
	「回転軸が（1、4、５)という軸」というのはしっくり来ませんが、原点から（１，４，５）へ伸びる方向とかの方が良いでしょう。暗黙のうちに、原点が始点になっていますが、それを前提とするなら、　終点の座標＝位置ベクトルの終点ですから、言わんとされていることは、正しいと思います。　 http://yosshy.sansu.org/

	35769．Re: ベクトルの外積について
	名前：のぶ日付：1月29日(火) 12時41分
	ヨッシーさん本当に有難うございます！！いろいろなサイトを見て、自分なりに解決法を考えてみてはいたのですが、どれもこれもしっくりくるようなものがなくて。ヨッシーさんのおかげで一歩前進することができました。また、疑問に思うことなどが出てきたら、質問させていただきます。その時はよろしくお願いいたします。

35733．証明について

名前：トン（社会人） 日付：1月28日(月) 11時9分

（sinx)^(n)=sin(x+nπ/2）・・・・・（ｎ次導関数）
となるという式を
数学的帰納法を使用して証明しようとしましたが
解りませんでした。
どのようにして証明すればいいのでしょうか？
詳しく教えていただけたら嬉しいです。宜しくお願いします。

	35734．Re: 証明について
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 11時40分
	n=1 のとき (sinｘ)’＝cosｘ＝sin(ｘ+π/2) より、　（sinx)^(n)=sin(x+nπ/2）は成り立ちます。 n=k のとき、　（sinx)^(k)=sin(x+kπ/2）であるとして、n=k+1 を考えると、　（sinx)^(k+1)={sin(x+kπ/2)}’＝cos(x+kπ/2)＝sin{(x+kπ/2)＋π/2} 　　＝sin{ｘ＋(k+1)π/2} となり、n=k+1 についても、　（sinx)^(n)=sin(x+nπ/2）が成り立つ。以上より、任意の自然数ｎについて、　（sinx)^(n)=sin(x+nπ/2）が成り立つ。　　　 http://yosshy.sansu.org/

	35735．ありがとうございます
	名前：トン（社会人）日付：1月28日(月) 11時54分
	ヨッシーさん難儀かけました。ご回答ありがとうございます。　　　　　　　　　　トン

35732．物理？

名前：TON 日付：1月28日(月) 1時41分

①クロック信号による同期が長距離に適していないのはなぜか

②電磁波放射が起こることによる問題点を２点あげよ。

③２００Ｈｚの正弦波交流（５Ｖ）の０．１秒後の電圧を求めよ。

④IPv4で用いられるパケット配送動作の種類を３種類あげよ。

まったくわからないんですがわかる方いらっしゃいますか？

35728．放物線と面積

名前：ぐるる 日付：1月27日(日) 23時59分

放物線C；y=(3-x)上に点P(t,t(3-t))がある。また、O(0,0),H(t,0)とし、三角形OHPの面積をS(t)とする。ただし、0<t<3とする。
（１）S(t)をｔで表せ。
（２）S(t)が最大になるとき、点Pの座標を求めよ。
（３）（２）のとき、点Oと点Pの間にある放物線C上に点Qをとる。四角形OHPQの面積の最大値を求めよ。

どのように解けばよいのかわかりません。教えてください。

	35730．Re: 放物線と面積
	名前：ヨッシー日付：1月28日(月) 0時18分
	放物線C；y=x(3-x) と思われます。 (1) △ＯＨＰは∠ＯＨＰ＝90°の直角三角形なので、ＯＨ＝ｔ、ＨＰ＝t(3-t) より、　S(t)＝t²(3-t)/２と書けます。 (2) S(t)をｔで微分して、　Ｓ'(ｔ)＝(6t－3t²)/２＝3t(2－t)/２より、ｔ＝０で極小、ｔ＝２で極大になり、０＜ｔ＜３では、ｔ＝２で最大になります。このとき、　点Ｐ：(２，２) となります。 (3) 四角形OHPQ を、△ＯＨＱと△ＨＰＱに分けます。Ｑの座標を(s, s(3-s)) とします。　△ＯＨＱ＝(1/2)・２・s(3-s)＝３ｓ－ｓ² 　△ＨＰＱ＝(1/2)・２・(2－s)＝2－ｓよって、四角形ＯＨＰＱの面積は、　－ｓ²＋２ｓ＋２＝－(ｓ－1)²＋３より、Ｑ（１，２）のとき、最大値３になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35756．Re: 放物線と面積
	名前：ぐるる日付：1月28日(月) 23時7分
	C；y=x(3-x)でしたね。すみません、ありがとうございました。

35718．(untitled)

名前：こ日付：1月27日(日) 22時7分

何をは４です！！

35716．全然わかりませ～ん（泣）

名前：こ日付：1月27日(日) 22時2分

８から引いたら４と６分の５じゃないんですか～～？？？？？？？

	35717．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 22時6分
	８から何を引いたら４と６分の５じゃないんですか～～？？？？？？？何をの部分を書いてください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35719．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 22時13分
	８から４を引いたら、４ですね？　 http://yosshy.sansu.org/

	35720．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：こ日付：1月27日(日) 22時15分
	だから、８－４と６分の５＝４と６分の５ですよね？？

	35721．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 22時24分
	私はてっきりかと思いましたが、だったのですね。だとしたら、４と６分の５で良いですけど。ちなみに、は、３と６分の１です。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35722．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：七日付：1月27日(日) 22時25分
	こういう事なら

	35723．Re:
	名前：こ日付：1月27日(日) 22時27分
	括弧が付いてない方が聞きたかったんです～！！ありがとうございますぅ！！でゎ、９－８と２分の１の説明お願いします！！

	35724．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 22時47分
	こちらの８を９に、４を８に、その次の４を１に、 5/6 を 1/2 に置き換えて、読み直してください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35725．Re: 全然わかりませ～ん（泣）
	名前：Kurdt 日付：1月27日(日) 23時2分
	七さんの回答を参考にするなら、 9 を (8と2分の2) にしてから引き算するといいでしょう。すると 9 - (8と2分の1) は、 (8と2分の2) - (8と2分の1) となるので…。 http://fairytale.holy.jp/

35715．ベクトル　香川大の過去問です

名前：わみ日付：1月27日(日) 21時52分

座標平面上に３点A(1,√3),B(-1,√3),P(cosθ、sinθ)がある。ただし、
-90°≦θ≧90°とする。△ABPの頂点Pから辺ABに下ろした垂線をPHとする。
(1)△ABPの面積をθを用いて表せ。
(2)内積→PA・→PBをθを用いて表せ。
(3)∠APB=90°の時、θの値を求めよ。
(4)PB＝３の時、△ABPの面積および∠BPHを求めよ。
　　　　よろしくお願いします。

	35726．Re: ベクトル　香川大の過去問です
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 23時7分
	-90°≦θ≧90°は、おそらく、-90°≦θ≦90° と思われるので、そうだとして、回答します。まず、Ｐの存在範囲は、図の半円周上になります。 (1) 　△ＡＢＰ＝(1/2)ＡＢ×ＰＨにおいて、　ＡＢ＝２　ＰＨ＝√3－sinθ なので、　△ＡＢＰ＝√3－sinθ (2) 　ＰＡ＝（1，√3)－(cosθ、sinθ)＝(1－cosθ,√3－sinθ) 　ＰＢ＝（-1，√3)－(cosθ、sinθ)＝(-1－cosθ,√3－sinθ) よって、　ＰＡ・ＰＢ＝(1-cosθ)(-1-cosθ)＋(√3－sinθ)² 　＝cos²θ－1＋sin²θ－2√3sinθ＋3 　＝3－2√3sinθ (3) 　ＰＡ・ＰＢ＝０より、　3－2√3sinθ＝０　sinθ＝√3/2 -90°≦θ≦90° より、　θ＝60° (4) 　ＰＢ²＝(-1－cosθ)²＋(√3－sinθ)² 　　＝1＋2cosθ＋cos²θ＋3－2√3sinθ＋sin²θ 　　＝5＋2cosθ－2√3sinθ＝3²＝9 より、　2cosθ－2√3sinθ＝4 4で割って、　(1/2)cosθ＋(-√3/2)sinθ＝１　sin150°cosθ＋cos150°sinθ＝１　sin(θ＋150°)＝１　θ＝－60° このとき、　△ＡＢＰ＝√3－sinθ＝√3＋√3/2＝3√3/2 　∠ＢＰＨ＝30° 　 http://yosshy.sansu.org/

35713．(untitled)

名前：こ日付：1月27日(日) 21時48分

説明お願いします！！

35712．分数の計算で…

名前：こ日付：1月27日(日) 21時47分

８－４と６分の５が分かりません！

	35714．Re: 分数の計算で…
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 21時51分
	４と６分の５は、文字通り　４　と　5/6　ですから、まず、８から４を引きましょう。４になりますね？その４から、5/6 を引きましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

35710．積分の問題です

名前：INI 日付：1月27日(日) 21時11分

xyz空間で次の不等式で表された立体の体積を求めよ。
x^2+y^2≦4,x^2+z^2≦4

円柱が重なったもののイメージがどうしても沸かなくて…
解説よろしくお願いします!

	35711．Re: 積分の問題です
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 21時15分
	こちらを参照してください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35729．Re: 積分の問題です
	名前：INI 日付：1月28日(月) 0時8分
	返信ありがとうございますw 難しそうですが…頑張って理解します!

35707．ベクトルの問題です。

名前：もも日付：1月27日(日) 15時4分

１.
不等式　－｜→a｜｜→b｜≪→a・→b≪｜→a｜｜→b｜
が成り立つことを証明せよ。

→a…ベクトルa　　｜→a｜…ベクトルaの絶対値　です。
分かりにくくてすみません（＾ω＾；）

２．
四角形ABCDにおいて、辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれ
E、F、G、Hとし、対角線AC、BDの中点をそれぞれI、Jとする。
このとき線分EG、FH、IJは１点で交わることを証明せよ。

どちらも、証明せよという問題なのですが苦手です(´；ω；`)
よろしくお願いします!!

	35708．Re: ベクトルの問題です。
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 15時36分
	１．　ａ・ｂ＝\|ａ\|\|ｂ\|cosθ　ですから、　-1≦cosθ≦1 の各辺に、\|ａ\|\|ｂ\|(≧0) を掛ければ、　-\|ａ\|\|ｂ\|≦ａ・ｂ≦\|ａ\|\|ｂ\| が得られます。２．点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊの位置ベクトルを、　4ａ、4ｂ、4ｃ、4ｄ、ｅ、ｆ、ｇ、ｈ、ｉ、ｊとします。このとき、　ｅ＝2ａ＋2ｂ　ｆ＝2ｂ＋2ｃ　ｇ＝2ｃ＋2ｄ　ｈ＝2ｄ＋2ａ　ｉ＝2ａ＋2ｃ　ｊ＋2ｂ＋2ｄが成り立ちます。ＥＧの中点の位置ベクトルは、　(ｅ＋ｇ)/2＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄＦＨの中点の位置ベクトルは、　(ｆ＋ｈ)/2＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄＩＪの中点の位置ベクトルは、　(ｉ＋ｊ)/2＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄよって、３線分EG、FH、IJ の中点は同一点となり、３線分は、この点で交わる。　 http://yosshy.sansu.org/

	35709．Re: ベクトルの問題です。
	名前：もも日付：1月27日(日) 16時40分
	さっそくの回答ありがとうございました!! 分かりやすく書いて頂いたのですぐに理解できました♪本当に助かります。

35701．線型変換に関する質問です。

名前：かな日付：1月26日(土) 21時56分

Ｖを実数の二次以下の多項式全体として、
bを実数とし、f(x)∈Ｖをf(x+b)に写す線型変換をＦbとすると、
Ｖの基底<1,x,x^2>に関するＦbの行列表示を求めてください。線型変換Ｇ:f(x)→2f(x)-f'(x)の時はどうなりますか。

35699．また化学です。

名前：なお日付：1月26日(土) 18時12分

次の反応を熱化学方程式で表しなさい。
※aqは溶媒としての水を表す。
（1）塩化ナトリウム3gを200gｍの水に溶かすと、0.2kJの熱が吸収される。
自分なりの答え）NaCl(固)+aq=NaClag-3.9kJ
(2)0.200molのプロパンC3H8を完全燃焼すると、444kJの熱が発生する。
自分なりの答え）C3H8(気)+5CO2（気）=3CO2(気)+4H2O(液)+2220kJ

35697．積分

名前：よし　高3 日付：1月26日(土) 15時44分

xの関数G(x)=∫{е^(-t)*sin(t)｝dt　[0～x^2]の最大値、最小値は？
xはすべて実数の範囲を動くものとする。

この問題が分かりません。　お願いします。答えはx=0のとき最小値0
x=±√πのとき最大値1/2(1+1/(е^π))です

	35700．Re: 積分
	名前：hari 日付：1月26日(土) 19時28分
	g(x) = ∫f(t)dt [a(x)～b(x)] のときfの原始関数をFとすると g(x) = ∫f(t)dt [a(x)～b(x)] = F(a(x)) - F(b(x)) ですから g'(x) = a'(x)f(a(x)) -b'(x)f(b(x)) です。こんかいは g'(x) = 2xe^(-x^2)sin(x^2) ですね。これから増減表をかきましょう。

35693．平均値の定理と応用

名前：よし　高3 日付：1月26日(土) 12時36分

また分からない問題があるので、お願いします。
ちなみにロピタルの定理は分かります。

	35696．Re: 平均値の定理と応用
	名前：angel 日付：1月26日(土) 14時10分
	(1)は地道に極限を計算します。 lim[x→0] (sinx)/x = 1 をベースに。 x→π の極限に関しては、sin(π-x)=sinx を用いれば、x→0 の時と同じように解けます。 (2)、ロピタルの定理も良いですが、「平均値の定理と応用」とあるように、平均値の定理がまずは基本。今回は、lim[x→0] (sinx-x)/x^2 が焦点です。この形を導くには、　1/( x(π-x) ) = 1/π・( 1/x + 1/(π-x) ) に気付くと楽です。なぜなら、　( f(x)-f(0) )/x 　= ( sinx/( x(π-x) ) - 1/π )/x 　= ( sinx・1/π・( 1/x + 1/(π-x) ) - 1/π )/x 　= 1/π・( (sinx-x)/x^2 + sinx/x・1/(π-x) ) だからです。後は、lim[x→0] (sinx-x)/x^2 の部分について。平均値の定理より、　g(x)=g(0)+xg'(0)+x^2/2・g''(0)+x^3/6・g'''(c)　( c は 0 と x の間にある実数 ) が成立します。そのため、g(0)=g'(0)=0 であれば、　lim[x→0] g(x)/x^2 = g''(0)/2 となるわけです。 g(x)=sinx-x として計算してみましょう。

35690．物理

名前：くま日付：1月25日(金) 23時43分

物理ですがお願いしますm(__)m
質量の無視できるバネ定数kのばねの一端Aを天井に固定し、他端Bに質量mのおもりをつるすと単振動する。
ばねが自然長のときのBの位置を原点、鉛直下向きをX軸の正の向きとし、おもりをつるすとBがx0でつり合った。重力加速度をgとする。(x0＜x1＜2x0)
(問い)
つりあいの位置からBがx1の位置になるまで引っ張っり、この位置で物体をはなすと単振動する。物体の速さが最大となるときその速さを求めよ。
(自分の解答)
運動方程式から振動中心はx0であり、この位置が１番速い。
エネルギー保存より
mgx1＋k(x1)^2/2＝mgx0＋mv^2/2＋k(x0)^2/2 とたてました。
解答では
k(x1)^2/2＝mg(x1-x0)＋mv^2/2＋k(x0)^2/2 となってました。答も合わないんですが何で自分の式が間違ってるのかがわかりません。(x0の位置とx1の位置でエネルギー保存則を用いたつもりです)数学板ですいません。よろしくお願いしますm(__)m。

	35692．Re: 物理
	名前：angel 日付：1月26日(土) 10時24分
	位置エネルギーを考える時は符号に注意しましょう。 ※位置エネルギーに限った話ではないですが今回なら、x が大きい方が位置エネルギーが大きいのか、それとも小さいのか。それを確認しておきます。決して公式を鵜呑みにしないように。 ( 重力による ) 位置エネルギーは、低い位置の方が低く、今回 x が大きいほど、バネが伸びている ≡ 低い位置にある、ということなので、　( 位置エネルギー ) = -mgx 　※自然長の位置での位置エネルギーを 0 とした場合が正解です。　mgx1＋k(x1)^2/2＝mgx0＋mv^2/2＋k(x0)^2/2 　⇒ -mgx1 + k(x1)^2/2 = -mgx0 + mv^2/2 + k(x0)^2/2 と修正すれば、模範解答と同じ式になります。

	35694．Re: 物理
	名前：hari 日付：1月26日(土) 13時15分
	エネルギー保存則は E = mv^2/2 + kx^2/2 - mgx です。

	35695．Re: 物理
	名前：hari 日付：1月26日(土) 13時17分
	あっ、リロードしなかったので回答がついてることに気がつきませんでした。失礼。

	35702．Re: 物理
	名前：くま日付：1月26日(土) 23時18分
	すいません遅くなりましたm(__)m 回答してくれた方ありがとうございますm(__)mやっと納得しました！！！

35689．極限

名前：ミッツ 日付：1月25日(金) 22時8分

lim(n→∞) r^(n-1)-3^(n+1)/r^(n)+3^(n-1)　（rは正の定数）の極限を求めよ、という問題なのですが、
これを求める際、どうして 0<r<3,r=1,r>3 の場合に分けるのでしょうか。よろしくお願いします。

	35691．Re: 極限
	名前：ヨッシー日付：1月26日(土) 1時1分
	手元に解答集があると思いますので、 0<r<3,r=1,r>3 のそれぞれにおいて、その先、どういう変形をするかを比べれば、なぜそのように分けるかが、わかると思います。　 http://yosshy.sansu.org/

35685．重積分

名前：よし　高3 日付：1月25日(金) 0時38分

また問題を解いていて分からない問題があったのでお願いします。

	35687．Re: 重積分
	名前：ヨッシー日付：1月25日(金) 1時10分
	ｚ軸に垂直な面(ｘｙ平面に平行な面)で、この立体を切ると、断面は円になります。ｚ座標ｔにおける断面の半径は、　ｘ²/ａ²＋ｙ²/ａ²＝１－ｔ² より、　ａ√（１－ｔ²) となります。また、断面積は、　πａ²(１－ｔ²) これを、ｔ＝－１から－ａまで積分すると、　πａ²[ｔ－ｔ³/３]_-1～-a 　＝πａ²(－ａ＋ａ³/３＋１－1/3) 　＝π(ａ⁵－３ａ³＋２ａ²)/３　・・・答え１これをf(a)とし、ａで微分すると、　f'(a)＝π(５ａ⁴－９ａ²＋４ａ)/３　　＝(π/３)ａ(ａ－１)(５ａ²＋５ａ－４) より、f'(a)＝０となるのは、小さい順に　ａ＝(－５－√105)／１０，０，(－５＋√105)／１０，１となり、順に、極大、極小、極大、極小となり、０＜ａ≦１の範囲での最大となるのは、(－５＋√105)／１０のとき。　 http://yosshy.sansu.org/

35684．教えてください・・・。

名前：とろろ　中3 日付：1月25日(金) 0時36分

こんにちは。わからない問題があるので教えてください。

図で点Ａ、Ｂはそれぞれ中心がｙ軸上にある円Ｃ１（シーワン）、Ｃ２（シーツウ）と放物線y=x^2との交点であり、Ｃ1Ａ、Ｃ2Ｂはｘ軸に平行である。また、点Ｐ、Ｑはそれぞれ円Ｃ１、Ｃ２とｙ軸との交点である。円Ｃ１の半径をa,円Ｃ２の半径をb、PQ=6として次の問いに答えなさい。ただし、a、bは自然数とする。

（１）a、bの値を求めなさい。

（２）円C1、C2の共通内接線ｌ（エル）の方程式を求めなさい。

って問題です。

自分で考えた結果、（１）の答えはおそらく、a=2 b=4と出ました（あってるかな・・・）。（２）がチンプンカンプンです。先生よろしくお願いします。

	35686．Re: 教えてください・・・。
	名前：ヨッシー日付：1月25日(金) 0時51分
	文の通りの図を描くと、このようになります。Ｐ、Ｑとはいったいどこでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	35703．Re: 教えてください・・・。
	名前：とろろ　中3 日付：1月27日(日) 0時37分
	図が少しおかしかったようです。ごめんなさい。描いていただいたとおりです。Ｐ、Ｑは2つの円とｙ軸との交点です。よろしくお願いします。

	35704．Re: 教えてください・・・。
	名前：とろろ　中3 日付：1月27日(日) 1時31分
	答えになっていませんね・・・。Ｐ、Ｑは真ん中の２つだと思います。添付した画像が、問題集からのコピーです。なので、上下のＰ、Ｑではないと思います。

	35706．Re: 教えてください・・・。
	名前：ヨッシー日付：1月27日(日) 10時30分
	私のページに解答を載せました。問題に、いくつか条件（ａ＜ｂ　など）を加えましたので、実際の解答には、それらを書かないといけないかもしれません。　 http://yosshy.sansu.org/

35677．はじめまして

名前：ゆう日付：1月24日(木) 3時24分

すいません。教えてください。

２次関数ｆ＝x^2-2mx+m+5(mは実数の定数)においてy=f(x)のグラフをＦとするとき次の問いに答えよ。

原点Ｏおよび２点Ａ（３、０）Ｂ（３、３）を頂点にもつ正方形ＯＡＢＣの周および内部をＤとするとき
①ｍ＜０においてＦとＤが共有点を持つときｍのとりうる値の範囲を求めよ。
②ＦとＤが共有点を持つときｍのとりうる値の範囲を求めよ

という２ダイです！！

意味がわからなくて・・・

	35678．Re: はじめまして
	名前：ゆう中３日付：1月24日(木) 3時29分
	> すいません。教えてください。 > > ２次関数ｆ＝x^2-2mx+m+5(mは実数の定数)においてy=f(x)のグラフをＦとするとき次の問いに答えよ。 > > 原点Ｏおよび２点Ａ（３、０）Ｂ（３、３）を頂点にもつ正方形ＯＡＢＣの周および内部をＤとするとき > ①ｍ＜０においてＦとＤが共有点を持つときｍのとりうる値の範囲を求めよ。 > ②ＦとＤが共有点を持つときｍのとりうる値の範囲を求めよ > > という２ダイです！！ > > 意味がわからなくて・・・

