2004年09月 の投稿ログ


17480．連続関数  
名前：ひかり    日付：9月30日(木) 23時53分
大学一年です
区間Iで一様連続な関数は任意の部分区間で一様連続であることを示せ。という問題なんですが教えてください

17478．今日の講義で  
名前：知也    日付：9月30日(木) 23時21分
　化学のプレゼンをしている途中、発表内容で先生に　ｚがfとgの関数なら、ｚはf×gの関数になるのかというツッコミを受けました。これはどのように説明すればいいのでしょうか？


17479．Re: 今日の講義で
名前：のぼりん    日付：9月30日(木) 23