	35679．Re: はじめまして
	名前：ヨッシー日付：1月24日(木) 8時53分
	とりあえず、意味だけ。ｍの値を変えると、図のように、Ｆは変化するのですが、その位置によっては、正方形ＯＡＢＣを通るときと通らないときがあります。ｍがどういう範囲の時、正方形ＯＡＢＣを通りますか？という問題です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35680．Re: はじめまして
	名前：ゆう日付：1月24日(木) 12時54分
	ありがとうございます。問題の意味は理解できますが解き方及び答が求まりません。

	35681．Re: はじめまして
	名前：ヨッシー日付：1月24日(木) 13時31分
	方針はこうです。ある点のｘ座標を、x^2-2mx+m+5 に代入して、ｙ座標と比較して、　ｙ＞x^2-2mx+m+5　か　ｙ＜x^2-2mx+m+5 かによって、グラフの上の点か下の点かがわかります。４点ＯＡＢＣについて、　ｙ－(x^2-2mx+m+5) を計算して、全部正か、全部負の場合を考え、それ以外の時は、正方形の４辺のどこかで、グラフをまたいでいるので、共有点があります。一方、全部正の場合は、共有点がないことは明らかですが、全部負の場合は、図のような場合もあるので、注意が必要です。この場合は、頂点が、正方形内にあることで判断できます。全部正になる場合。ｙ－(x^2-2mx+m+5) に、 (0,0) を代入：-m-5＞０　より　ｍ＜－５ (3,0) を代入：5m-14＞０　より　ｍ＞14/5 (3,3) を代入：5m-11＞０　より　ｍ＞11/5 (0,3) を代入：-m-2＞０　より　ｍ＜－２以上より、４つともを満たすｍの範囲はありません。全部負になる場合　ｍ＞－５　かつ　ｍ＜14/5　かつ　ｍ＜11/5　かつ　ｍ＞－２より、　－２＜ｍ＜11/5 これ以外の　ｍ≦－２　または　ｍ≧11/5 のときは、共有点を持ちます。ここで①の答えが出ます。ｍ＜０のときは、のようにはならないので、　ｍ≦－２　が答えです。 ② は、ｍ≧11/5 の他に、頂点が正方形内にある場合の可能性もありますので、それを調べます。 x^2-2mx+m+5＝x^2-2mx+m^2-m^2+m+5＝(x-m)^2-m^2+m+5 より、頂点の座標は、(m, -m^2+m+5)　です。　-m^2+m+5＝-(m-1/2)^2＋21/4 であるので、-m^2+m+5 の値は、　ｍ＝０のとき　５　ｍ＝1/2 のとき最大となり、21/4 -m^2+m+5＝3 となるのは、-m^2+m+2=0　-(m+1)(m-2)＝0 より、ｍ＝－１，２ｍ＝11/5 のとき、-m^2+m+5＝-121/25＋55/25＋125/25＝59/25＞０であるので、　２≦ｍ＜11/5 では、この状態になっています。よって、答えは、　ｍ≦－２　または　ｍ≧２となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35683．Re: はじめまして
	名前：ゆう日付：1月24日(木) 23時47分
	ありがとうございます。よくわかりました

35670．テイラー展開

名前：よし　高3 日付：1月24日(木) 0時9分

久々の投稿です。
少し予習をしていて分からない問題があったのでお願いします。

	35671．Re: テイラー展開
	名前：みっちぃ日付：1月24日(木) 0時33分
	テイラー展開(x=0まわりなら，特にマクローリン展開と言う)であれば， f(x)=f(0) +Σ[n=1..∞] {f^(n)(0)/n!}x^n (f^(n)(x)はf(x)のn回微分) ですから，・e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+x^6/6!+ O(x^7) ・sinx =x/1! -x^3/3! +x^5/5!+ O(x^7) ・cosx =1 -x^2/2! +x^4/4!+x^6/6! + O(x^7) (O(x^7)はx^7以上の項を表す) これを用いると e^x-sinx-cosx =2・(x^2/2! +x^3/3! +x^6/6!) +O(x^7) =x^2 +x^3/3 +x^6/360 +O(x^7) 従って，A=1，B=1/3のとき (e^x-sinx-cosx -Ax^2 -Bx^3)/x^6 =1/360 +O(x^1)→1/360 (x→0)で有限確定する。

	35674．Re: テイラー展開
	名前：Opoona 日付：1月24日(木) 0時48分
	大学の知識も使っていいんだったらロピタル使ったほうが楽やね

	35682．Re: テイラー展開
	名前：よし　高3 日付：1月24日(木) 22時23分
	一応ロピタルの定理も分かります。よろしければ別解も教えていただけませんか？

	35688．Re: テイラー展開
	名前：みっちぃ日付：1月25日(金) 3時43分
	ロピタルでの別解 I=lim[x→0] (e^x-sinx-cosx -Ax^2 -Bx^3)/x^6 は不定形なので，分子分母を微分して， I=lim[x→0] (e^x-cosx+sinx -2Ax -3Bx^2)/6x^5 も，不定形。もう一度 I=lim[x→0] (e^x+sinx+cosx -2A -6Bx)/30x^4 は分母→0より，有限の値に収束するとき「分子→0」が必要。よって，分子にx→0を施して，1+1-2A=0よりA=1。 A=1のときIは不定形なので，もう一度微分 I=(e^x+cosx-sinx -6B)/120x^3 は分母→0より，有限の値に収束するとき「分子→0」が必要。よって，分子にx→0を施して，1+1-6B=0よりB=1/3。同様に，何度も分母・分子を微分していけばOK

35666．[x]のグラフ

名前：奈々日付：1月23日(水) 22時32分

次の三つのグラフを描きなさい

(ア)y=[x]+[-x]+1

(イ)y=|x-2[(x+1)/2]|

(ウ)y=[x]-2[x/2]

[x]はxの整数部分ということなので、x=n(nは整数)のときは[x]=n、n＜x＜n+1のときは[x]=nとなることはわかりました。でもn＜x＜n+1のとき、[-x]=-nになるのか-n-1になるのかわからないのをはじめ、(イ)と(ウ)にいたっては全然わかりません。この問題の解き方をわかりやすく教えていただけないでしょうか？お願いします！

	35668．Re: [x]のグラフ
	名前：rtz 日付：1月23日(水) 23時43分
	(1) [x]が、xを超えない最大の整数、ということはよろしいですか？ですからn＜x＜n＋1で[－x]＝－n－1です。よってn＜x＜n＋1でy＝0、x＝nでy＝1です。 (整数でだけ1、他は0) (2) 2n－1≦x＜2n＋1で2[(x+1)/2]＝2nより、 xが偶数でyが0、xが奇数でyが1で、その間が線分で結ばれた、鋸の歯のような形(／＼／＼／＼／＼)になります。 (3) 2n≦x＜2n＋2で2[x/2]＝2nより、 2n≦x＜2n＋1でy＝0 2n＋1≦x＜2n＋2でy＝1 ＿￣＿￣＿￣＿￣＿￣のような形になります。

	35669．Re: [x]のグラフ
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 23時57分
	私のページにも解答を載せました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35672．まず(ア)から
	名前：t-s 日付：1月24日(木) 0時37分
	rtz様とヨッシー様へ解説ありがとうございます。 (ア)についてですが、＞[x]が、xを超えない最大の整数、ということはよろしいですか？とのことですが、[x]ってxの整数部分とは違うのですか？たとえば[-2.5]の整数部分は-2なので、[-x]=-nと考えるのは間違いなのですね？

	35673．Re: [x]のグラフ
	名前：ヨッシー日付：1月24日(木) 0時44分
	０以上の場合は、整数部と一致しますが、負の数の場合は、違ってきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35675．Re: [x]のグラフ
	名前：七日付：1月24日(木) 0時49分
	普通，整数部分というときも同じです。例えば 2.1 の整数部分は 2 で少数部分は 0.1 ですが－2.1 の整数部分は－3 で少数部分は 0.9 とするのが普通です。

	35705．Re: [x]のグラフ
	名前：奈々日付：1月27日(日) 2時41分
	遅くなってしまってすみませんでした。とても難しかったですが、やっと解決しました。どうもありがとうございました！

35664．導関数

名前：まさ　高校3 日付：1月23日(水) 21時7分

以下の問いが分かりません。解法お願いします。

	35676．Re: 導関数
	名前：みっちぃ日付：1月24日(木) 0時50分
	答えから察するに…，a≠0，b>0ですね。 C：x=(acosθ)t，y=(asinθ)t -bt^2 (ただし0<θ<π/2)についてこの曲線の媒介変数はtであり，a，b，θは定数。 (1) x軸上，つまりy=0となるようなtを求める。 y=0⇔ t(bt-asinθ)=0 なので，t=0，(a/b)sinθ t=0のとき，x=0で点Pは原点なので，もう一つのt=(a/b)sinθ に対応する交点を考えます。 x=(a^2/b)sinθ・cosθ=(a^2/2b)sin(2θ) (←2倍角の公式) sin(2θ)は0<θ<π/2の下で，θ=π/4のときの1が最大なので a，b>0なら，x=a^2/2bが最大(このときのθ=π/4) (2) (x=) (acosθ)t=c ⇔ t=c/(acosθ) の時なので，yに代入。 y=c・sinθ/cosθ -(bc^2/a^2)・(1/cos^2θ) 0<θ<π/2におけるyの最大値を考えればいいのですが，このまま微分するのは大変なので・sinθ/cosθ =tanθ ・1/cos^2θ=1+tan^2θ を利用することで， y=c・tanθ -(bc^2/a^2)・(1+tan^2θ) あとは，平方完成すれば，答えの通りになります。

35657．面積

名前：奈々日付：1月23日(水) 4時47分

【質問】

平面上に2定点A、Bがあり、線分ABの長さは、2(1+√3)である。この平面上を動く3点P、Q、Rがあって、つねにAP=PQ=2、QR=RB=√2を満たしながら動いている。このとき、点Qが動き得る範囲を図示し、その面積を求めなさい。

どうやって解けばいいのか見当もつきません。この問題の解き方を教えてください。お願いします。

	35658．Re: 面積
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 6時20分
	点Ａを固定しておいて、２線分ＡＰ，ＰＱを自由に動かしたとき、点Ｑは、点Ａ中心、半径４の円の内部なら、どこにでも行けます。同様に、点Ｂを固定して、２線分ＢＲ，ＲＱを自由に動かしたとき点Ｑは、点Ｂ中心、半径２√2の円の内部なら、どこにでも行けます。よって、この２つの円の交わる部分が、点Ｑの存在範囲となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35660．Re: 面積
	名前：奈々日付：1月23日(水) 9時18分
	ヨッシー様へ早速の解答、どうもありがとうございました。＞点Ｑは、点Ａ中心、半径４の円の内部なら、どこにでも行けます。どうしてこういえるのかがわからないです。＞２つの円の交わる部分が、点Ｑの存在範囲こんな図形の面積を求めることなんてできるんですか？Aを原点において座標設定して積分で求めるのかと思いましたが、定積分計算のところで絶対にうまくいかなくなるのですが？

	35661．Re: 面積
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 9時36分
	面積も出すんでしたね。３辺がＡＢ＝2(1+√3）,ＡＣ＝4,ＢＣ＝2√2 の三角形ＡＢＣを考えます。余弦定理より　cos∠ＡＢＣ＝(ＡＢ²＋ＢＣ²－ＡＣ²)/２ＡＢ・ＢＣ　＝４{(4+2√3)＋2－4}/８(√2＋√6) 　＝√2/2 よって、∠ＡＢＣ＝45° 同様に　cos∠ＣＡＢ＝(ＡＢ²＋ＣＡ²－ＢＣ²)/２ＡＢ・ＡＣ　＝４{(4+2√3)＋4－2}/１６(1＋√3) 　＝√3/2 よって、∠ＣＡＢ＝30° 以上より、求める図形の面積は、半径 2√2、中心角90°の扇形から、直角をはさむ２辺が2√2 の直角二等辺三角形を引いた形(弓形)と、半径 4、中心角60°の扇形から、1辺が４の正三角形を引いた弓形とを合わせたものになります。前者は、　8π/4－4＝2π－4 後者は、　16π/6－4√3＝8π/3－4√3 合計して　14π/3－4－4√3 　 http://yosshy.sansu.org/

	35662．Re: 面積
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 9時45分
	上の図(動画)は、プロポーションがちょっと違いました。正しくはこのような図になり、角度が45°、30°のようにピッタリ求まります。＞＞点Ｑは、点Ａ中心、半径４の円の内部なら、どこにでも行けます。＞どうしてこういえるのかがわからないです。Ａ－Ｐ－Ｑだけ考えて、Ａを固定してＱを好きなように動かせば、Ａから一番離れるのは、ＡＰＱが直線になった状態で、ＡＱ＝４一番近いのは、ＡＰとＰＱが重なり、ＱがＡと一致した状態で、ＡＱ＝０この範囲内では、好きなように動けます。 ※Ａ－Ｐ－Ｑだけ考えるというのは、Ｑ－Ｒ－Ｂはつながないということです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35665．Re: 面積
	名前：奈々日付：1月23日(水) 21時58分
	ヨッシー様へようやく理解できました。今回もありがとうございました！

35653．(untitled)

名前：風日付：1月22日(火) 22時28分

高２です。
図がなくて申し訳ないのですが･･･

扇形ＯＡＢにおいて、点ＢからＯＡに垂線ＢＨを下ろし、
∠ＡＯＢ＝θ，ＯＢ＝rとしたとき，
lim[θ→0]AH/θ^2を求めよ。
という問題が分かりません。宜しくお願いします。

	35654．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 0時55分
	ＯＨ＝ＯＢcosθ＝ｒcosθ であるので、　ＡＨ＝ＯＡ－ＯＨ＝ｒ(1－cosθ) θが非常に小さいとき　sinθ＝θ 　cosθ＝１－θ²/２詳しくはこちら。よって、　ＡＨ＝ｒθ²/２以上より、　lim[θ→0]ＡＨ/θ²＝ｒ／２　 http://yosshy.sansu.org/

	35656．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：1月23日(水) 2時8分
	別解 AH=r(1-cosθ)=2r{sin(θ/2)}^2 lim[θ→0]AH/θ^2=lim[θ→0]2r{sin(θ/2)}^2/θ^2 =lim[θ→0](r/2){sin(θ/2)/(θ/2)}^2 =r/2 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35667．Re: (untitled)
	名前：風日付：1月23日(水) 22時36分
	マクローリン展開っていうのが難しいです･･。でも考え方はわかりました。ヨッシーさん、らすかるさん、ありがとうございました！

35652．化学Ｉなんですが・・

名前：なお日付：1月22日(火) 22時16分

1.単体と化合物と、混合物にわけよ。
スクロース（ショ糖）、石油、ヨウ素、硫酸、オゾン、ドライアイス、エタノール
お願いします。

2.蒸発しやすい成分を、蒸発しにくい成分から分離する方法をなんと言うか。

3.分留・・例）液体空気→酸素、（　）
何がはいるのでしょうか？
教えてください。

4.元素と原子の違いを教えてください。

多くて誠に申し訳ございません。お願いします。

	35655．Re: 化学Ｉなんですが・・
	名前：ヨッシー日付：1月23日(水) 1時0分
	こちらをご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35698．Re: 化学Ｉなんですが・・
	名前：なお日付：1月26日(土) 18時1分
	ありがとうございます！

35648．同心円の半径の比

名前：√ 日付：1月22日(火) 14時53分

よろしく　お願い致します。

同心円の半径の比が１：√２だったら正方形に内接・外接する。
同心円の半径の比が１：２だったら正三角形に内接・外接する。

で、合ってますでしょうか？

	35649．Re: 同心円の半径の比
	名前：らすかる日付：1月22日(火) 14時57分
	(重心から辺までの距離)：(重心から頂点までの距離) に一致すれば良いので、合ってますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35650．Re: 同心円の半径の比
	名前：√ 日付：1月22日(火) 15時12分
	らすかるさんとても速いお返事、有り難うございました。

35644．ベクトル・平面上の点の存在範囲

名前：もも日付：1月21日(月) 20時47分

はじめまして!!高校１年生のももです。

△OABに対し、V(OP)＝sV(OA)＋tV(OB)とする。
実数s,tが条件s＋t≦1/3、s≧0、t≧0を満たしながら動く時、
点Pの存在範囲を求めよ。

解説をお願いします!!

V(OP)　ベクトルOP
V(OA)　ベクトルOA
V(OB)　ベクトルOB　です。

	35647．Re: ベクトル・平面上の点の存在範囲
	名前：ヨッシー日付：1月22日(火) 8時36分
	こちらも合わせてご覧いただくとして、図のように、ｓ＋ｔの値は、ＡＢに平行な直線が、点Ｏから、どのくらい離れているかに関わってきます。よって、求める範囲は、△ＯＡＢの１／３の大きさの三角形の周および内部になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35663．Re: ベクトル・平面上の点の存在範囲
	名前：もも日付：1月23日(水) 20時44分
	丁寧な図付きの解説ありがとうございました!! 本当に助かりましたｗよく分かったので嬉しいです(´∀｀●)

35637．方程式

名前：ミラン 日付：1月21日(月) 18時19分

中学一年生です。お願いします。
ある中学校の一年生の一学期の男女の人数比は３：４だったが二学期は男子が２人、女子が１人転入してきたので男女の人数比は１０：１３になった。二学期の一年全体の人数を求めなさい。

	35638．Re: 方程式
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 18時38分
	連立方程式を使うなら、最初の男子をｘ人、女子をｙ人とすると、　ｘ：ｙ＝３：４より、　４ｘ＝３ｙ移項して　４ｘ－３ｙ＝０　・・・(1) 転入後、男子はｘ＋２人、女子はｙ＋１人になり、　(ｘ＋２)：(ｙ＋１)＝１０：１３より、　１３(ｘ＋２)＝１０(ｙ＋１) 展開して、整理すると　１３ｘ－１０ｙ＋１６＝０　・・・(2) (1)×10－(2)×３　　４０ｘ－３０ｙ＝０－）３９ｘ－３０ｙ＋４８＝０　　　　ｘ－４８＝０よって、　ｘ＝４８ (2)より　１０ｙ＝１３ｘ＋１６＝６４０　ｙ＝６４二学期は、男子５０人、女子６５人の、計１１５人　 http://yosshy.sansu.org/

	35640．Re: 方程式
	名前：ミラン日付：1月21日(月) 18時56分
	ありがとうございます。連立方程式をまだ習っていないのですが、他の解き方があれば教えてください。よろしくお願いします

	35642．Re: 方程式
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 19時31分
	最初の男子の人数をｘ人とすると、女子は４ｘ／３人転入後、男子がｘ＋２人、女子が(４ｘ＋３)／３人になり、　(ｘ＋２)：{(４ｘ＋３)／３}＝１０：１３より、　１０(４ｘ＋３)／３＝１３(ｘ＋２) 両辺３をかけて、展開すると、　４０ｘ＋３０＝３９ｘ＋７８移項して整理すると、　ｘ＝４８女子は、　４８×４／３＝６４２学期は、５０人と６５人で、合わせて１１５人また、分数を嫌って、次のようなテクニックもあります。最初の男子の人数を３ｘ人とすると、女子は４ｘ人転入後、３ｘ＋２、４ｘ＋１になり、　(３ｘ＋２)：(４ｘ＋１)＝１０：１３　１０(４ｘ＋１)＝１３(３ｘ＋２) 　４０ｘ＋１０＝３９ｘ＋２６　ｘ＝１６男子は、１６×３＝４８(人) 女子は、１６×４＝６４(人) 以下同じ。　 http://yosshy.sansu.org/

	35643．Re: 方程式
	名前：ミラン日付：1月21日(月) 19時52分
	とてもよくわかりました。分数を使わないほうが解きやすいです。ありがとうございました。

35632．微分と積分

名前：パスパ 日付：1月21日(月) 16時40分

高校二年の問題です。

等式、ｆ(ｘ)= 4x ＋ 3∫0^1 f(t) dx　を満たす関数f(x)を求めよ。

答えは、f(x)＝4x－3となるようです。

	35633．Re: 微分と積分
	名前：らすかる日付：1月21日(月) 16時56分
	f(t) は f(x) の誤りですか？あるいは dx は dt の誤りですか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35634．Re: 微分と積分
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 16時56分
	ｆ(ｘ)= 4x ＋ 3∫₀¹f(t)dt だと思いますが。 3∫₀¹f(t)dt の部分は、定積分なので、ある定数です。それをＣとおくと、　f(x)＝４ｘ＋Ｃ　3∫₀¹f(t)dt 　＝3∫₀¹(4t+C)dt 　＝3[2t²＋Ct]₀¹ 　＝６＋３Ｃ＝Ｃよって、Ｃ＝－３　f(x)＝４ｘ－３　 http://yosshy.sansu.org/

	35635．Re: 微分と積分
	名前：パスパ日付：1月21日(月) 17時2分
	失礼しました。問題のdxはdtの誤りです。

	35636．Re: 微分と積分
	名前：パスパ日付：1月21日(月) 17時6分
	大変、よくわかりました。解説いただきありがとうございました。

35624．図示

名前：ござる 日付：1月21日(月) 11時55分

すいませんもう一問質問します。
x[1],x[2]∈R^2のとき
max(x[1],x[2],0)の図示を以前示してもらいましたが
そのプロセスはどうなっているんでしょうか？
よろしくお願いします。

	35629．Re: 図示
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 12時54分
	以前、こもりんさんの質問では、　x[1],x[2]∈R でしたが。　 http://yosshy.sansu.org/

	35641．Re: 図示
	名前：ござる日付：1月21日(月) 19時23分
	問題を確認したところ、R^2でした。おそらく２次元x,y平面を想定してのことだと思います。

35623．図示

名前：ござる 日付：1月21日(月) 11時45分

x∈Rのとき

max(x,0)はどうなるのでしょうか？
図示をお願いします。

	35631．Re: 図示
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 13時15分
	`max(x,0)＝｛ｘ　(ｘ≧０) 　　　　　｛０　(ｘ＜０) ということですね。　　　　　　／　　　　　／＿＿＿＿／のようなグラフになります。` 　 http://yosshy.sansu.org/

35620．証明

名前：ミヨ日付：1月21日(月) 11時15分

2次方程式(x＾2)＋kx＋1=0の解をα,βとするとき、次の問いに答える。
ただし、kは定数とする。

(1)α>0, β>0のとき、α＋β>0,αβ>0が成り立つ。
逆に、α,βが実数でα＋β>0、αβ>0のとき、α>0、β>0となることを示す。

(2) (1)で示したことを用いてα、βがともに正となるようにkの値の範囲を定める。

考え方が分かりませんので教えてください

	35625．Re: 証明
	名前：みずき日付：1月21日(月) 12時6分
	いけそうなのでお答えしておきます。 (1)ですが、 α＞０、β＞のとき、α＋β＞０、αβ＞０は自明です。逆の場合、 αβ＞０より、αとβは同符号となり、 α＜０かつβ＜０のときはα＋β＜０となり条件を満たさないので、 α＞０かつβ＞０となり、逆も示すことができます。 (2)は、 (1)の結果から、 α、βが共に正の数になるとき、 α＋β＞０かつαβ＞０・・・①である。よって、以下①となるようなｋの範囲を求める。解と係数の関係より、 α＋β＝－ｋ＞０からｋ＜０・・・② αβ＝１＞０は成り立っている。・・・③ ②、③から、①を満たすｋの範囲は、ｋ＜０であるとわかる。従って、求めるｋの範囲は、ｋ＜０である。となると思います。紙に書いてないので、計算間違ってたらごめんなさい。

	35626．Re: 証明
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 12時29分
	みずきさん。解と係数に持ち込んだところまではいいですが、では、ｋ＝－１のときの、　ｘ²－ｘ＋１＝０は、題意を満たすでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

35619．Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和はどうやって求めれますか?

名前：miwa 日付：1月21日(月) 10時57分

Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしています。

先ず,収束する事は比を採って
lim[n→∞]((-1)^(n+1)5^(n+1)/(2(n+1))!)/((-1)^n5^n/(2n)!)
=lim[n→∞]-1･5/((2n+2)(2n+1))=0<1
よって　Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束する。

それから和はどうすれば求まるのでしょうか?

	35630．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和はどうやって求めれますか?
	名前：hari 日付：1月21日(月) 13時3分
	e^xのテイラー展開と比較してみては。

	35659．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和はどうやって求めれますか?
	名前：miwa 日付：1月23日(水) 7時49分
	ご回答有難うございます。 > e^xのテイラー展開と比較してみては。 e^x=1+x/1!+x^2/2!+…+x^n/n!+… なので e^5=1+5/1!+5^2/2!+…+5^n/n!+… 、、、うーん、これからどうなるのでしょうか?

35614．空間ベクトル

名前：deborah 日付：1月21日(月) 1時23分

はじめまして、高校二年です。

2点 A(0,1,4) B(4,5,0)について。
(1)直線AB上の点で、原点から最も近い点Pの座標を求めよ。

(2)、(1)で求めた点Pに対して、AB垂直OPであることを示せ。

まず、(1)で、考えがとまってしまい、考え方の道筋もいまいち分からず，困っています。
よろしくお願いします。

ちなみに、答えは(1),P(1,2,3) です。

	35616．Re: 空間ベクトル
	名前：rtz 日付：1月21日(月) 6時46分
	(1) ↑AB＝(4,4,-4)＝4*(1,1,-1) PはAB上の点ですから、実数の定数kを用いて ↑AP＝k↑AB＝(k,k,-k)と表せます。よってPの座標は(k,k+1,4-k)ですから、 OP²＝k²＋(k+1)²＋(4-k)²となりますので、 kについて平方完成すれば、 kが幾らのときOP^2が最小(＝OPが最小)となるかが分かります。 (2) AB⊥OP⇔↑AB・↑OP＝0ですので、(1)のkを使えばよいでしょう。

35613．整数の判定

名前：みずき 日付：1月21日(月) 1時7分

またよろしくお願いします。
例えば、分数の形でかかれた
2/1 や-8/2などは、整数に入るのでしょうか？（どちらも、２，－４になりますが）
また、有効数字で書かれた2.0はどうなのでしょう。
いい知恵をお貸し下さい、よろしくお願いします。

	35627．Re: 整数の判定
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 12時33分
	2/1 や -8/2 などは、普通、整数と見なして差し支えありません。 2.0 は、1.95以上 2.05未満の数の概数なので、整数とは言えないでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

35610．一様収束について

名前：アケミ 日付：1月20日(日) 21時33分

X,YはBanachspaceで
T_n,T∈B(X,Y) (n=1,2....)かつ
lim(n→∞) ||T_n(x)-T(x)||=0 (∀x∈X) のとき
K⊂Xをコンパクト集合として
∀ε>0,∃n_o∈N s.t.
∀n>n_o,∀u∈K⇒||T_n(u)-T(u)||<ε
を示したいのですが、
こういうコーシー列みたいな考え方がいまいち分かっていないので
教えていただけたらと思います。よろしくお願いします。
http://t

35609．素数

名前：たかし 日付：1月20日(日) 21時25分

p,4p^2+1,6p^2+1が素数のときのｐを求めよ。
というもんだいです。
なんかモードってのを使えといわれたのですが、よく分かりません。
お願いします。

	35611．Re: 素数
	名前：教得手　学日付：1月20日(日) 22時7分
	何の手がかりになるものがなかったら、とりあえずｐが２,３,５,７,１１のときの　4p^2+1　,6p^2+1　を計算してみては？何か見えてくるかも・・・・

	35617．Re: 素数
	名前：たかし日付：1月21日(月) 7時33分
	すいません。答えはｐ＝５を入れてみて分かってるんですが、解き方が分からないんです・・・

	35618．Re: 素数
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 8時27分
	教得手　学さんは、「何かが見えてくる」と言われたんですよね？上の表は、いくつかの素数ｐについて、調べたものですが、ｐ＝５以外は、一見して素数でない数が、入っていますよね？　 http://yosshy.sansu.org/

	35639．Re: 素数
	名前：教得手　学日付：1月21日(月) 18時53分
	ヨッシーさんフォロー有難う御座います。では、続けてみます。どの列にも５の倍数があるので、「必ずどれかは５の倍数になるのでは」と予測し、ならばｐを「mod５」でいくらになるか毎に、このことを確認していきます。 (1) ｐ≡±１(mod５)のとき、4p^2+1≡０(mod５)　すなわち 4p^2+1 が５の倍数になります。 (2) ｐ≡±２(mod５)のとき、6p^2+1≡０(mod５)　すなわち 6p^2+1 が５の倍数になります。 (3) (1)(2)以外は、ｐ≡０(mod５) よって、p ,4p^2+1 ,6p^2+1 のどれかが必ず５の倍数になります。５の倍数で素数は５しかなく、 4p^2+1 ,6p^2+1＞5　だから　ｐ＝５の場合しかありえないことになります。尚、合同式の変形が不得手ならば (1) なら、ｐ＝5ｍ±1 とおき 4p^2＋1 を変形すれば、同じ結果が出てきます。

	35646．Re: 素数
	名前：たかし日付：1月22日(火) 0時18分
	大変よく分かりました。ありがとうございました。

35602．数Ａ：組み合わせ

名前：なお日付：1月20日(日) 18時23分

1.次の式を計算しなさい。
4！/6！=1/30で合っているのでしょうか？
2.nCr=nCn-rとなるのはなぜでしょうか？
3.バレーボールのチームが6チームある。どの2つのチームも互いに試合ができるようにすると、全部で何通りか？
解き方を教えてください。

	35607．Re: 数Ａ：組み合わせ
	名前：ヨッシー日付：1月20日(日) 21時11分
	１．合っています。２．nＣr＝n!/(n-r)!r! ですから、ｒ＝ｎ－ｒを代入すると、　nＣn-r＝n!/(n-r)!r!　です。３．６つのチームから２チームを選ぶ組み合わせなので、　6Ｃ2(通り) 　 http://yosshy.sansu.org/

	35651．Re: 数Ａ：組み合わせ
	名前：なお日付：1月22日(火) 22時15分
	ありがとうございます！

35601．座標　証明

名前：はる日付：1月20日(日) 12時14分

こんにちは（＾－＾）

①座標平面上の相違なる３点（X0,Y0）（X1,Y1）（X2,Y2）を通る二次関数を求めよ。
②Xi（i＝０，１，２，３）は相異なる実数。座標平面上の相異なる４点（Xi、Yi）を通る三次（以下）の関数を求めよ。
③②でXi（i＝０，１，２，３・・・ｎ）は相異なる実数。座標平面上の相異なるn点（Xi,Yi）を通るn次（以下）の関数を求めよ。

こんな問題が出されたんですけど、どうやって解けばいいのか全くわかりません・・・もしよかったら、数式だけでなく日本語もつけてわかりやすく教えていただけたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

	35608．Re: 座標　証明
	名前：ヨッシー日付：1月20日(日) 21時14分
	② 求める３次関数を　ｙ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄと置き、(X0,Y0)(X1,Y1)(X2,Y2)(X3,Y3)を代入して、４つの式を作ります。これを、ａ，ｂ，ｃ，ｄの連立方程式として、ａ，ｂ，ｃ，ｄを求めます。 ①③も同様です。　 http://yosshy.sansu.org/

35599．不等式の証明

名前：ミヨ日付：1月20日(日) 10時27分

(x＾2)-xy＋(y＾2)≧0
=【x-(1/2)y】＾2 ＋(3/4)*(y＾2)≧0

より
等号が成り立つのは
x-(1/2)y＝０とy=0になるのが分かりません

	35600．Re: 不等式の証明
	名前：ヨッシー日付：1月20日(日) 11時53分
	２行目の最初の＝は不要です。 x＾2-xy＋y＾2　が　{x-(1/2)y}＾2 ＋(3/4)y＾2 になる変形はいいですね？ {x-(1/2)y}＾2 も (3/4)y＾2 も、ある数の２乗になっているので、０以上、その和も０以上となり、　{x-(1/2)y}＾2 ＋(3/4)y＾2≧０です。等号が成り立つ（０になる）のは、{x-(1/2)y}＾2 も (3/4)y＾2 も０になるときで、　ｙ＝０　かつ　x-(1/2)y＝０のときということになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35621．Re: 不等式の証明
	名前：ミヨ日付：1月21日(月) 11時16分
	x-(1/2)y}＾2 も (3/4)y＾2が0になるのですか？

35598．重積分

名前：ブンタ　大学1 日付：1月19日(土) 23時19分

写真の問題を教えていただきたいのですが・・・
（2）の解答は2/3になると思います。

	35605．Re: 重積分
	名前：みっちぃ日付：1月20日(日) 19時46分
	(1)は場合分けを行ってゆくと，図のようになります。 (2) 重積分は，一文字ずつ積分する「逐次積分」に変えます。で，どの文字から先に積分するかは自由です。と言うことで，2つともやってみます。 (i)y→xの順で積分 ∫[x:…] {∫[y:…] dy} dxの形で書きます。まず，図の赤の線のように，あるxを固定して切る。このとき，「-1≦x≦0では-x-1≦y≦x+1」「0≦x≦1ではx-1≦y≦-x+1」なので， yの区間を定めた後，固定したxも動かしていくことで， ∫[x:-1→0] {∫[y:(-x-1)→(x+1)] (x^2+y^2) dy} dx +∫[x:0→1] {∫[y:(x-1)→(-x+1)] (x^2+y^2) dy} dx =∫[x:-1→0] {2(x+1)x^2 +(2/3)(x+1)^3 }dx +∫[x:0→1] {2(-x+1)x^2+(2/3)(-x+1)^3}dx … =2/3です。 (ii) x→yの順で積分 ∫[y:…] {∫[x:…] dx} dyの形で書きます。まず，図の緑の線のように，あるyを固定して切る。このとき，「-1≦y≦0では-y-1≦x≦y+1」「0≦y≦1ではy-1≦y≦-y+1」なので， ∫[y:-1→0] {∫[x:(-y-1)→(y+1)] (x^2+y^2) dx} dy +∫[y:0→1] {∫[x:(y-1)→(-y+1)] (x^2+y^2) dx} dy 以下，計算は(i)の時と同じ。積分の順序を変更してとあるので，(i)だけやればいいと思います。

	35645．Re: 重積分
	名前：ブンタ　大学1 日付：1月21日(月) 23時25分
	なるほど。　丁寧な図まで用意していただきありがとうございました。

35592．回転体の体積

名前：奈々日付：1月19日(土) 19時0分

【質問】

原点をOとするxyz空間に2点P(cosπt,sinπt,t)、Q(cosπt,sinπt,0)をとる。0≦t≦1のとき、次の問いに答えなさい。

(1)t=k/n(ただしk、nは自然数、k≦n)とする。△OPQをz軸の周りにπ/nだけ回転させてできる立体の体積を求めよ。

(2)tが0から1まで動くとき、△OPQが通過する部分の体積を求めよ。

(1)からわからないです。回転するごとに高さが変わってしまうので、どうやって体積を求めればいいのか見当がつきません。t=k/nとする、となっていますが、なぜこうおいているのかもわかりません。この問題の解き方を詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

	35593．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：1月19日(土) 19時50分
	(1) t=k/n のとき、 △ＯＰＱは、底辺(ＯＱ）＝１、高さ（ＰＱ）＝ｔ＝ｋ/ｎ　の三角形であり、これを、π/ｎだけ回転させた立体の体積を求めています。これは、半径１，中心角π/ｎの扇形の高さｋ/ｎの柱(扇形柱)から、同じ底面、同じ高さの扇形錐を引いたものなので、扇形柱の2/3 の体積です。扇形柱の体積は、(π/2n)×(ｋ/ｎ)＝ｋπ/２ｎ² 求める立体の体積は、2/3倍して、ｋπ/３ｎ² (2) (1)の立体をｋ＝１からｎまで合計すると、　(1+2+･･･n)π/３ｎ²＝(n+1)π/６ｎ＝π/６＋π/６ｎこれをｎ→∞に飛ばすと、求める立体となります。答え　π/６　 http://yosshy.sansu.org/

	35594．Re: 回転体の体積
	名前：奈々日付：1月19日(土) 20時35分
	ヨッシー様へお早い解説どうもありがとうございます。でもいくつか質問があります。＜これは、半径１，中心角π/ｎの扇形の高さｋ/ｎの柱(扇形柱)から、同じ底面、同じ高さの扇形錐を引いたものなのでどうしてこういう図形になるのですか？回転させるときに、△OPQ高さは変わりませんか？たとえばt=0のときは高さ0で、t=1のときは高さ1になってます。やっぱり単純に扇形柱から扇形錐を引いたものとはできないような気がします。それとも私の勘違い？あと(2)の解説も理解できません。どうして体積を求めるのに極限が出てきたのですか？どうして(1)の立体をｋ＝１からｎまで合計したものの極限値が題意の立体になるのかが全然わからないです。ここのところももう少し易しく教えていただけないでしょうか？

	35595．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：1月19日(土) 20時44分
	＞回転させるときに、△OPQ高さは変わりませんか？ (1) の場合は変わりません。 (2) で考える最終的な立体の、角度π/ｎを切り取るのではなく、あくまでも三角形の回転です。高さ一定です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35596．Re: 回転体の体積
	名前：奈々日付：1月19日(土) 21時13分
	(1)は高さtのままで回転させるということなのですね。問題文の読み違えていました。 (2)の方ももう少し詳しく教えていただけないでしょうか？お願いします！

	35597．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：1月19日(土) 22時7分
	図は、ｎ＝１からｎ＝１２までを表した図です。ｎ＝１２のときは、１２個の立体に分かれます。この状態で、ｎを無限大に飛ばすと、(2) で求める立体の体積になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35604．Re: 回転体の体積
	名前：奈々日付：1月20日(日) 19時28分
	ヨッシー様へ解説ありがとうございました。本問の解き方ですが、分割したものの体積を求めて足し合わせてから、分割を小さくしていく(極限をとる)、要は区分求積法で面積を求めていたときのようなことをやっていたんですね。最後にひとつ質問があります。k=1から足していく場合、t=0からt=1/nまで⊿OPQが通過する部分の体積が足されていないと思うのですが、これは無視してもよいということなのですか？

	35606．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：1月20日(日) 21時8分
	ちゃんと足されていますよ。角度０～π/n が、ｋ＝１角度π/n～2π/nが、ｋ＝２　・・・角度(n-1)π/n～πが、ｋ＝ｎです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35615．Re: 回転体の体積
	名前：奈々日付：1月21日(月) 1時29分
	ヨッシー様へ無事解決しました。ありがとうございました。

35588．速さ

名前：昆布日付：1月19日(土) 10時19分

小学六年生です。教えてください。
400ｍのグラウンドを一周するのに、Ａさんは２分３０秒かかり、Ｂさんは２分４５秒かかります。Ａさんは、Ｂさんがスタートしてから１分30秒後にスタートしてＢさんの後を追いました。ＡさんがＢさんに追いつくまでにＡさんは何ｍ走りますか。答えは２４００ｍです。考え方を教えてください。よろしくお願いします。

	35589．Re: 速さ
	名前：ヨッシー日付：1月19日(土) 10時25分
	まず、２人の速さを出しましょう。　Ａ：４００÷１５０＝８／３＝８８／３３（ｍ/秒）　Ｂ：４００÷１６５＝８０／３３（ｍ/秒）Ｂが９０秒進むと、　８０／３３×９０＝２４００／１１（ｍ）先にいます。この距離をＡとＢの速さの差　８８/３３－８０/３３＝８／３３で追いかけるので、追いつくまでの時間は　２４００／１１÷（８／３３）＝９００（秒）この間にＡの進む距離は　９００×８／３＝２４００（ｍ）　　 http://yosshy.sansu.org/

	35590．Re: 速さ
	名前：昆布日付：1月19日(土) 10時31分
	ありがとうございました。速さが苦手なのでまた教えてください。

35584．無理数を無限級数で

名前：みずき 日付：1月18日(金) 21時53分

よろしくお願いします。
無理数である√２を無限級数の形で表すことが可能であると本で読んだのですが、どのような形なのでしょう。
繁分数の形だとも書いてあり、興味があるのですが、いくら調べてもわかりません。よろしくお願いします。

	35586．Re: 無理数を無限級数で
	名前：らすかる日付：1月19日(土) 0時36分
	＞どのような形おそらくいろいろな形で書けると思います。ただ単に無限級数で表せば良いだけなら √2=√2/2+√2/2^2+√2/2^3+√2/2^4+… とか書けますが、「有理数の無限級数」でしょうか。もし有理数なら、例えば √2=3{1/2-1/36-1/36^2-4C2/(3・36^3)-6C3/(4・36^4)-8C4/(5・36^5)-…} のように書けます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35591．Re: 無理数を無限級数で
	名前：soredeha 日付：1月19日(土) 18時41分
	連分数、例えば http://www3.ocn.ne.jp/~fukiyo/math-obe/renbunsu.htm

	35612．Re: 無理数を無限級数で
	名前：みずき日付：1月21日(月) 1時5分
	よくわかりました、ありがとうございます☆

35578．速さ

名前：昆布日付：1月18日(金) 13時41分

小学六年生です。よろしくお願いします。
図のように、水平な面の上に直径ＡＢの円があります。点Ｐは円周上を時計回りに点Ａから点Ｂまで一定の速さで３０秒かけて移動します。このとき、点Ａと点Ｂを結んで出来る直線と水平な面との交点をＱとします。また、∠ＡＢＱ＝90°となっています。このとき、次の問いに答えなさい。
①三角形ＡＰＢと三角形ＢＰＱの面積が等しくなるのは点Ｐが動き始めてから何秒後ですか。

②点Ｐが動き始めてから１０秒後の三角形ＢＰＱの面積と２０秒後の三角形ＢＰＱの面積の比を求めなさい。

	35579．Re: 速さ
	名前：チョッパ日付：1月18日(金) 13時56分
	問題が若干おかしいような気もしますが… (1) △BPQが△ABQの面積の半分になればよい。 →△BPQのBQを底辺にしたときの高さがABの半分になればよい。 →Pの位置が弧ABの真ん中。 →30÷2＝15(秒後)

	35580．Re: 速さ
	名前：昆布日付：1月18日(金) 14時5分
	ありがとうございます。点Ａと点Ｐを結んで出来るの間違いでした。すみません。 ②の答えは９：１なのですが、解き方を教えてください。お願いします。

	35581．Re: 速さ
	名前：チョッパ日付：1月18日(金) 14時24分
	(2) 10秒後の△ABPは，角BAP＝60度，角ABP＝30度，角APB＝90度の直角三角形です。（円の中心とPを結んで考えてください）よって，AB：AP＝2：1 また，△ABQは，角BAQ＝60度，角ABQ＝90度，角AQB＝30度の直角三角形です。よって，AQ：AB＝2：1 連比を考えれば，AQ：AB：AP＝4：2：1となり， △ABP：△BPQ＝1：3となります。…ア 20秒後の△ABQは，角BAQ＝30度，角ABQ＝90度，角AQB＝60度の直角三角形です。（円の中心とPを結んで考えてください）よって，AQ：BQ＝2：1 また，△BPQは，角PQB＝60度，角PBQ＝30度，角BPQ＝90度の直角三角形です。よって，BQ：PQ＝2：1 連比を考えれば，AQ：BQ：PQ＝4：2：1となり， △ABP：△BPQ＝3：1となります。…イ 10秒後の△ABPと20秒後の△ABPは底辺も高さも等しいので面積は等しくなります。よって，アとイより 10秒後の△BPQと20秒後の△BPQの面積比は9：1となります。＃タイプミスや計算ミスがあるかもしれないので，よく確認してください。

	35582．Re: 速さ
	名前：昆布日付：1月18日(金) 14時26分
	ありがとうございます。よくわかりました。

	35583．Re: 速さ
	名前：チョッパ日付：1月18日(金) 14時29分
	すごいですねぇ。こんな短時間で理解してもらえるなんて想像していませんでした。

35576．正の実数の列{a(n)}においてΣa(n)∈R⇒Σa(n)/n∈R?

名前：kana 日付：1月18日(金) 0時9分

正の実数からなら数列{a(n)}に於いて、
「Σa(n)が収束する⇒Σa(n)/nは収束する」
という命題は正しいかどうか考えてます。

一見,正しいようですがどうやって証明が言えるのでしょうか?

解説では
『各項について、a(n)/n≦a(n)だから、Σa(n)の部分和をS(n)、
Σa(n)/nの部分和をT(n)とすれば、
T(n)≦S(n)≦Σa(n)＜∞
よって、T(n)は上に有界で、T(n)は単調増加数列だから、T(n)は収束す
る』
然し,「T(n)≦S(n)≦Σa(n)＜∞」だけでどうしてΣa(n)/n単調増加かどうして分かるのでしょうか?

	35577．Re: 正の実数の列{a(n)}においてΣa(n)∈R⇒Σa(n)/n∈R?
	名前：ヨッシー日付：1月18日(金) 0時41分
	Σa(n)/n が単調増加ではなく、その部分和のT(n) が単調増加です。　T(n+1)＝T(n)＋a(n)/n であり、a(n)/n＞０なので、T(n) はｎが増えると大きくなる一方です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35587．Re: 正の実数の列{a(n)}においてΣa(n)∈R⇒Σa(n)/n∈R?
	名前：kana 日付：1月19日(土) 3時6分
	納得です。ボケておりました。 Σa(n)/nの部分和をT(n)はよく見ると単調増加でしたね。早合点でした。

35572．線型についてです。

名前：かな日付：1月16日(水) 23時28分

n×nのユニタリ行列の行列式は絶対値1の複素数であることはどうすれば示されますか。よろしくお願いします。

	35573．Re: 線型についてです。
	名前：hari 日付：1月17日(木) 4時44分
	ユニタリー行列U の固有値をλ, 対応する固有ベクトルをp とすると Up =λp が成り立ちます。左から^†Uλ^-1をかけて, 共役複素数(^で表す)をとると (^†Up)^ = (λ^-1p)^* これに^tp を左からかけて ^tp(^†Up)^* = ^tp(λ^-1p)^* = λ^^-1^tpp^・・・[1] また ^tp(^†Up)^* = ^tp^†U^p^ = ^tp^tUp^* = ^t(Up)p^* = ^t(λp)p^* = λ^tpp^・・・[2] [1][2]より λ=λ^^-1 ⇔ \|λ\| = 1

	35574．Re: 線型についてです｡
	名前：かな日付：1月17日(木) 7時38分
	理解できました。ありがとうございました。

35570．数列？

名前：daigoron 日付：1月16日(水) 22時11分

なにから手をつけてよいかわかりません。
些細なヒントだけでもください。

	35571．Re: 数列？
	名前：らすかる日付：1月16日(水) 22時26分
	問題が正しくない気がしますが、a[n]とは何ですか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35557．(untitled)

名前：ラディン.ms 日付：1月15日(火) 17時2分

次の２問がわかりません。よろしくお願いします。

1.点Ａは第二象限，点Ｂは第１象限にあってともにy=x²上にあり，∠OAB=90°である。
Ｂからx軸に下ろした垂線にＡから下ろした垂線の足をＣとするときＡＣ：ＣＢ＝２：１となった。
（１）Ａからx軸に下ろした垂線の足をＤとするとき，AD/DOの値を求めよ。
（２）２点Ａ，Ｂの座標を求めよ。

2.∑[k=1～n]2^k_nC_kを計算せよ。

	35558．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：1月15日(火) 17時28分
	（１＋ｍ）ⁿ 　＝１＋nＣ1ｍ¹＋nＣ2ｍ²＋・・・＋nＣnｍⁿ 　＝１＋∑[k=1～n]ｍ^knＣk これに、ｍ＝２を代入すると、　∑[k=1～n]２^knＣk＝３ⁿ－１　 http://yosshy.sansu.org/

	35559．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：1月15日(火) 19時25分
	問1 (1) △AOD∽△ABCよりAD：DO＝2：1 よって，AD/DO＝2 (2) (1)より，直線OAがy＝－2xとなる。 A＝(－2，4)，B＝(5/2，25/4)

	35560．Re: (untitled)
	名前：ラディン.ms 日付：1月15日(火) 18時31分
	ありがとうございます。 > △AOD∽△ABCよりとありますが，なぜ△AOD∽△ABCがいえるのですか？

	35561．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：1月15日(火) 18時53分
	図はかいてみましたか？

	35562．Re: (untitled)
	名前：ラディン.ms 日付：1月15日(火) 19時8分
	書いてみました。２角相等ですね。ありがとうございました。それと > AD/DO＝－2 長さ/長さなので正だと思うのですが

	35563．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：1月15日(火) 19時9分
	それは失礼いたしました。仰るとおりです。直しておきました。

	35564．Re: (untitled)
	名前：ラディン.ms 日付：1月15日(火) 19時10分
	> AD：DC＝2：1 それからここはＡＤ：ＤＯですよね？

	35565．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：1月15日(火) 19時26分
	です。

	35566．Re: (untitled)
	名前：ラディン.ms 日付：1月15日(火) 19時29分
	ありがとうございました。

35554．3次関数･微分積分

名前：Bob 日付：1月15日(火) 6時54分

またセンター形式ですが･･･

f(x)=2x^3-ax^2+1とする。ただし、aは正の定数とする。
0≦x≦3におけるf(x)の最大値は1より大きいとする。
aの取りうる範囲は 0＜a＜ト　である。
さらに、f(x)=0が異なる3実数解を持つとき、aの取りうる範囲は　ナ＜a＜ニ　である。

解答はト=6、ナ=3、ニ=6　なのですが、｢ト｣を求める場面で、模範解答には
f(x)=1を解くとなっているのですが、なぜそうするのかよくわかりません。
よろしくお願いします。

	35555．Re: 3次関数･微分積分
	名前：ヨッシー日付：1月15日(火) 9時11分
	実際解いてみましょう。 f(x)=2x^3-ax^2+1 を微分して f'(x)＝6x^2－2ax＝2x(3x-a) より、x=0，a/3 で f'(x)＝０になります。ａ＞０なので、f(0) で極大、f(a/3) で極小になります。 0＜a/3＜3 つまり、0＜ａ＜9 のとき　0≦ｘ≦3 では、f(0) と f(3) の大きい方が最大値です。　f(0)＝１より、f(3)＞１でないといけません。　よって、a＞6　・・・(i) a＞9 のとき　f(0) が最大値で f(0)＝１＞１・・・(ii) (ii) はあり得ないので、(i) が解となります。この方法では、f(x)＝１を解く必要はありません。では、f(x)＝1 を解く方法は、　f(x)＝１を解いて、ｘ＝０(重解)、a/2 として、f(x) の値が１になる x=a/2 が、0＜ｘ＜3 の境界のｘ＝３あたりに来るのが、解の分かれ目だろうという考え方だと思います。詳しくは、その模範解答を見てください。　 http://yosshy.sansu.org/

35546．確率の問題・・・

名前：アルバス　高１ 日付：1月14日(月) 22時9分

数直線上を動く点Ｐがある。
サイコロを１つ投げて出た目が偶数なら正の方向に出た目の数だけ、奇数なら負の方向に出た目の数だけＰは動く。
サイコロを３回投げた時，Ｐが０または正の偶数の位置にある確率を求めよ。ただし点Ｐははじめは原点にあるとする。

という感じの問題なのですが（若干うろ覚え）解き方がよく分かりません。（地道にやればできそうだとは思うけど）
よろしくお願いします。

	35548．Re: 確率の問題・・・
	名前：らすかる日付：1月14日(月) 22時31分
	「という感じ」では解き方が決まりません。もし問題がその通りであれば、全部偶数→(1/2)^3=1/8 ２回奇数で奇数の和が残り１回の偶数以下 →偶数が2のとき1通り、4のとき3通り、6のとき6通りなので 3×10/6^3=5/36 合わせて 19/72 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35543．ベクトル

名前：ロナルド 日付：1月14日(月) 21時6分

三角形OABの外心をP、辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとする。OA＝3,OB＝2,∠AOB＝60゜,↑OA＝↑a,↑OB＝↑bとするとき,問に答えよ｡

(1）↑OP＝k↑a＋l↑b(k,lは実数)とおくとき,
k,lの値を求めよ｡
(2)直線OPと辺ABの交点をQとするとき、線分比AQ：QBを求めよ｡

よくわかりません…
お願い致します

	35556．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：1月15日(火) 15時0分
	(1) ＯＭ＝ａ／２ＯＮ＝ｂ／２ＰＭ＝ＯＭ－ＯＰ＝(1/2－ｋ)ａ－ｌｂＰＮ＝ＯＮ－ＯＰ＝－ｋａ＋(1/2－ｌ)ｂＯＡ⊥ＰＭより、ａ・ＰＭ＝(1/2－ｋ)\|ａ\|²－ｌａ・ｂ＝０ＯＢ⊥ＰＮよりｂ・ＰＮ＝－ｋａ・ｂ＋(1/2－ｌ)\|ｂ\|²＝０ \|ａ\|²＝９ \|ｂ\|²＝４ａ・ｂ＝３より、 (以下略) (2) ＯＱ＝ｍＯＰとおくと、ＯＱがａとｂで表せます。ａとｂの係数の合計が１になるように、ｍの値を決めます。　 http://yosshy.sansu.org/

35541．お願いします。

名前：フィリップ　高一 日付：1月14日(月) 20時16分

円OにA,B,C,DをとりA,Bを通る弦とC,Dを通る弦が円の外部の点Pで交わっている。またAB=AC、角ACP＝90度である。

AB=2、AD=4とする。点Dにおける円Oの接線と直線PAの交点をQとするとき三角形BDQの外接円の半径を求めよ。

こたえ　　18

よろしくお願いします。

	35547．Re: お願いします。
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 22時10分
	文章を図にするとこのようになり、△ＢＤＱの外接円の半径は 2√3 になるはずです。　 http://yosshy.sansu.org/

35538．お願いします。（なるべく早めに）

名前：亜希子 日付：1月14日(月) 19時19分

１）１辺の長さが８ｃｍの立方体で、辺ＡＢの中点をＭ，辺ＡＤの中点をＮとする。
このとき、次の問いに答えなさい。

①四角形ＭＦＨＮはどんな図形ですか。
②四角形ＭＦＨＮの面積を求めなさい。

２）△ＡＢＣで、点Ｄは辺ＡＢ上にあり、ＡＤ：ＤＢ＝１：２である。
点Ｅは辺ＢＣ上にあり、ＢＥ：ＥＣ＝２：１である。
ＣＤ//ＥＦとなるように点ＦをＡＢ上にとる。
このとき、次の問いに答えなさい。

①ＡＦ：ＦＢを最も簡単な整数の比で表しなさい。
②△ＢＥＦ：△ＢＣＡを最も簡単な整数の比で表しなさい。

	35539．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 19時52分
	１）図は、１マス4cmの方眼紙に、四角形ＭＦＨＮを、置いた図です。ＦＨは、１辺8cmの正方形の対角線、ＭＮは、１辺4cmの正方形の対角線、ＦＭとＨＮは、4cm×8cmの長方形の対角線と同じ長さなので、図のように、頂点がマス目の角にピッタリ合います。あとは、方眼紙のマス目から、面積を出すことが出来ます。２）与えられた条件より、　ＡＤ：ＤＢ＝１：２　・・・(1) 　ＢＦ：ＦＤ＝２：１　・・・(2) なので、(1)を、　ＡＤ：ＤＢ＝３：６ (2) を、　ＢＦ：ＦＤ＝４：２と書き換えると、ＢＦ，ＦＤの比が、ＤＢの中に作れて、　ＡＤ：ＤＦ：ＦＢ＝３：２：４となり、　ＡＦ：ＦＢ＝(３＋２)：４＝５：４となります。ＡＥを結ぶと、 △ＢＥＡは△ＢＣＡの２／３倍。←ＢＥ／ＢＣ △ＢＥＦは△ＢＥＡの４／９倍。←ＢＦ／ＢＡよって、 △ＢＥＦは△ＢＣＡの　2/3 × 4/9 ＝８／２７となり、　△ＢＥＦ：△ＢＣＡ＝８：２７となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35542．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：亜希子日付：1月14日(月) 20時25分
	さっそくありがとうございます。考えてといてみます。わからなければ質問しますのでまたその際は御願いします。

	35544．質問します。
	名前：亜希子日付：1月14日(月) 21時36分
	考えてみたのですが、比が苦手なので教えてください。ＡＤ：ＤＢ＝１：２　・・・(1) 　ＢＦ：ＦＤ＝２：１　・・・(2) なので、(1)を、　ＡＤ：ＤＢ＝３：６ (2) を、　ＢＦ：ＦＤ＝４：２と書き換えると、ＢＦ，ＦＤの比が、ＤＢの中に作れて、　ＡＤ：ＤＦ：ＦＢ＝３：２：４の比の置き換えがわかりにくいのでもう少し説明御願いします。

	35545．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 21時50分
	ＡＢを３等分して、１と２に分け　ＡＤ：ＤＢ＝１：２としたわけですね？で、このＤＢをさらに３等分して１と２に分け　ＦＤ：ＢＦ＝１：２とするわけですが、ＡＤ：ＤＢ＝１：２のままだと、ＤＢを１：２に分けると、　ＡＤ：ＦＤ：ＢＦ＝１：2/3：4/3 のようになります。これでも良いのですが、　ＡＤ：ＤＢ＝１：２＝３：６のように、３の倍数を作っておいて、６を３等分して１と２に分け、　ＡＤ：ＦＤ：ＢＦ＝３：２：４となります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35549．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：亜希子日付：1月14日(月) 23時11分
	ＡＤ：ＤＢ＝１：２＝３：６のように、３の倍数を作っておいて・・・の３の倍数はなぜ３の倍数なんですか？また質問してすみませんが、よろしく御願いします。

	35550．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 23時20分
	３等分して１と２に分けたときに、整数になるようにするためです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35551．それと
	名前：亜希子日付：1月14日(月) 23時26分
	２）の△ＢＥＦは△ＢＣＡの　2/3 × 4/9 ＝８／２７　2/3 × 4/9 はどうしてかけるのですか？

	35552．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 23時31分
	３つの数Ａ，Ｂ，Ｃがあり、　ＢはＡの３倍です。　ＣはＢの５倍です。では、ＣはＡの（　　）倍？と聞かれたら、３×５＝１５　と掛け算をするのと同じです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35553．Re: お願いします。（なるべく早めに）
	名前：亜希子日付：1月14日(月) 23時52分
	わかりました。ありがとうございます。

35534．関数

名前：mai 日付：1月14日(月) 16時55分

関数の最大値・最小値を調べるための一般的な方法について、２００字程度で説明してください。という課題がだされたんですが、解き方はわかるけど、説明となると難しくて、、、。
助けてください。

	35540．Re: 関数
	名前：てる日付：1月14日(月) 19時52分
	グラフの概形を描き調べる事じゃ駄目？

35530．合成関数の微分について

名前：トン（社会人） 日付：1月14日(月) 15時17分

合成関数の微分の証明について解らないところがあります。
書籍より
------微分公式------
u=f(x)は区間Iで微分可能、y=g(u)は区間Jで微分可能とし、u=f(x)の
領域はJに含まれるとする。このとき合成関数y=g(f(x))は区間Iで微分可能で、次の微分公式が成立する。
y=g'(u)f'(x)
-------証明--------
y=g(f(x))の微分については
lim[h→０]{g(f(x+h)-g(f(x))}/hをしらべればよい。
仮定よりg(u)は微分可能なので
g'(u)=lim[k→0]｛g(u+h)-g(u)}/kが存在する。ここのｋは０の値をとらないで０に限りなく近づけるのであった。
ここで｛g(u+h)-g(u)}/k＝g'(u)+W(k)....①？
（ただしlim([k→０]W(k)=0)
とおくと
g(u+k)-g(u)=k{g'(u)+W(k)}
とかける。
この式はk=0のときも成立するのでkはどんな値でもよいことになる........②？

ここでk=f(x+h)-f(x)とおくとf(x+h)=f(x)+k , u=f(x)なので

lim[h→０]{g(f(x+h)-g(f(x))}/h=lim[h→0]{g(f(x)+k)-g(X)}/h
=lim[h→0]{g(u+k)-g(u)}/h=lim[h→0]{k(g'(u)+W(k)}/h
=lim[h→0][{f(x+h)-f(x)}/h][g'(u)+W(k)]
仮定よりf(x)は微分可能なので連続である。ゆえにh→０のとき
k→０。したがって極限値は存在し
{f'(x)}{g'(u)+0}=f'(x)・g'(u)
・・・・・・
y'=g'(u)・f'(x)が成立する。

とありましたが、①の式にg'(u)がありました。これは
g(u)の関数をuで微分した形ですよね？
g'(u)を使用してこの式が成立するのでしょうか？
また②ではkはどんな値でもよい、とありましたが
例えばg(u)=x^2のような関数の場合、
右辺と左辺が同じにならないのではないでしょうか・
詳しく教えていただけないでしょうか。
宜しくお願いします。

	35567．Re
	名前：soredeha 日付：1月16日(水) 2時30分
	>g'(u)を使用してこの式が成立するのでしょうか？｛g(u+h)-g(u)}/k-g'(u)=W(k)　　と置いたということですので　①は成立する。 >例えばg(u)=x^2のような関数の場合、右辺と左辺が同じにならないのではないでしょうか・同じになる。 .

	35575．ありがとうございます
	名前：トン（社会人）日付：1月17日(木) 19時23分
	教えていただきありがとうございます｛g(u+h)-g(u)}/k＝g'(u)+W(k)の右辺が定数でなく関数だったので理解できませんでした。ありがとうございます。

35529．至急お願いします。

名前：フィリップ　高一 日付：1月14日(月) 15時9分

二次関数ｆ(x)=x^2-2ax+bがあり、放物線ｙ＝ｆ（ｘ）は点(2a+1,2)を通っている。ただし、a,bは定数である。

　ア　放物線ｙ＝ｆ（ｘ）がx軸の正の部分と共有点を持たないようなaの値の範囲をもとめよ。　

答え　a<ー1+√2

これがどう考えても分かりません。よろしくお願いします。

	35535．Re: 至急お願いします。
	名前：チョッパ日付：1月14日(月) 17時30分
	(2a＋1)²－2a(2a＋1)＋b＝2 b＝－2a＋1 f(x)＝x²－2ax－2a＋1 頂点のx座標のa＜0のとき，f(0)＞0となればよい。 f(0)＝－2a＋1＞0より，a＜1/2 よって，a＜0ならばx軸の正の部分と共有点を持たない。頂点のx座標のa≧0のとき，D/4＜0となればよい。 a²＋2a－1＜0より，－1－√2＜a＜－1＋√2 よって，0≦a＜－1＋√2ならばx軸の正の部分と共有点を持たない。太文字部分より，a＜－1＋√2

	35536．Re: 至急お願いします。
	名前：フィリップ　高一日付：1月14日(月) 17時46分
	とても分かりやすい説明ありがとうございました。

35526．積分

名前：たま[大１] 日付：1月14日(月) 14時9分

平行六面体：｜a1x+b1y+c1z｜≦d1　　　|a1 b1 c1|
｜a2x+b2y+c2z｜≦d2　⊿＝|a2 b2 c2|≠0
｜a3x+b3y+c3z｜≦d3 |a3 b3 c3|
の体積の求め方を教えてください。
答えは、8d1d2d3/｜⊿｜

お願いします。

	35527．Re: 積分
	名前：たま[大１] 日付：1月14日(月) 14時11分
	ずれてしまったので書き直します。平行六面体：｜a1x+b1y+c1z｜≦d1　　　\|a1 b1 c1\| ｜a2x+b2y+c2z｜≦d2　⊿＝\|a2 b2 c2\|≠0 ｜a3x+b3y+c3z｜≦d3 \|a3 b3 c3\| の体積の求め方を教えてください。答えは、8d1d2d3/｜⊿｜お願いします。

	35528．Re: 積分
	名前：たま[大１] 日付：1月14日(月) 14時14分
	ずれてしまったので書き直します。平行六面体：｜a1x+b1y+c1z｜≦d1　　　｜a2x+b2y+c2z｜≦d2　｜a3x+b3y+c3z｜≦d3 ⊿≠0 の体積の求め方を教えてください。答えは、8d1d2d3/｜⊿｜お願いします。

	35568．Re: 積分
	名前：soredeha 日付：1月16日(水) 5時15分
	u=a1x+b1y+c1z v=a2x+b2y+c2z w=a3x+b3y+c3z　　と置くと　\|u\|≦d1,\|v\|≦d2,\|w\|≦d3 ∂(u,v,w)/∂(x,y,z)=⊿　→　∂(x,y,z)/∂(u,v,w)=1/⊿ ∫dxdydz=∫\|∂(x,y,z)/∂(u,v,w)\|dudvdw=\|1/⊿\|・2d1・2d2・2d3

35523．半円が動く範囲

名前：奈々日付：1月14日(月) 2時15分

【質問】
tが0≦t≦1の範囲を動くとき、

半円C:(x-at)^2+z^2=(1-t)^2,z≧0

が動く範囲を図示せよ。ただし、a＞1である。

この問題の解き方が全然思い浮かびません。どうやって解けばいいのか教えていただけないでしょうか？どうかお願いします！

	35524．Re: 半円が動く範囲
	名前：ヨッシー日付：1月14日(月) 6時20分
	まず、ｔ＝０のとき、ｘ²＋ｚ²＝１ｔ＝１のとき、(ｘ－ａ)²＋ｚ²＝０より、原点中心半径１の円と、点(ａ，０)は、決まります。ｔがその間の値の時、半円が、点(ａ，０)から、円ｘ²＋ｚ²＝１に引いた接線に、同じように接するか調べます。０＜ｔ＜１のとき、半径ＣＤはＯＢの１－ｔ倍Ｃの座標は(ａｔ，０)であり、　ＣＡ＝ａ－ａｔ＝ａ(１－ｔ) で、ＯＡ＝ａの１－ｔ倍になるので、 △ＡＣＤは△ＡＯＢと相似になり、半円、(ｘ－ａｔ)²＋ｚ²＝(１－ｔ)² は、共通の接線を持ちます。よって、図の斜線部(境界を含む)が求める範囲になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35525．Re: 半円が動く範囲
	名前：hari 日付：1月14日(月) 9時16分
	別解を紹介します。 (x - at)^2 + z^2 = (1 - t)^2　…(☆) 例えば(x, z) = (0, 0)は、(☆)に代入してtに関して解くと0≦t = 1/(a + 1)≦1を導けるから、(0, 0)を通ることがわかり、例えば(x, z) = (-2, 0)は、t = -1/(a + 1),-3/(a - 1)となり0≦t≦1に含まれないので、この点は通りません。一般的に考えると(☆)をtに関する関数とみなして、0≦t≦1に解を持つような条件を導けばよいのです。 tについて整理して (a^2 - 1)t^2 - 2(ax - 1)t + x^2 + z^2 - 1 = 0 の左辺をf(t)とおくと、0≦t≦1に解を持つ条件は (i)「f(0)f(1)≦0」または(ii)「f(0)≧0,f(1)≧0,D≧0」ですね。 (i)f(1)≧0よりf(0)≦0だからx^2 + z^2 ≦ 1 (ii)x^2 + z^2≦1かつ、判別式が0以上より (x - a)^2 - (a^2 - 1)z^2 ≧0 (x - a + √(a^2 - 1)z)(x - a - √(a^2 - 1)z)≧0 以上より(i)と(ii)の和集合のz≧0の範囲が求める範囲となります。

	35531．Re: 半円が動く範囲
	名前：奈々日付：1月14日(月) 16時21分
	ヨッシー様＆hari様解説ありがとうございました♪ ヨッシー様の解説は理解できましたが、hari様の解説がどうも理解できません。＞一般的に考えると(☆)をtに関する関数とみなして、0≦t≦1に解を持つような条件を導けばよいのです。ここの部分が特に理解できないです。どうしてそういえるのですか？tに関する関数が実数解をもつ条件、となる理由がわからないです。これはどうしてですか？

	35537．Re: 半円が動く範囲
	名前：hari 日付：1月14日(月) 18時0分
	先にあげた例の繰り返しになりますが、「tが0≦t≦1の範囲を動くとき、半円C:(x - at)^2 + z^2 = (1 - t)^2,z≧0が動く範囲に(0, 0)は含まれますか？」という問いだった場合、これを確認するためには(☆)に(0, 0)を代入して(at)^2 = (1 - t)^2を導きtについて解きt = 1/(1 ± a)を得ます。 t = 1/(1 + a)は0≦t≦1に含まれるので、逆にt = 1/(1 + a)のとき(0, 0)を通ると言えます。これを一般的に「(x, z)は通りますか？」という問いだと考えると(☆)を同じようにtに関して解き、 (a^2 - 1)t^2 - 2(ax - 1)t + x^2 + z^2 - 1 = 0 が0≦t≦1に解を持つような(x, z)の範囲を求めればいいと考えられるわけです。 tは0≦t≦1を動くのですから、上記二次関数の解もその範囲になくてはいけませんよね。

	35569．Re: 半円が動く範囲
	名前：奈々日付：1月16日(水) 14時35分
	hari様＞これを一般的に「(x, z)は通りますか？」という問いだと考えると(☆)を同じようにtに関して解き、 (a^2 - 1)t^2 - 2(ax - 1)t + x^2 + z^2 - 1 = 0 が0≦t≦1に解を持つような(x, z)の範囲を求めればいいと考えられるわけです。なんかわかったようなわからないような感じですが、問題は解けました。どうもありがとうございました。

35521．関数

名前：ござる 日付：1月13日(日) 18時9分

関数f(x)=x^3が凸関数であることはどう証明すればいいのですか？

	35522．Re: 関数
	名前：らすかる日付：1月13日(日) 18時16分
	関数f(x)=x^3は凸関数ではありません。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35622．Re: 関数
	名前：ござる日付：1月21日(月) 11時38分
	凸関数でないことはわかりましたが、証明の仕方はどうなのでしょうか？単に２階微分ということでいいのでしょうか？

	35628．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：1月21日(月) 12時50分
	Wikipediaによると、また一変数二階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、二階微分が非負であることである。また、狭義凸関数ならば二階微分は正である。とあるので、単に２階微分で良いと思います。　 http://yosshy.sansu.org/

35512．最大値

名前：ござる 日付：1月13日(日) 14時22分

次の問題の解き方がわかりません。

c[1],c[2],w[0],w[1],r,R>0とする。
さらに、c[1]+w[1]=w[0],c[2]=Rw[1]であるとき
-e^(-c[1])-(1/r)*e^(-c[2])の最大値を求めよ。

	35519．Re: 最大値
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 15時47分
	何が変数で、何が定数かがわかりません。ｒ，Ｒのみ定数なら、 c[1] を思い切り大きくして、それ以上にw[0]を大きくすると、w[1] が大きくなり、同時に c[2] も大きくなるので、 -e^(-c[1])-(1/r)*e^(-c[2]) の値は、負で０にいくらでも近づけることが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

35508．時計について

名前：√ 日付：1月13日(日) 13時21分

ヨッシーさん　過日は制限を外してくださり　有り難うございました。

小学生の質問を見ていて、改めて「時計」について関心を持ちました。
よろしく　お願い致します。

「短針」が１周する間に、
「短針」が「長針」に追い抜かれる回数は１１回。
「短針」と「長針」がピッタリ重なる回数は１２回。

「短針」と「長針」が１～１２の数字上で一致するのは１２時だけ。
「短針」と「長針」が１～１２の数字上で一直線になるのは６時だけ。
それ以外では、数字上で「一致」「一直線」は有り得ない。

で、合ってますでしょうか？

それから、時計は、
数字と数字の間は５分間なので「５等分」されているのが普通だと思うのですが、
私の中国産の置き時計は「６等分」されているので、とても疑問を感じます。単なる製造ミスでしょうか？

大変、低レベルの質問で申し訳ありません。
よろしく　お願い致します。

	35511．Re: 時計について
	名前：七日付：1月13日(日) 14時27分
	「短針」が１周する間に、「短針」が「長針」に追い抜かれる回数は１１回。「短針」と「長針」がピッタリ重なる回数は１２回。については「短針」と「長針」がピッタリ重なる回数は11回です。 1時と2時の間に1回長針が短針を追い越し(重なり)，2時と3時の間に1回…，となりますが 11時から1時の間に長針がを追い越す(重なる)のは12時(0時)の1回だけです。「短針」と「長針」が１～１２の数字上で一致するのは１２時だけ。「短針」と「長針」が１～１２の数字上で一直線になるのは６時だけ。それ以外では、数字上で「一致」「一直線」は有り得ない。については，短針が数字をさすときには，長針は12をさしますからその通りです。中国製の時計については知りません。

	35513．Re: 時計について
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 14時30分
	「短針」が１周する間　というのを、０：００から１２：００として、０：００も　１２：００も含めて数えたのではないでしょうか？では、２４時間で２４回かというと違いますよね？普通、こういう場合、０：００か１２：００のどちらかを入れます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35514．Re: 時計について
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 14時34分
	これは、私の使っている時計ですが、内側の目盛りは目覚ましの目盛りです。こちらは６等分ですね。そうでないとすると、あまり６等分の意味はないと思います。　 http://yosshy.sansu.org/

	35515．Re: 時計について
	名前：√ 日付：1月13日(日) 14時43分
	七さん　お返事有り難うございました。「短針」が１周する間に、「短針」と「長針」が重なるのは１２から１の間を除いた【数字と数字の間】の１１回と【１２時】の１回で合計１２回と考えたのですが・・・

	35516．大変、失礼いたしました
	名前：√ 日付：1月13日(日) 15時0分
	七さん　ヨッシーさん　有り難うございました。やっと気づきました。１１と１２の間で１回追い越すと勘違いしていました。この間は追い越さないで１２で重なるのですね。だからピッタリ重なるのは１１回なのですね。取り急ぎ有り難うございました。

	35517．再度、すみません
	名前：√ 日付：1月13日(日) 15時34分
	再度、すみません。するとピッタリ一致している１２からスタートして、「短針」が１周する間に「短針」が「長針」に追い抜かれる回数は１０回ということに　なりますか？それからヨッシーさんの時計を見て気づきました。私の時計は外側には目盛りが無く、内側のみ目盛りがありました。私は、この目盛りを分を表す目盛りだと勘違いしていました。大変、お恥ずかしい限りです（＾＾；目覚ましの目盛りだったのですね。言い訳がましいですが、私の時計は数字が内側の目盛りの、すぐ近くに書かれているんですよ。すみません。やっぱり言い訳でしたｍ（＿）ｍ有り難うございました。

	35518．Re: 時計について
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 15時42分
	現象としては１０回なんですけれども、時間はずっと続いていることを考えると、１２時付近でやはり１回追い抜きがあるんですね。ピッタリから考えるより、０：０５～１２：０５とかで考えると良いと思います。　 http://yosshy.sansu.org/

	35520．自然な考え方が出来るようになりました。
	名前：√ 日付：1月13日(日) 17時47分
	ヨッシーさん　ありがとうございました。同じ１周でも、スタート地点を少し変えてみるだけで、とても自然に考えられるようになりました。 ”「時間」はずっと続いている”という言葉が印象に残りました。ヨッシーさん　本当に有り難うございました。（私のために、わざわざ目覚まし時計の時間まで変えてくださって）

35509．行列

名前：コップ 日付：1月13日(日) 13時19分

行列　　１　　３　で表される一次変換による直線の像の方程式の求め
　　　－２　－６　方が分からないんですが教えてください。

ｘ＋３ｙ＝４

	35510．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 14時7分
	多くの場合、１次変換によって、直線は、直線に移ります。よって、ｘ＋３ｙ＝４　上の適当な２点、たとえば、（１，１）（４，０）が、どの点に移るかを調べて、移った先の２点を結ぶ直線が、求める直線になります。　 http://yosshy.sansu.org/

35505．確率の漸化式の表記方法について

名前：Yoo 日付：1月13日(日) 11時30分

次の問題の答えの表記の仕方について教えたください。これは、以前ｄ３の質問箱さんに質問した問題です。解けることは解けたのですが、
（２）の答えを表すのに、特性方程式の解をそのまま用いるのか、変形してもよいのか
、変形してよいとしても、どちらが一般的に好まれるのか、その辺のニュアンスがわからないので、よろしくお願いします。

問題
サイコロをｎ回投げるとき、ｋ回目に出る目の数をＸk とし、Ｙk＝Ｘ1＋Ｘ2＋・・・＋Ｘn
とする。Ｙnが７で割り切れる確率をＰn とする。
（１）Ｐn+1 をＰn で表せ。
（２）Ｐn を求めよ。

（１）は、
Ｐn+1 を、Ｙn が７で割り切れる場合と、割り切れない場合に分け、そのそれぞれの確率を足して、
Ｐn+1＝Ｐn*０＋（１－Ｐn）＊（１／６）
　　＝（－１／６）＊Ｐn＋（１／６）

（２）は、
Ｐn+1とＰn へそれぞれｘを代入して求めた、特性方程式の解（１／７）を利用して、
Ｐn＝（－１／７）（－１／６）＾n-1＋（１／７）　まで求めました。

私は、ここで、（－１／７）を括りだして、
Ｐn＝（－１／７）｛（－１／６）＾n-1＋１｝としたのですが、
模範解答では、
Ｐn＝（１／７）｛１－（－１／６）＾n-1｝となっていました。

他の問題もいくつか見てみたのですが、たとえ定数項を後に持ってこなくても、どうも特性方程式の解は、符号を変えずにそのまま用いているものばかりでしたので、不安になりました。

私が、模範解答をいまひとつきれいじゃないと感じたのは、たとえば一般的に、ｙ＝ａｘ＋ｂと表すところを　ｙ＝ｂ＋ａｘと表しているように思ったからです。

本質的な質問ではないかもしれませんが、大変気になっています。どうかよろしくおねがいします。

	35507．Re: 確率の漸化式の表記方法について
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 12時38分
	まず、本質的なことを。Ｐn＝（－１／７）（－１／６）＾n-1＋（１／７）　で、（－１／７）を括りだすと、Ｐn＝（－１／７）｛（－１／６）＾n-1－１｝です。１つ気になるのは、特性方程式で解を求めたとして、その解をＰn＝・・・　の答えまで、公式ずくめで突っ走ろうとしていることです。確かに、公式的には、特性方程式の解をαとして　Ｐn＝(Ｐ₁－α)ｒ^n-1＋α というのがありますが、（といっても、これも今自分で作ったのですが）その裏には、　Ｐ_n+1 ＝(-1/6)Ｐ_n＋1/6　の漸化式が与えられて、　(Ｐ_n+1－α)＝(-1/6)(Ｐ_n－α) の形になったら、Ｐ_n－α が等比数列になるなぁ、という目論見があって、 αを求めるために、便宜上、特性方程式を使って、（使わなくても、展開して比較すれば求められます）α＝1/7 を求め、　(Ｐ_n+1－1/7)＝(-1/6)(Ｐ_n－1/7) という、等比数列の漸化式から、　(Ｐ_n－1/7)＝(Ｐ₁－1/7)(-1/6)^n-1 を導き、Ｐ₁＝０を代入して、　Ｐ_n－1/7＝－(1/7)(-1/6)^n-1 これだけのプロセスがあります。さらに、－1/7 を移項するのですが、そのときに、　Ｐ_n＝1/7－(1/7)(-1/6)^n-1 とするか、　Ｐ_n＝－(1/7)(-1/6)^n-1＋1/7 とするか、Yoo さんの聞かれているのは、こういうことだと思います。私も紙で解いてみましたが、頭にマイナスが来るのは美しくない　＆確率では、（たとえば、さいころをｎ回投げて少なくとも１回は３以外の目の出る確率）　１－(1/6)ⁿ のような書き方は、普通であることから、違和感なく　Ｐ_n＝1/7－(1/7)(-1/6)^n-1 と書きましたね。「特性方程式の解をそのまま用いるのか、変形してもよいのか」「特性方程式の解は、符号を変えずにそのまま用いている」の辺りで、公式にこだわっている気がしました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35532．Re: 確率の漸化式の表記方法について
	名前：Yoo 日付：1月14日(月) 16時46分
	ヨッシ－さまありがとうございました。これからは、公式にとらわれ過ぎずに、柔軟に考えるようにいつも気をつけます。

35504．条件付き不等式の不等号（＞か≧）について

名前：Yoo 日付：1月13日(日) 11時27分

［問題］
４＜ｘ＜６を満たすすべてのｘについて、
ｘ＾２－２ａｘ＋ａ＋６＞０・・・①　が成り立つように、ａの範囲を求めよ。

［模範解答］
（①の左辺）＝０　を変形して
ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）＾２＋（－ａ＾２＋ａ＋６）＝０・・・②とおく、
②の軸は、ｘ＝ａ

i) ａ＜４のとき
　最小値　ｆ（４）≧０　を満たせばよいので、
　　ｆ（４）＝（４－ａ）＾２－４＾２＋４＋６≧０
　　　　　　　１６－８ａ＋ａ＋６≧０
　　　　　　　－７ａ≧－２２
　　　　　　　　　ａ≦２２／７
　これはａ＜４を満たす。

ii)４≦ａ＜６のとき
　最小値　ｆ（ａ）＞０　を満たせばよいので、
　　ｆ（ａ）＝（ａ－ａ）＾２－ａ＾２＋ａ＋６＞０
　　　　　　　ａ＾２－ａ－６＜０
　　　　　　　－２＜ａ＜３
　これは４≦ａ＜６を満たさない。

iii)６≦ａのとき
　最小値　ｆ（６）≧０　を満たせばよいので、
　　　ｆ（６）＝（６－ａ）＾２－６＾２＋６＋６≧０
　　　　　　　３６－１２ａ＋ａ＋６≧０
　　　　　　　－１１ａ≧－４２
　　　　　　　　　ａ≦４２／１１
これは６≦ａを満たさない。

i)～iii)より
ａ≦２２／７

［質問］
一通り、問題は解けたのですが、質問は≧か＞ということです。
実際に問題を解くときは、グラフを描いて条件を満たす求めていきますが、i)とiii)で、軸の値から、それぞれ最小値がｆ（４）、ｆ（６）も分かります。

ところが、ｆ（４）≧０、ｆ（６）≧０としてしまうと、つまり、ｆ（４）＝０とｆ（６）＝０のときに、それぞれ、４≦ｘ＜６、
４＜ｘ≦６となってしまうと思うのですが、間違いですか。

グラフを描くと、ｆ（４）＝０では、４≦ｘ＜６となってしまうので、ｆ（４）＞０だと思うのですが、模範解答では＞ではなく、イコールの入った≧になっています。

一生懸命考えたのですがよく分かりません。よろしくお願いします。

	35506．Re: 条件付き不等式の不等号（＞か≧）について
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 12時7分
	与えられたｘの範囲は、４＜ｘ＜６　です。満たすべき要件はｆ(ｘ)＞０です。 i) ａ＜４のときを考えると、　f(4)＝０であっても、４よりちょっとでも大きいｘであれば、　f(ｘ)＞０になるので、f(4)＝０の場合も含まれます。　逆に含まないと不十分です。　ａ＞６の場合も同様です。与えられた範囲が　４≦ｘ≦６で、ｆ(ｘ)＞０を求められれば、　f(４)＞０です。与えられた範囲が　４≦ｘ≦６で、ｆ(ｘ)≧０を求められれば、　f(４)≧０です。与えられた範囲が　４＜ｘ＜６で、ｆ(ｘ)≧０を求められれば、　f(４)≧０です。　これは、上と同じですが、ii) ４＜ａ＜６の扱いが変わってきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35533．Re: 条件付き不等式の不等号（＞か≧）について
	名前：Yoo 日付：1月14日(月) 16時48分
	ヨッシ－さまやっとわかりました。あんなに悩んだのがウソのようです。本当にありがとうございました！

35500．順列

名前：みるみる 日付：1月13日(日) 9時4分

4つの数字0,1,2,3の中から異なる3つのすうじを選んで3桁の数をつくる
(1)3の倍数は何通りかという問題がわかりません

(0,1,2)はどうして4通りで
(1,2,3)は6通りになるのですか？

	35503．Re: 順列
	名前：教得手　学日付：1月13日(日) 10時52分
	３の倍数になるには、各桁の数の和が３の倍数でなければならない。よって、{0,1,2} {0,2,4} {1,2,3} {2,3,4} の３つの数字を並べ替えてできる３桁の数が、いくつできるかということですね。 {1,2,3}からできる数は、３つの並べ替え方で　３！＝６（通り）　　123,132,213,231,312,321 {0,1,2}からできる数の場合は、百の位に０がくると３桁の数にならないので　2×2×1＝４（通り）となります。　　102,120,201,210 他のパターンも同様に考えればよいですね。

35488．教えてください。（中学生）

名前：ちはる 日付：1月12日(土) 23時20分

０．１．２の３枚のカードがはいった箱がある。その中から１枚のカードをとりだして数字を調べて、もとの箱に戻す。これを２回繰り返すとき、１回目にとり出したカードの数字をa,２回目にとり出したカードの数字をbとして、座標表面上に直線ｙ＝ax+bをかく。

１、全部で何本の直線がかけますか。

２、ｙ軸に垂直な直線は何本かけますか。

３、この２回とり出す操作を１度したとき、原点を通る直線になる確率を求めなさい。

	35489．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ちはる日付：1月12日(土) 23時23分
	あと、２００３の２乗ー２００２の２乗を計算するにはどうしたらよいですか？答えは５ではないですよね・・・

	35490．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ヨッシー日付：1月12日(土) 23時26分
	１．ａ＝０でｂ＝０：ｙ＝０ａ＝０でｂ＝１：ｙ＝１ａ＝０でｂ＝２：ｙ＝２ａ＝１でｂ＝０：ｙ＝ｘａ＝１でｂ＝１：ｙ＝ｘ＋１ａ＝１でｂ＝２：ｙ＝ｘ＋２ａ＝２でｂ＝０：ｙ＝２ｘａ＝２でｂ＝１：ｙ＝２ｘ＋１ａ＝２でｂ＝２：ｙ＝２ｘ＋２の９本が引けます。２．これらを全部実際に書いてみましょう。３．これら９本の直線のうち、原点を通るのは何本ですか？もし、５本なら確率は　５／９　です。５本じゃないですけど。　 http://yosshy.sansu.org/

	35491．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ヨッシー日付：1月12日(土) 23時28分
	ｘ^2－ｙ^2 の因数分解は出来ますか？出来るなら、それを使います。出来ない(知らない)なら、実際に計算しましょう。ちなみに、５ではありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35492．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ちはる日付：1月13日(日) 0時11分
	１．の９本というのはａ＝０でｂ＝０：ｙ＝０はｘ軸と重なる直線がかけるんですよね。２．ａ＝０でｂ＝０：ｙ＝０　　ａ＝０でｂ＝１：ｙ＝１　　ａ＝０でｂ＝２：ｙ＝２の３本で　ｙ＝Ｘ　ｘが１のときにｙが１の原点を通る直線だからちがいますよね。３．ａ＝０でｂ＝０：ｙ＝０、ａ＝１でｂ＝０：ｙ＝ｘａ＝２でｂ＝０：ｙ＝２ｘの３本で９分の３ですか？あと、２００３の２乗ー２００２の２乗を計算するにはどうしたらよいですか？答えは５ではないですよね・・・（２０００＋３）の２乗ー（２０００＋２）の２乗で４００００００＋９－（４００００００＋４）と計算したんですが、どこが違いますか？あと、写真の平面図形の考え方も教えていけませんか？

	35493．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：Kurdt 日付：1月13日(日) 0時39分
	こんばんは。＞２００３の２乗ー２００２の２乗 a^2-b^2=(a+b)(a-b) の公式を使うのが最も簡単です。（^2 は２乗を表します） 2003^2 - 2002^2 = (2003+2002)(2003-2002) = 4005×1 = 4005 http://fairytale.holy.jp/

	35494．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 0時41分
	問題は１つ１つ見ていきましょう。２．で、ｙ軸に垂直な直線を聞いているときに、原点を通るかどうかは関係ありません。　ｙ＝ｘは、ｙ軸に垂直でないから違うのです。３．３／９で良いですが、約分しましょう。（２０００＋３）の２乗は、４００００００＋９でないし、（２０００＋２）の２乗は、４００００００＋４ではありません。　(ａ＋ｂ)²＝ａ²＋ｂ² ではありませんよね？　 http://yosshy.sansu.org/

	35495．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：Kurdt 日付：1月13日(日) 0時43分
	＞（２０００＋３）の２乗ー（２０００＋２）の２乗＞で４００００００＋９－（４００００００＋４）と計算したんですが、どこが違いますか？もしこの方法で計算するなら次のようになります。（* はかけ算を表します） (2000+3)^2 - (2000+2)^2 = (2000^2+220003+9) - (2000^2+220002+4) = 12000+9-8000-4 = 4005 http://fairytale.holy.jp/

	35496．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ヨッシー日付：1月13日(日) 0時49分
	こちらですが、 △ＡＢＣと△ＣＤＥは相似なので、　ＡＢ：ＣＤ＝ＢＣ：ＤＥ △ＢＣＤと△ＤＥＦが相似なので、　ＢＣ：ＤＥ＝ＣＤ：ＥＦより、　ＡＢ：ＣＤ＝ＣＤ：ＥＦこれに、ＡＢ＝４、ＥＦ＝１６　を代入すれば、ＣＤが出ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35497．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：Kurdt 日付：1月13日(日) 0時50分
	＊平面図形の問題平行線の同位角や錯角の性質を利用して次の２つの相似を証明します。 △ABC∽△CDE　…[1] △CBD∽△EDF　…[2] [1] より AB：CD=BC：DE　…[3] [2] より CD：EF=BC：DE　…[4] [3],[4] より AB：CD=CD：EF ここまで来ればもう解けるでしょう。 http://fairytale.holy.jp/

	35498．Re: 教えてください。（中学生）
	名前：ちはる日付：1月13日(日) 1時43分
	Kurdtさん、ヨッシーさん親切に教えていただいて有難うございます。よくわかりました。あとは、自分で考えます。

35487．線形代数Ⅱの問題です。（大学１年）

名前：冷凍ビーム 日付：1月12日(土) 19時16分

R^２上において、L１、L２をそれぞれ２ｘ－ｙ＝０、３ｘ－２ｙ＝０であらわされる直線とする。２×２－行列Aを
　　　Ｓ　２
A＝　　　
　　　Ｔ　Ｕ

とすると、Im(A)＝Ｌ１、Ker(A)＝Ｌ２となる。

解き方がまったくわかりません。ImとKerの説明も含めて解き方を教えていただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。

ちなみに答えは、Ｓ＝－３、Ｔ＝－６、Ｕ＝４です。

35485．2次関数

名前：Bob 日付：1月12日(土) 18時42分

センター形式ですが･･･

座標平面上において、連立不等式
y≦x^2-2x+4　･･･①
y≧2x^2-2x　　･･･②
の表す領域をDとする。

点(x,y)が領域Dを動くとき、3x+yのとり得る値の範囲は
ｾｿ/ﾀ≦3x+y≦ﾁﾂ　　である。

答えは-1/8と10なのですが、なぜ-1/8となるのか分かりません。
よろしくお願いします。

	35486．Re: 2次関数
	名前：ヨッシー日付：1月12日(土) 19時4分
	図の斜線部分が、領域Ｄです。　３ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、　ｙ＝－３ｘ＋ｋより、ある点（ｘ、ｙ）に対する、３ｘ＋ｙの値は、その点を通って、傾き－３の直線のｙ切片で表されます。この直線が、領域Ｄと共有点を持ちつつ、ｋが最大の点、最小の点を調べると、最大の点は、図の青い線のように、(2,4) を通るときで、このとき、　３ｘ＋ｙ＝１０最小の点は、図の赤い線のように、直線が　y＝2x^2-2x に接するときです。微分して、傾きが－３となる点を調べると、　ｙ’＝４ｘ－２＝－３より、ｘ＝-1/4 このとき、　ｙ＝２(-1/4)^2－２(-1/4)＝5/8 よって、このとき、　３ｘ＋ｙ＝-3/4＋5/8＝-1/8 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35499．Re: 2次関数
	名前：Bob 日付：1月13日(日) 7時10分
	ようやく理解できました。見やすい図と、丁寧な解説ありがとうございました。

35475．証明問題で質問です（高1問題）

名前：あきた 日付：1月11日(金) 23時16分

α^3＝５をみたすとき、すべての有理数ｐ、ｑについてα^2＋ｐα＋ｑ≠０を証明せよ。
という問題なんですが、ある有理数ｐ、ｑについてα^2＋ｐα＋ｑ＝０を仮定して背理法で証明しようとしたんですがうまくいきません。どうしたらよいのでしょうか？ご指導お願いします。

	35476．Re: 証明問題で質問です（高1問題）
	名前：みっちぃ日付：1月11日(金) 23時40分
	背理法ですよ。ただし，矛盾をどういう方向で導いていくかが難しい。狙いどころは，「p，qが有理数であること」で，「α^3=5」の性質を上手く使いましょう。ある有理数p，qについてα^2+pα+q=0…①を仮定します。 ①の両辺にαをかけると α^3+pα^2+qα=0　⇒pα^2+qα+5=0…②　(α^3=5である) αは①②を同時に満たす数なので，p*①-②で得られる等式もαは満たす。 (p^2-q)α-(q-5)=0 このとき，αは無理数なので，・p^2-q=0　(p^2-q≠0なら，α=(q-5)/(p^2-q)と有理数になる) ・q-5=0 を同時に満たさなければならない。すなわちq=5，p=±√5となり，p，qが有理数であることに矛盾。よって，全ての有理数p，qに対してα^2+pα+q≠0である。

	35477．Re: 証明問題で質問です（高1問題）
	名前：みっちぃ日付：1月11日(金) 23時45分
	すんません計算間違いしてます… >αは①②を同時に満たす数なので，p*①-②で得られる等式もαは満たす。 >(p^2-q)α-(q-5)=0 は「(p^2-q)α-(pq-5)=0」の間違いです。その後も変わってきます。『このとき，αは無理数なので，・p^2-q=0　(p^2-q≠0なら，α=(pq-5)/(p^2-q)と有理数になる) ・pq-5=0 を同時に満たさなければならない。すなわちp=[3]√5，q=[3]√25となり，p，qが有理数であることに矛盾。』です。すんません。。

	35478．Re: 証明問題で質問です（高1問題）
	名前：あきた日付：1月11日(金) 23時52分
	ありがとうございました！

35469．三角形の問題

名前：シーター（高２） 日付：1月11日(金) 19時38分

△ＡＢＣにおいて，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝√７である。
ＡＣの長さを求めよ。

という問題なのですが、模範解答では
ＡＣ＝ｘとおき，余弦定理を使い
BC^2=x^2+AB^2-2・ABx・cos60°
とすると、x^2-2x-3=0となり
x>0より x=3　という答えが出ます。

しかしこれを正弦定理を使ってsinCを求めて、cosCを求めて
(cosC=2/√7になりました）余弦定理を使い
cosC=x^2+BC^2-AB-2/2√7x
という風に解答すると
x=1,3という答えが出ました。

模範解答ではAC=3となっています。
x=1でも題意を満たすと思うのですが、なぜ解答の指針を変えると答えが違ってくるのでしょうか。
やはり私の解答の仕方が違うのでしょうか。

よろしくお願いします。

	35470．Re: 三角形の問題
	名前：シーター（高２）日付：1月11日(金) 19時41分
	すいません。３段目は cosC=x^2+BC^2-AB-2/2√7x ではなく cosC=x^2+BC^2-AB^2/2√7x です。よろしくお願いします。

	35471．Re: 三角形の問題
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 19時54分
	正弦定理を使ってsinCを求めて・・・だと、実は、上の図の△ＡＢＤを想定しているかもしれません。実際、∠Ｃがある角度に決まっていて、ＡＢ＝２、ＢＣ＝√７を満たす三角形は△ＡＢＣと、△ＡＢＤの２つ決まります。三角形の問題では、角度が０°＜θ＜１８０°に限られますが、この範囲では、 cosθ が決まれば、θは１つに決まりますが、sinθ が決まっても、θは１つとは限りません。 sin を使うときは注意が必要です。出来れば、cos だけで済ませたいところです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35472．Re: 三角形の問題
	名前：シーター（高２）日付：1月11日(金) 20時28分
	ありがとうございました。あともう１つ質問があるのですが、「半径ｒの球面上に４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがある。四面体ＡＢＣＤの各辺の長さは，ＡＢ＝√３，ＡＣ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝２を満たしている。このとき，rの値を求めよ。」という問題なのですが、模範解答にＣＤの中点をＭとし，ＡＢの中点をＮとすると図形の対称性から球の中心は線分ＭＮ上にある　ということが書いてあったのですが、どうして球の中心がＭＮ上にあるのでしょうか。よろしくお願いします。

	35474．Re: 三角形の問題
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 22時36分
	２点Ａ，Ｂだけで考えると、この２点を通る球の中心はＡＢの中点を通り、ＡＢに垂直な平面上にあります。そして、図形の対称性から、この平面はＣＤを含みます。（２点Ｃ、Ｄが、この平面上にあるということです）次に、Ｃ，Ｄで考えると、この２点を通る球の中心はＣＤの中点を通り、ＣＤに垂直な平面上にあります。そして、図形の対称性から、この平面はＡＢを含みます。よって、４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを通る球は、この２つの平面の交線上にありますが、その交線こそ、ＭＮを取る直線です。　 http://yosshy.sansu.org/

35464．接弦定理

名前：田口純 日付：1月11日(金) 12時31分

図がぼやけていてすみません。

図のように、鋭角三角形ABCが円Oに内接している。
いま、円Oの点Cを含まない弧AB上に弧AD=弧DEとなるように
（AD,DEの上に半円が付いているんですが、出し方が分かりません。
すみません。。）
2点、D,Eをとる。また、点Aにおける円Oの接線と線分BDの
延長との交点をF、線分ADの延長と線分BEの延長との交点を
Gとする。このとき、

(1)三角形ABFと三角形DBGが相似であることを証明せよ。

(2)∠ACB=72°、弧AD=弧DE=弧EBのとき、∠BGDを求めよ。

おねがいします。

	35465．Re: 接弦定理
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 14時53分
	(1) ＡＤ＝ＤＥより、　∠ＡＢＦ＝∠ＤＢＧ　・・・(i) 接弦定理より　∠ＡＢＦ＝∠ＦＡＤまた、∠ＡＤＦ＝∠ＢＤＧ（対頂角）より、　∠ＡＦＢ＝180°－∠ＦＡＤ－∠ＡＤＦ　∠ＤＧＢ＝180°－∠ＤＢＧ－∠ＢＤＧより、　∠ＡＦＢ＝∠ＤＧＢ　・・・(ii) (i)(ii)より、２角がそれぞれ等しいので　△ＡＢＦと△ＤＢＧ　は相似になります。 (2) ∠ＡＣＢは、∠ＡＯＢの半分であり、 ∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＥ＝∠ＥＯＢ＝(1/3)∠ＡＯＢなので、∠ＤＢＧ＝(1/3)∠ＡＣＢ＝24° 一方、∠ＢＤＧ＝∠ＡＣＢ＝72°　より、　∠ＢＧＤ＝180°－24°－72°＝84° 　 http://yosshy.sansu.org/

	35467．Re: 接弦定理
	名前：田口純日付：1月11日(金) 19時12分
	ありがとうございました！ (2)で質問があるんですが ∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＥ＝∠ＥＯＢ＝(1/3)∠ＡＯＢなので、∠ＤＢＧ＝(1/3)∠ＡＣＢ＝24° 上の行は分かるんですが、どうしていきなり、∠ＤＢＧが(1/3)∠ＡＣＢと分かるんでしょうか？ ∠ＤＢＧは円をはみ出しているから、∠ＡＣＢの3分の1だと思えないんですが、ここはどう理解したらいいんでしょうか？おねがいします。

	35468．Re: 接弦定理
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 19時36分
	∠ＤＢＧは、円を飛び出していませんよ。 ∠ＤＯＥの半分(円周角)になります。 ∠ＤＯＥは、∠ＡＯＢの1/3 なので、それぞれの円周角でも、 ∠ＤＢＧは、∠ＡＣＢの1/3 という関係が成り立ちます。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35479．Re: 接弦定理
	名前：田口純日付：1月12日(土) 8時45分
	ありがとうございました。ちょっとまだよく分からないんですが ∠AODを30度とすると ∠ABDは半分の15度ですよね？ ∠ACBは72度だから ∠AOBは216度ですよね？おねがいします。

	35480．Re: 接弦定理
	名前：ヨッシー日付：1月12日(土) 8時56分
	∠ＡＣＢ＝７２°なので、∠ＡＯＢ（中心角）は、その２倍の１４４°です。 ∠ＡＯＤ，∠ＤＯＥ，∠ＥＯＢの３つの角は等しいので、∠ＡＯＢが３等分されて　１４４÷３＝４８（°） ∠ＡＢＤは∠ＡＯＤの半分で、２４°、 ∠ＤＢＥは∠ＤＯＥの半分で、２４°です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35502．Re: 接弦定理
	名前：田口純日付：1月13日(日) 9時36分
	ありがとうございました！よくわかりました！！

35462．集合

名前：みるみる 日付：1月11日(金) 8時37分

連続する4つの自然数の積は24の倍数であることの証明の仕方を教えてください

	35463．Re: 集合
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 8時45分
	連続する３つの自然数の積は６の倍数である。を証明してみます。連続する３つの自然数の中の、１つは3の倍数である。連続する３つの自然数の中の、少なくとも１つは２の倍数である。以上より、連続する３つの自然数の積は　３×２＝６の倍数になる。これを、連続する４つの自然数についてやってみましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	35473．Re: 集合
	名前：みるみる日付：1月11日(金) 20時57分
	連続する４つの自然数についてどのように解くのか分からないので教えてください

	35481．Re: 集合
	名前：教得手　学日付：1月12日(土) 9時52分
	ヨッシーさんのヒントを噛み締めて発展させれば、何とかなるのですが・・・連続する４つの自然数のなかには (1) 少なくとも１つの３の倍数が含まれています。 (2) ２つの２の倍数が含まれ、そのうちの一方は４の倍数になっています。（この２つの２の倍数を掛ければ・・・）ここまで書けば、分かるでしょうか？

	35482．Re: 集合
	名前：みるみる日付：1月12日(土) 14時40分
	すいませんよくわかりません

	35484．Re: 集合
	名前：ヨッシー日付：1月12日(土) 15時55分
	連続する５つの自然数の積は１２０の倍数である。を証明してみます。連続する５つの自然数の中の、少なくとも１つは３の倍数である。連続する５つの自然数の中の、１つは５の倍数である。連続する５つの自然数の中には、少なくとも１つの４の倍数があり、　それとは別の偶数が、少なくとも１つ存在する。以上より、連続する５つの自然数の積は　３×５×４×２＝１２０の倍数になる。　 http://yosshy.sansu.org/

	35501．Re: 集合
	名前：みるみる日付：1月13日(日) 9時4分
	証明は難しいですねどうもありがとうござした

	35727．証明
	名前：恭彬日付：1月27日(日) 23時37分
	これを証明して下さい。ｎ〓５ｋ，５ｋ±１，５ｋ±２を使えって書いてありました。

35457．三角比

名前：みるみる 日付：1月10日(木) 22時55分

四面体ABCDはAB=6,BC=√13 ,AD=BD=CD=CA=5
を満たしている。

(1)四面体ABCDの体積を求めなさい

答えは(5√23)/2
よく分かりません　おしえてください

	35459．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：1月10日(木) 23時53分
	方針です。Ｄからは、Ａ，Ｂ，Ｃいずれも距離が５なので、Ｄを中心、半径５の球を考えると、Ａ，Ｂ，Ｃは、この球面上に取ることが出来ます。一方、△ＡＢＣの外接円の半径を、余弦定理、正弦定理により調べると、 △ＡＢＣ（に外接する円）が、点Ｄからどのくらい離れているかがわかります。その距離を高さとし、△ＡＢＣを底面とすれば、四面体ＡＢＣＤの体積が出ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35460．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 0時11分
	実際に解いてみます。 △ＡＢＣにおける余弦定理より cosＡ＝(36+25-13)/(2・6・5)＝48/60＝4/5 よって、 sinＡ＝3/5 △ＡＢＣにおける正弦定理より△ＡＢＣの外接円の半径は、　√13/(2・3/5)＝(5√13)/6 よって、△ＡＢＣを含む平面の真横から見ると、図のようになり、点Ｄ(球の中心)と、△ＡＢＣまでの距離は、三平方の定理より、　5√(1－13/36)＝(5√23)/6 一方、△ＡＢＣの面積は、　(1/2)×6×5×sinＡ＝9 よって、求める体積は、　(1/3)×9×(5√23)/6＝(5√23)/2 　 http://yosshy.sansu.org/

	35461．Re: 三角比
	名前：みるみる日付：1月11日(金) 8時24分
	ヨッシーさんありがとうございました。立体で描くとどんなふうになるか教えていただけたら嬉しいです

	35466．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：1月11日(金) 17時18分
	上の図も、十分立体の図ですが、斜めから見たとき、ということで、描いてみました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35483．Re: 三角比
	名前：みるみる日付：1月12日(土) 14時41分
	立体図ありがとうございました

35454．複素数

名前：ジェラード 日付：1月10日(木) 19時20分

Z^3=-8i　答えは3つあると言われたのですがよくわかりません教えて下さい。

	35455．Re: 複素数
	名前：ヨッシー日付：1月10日(木) 19時32分
	私のページの「ミニ講座」の「複素数と複素数平面」を参照してください。－８ｉ＝８(cos(3π/2)＋ｉsin(3π/2)) 　よりＺ＝２(cos(π/2)＋ｉsin(π/2))＝２ｉＺ＝２(cos(π/2＋2π/3)＋ｉsin(π/2＋2π/3))＝－√3－ｉＺ＝２(cos(π/2＋4π/3)＋ｉsin(π/2＋4π/3))＝√3－ｉの３つが解となります。ためしに３乗してみれば、いずれも－８ｉになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35456．Re: 複素数
	名前：ジェラード日付：1月10日(木) 19時36分
	理解できました。ありがとうございます。

35452．用語の定義について教えて頂けないでしょうか。

名前：木山日付：1月10日(木) 17時36分

「演算数と被演算数」についてですが、
例えば「2+3」の場合
２が被演算数で３が演算数となるのでしょうか。

よろしくお願い致します。

	35453．Re: 用語の定義について教えて頂けないでしょうか。
	名前：ヨッシー日付：1月10日(木) 18時12分
	足し算、掛け算は交換法則が成り立つので、曖昧ですが、　10÷5 だと、10が被除数、５が除数ですから、＞例えば「2+3」の場合＞２が被演算数で３が演算数となるのでしょうか。で、およそ正しいでしょう。算数でも、かけられる数、かける数という言い方をしますが、同じような使われ方ですね。　2×3 2がかけられる数、3がかける数。　 http://yosshy.sansu.org/

	35458．Re: 用語の定義について教えて頂けないでしょうか。
	名前：木山日付：1月10日(木) 23時8分
	理解出来ました。いつも丁寧な解説をありがとうございます。

35445．因数分解

名前：ピタゴラス 日付：1月9日(水) 23時36分

係数が実数の範囲で、X^8+1を因数分解せよ。
どうすればいいのでしょう??
教えてください。。

	35447．Re: 因数分解
	名前：七日付：1月9日(水) 23時57分
	まず x^8+1＝(x^4＋1)^2－2x^4 ＝(x^4＋√2x^2＋1)(x^4－√2x^2＋1) まだ出来そうですね。

	35448．Re: 因数分解
	名前：みっちぃ日付：1月10日(木) 0時4分
	x^8+1 =(x^4+2x^2+1) -2x^2 (←平方完成ができるように2x^2を付け加える) =(x^4+1)^2 -(√2x^2)^2 =(x^4+√2 x^2+1)(x^4-√2 x^2+1) ・x^4+√2x^2+1 =(x^4+2x^2+1)-(2-√2)x^2 =(x^2+1)^2-{√(2-√2)x}^2 ={x^2+√(2-√2)x +1}{x^2-√(2-√2)x +1} ・x^4-√2x^2+1 =(x^4+2x^2+1)-(2+√2)x^2 =(x^2+1)^2-{√(2+√2)x}^2 ={x^2+√(2+√2)x +1}{x^2-√(2+√2)x +1} 従って， x^8+1={x^2+√(2-√2)x +1}{x^2-√(2-√2)x +1}{x^2+√(2+√2)x +1}{x^2-√(2+√2)x +1}

	35449．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：1月10日(木) 0時4分
	ｘ⁸＋１＝ｘ⁸＋２ｘ⁴＋１－２ｘ⁴ ＝(ｘ⁴＋１)²－(√2ｘ²)² ＝(ｘ⁴＋１＋√2ｘ²)(ｘ⁴＋１－√2ｘ²) さらに、　ｘ⁴＋１＋√2ｘ² ＝ｘ⁴＋２ｘ²１－(２－√2)ｘ² ＝(ｘ²＋１)²－(√(2－√2)ｘ)² ＝(ｘ²－√(2－√2)ｘ＋１)(ｘ²＋√(2－√2)ｘ＋１) 　ｘ⁴＋１－√2ｘ² ＝ｘ⁴＋２ｘ²１－(２＋√2)ｘ² ＝(ｘ²＋１)²－(√(2＋√2)ｘ)² ＝(ｘ²－√(2＋√2)ｘ＋１)(ｘ²＋√(2＋√2)ｘ＋１) のように分解できます。ｘ²－√(2－√2)ｘ＋１などは、判別式が負なので、実数では因数分解できません。　 http://yosshy.sansu.org/

35442．図示

名前：こもりん 日付：1月9日(水) 21時58分

x[1],x[2]∈Ｒとしたとき

関数f(x[1],x[2])=max{x[1],x[2],0}

は図示をするとどうなりますか？

	35446．Re: 図示
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 23時56分
	こんな感じです。　 http://yosshy.sansu.org/

35440．(untitled)

名前：こもりん 日付：1月9日(水) 21時55分

x∈Ｒのとき
関数f(x)=max{x,0}を図示するとどんなものに
なるのかわかりません。

	35441．Re: (untitled)
	名前：こもりん日付：1月9日(水) 21時56分
	タイトルを入れ忘れました。タイトルは図示です。

35439．図形2

名前：ぎゃン 日付：1月9日(水) 21時0分

図のように、1辺の長さが4cmの正四面体ABCDあり、辺BC,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
また、点Ｍから線分ANに垂線を引き、その交点をＨとする。
次の問題に答えなさい

(1)MＨの長さを求めなさい
答え　√33/3

(2) 三角錐HBCDの体積は、正四面体ABCDの体積の何倍か求めなさい

答え　1/6倍

解き方が分かりません。
教えてください
よろしくおねがいします

	35444．Re: 図形2
	名前：教得手　学日付：1月9日(水) 22時44分
	(1) ＡＮ,ＡＭは１辺４ｃｍの正三角形の高さだから,２√３ｃｍ。ＡからＭＮへの垂線をＡＥとすると,三平方の定理より　ＡＥ＝√11 ＭＨ＝ｘとおくとき △ＡＭＮ＝ＭＮ×ＡＨ/２＝ＡＮ×ＭＨ/２より、ｘについての方程式ができるので、それを解けばＭＨが求まります。 (2) △ＭＮＨにおいて三平方の定理より、ＨＮ＝√３/３　が求まります。 ∴ ＨＮ：ＡＮ＝２√３：√３/３＝６：１よって、ＡＨから△ＢＣＤへの垂線の長さの比は、６：１三角錐HBCDと正四面体ABCD は底面が共通で、高さが１：６となるから、体積の比は　１：６となります。

35438．図形

名前：ぎゃン 日付：1月9日(水) 20時56分

図のような△ABCがあり、点Ｄは辺ABの中点である。
2点E,Fは辺BCを3等分する点で、BE=EF=FCである。
また、線分AEと線分DFとの交点をGとする。
このとき、次の問いに答える

(1)△ABCの面積は△ABEの面積の何倍か。
答え　3倍

(2)
四角形AGFCの面積は四角形BEGDの面積の何倍か答えなさい

答え5/2倍

考え方が分かりません。
おしえてください
宜しくおねがいします

	35443．Re: 図形
	名前：教得手　学日付：1月9日(水) 22時15分
	２つの三角形において【高さが等しければ、面積の比は底辺の比と等しい】ということを使えば、何とかなりますね。 (1) △ＡＢＥと△ＡＢＣは、底辺をそれぞれＢＥ,ＢＣとすれば、高さが等しいので △ＡＢＥ:△ＡＢＣ＝ＢＥ：ＢＣ＝１：３よって、△ABCの面積は△ABEの面積の３倍 (2) ＡＦを結ぶと、ＡＥ,ＤＦは△ＡＢＦの中線だから、Ｇは△ＡＢＦの重心となります。　ＡＧ：ＧＥ＝ＦＧ：ＧＤ＝２：１よって、△ＧＥＦ＝[1] とすると、△ＡＧＦ＝[2] 　△ＡＥＦ＝△ＡＦＣ＝[3] 　△ＦＢＤ＝△ＡＢＦ/２＝[3] ∴□ＢＥＧＤ＝△ＦＢＤ－△ＧＥＦ＝[2] 　□ＡＧＦＣ＝△ＡＧＦ＋△ＡＦＣ＝[5] したがって、四角形AGFCの面積は四角形BEGDの面積の５/２倍となります。

35420．中２です

名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 12時44分

正n角形A₁A₂……A_n において
　1/A₁A₂=1/A₁A₃ + 1/A₁A₄
が成り立っているとき，５以上の整数nの値を求めよ。

よろしくお願いします……。

	35423．Re: 中２です
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 15時50分
	これは、中２の範囲での問題ですか？それとも、もっと上の学年でしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	35424．Re: 中２です
	名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 15時59分
	学校のプリントで配られたもので，まだ解答は提示されていません。学年は……わかりません。

	35426．Re: 中２です
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 16時30分
	ｎ＝７であることは確かですが、どうして証明しましょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	35427．Re: 中２です
	名前：らすかる日付：1月9日(水) 17時29分
	初等的な証明は、↓このページの下の方にあります。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/heptagon.htm

	35428．Re: 中２です
	名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 17時43分
	ありがとうございます。じっくり読んでみます。

	35429．Re: 中２です
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 18時33分
	なるほど。トレミーの定理ですか。上のページの中のこちらに、この掲示板へのリンクがあったのですが、期限切れで表示されなかったので、こちらにログを載せておきます。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35430．Re: 中２です
	名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 18時51分
	ところで，n≠7のとき与式が成り立たないことは証明できるのでしょうか？

	35432．Re: 中２です
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 19時18分
	たとえば、Ａ₁Ａ₂ （正ｎ角形の１辺）を固定しておいて、ｎを増やすと、Ａ₁Ａ₃、Ａ₁Ａ₄ ともに大きくなっていくという方向で示せるでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	35433．Re: 中２です
	名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 19時28分
	わかりました。ありがとうございます。

35417．出来れば今日中にお願いします（＞＜；）　大学３

名前：アキナ 日付：1月9日(水) 11時18分

はじめまして
公式が証明できなくて大変困ってます（泣）

１
２次曲線
楕円、双曲線、放物線について
準線と離心率を求め、極方程式で表せ。

２
ax^2+cxy+by^2+dx+fy+g=0のとき
a、b、c、の値が変化するとどのような曲線になるか
式で表せ。
ただしa、b、c、d、f、gは定数とする。

どなたか出来れば今日中にお願いします。
私も必死でやっていますが、なかなか出来なくて（；；）
私を助けて下さい（＞＜；）

	35425．Re: 出来れば今日中にお願いします（＞＜；）　大学３
	名前：豆日付：1月9日(水) 16時1分
	この手の掲示板での質問としてはボリュームが大きすぎでは？ネットで検索すればいろいろ参考になる資料があると思いますよ。例えば1番だったら、 http://flab.ces.kyutech.ac.jp/~fujio/index.files/GI07/07.pdf 2番だったら、 http://members.jcom.home.ne.jp/dslender/math/2jibunrui.pdf とか。その中で、個別に分からない箇所があれば、掲示板に載せれば良いと思います。

35415．時計算が分かりません

名前：ゆり日付：1月9日(水) 10時42分

時計でアの角とイの角が等しくなるのは8時何分ですか。

解答：8時50　2/5　分です。

	35416．Re: 時計算が分かりません
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 11時8分
	８時から数えると大変なので、９時から少し戻した状態を考えます。長針と短針の進む速さの比は 12:1 なので、図の、　(長針から12時までの角度)：(短針から９時までの角度)＝１２：１です。 (長針から12時までの角度)＝(短針から長針までの角度)なので、図のＡに当たる部分の角度は(11)となります。すると、(12) に当たる部分は、　90×(12/23)＝1080/23(度) この角度を長針が１分に付き６度で進むと　1080/23÷６＝180/23＝7と19/23(分) かかります。９時からこの時間を引いて　８時52と4/23分となります。上の解答の　8時50　2/5　分＝8時50.4分　では、長針の位置　６×50.4＝302.4(度) 短針の位置　240＋0.5×50.4＝265.2(度) であり、短針から長針：37.2度、長針から12時：57.6度で、等しくありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35418．Re: 時計算が分かりません
	名前：ゆり日付：1月9日(水) 11時21分
	ヨッシー様早速、回答して頂きありがとうございます。再度質問しても宜しいでしょうか？やはり時計算です。 (1)今４時です。時計の長針と短針が　3と9を結んだ線を軸にして、左右対称になるのは、　４時何分ですか？ (2)今３時です。時計の長針と短針が　12と6を結んだ線を軸にして、左右対称になるのは、　３時何分ですか？ (3)今１時です。時計の長針と短針が　3と9を結んだ線を軸にして、左右対称になるのは、　１時何分ですか？ヨッシー様のお力を貸してください。宜しくお願い致します。

	35419．Re: 時計算が分かりません
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 12時26分
	ちょっと時間がないので、図は描きませんが、まず基本事項：長針は１分に６°動く。短針は１分に0.5°動く。 (1) 4時15分を想定します。短針は４時の位置から　0.5×15＝7.5(°) 動いているので、長針(３時の位置にある)と短針の角度は、37.5°です。この位置から、長針を少し戻して、３時の位置に対して、対称になるようにします。この間に、長針が動いた角度と、短針が動いた角度の合計が、37.5°になります。（私のページの、和算目録の時計算の問題１も参照してください）よって、その間の時間は、１分間に長針と短針は合わせて6.5°動くので、　37.5÷6.5＝75/13＝5と10/13(分) 4時15分からこれだけ戻して、4時9と3/13分 (2) 3時30分を想定して、そこから少し長針を進めます。 (3) 1時15分を想定して、そこから少し長針を進めます。 (2)(3) は、(1)と同じ考えですので、やってみてください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35421．Re: 時計算が分かりません
	名前：ゆり日付：1月9日(水) 12時37分
	御丁寧に教えて頂きありがとうございました。

	35431．Re: 時計算が分かりません
	名前：タンポポ日付：1月9日(水) 18時55分
	再度申し訳ございません。 (2)の答えと(３)の解き方と答えを教えてください。

	35435．Re: 時計算が分かりません
	名前：Kurdt 日付：1月9日(水) 20時10分
	こんばんは。ヨッシーさんではありませんが、ヨッシーさんの (1) の回答に沿った形で、 (2) と (3) の問題の解説を書かせていただきました。考え方はヨッシーさんが説明された (1) とほとんど同じです。重要そうなところには色をつけていますので、ヨッシーさんの (1) の回答と比べながら読んでください。 (2) 3時30分を想定します。短針は３時の位置から　0.5×30＝15(°) 動いているので、長針(６時の位置にある)と短針の角度は、75°です。この位置から、長針を少し進めて、６時の位置に対して、対称になるようにします。この間に、長針が動いた角度と、短針が動いた角度の合計が、75°になります。よって、その間の時間は、１分間に長針と短針は合わせて6.5°動くので、　75÷6.5＝150/13＝11と7/13(分) 3時30分からこれだけ進めて、3時41と7/13分 (3) 1時15分を想定します。短針は１時の位置から　0.5×15＝7.5(°) 動いているので、長針(３時の位置にある)と短針の角度は、52.5°です。この位置から、長針を少し進めて、３時の位置に対して、対称になるようにします。この間に、長針が動いた角度と、短針が動いた角度の合計が、52.5°になります。よって、その間の時間は、１分間に長針と短針は合わせて6.5°動くので、　52.5÷6.5＝105/13＝8と1/13(分) 1時15分からこれだけ進めて、1時23と1/13分 http://fairytale.holy.jp/

	35451．Re: 時計算が分かりません
	名前：タンポポ日付：1月10日(木) 8時27分
	Kurdt様御丁寧に教えて頂き、ありがとうございます。分かりやすく、納得できました。

35411．掲示板に書き込めません

名前：はる日付：1月8日(火) 22時52分

おそらくセキュリティ設定の問題と思いますが、掲示板に書き込もうとしても、「設定により、このリモートホストからのアクセスは禁止されています。掲示板管理者にお問い合わせください」
と表示されます。
対応して頂けるでしょうか？
（この書き込みは別のPCから行っています）

	35413．Re: 掲示板に書き込めません
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 8時32分
	一時的に、制限を外しました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35414．Re: 掲示板に書き込めません
	名前：ラディン.ms 日付：1月9日(水) 9時59分
	僕も書き込めませんでした。ありがとうございます。

	35422．有り難うございました
	名前：√ 日付：1月9日(水) 13時53分
	ヨッシーさん　有り難うございました。私も昨年末から、書き込みが出来なくなっていました。ヨッシーさんが「年末年始のみ」日本に帰国される等の事情で、一時的にアクセスを制限されていらっしゃるのかな？とも考えてみました。それから、私が知人の「はるさん」にお願いして、今の状況を掲示板を通してヨッシーさんに伝えて頂きました。私のプロバイダーは「ｐｌａｌａ」です。最後に、はるさん　有り難うございました。

35409．サイン　コサイン

名前：RIKA　高2 日付：1月8日(火) 10時19分

次の三角比を鈍角の三角比に直しなさい。

①sin150°

②cos150°

③tan150°

④sin110°

⑤cos130°

⑥tan170°

お願いします。

	35410．Re: サイン　コサイン
	名前：ヨッシー日付：1月8日(火) 11時43分
	もうすでに、鈍角の三角比になっていますが。「鋭角の三角比を使って表しなさい」ではないですか？「鋭角の三角比に直しなさい」だと、出題者のセンスを疑います。さて、使う公式は、　sin(π－θ)＝sinθ 　cos(π－θ)＝－cosθ 　tan(π－θ)＝－tanθ です。 sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30° といった具合です。　 http://yosshy.sansu.org/

35407．三角方程式

名前：みるみる 日付：1月8日(火) 1時5分

方程式(cos＾2x)-4sinx＋a=0 (aは定数)が0°≦x≦180°において2つの会をもつようなa範囲を求める

(cos＾2x)-4sinx＋a=0 を変形して
(sin＾2x)＋4sinx-1=a
sinx=tとおくと
(t＾2)＋4t-1=a
sinの範囲は-1≦sinx≦1ですが
どうしてこの問題は
０＜sinx≦1という範囲で考えるのですか？

教えてください　おねがしいます

	35408．Re: 三角方程式
	名前：七日付：1月8日(火) 1時43分
	0°≦x≦180°の範囲では 0≦sinx≦1 です。

35402．食塩水

名前：さえか　中３ 日付：1月7日(月) 23時34分

８％の食塩水が２００ｇある
これに３％の食塩水を何ｇか入れて５％の食塩水を作りたい
何ｇ入れたらいいか？

教えてください　お願いします

	35404．Re: 食塩水
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 23時50分
	面積算による方法図のように、200gの8%食塩水と、ｘgの3%食塩水を混ぜて 5% になったとすると、8% 食塩水で、5% より上に出ている面積と、 3% 食塩水で、5% より下にへこんでいる面積とが一致するので、　200×(8-5)＝(5-3)ｘより、　ｘ＝300(g) 天秤算による方法図のように、3%から8%まで、目盛りのついた天秤の 8% のところに 200gの重りをつるし、3% のところにｘg の重りをつるして、 5% のところで釣り合ったとすると、支点からの距離と、重りの重さの積が一致することから、　200×(8-5)＝(5-3)ｘより、　ｘ＝300(g) 方程式による方法 3% の食塩水をｘｇ入れたとします。 8% の食塩水200gに含まれる、食塩の量は　200×0.08＝16(g) 3% の食塩水ｘgに含まれる、食塩の量は　0.03ｘ(g) これを混ぜて、5% の食塩水200＋ｘgが出来るので、これに含まれる食塩の量は、　0.05(200＋ｘ)＝10＋0.05ｘよって、　16＋0.03ｘ＝10＋0.05ｘこれより、　ｘ＝300(g) 　 http://yosshy.sansu.org/

35401．２日連続すいません（汗

名前：高１・ゆき 日付：1月7日(月) 23時16分

三次方程式３ｘ³－（a＋３）ｘ²＋a＝０について

①異なる三つの実数解をもつとき、定数aの値の範囲をもとめよ。
②ただ一つだけの実数解をもつとき、定数aの値の範囲とその実数解をもとめよ。

答え
①a＜－１２,０＜a＜3/2,3/2＜a
②－１２＜a＜0,実数解は１

	35405．Re: ２日連続すいません（汗
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 23時55分
	まず、ｘ＝１が解になることを見つけます。すると、３ｘ³－（a＋３）ｘ²＋a は、ｘ－１で割り切れて（因数をくくり出せて）　３ｘ³－（a＋３）ｘ²＋a＝(ｘ－１)(３ｘ²－ａｘ－ａ) となります。解の一つは、ｘ＝１で、残りは、　３ｘ²－ａｘ－ａ＝０の解です。判別式を取って、　ａ²＋１２ａ＞０　のとき、つまり　ａ＜－１２　または　ａ＞０のとき、実数解が３つ　ａ²＋１２ａ＜０　のとき、つまり　－１２＜ａ＜０のとき、実数解は、ｘ＝１１つだけとなります。　 http://yosshy.sansu.org/

35400．(untitled)

名前：ぎゃン 日付：1月7日(月) 23時13分

自然数1から順にある規則にしたがって並べたものです
たとえば上から２行目、左から３列目にある数は８です。
数は１８は上から５行目、左から２列目にあります。

数2003は上から何行目左から何列目にありますか。
その行と列を求めなさい

答えは
上から23行目
左から45列目

教えてください

	35406．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：1月8日(火) 0時3分
	まず１行目は　１，４，９，１６のような数が並びます。また、１列目はそれらに１を足した　１，２，５，１０のような数が並びます。　1936＜2003＜2025 より、１列目の４５行目の数は 1937 であり、４５列目まで、１ずつ増え、４５行目４５列目で　1937＋44＝1981 になり、そこから　2003－1981＝22 上に行って、23行目、45列目が、2003となります。１行目の４５列目が 2025 なので、そこから　2025－2003＝22 下に行って、23行目、45列目が、2003　と考えても良いです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35437．Re: (untitled)
	名前：ぎゃン日付：1月9日(水) 20時50分
	４５列目まで、１ずつ増え、４５行目４５列目で　1937＋44＝1981 になり、そこから　2003－1981＝22 がよく分かりません

35397．図形

名前：ぎゃン 日付：1月7日(月) 22時38分

辺AB,AC,ADが点Ａで垂直に交わる三角錐D-ABCがあります。
ＡＢ＝３cm , AC=4cm , AD=8cmのとき
問１
辺AD上を頂点Aから頂点Dまで動く点Pがあり、辺BD上に点Ｑ、辺CD上に点Ｒがあります。
点Ｑ，Ｒは
PQ//AB , PR//ACとなるように動いています。
ＡＰ＝5cmのときPQ,QR,RPの長さの和を求めなさい
答え9/2

(2)APの長さをxcmとし、PQ,QR,RPの長さの和をycmとするとき、yをxの式で表しなさい。

答え y=(-3/2)x＋12

宜しくおねがいします

	35398．Re: 図形
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 23時0分
	問１まず、△ＡＢＣの周りの長さは　３＋４＋５＝１２ＡＰ＝５　だと　ＤＰ＝３　なので、△ＰＱＲは、△ＡＢＣの３／８倍の大きさとなり、周の長さは　１２×３／８＝９／２ (2) 問１の考え方を使うと、ＡＰ＝ｘだと　ＤＰ＝８－ｘ　なので、△ＰＱＲは、△ＡＢＣの (８－ｘ)／８倍の大きさとなり、周の長さは　１２×(８－ｘ)／８＝１２－(3/2)ｘ　 http://yosshy.sansu.org/

	35399．Re: 図形
	名前：ぎゃン日付：1月7日(月) 23時13分
	ありがとうございました。相似を考えていたら混乱してしまいました簡単な求めかたがあるんですね。参考になりましたありがとうごうございました

	35403．Re: 図形
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 23時37分
	簡単かどうかは別として、これも相似ですよ。　 http://yosshy.sansu.org/

35393．関数について

名前：トン（社会人） 日付：1月7日(月) 19時21分

次の証明の意味が解りませんでした。
書籍より
________________
y=f(x)がx=aにおいて微分可能ならば、そこで連続である。
________
説明
微分可能であることの特徴のひとつ。
x=aにおいて連続であっても微分可能とは限らない。
例えばy=｜x｜において、ｘ＝０で連続になっているが
ここでは微分可能ではない
__________
証明
x=aにおいて連続であることを示すには
lim(x→a)f(x)=f(a)
を示せばよい。ここでx=a+hとおくとｘ→aのときｈ→０なので
lim(h→0)f(a+h)=f(a)
をしめせばよいことになる。仮定よりy=f(x)はx=aにおいて微分可能なので
lim(h→0)｛f(a+h)-f(a)}=lim(h→0)[｛f(a+h)-f(a)}/h]・h
=f'(a)lim(h→0)h=f'(a)・0=0・・・・・・①？

∴lim(h→0)f(a+h)＝f(a)・・・・・・・②？

とありましたが
・①が０になるとなぜ②に導かれるのか？
解りませんでした。
・また②はlim(x→a)f(x)=f(a)と
同じ意味になると理解してよろしいのでしょうか？
宜しくお願いします

	35394．Re: 関数について
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 19時38分
	①で示したことは、　lim(h→0)｛f(a+h)-f(a)}=0 ということです。f(a) は、h と関係ないので、カッコの外に出して、　lim(h→0)f(a+h) － f(a)=0 よって、　lim(h→0)f(a+h)＝f(a) ｘ＝ａ＋ｈとおくと、ｈ→0 のときｘ→ａなので、　lim(h→0)f(a+h)＝f(a) と　lim(x→a)f(x)＝f(a) とは、同じ意味です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35395．中間式
	名前：トン（社会人）日付：1月7日(月) 20時32分
	ヨッシーさんご回答ありがとうございます ①の意味はあらかじめ lim(h→0)｛f(a+h)-f(a)}=0になることを中間の式微分｛lim(h→0)[｛f(a+h)-f(a)}/h]・h｝を使って証明して、最後②で両辺にf(a)をたしたわけですね。理解しました。丁寧に教えて頂ありがとうございました。

35391．三角不等式

名前：みるみる 日付：1月7日(月) 13時13分

4(sin＾2)x≧3 (0≦x≦180)
（2sinx-√3)(2sinx＋√3)≧0
から分かりません

答えは
60≦x≦120

	35392．Re: 三角不等式
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 13時24分
	みるみるさんは、２次不等式　(２ｘ－１)(ｘ－２)≦０　や　(２ｘ－√3)(２ｘ＋√3)≧0　は解けるのでしょうか？これらのｘがsinｘになっただけなのですが。で、この問題は　sinｘ≦－√3／２　または　√3／２≦sinｘです。以下同文で、　－１≦sinｘ≦－√3／２　または　√3／２≦sinｘ≦１であるｘの範囲を求めます。で、やはり　(0≦x≦180) ではなく (0°≦x≦180°) だと思われますが、この範囲では、－１≦ｘ≦－√3／２となるｘはありませんので、 √3／２≦ｘ≦１　の方だけを扱います。で、やはり答えは　60≦x≦120 ではなく 60°≦x≦120°　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35396．Re: 三角不等式
	名前：ぎゃン日付：1月7日(月) 22時20分
	sinの値は正なので－１≦ｘ≦－√3／２の範囲は使用しないんですね。ありがとうございます

35388．三角不等式

名前：みるみる 日付：1月7日(月) 1時41分

2(cos＾2)ｘ＋5sinx-4≧0を解く　(0≦x≦18)
(2sinx-1)(sinx-2)≦0

これからどのように解けばいいのか分かりません

答え　30≦x≦150

	35389．Re: 三角不等式
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 8時37分
	(2sinx-1)(sinx-2)≦0 より　1/2≦sinｘ≦2 です。実際に sinｘの取る値は　-1≦sinｘ≦1 ですから、　1/2≦sinｘ≦1 となるｘの範囲を調べることになります。与えられたｘの範囲が (0≦x≦18) となっていますが、おそらく、0°≦ｘ≦180° でしょう。また、答えも、30≦x≦150 ではなく、30°≦x≦150°　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35390．Re: 三角不等式
	名前：みるみる日付：1月7日(月) 13時9分
	勘違いしてすいませんありがとうございました

35386．大学入試

名前：さとる 日付：1月7日(月) 0時23分

発酵に対する以下の記述の中で正しいものには○、正しくないものは×と書け
（Ⅰ）タンパク質や脂肪は発酵の気質にはならない
（Ⅱ）酵母菌が好気呼吸と発酵の両方を同時に行なっている時、９６㎎の酸素
を吸収し、１７６㎎の二酸化炭素を発生したとすると、この時に生じるATPは
２０ミリモルである。ただし、原子量はC=１２、O=１６、H=１とする

答えは（Ⅰ）（Ⅱ）ともに○
（Ⅰ）は理由がわかりません
（Ⅱ）は答えに至るまでのプロセスがよくわかりません
解説おねがいします・・・。

	35387．Re: 大学入試
	名前：ヨッシー日付：1月7日(月) 0時34分
	(1) は、なるかならないかなので、教科書などを見てください。 (2) 好気呼吸　グルコース (C6H12O6) + 6 O2 + 38 ADP + 38 Pi → 6 CO2 + 6 H2O + 38 ATP 　…(1) 嫌気呼吸　アルコール発酵　C6H12O6+2ADP+2Pi（リン酸）　→　2C2H5OH+2CO2+2ATP　…(2) は、前に書いたとおりです。酸素(分子量：32) 3mmol を吸収し、二酸化炭素(分子量；44)4mmol を出したので、 (1) では、0.5 mmol のグルコースが消費され、3mmol の二酸化炭素が出ます。残りの 1mmol分の二酸化炭素は(2) から出ており、そのとき消費されるグルコースは0.5mmol です。以上より、(1)で発生したATP は、19mmol、(2)で発生したATPは1mmol で、合わせて 20mmol です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35412．大学入試
	名前：さとる日付：1月8日(火) 22時55分
	はやい解答ありがとうございます！！！数学も生物もできるなんてすごいですね♪ 早速やってみます！

	35434．大学入試
	名前：さとる日付：1月9日(水) 20時2分
	昨日やってみたんですが･･･。途中から分からないので解説お願いします（＞。＜）（２）の問題で[(1) では、0.5 mmol のグルコースが消費され]というところでなぜ0.5 mmol だとわかるんですか？自分のやり方で計算してもその数値がでてこないんです・・・。根本的なところだと思いますが解説お願いします。

	35436．Re: 大学入試
	名前：ヨッシー日付：1月9日(水) 20時6分
	グルコース (C6H12O6) + 6 O2 + 38 ADP + 38 Pi → 6 CO2 + 6 H2O + 38 ATP 　…(1) において、グルコース1mol と酸素 6mol が反応するので、酸素3mmol だと、グルコース 0.5mmol です。なお、この値は、問題とは直接関係ありませんが、理解を深めるために書きました。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35450．大学入試
	名前：さとる日付：1月10日(木) 2時25分
	わかりました！！！なんだか難しく考えすぎていました♪笑ありがとうございました☆☆☆☆☆

35383．2つあるのですが・・・・

名前：高１・ゆき 日付：1月6日(日) 21時25分

①ｘ¹⁰⁰＋ｘ⁹⁹＋1をｘ²－ｘで割ったときのあまりをもとめよ。

②ｘ²＋ｘ－２で割ると３ｘ－１余るような多項式P（ｘ）をｘ－１及びｘ＋２で割ったときの余りをそれぞれもとめよ。

よろしくおねがいします。

	35384．Re: 2つあるのですが・・・・
	名前：みっちぃ日付：1月6日(日) 21時50分
	割り算の余りを求める問題は次の2つを用いて，式を立てます。・『(割られる数)=(割る数)×(商)＋(あまり)』 (←数字の時と同じ) ・『(割る数)の次数＞(あまり)の次数』(←数字の時は(割る数)＞(あまり)です) その際，商がないと式が立たないので，一時的に適当に置いておきましょう。 ①割る数がx^2-xと2次式なので，あまりは1次以下(ax+b)となる。 (↑a=0なら0次式，a≠0なら1次式で1次以下です) 商を適当にP(x)として x^100+x^99+1=(x^2-x)×P(x)+(ax+b)…★ と置いて，a，bを求める。このとき，適当に置いたP(x)があるとa，bが求められないので，割る数(x^2-x)が0になるようなxを代入。・x=0を★に代入：1=b ・x=1を★に代入：3=a+b →a=2 よって，求めるあまりは2x+1です。 ②今度は，「○○で割ると…あまる」からいくつか式を立てます。「P(x)をx^2+x-2=(x-1)(x+2)で割ると3x-1あまる」：P(x)=(x-1)(x+2)×A(x)+(3x-1) ・x=1代入：P(1)=2 ・x=-2代入：P(-2)=-7 「P(x)を(x-1)で割ったあまり(aと置きます)」：P(x)=(x-1)×B(x)+a ・x=1代入：P(1)=aより，a=2。「P(x)を(x+2)で割ったあまり(bと置きます)」：P(x)=(x+2)×C(x)+b ・x=1代入：P(-2)=bより，b=-7。いかがでしょうか??

	35385．Re: 2つあるのですが・・・・
	名前：高１・ゆき日付：1月6日(日) 21時58分
	わかりました（汗ありがとうございました<(_ _)>

35381．すみません・・・

名前：フィリップ　高一 日付：1月6日(日) 15時28分

正しくはこうです。宜しくお願いします。

三角形ABCで(sinA+2sinB)/15=(sinB+2sinC)/14=(sinC+2sinA)/19=kが成り立つときa:b：cを求めよ。また、cosA,sinA,kの値を求めよ。

答え　a:b:c=7:4:5 cosA=-1/5 sinA=(2√6)/5 k=(2√6）/35
お願いします。

	35382．Re: すみません・・・
	名前：X 日付：1月6日(日) 17時40分
	前半) △ABCの外接円の半径をRとすると正弦定理より a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (A) ∴sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R) (A)' (A)'を (sinA+2sinB)/15=(sinB+2sinC)/14=(sinC+2sinA)/19=k (B) に代入すると (a+2b)/15=(b+2c)/14=(c+2a)/19=2Rk (B)' (B)'をa,b,cについての連立方程式と見て解きa,b,cをR,kで表してみましょう。後半) 前半の結果を∠Aに関する余弦定理に代入し cosA を求めます(計算途中でR,kは約分されて消えます)。 sinA は (sinA)^2+(cosA)^2=1 を使います(sinA>0に注意)。同様な方法でsinBも計算し(B)を使えばkも求められます。

35375．初です。よろしくお願いします。

名前：フィリップ　高一 日付：1月6日(日) 7時9分

以下の問題を教えてください。

（ア）ジョーカーを除いた52枚のトランプがある。この中から3枚を取り出すとき
3枚のカードの数が4、5、6のように連続する確立を求めよ。ただしAは1、Jは11、Qは12、Kは13とする。　

答え　176/5525

（イ）円に内接する七角形について、七つの頂点を三つの頂点とする三角形のうち、七角形と辺を共有しない三角形はいくつあるか？

答え　7個
（ウ）sinA+2sinB/15=sinB+2sinc/14=sinC+2sinA/19=kが成り立つ時、a:b:cを求めよ。またcosA,sinA,kの値を求めよ。

答え　a:b:c＝7:4:5 cosA=
-1/5 sinA=2√6/5　　ｋ＝2√6/35

お願いします。

	35376．Re: 初です｡よろしくお願いします｡
	名前：hari 日付：1月6日(日) 7時39分
	(1)だけ 1から13まで連続した3数は11ありそれぞれの数字にダイヤ、スペード、ハート、クラブの種類があるので4 * 4 * 4 通り 52枚から3枚ひく場合の数は52C3 11 * 4^3/52C3 = 176/5525

	35377．Re: 初です｡よろしくお願いします｡
	名前：hari 日付：1月6日(日) 8時5分
	(2) 7点から3点選ぶ場合の数は7C3 1辺共有する三角形の数は37 2辺共有する三角形の数は17 ∴7C3 - 37 - 17 = 7 http://

	35378．Re: 初です。よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：1月6日(日) 12時21分
	(ウ) 三角形ＡＢＣかと想像できますが、書いていませんね。また、　 http://yosshy.sansu.org/

	35380．Re: 初です。よろしくお願いします。
	名前：フィリップ　高一日付：1月6日(日) 14時12分
	ありがとうございました。

35371．関数の真偽判定

名前：kana 日付：1月5日(土) 9時23分

宜しくお願い致します。

[命題]
関数f,gは全実数で微分可能とする。f(1)=g(1)であり,全実数でf'(x)<g'(x)の時,
1<xでf(x)<g(x)である。

の真偽判定問題です。
この命題は真(例:f(x)=x,g(x)=2x-1)だと思うのですがどうやって証明できますでしょうか?

	35372．Re: 関数の真偽判定
	名前：らすかる日付：1月5日(土) 13時53分
	ある1＜aでf(a)=g(a)だとすると、h(x)=g(x)-f(x)として平均値の定理により 0={h(a)-h(1)}/(a-1)=h'(c)=g'(c)-f'(c)となるcが存在します。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35374．Re: 関数の真偽判定
	名前：kana 日付：1月6日(日) 5時13分
	ご回答有難うござます。 > ある1＜aでf(a)=g(a)だとすると、h(x)=g(x)-f(x)として平均値の定理「[a,b]で連続で(a,b)で微分可能の時,∃c∈(a,b);f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)」ですね。 > により > 0={h(a)-h(1)}/(a-1)=h'(c)=g'(c)-f'(c)となるcが存在します。「1<xでf(x)<g(x)である」を否定し,「∃a>1;f(a)=g(a)」…①としてみるのですね。今、[1,a]で連続,(1,a)で微分可能なので ∃c∈(1,a);h'(c)=(h(a)-h(1))/a-1=(f(a)-g(a)-f(1)+g(1))/a-1 =(0-0)/a-1(∵題意と①) =0 ∴a=1。これは①「a>1」に矛盾。 ∴命題は真。となるのですね。納得です。

	35379．Re: 関数の真偽判定
	名前：らすかる日付：1月6日(日) 13時16分
	＞∴a=1。これは①「a>1」に矛盾。ここは違いますね。 a=1という結論は出てきません。 h'(c)=0 つまり g'(c)-f'(c)=0 すなわち f'(c)=g'(c) となる cが存在するのが「全実数でf'(x)＜g'(x)」に矛盾する、ということです。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35365．教えてください！！

名前：ヒロ日付：1月4日(金) 15時5分

高１の問題なのですが・・・

1000から9999までの4桁の整数の中から、その1つを無作為に選んだとき、同じ数字が2つ以上現れる確立を求めよ。という問題です。
答えは62/125です。

	35368．Re: 教えてください！！
	名前：ヨッシー日付：1月4日(金) 17時17分
	数は全部で9000個。同じ数字を使っていない数は、　9×9×8×7=4536 これ以外の　9000-4536=4464 が、同じ数字を２つ以上使っている数です。求める確率は、　4464/9000＝62/125 　 http://yosshy.sansu.org/

	35369．Re: 教えてください！！
	名前：教得手　学日付：1月4日(金) 17時22分
	(同じ数字が2つ以上現れる確率)＝１－(４桁の数とも異なる確率)　です。まず 1000～9999までの9000個の数の中で、４桁の数とも異なる数の個数を求めます。これらの数は　千の位の数は1～9の９通りあります。　百の位の数は、0～9のうち、千の位の数以外の９通りあります。　十の位の数は、0～9のうち、千,百の位の数以外の８通りあります。　一の位の数は、0～9のうち、千,百,十の位の数以外の７通りあります。よって、４桁の数とも異なる数は、9×9×8×7 (個)あります。ゆえに、(４桁の数とも異なる確率)＝9×9×8×7/9000＝63/125 よって、(同じ数字が2つ以上現れる確率)＝１－63/125＝62/125　となります。

	35370．Re: 教えてください！！
	名前：教得手　学日付：1月4日(金) 17時23分
	ヨッシーさん、すみません！　かぶってしまいました。

35364．高１の確立、期待値の問題です。

名前：あき日付：1月4日(金) 14時59分

はじめまして、こんにちは。
自分ではどうしても解けないので、教えて下さい！

①１個のサイコロを３回投げるとき、出る目の最大値が４となる確立。
　ちなみに答えは３７/２１６です。

②１個のサイコロを投げることを繰り返し、出た目の和が３以上になれば投げるのをやめる。　終わるまでにサイコロを投げる回数の期待値を求めよ。
　答えは４９/３６回です。

	35366．Re: 高１の確立、期待値の問題です。
	名前：ヨッシー日付：1月4日(金) 15時10分
	(1) すべての起こり方は　６³＝２１６　です。３回投げて、ｎ以下の目しか出ない場合の数をP(n)と書くことにします。 P(4) には、４を含む場合も、含まない場合も数えます。最大値が４となる場合の数は、P(4)－P(3) です。　P(4)＝４³＝６４　P(3)＝３³＝２７より、求める確率は、(64－27)/216＝37/216 とりあえず、ここまで。 http://yosshy.sansu.org/

	35367．Re: 高１の確立、期待値の問題です。
	名前：ヨッシー日付：1月4日(金) 16時48分
	(2) １回で終わる確率　１～６のうち、３，４，５，６の４通りなので、４／６＝２／３３回で終わる確率　１，１，＊と出る場合なので、１／６²＝１／３６残りの　１－2/3－1/36＝11/36 が、２回で終わる確率求める期待値は　１×2/3＋２×11/36＋３×1/36＝(24＋22＋3)/36＝49/36 　 http://yosshy.sansu.org/

35361．(untitled)

名前：ネンドロイド 日付：1月4日(金) 6時15分

点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは一つの円周上にある。
この四角形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＢＣ、ＡＤの中点を点Ｌ，Ｍ，Ｎとする。
線分ＤＡのさきにある点をＰ、線分ＣＢの先にある点をＱとする。
このとき、4点Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑは１つの円周上にあることを証明せよ。

証明問題は苦手です
どうやったら克服できるんでしょうか？
おねがいします。

	35362．Re: (untitled)
	名前：みっちぃ日付：1月4日(金) 6時24分
	問題不成立です… Lはどこへ行ったのですか??「線分ADの先にある点P」ってどういう意味ですか??

	35363．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：1月4日(金) 8時2分
	上の文章通り描くと、上のようにしかなりません。上の文章で、何が足りないのか？何を加えれば、(おそらく)問題文で与えられている図になるか？を見直してください。＞どうやったら克服できるんでしょうか？上の文章のように、肝心なところが抜けていることから、逆に、問題文の肝心なところが読み取れていないと思われます。数学で一番必要なのは、計算力ではなく、読解力です。　 http://yosshy.sansu.org/

35359．中三

名前：loof 日付：1月3日(木) 0時1分

解説お願いします。

	35360．Re: 中三
	名前：ヨッシー日付：1月3日(木) 6時36分
	点滅の周期が、Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれ６秒、３秒、４秒なので、１２秒で、また最初の状態に戻ります。この１２秒の中で、３個同時につく回数を調べれば、１４回目がどこに来るかもわかります。　 http://yosshy.sansu.org/

35355．対数

名前：ある高校２年の学生です。 日付：1月2日(水) 19時48分

log3(x）＾２－log3(9ｘ）＋K－log3(27)=0　（Ｋは定数）

この式が異なる二つの実数解α、βをもち、β＝α＾３を満たすとき、kの値を求めよ。

この問題を解いてもらえませんか？自分ではとけなくて。
よろしくお願いします。

	35356．Re: 対数
	名前：成瀬日付：1月2日(水) 20時43分
	(log[3]x)^2 - log[3](9x) + k - log[3]3^3 = 0 ⇔ (log[3]x)^2 - {log[3]9 + log[3]x} + k - 3 = 0 ⇔ (log[3]x)^2 - log[3]x + k - 5 = 0・・・() α, α^3(=β) がこの解なので, (log[3]α)^2 - log[3]α + (k - 5) = 0 9(log[3]α)^2 - 3log[3]α + (k - 5) = 0 となるので - 4(log[3]α)^2 + log[3]α = 0 ⇔ (log[3]α)(1 - 4log[3]α) = 0 ⇔ log[3]α = 0 or log[3]α = 1/4 ⇔ α = 1 or α = 3^(1/4) となるが α = 1 は不適なので α = 3^(1/4) となる. 故に()に x = 3^(1/4) を代入すれば k がでます.

	35357．Re: 対数
	名前：ヨッシー日付：1月2日(水) 20時51分
	X=log₃x とおきます。　log₃(9x)＝２＋Ｘ　log₃(27)＝３より　Ｘ²－(２＋Ｘ)＋Ｋ－３＝０　Ｘ²－Ｘ＋Ｋ－５＝０　・・・(1) これの解をＸ＝Ａ，Ｂとし、Ａ＝log₃α、Ｂ＝log₃β とすると、　β＝α³ となるということは、Ｂ＝log₃α³＝３Ａよって、(1) が、Ｂ＝３Ａとなる２実解Ａ，Ｂを持つように、Ｋを決めます。解と係数の関係より　Ａ＋Ｂ＝４Ａ＝１　Ａ・Ｂ＝３Ａ²＝Ｋ－５より、Ａ＝1/4，Ｂ＝3/4，Ｋ＝83/16 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35358．Re: 対数
	名前：ある高校２年の学生です。日付：1月2日(水) 21時10分
	わかりやすい説明ありがとうございました。

35352．中学２年生の問題

名前：とある学生 日付：1月2日(水) 4時0分

質問です。この問題がどうしても解けないの教えてください。
問題は正方形ＡＢＣＤがあり、ＢＣ上に任意の点Ｅをとり、ＤＥをつなぎます。そして∠ＡＤＥの二等分線とＡＢとの交点をＦとしたときにＡＦ＋ＥＣ＝ＤＥとなることを証明せよです。よろしくお願いします。
合同までしか習っていません。

	35353．Re: 中学２年生の問題
	名前：ヨッシー日付：1月2日(水) 8時32分
	△ＤＣＥと合同な三角形ＤＡＧを、図のように作ります。すると、ＥＣ＝ＡＧなので、ＡＦ＋ＥＣは、線分ＦＧと同じ長さになります。一方、　∠ＡＦＤ＝∠ＦＤＣ＝∠ＦＤＧが言えるので、△ＧＦＤは　ＧＦ＝ＧＤ　の二等辺三角形であり、　ＧＤ＝ＤＥであることから、　ＡＦ＋ＥＣ＝ＧＤ＝ＤＥが言えます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35354．Re: 中学２年生の問題
	名前：とある学生日付：1月2日(水) 16時2分
	ありがとうざいます。助かりました

35349．流水算

名前：昆布日付：1月1日(火) 10時42分

あけましておめでとうございます。今年もよろしくお願いします。
小学六年生で今年はいよいよ受験なので今年も先生がたのお世話になります。
水槽に毎分３００立方センチメートルずつ水を入れていきます。また、水槽に水を入れ始めてから１分ごとに底面が１辺4cmの正方形で高さが10cmである金属の直方体をたおれたり、重ねたりしないようにまっすぐ水槽の中に入れていきます。
水がこの容器いっぱいになるのは何分何秒後ですか。
答えは２３分４４秒後です。よろしくお願いします。

	35350．Re: 流水算
	名前：ヨッシー日付：1月1日(火) 11時28分
	まず、容器の容積は、　36×20×15＝10800(cm3) 金属の直方体の体積は、　4×4×10＝160(cm3) １分間に300cm3 の水と160cm3 の直方体の合わせて、460cm3 の体積のものが容器の中に入ります　10800÷460＝23 あまり 220 より、23分の時点で、あと220cm3 でいっぱいになるところまで入ります。１秒では、300÷60＝５(cm3) 入るので　220÷５＝４４(秒) 以上より、23分44秒となります。最初の１分の深さは？２分目の深さは？と考えると、直方体が一部水の外に出ていて、計算が大変ですが、最後にはどうせ全部沈んでしまうので、上のように考えることが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35351．Re: 流水算
	名前：昆布日付：1月1日(火) 12時58分
	よくわかりました。ありがとうございます。

35347．諸先生へ

名前：さとる 日付：1月1日(火) 0時17分

ヨッシー先生、諸先生様へ
新年明けましておめでとうございます
昨年度はこの掲示板でたくさんご質問させていただき
その都度ご丁寧な解説いただきましてありがとうございました
おかげさまで大変助かりました
また今年もどうかよろしくお願いいたします

	35348．Re: 諸先生へ
	名前：ヨッシー日付：1月1日(火) 0時21分
	おめでとうございます。今年もよろしくお願いします。今年、受験を迎える方、いよいよ正念場です。頑張ってください。そうでない方も、日々是精進です。お互いに頑張りましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

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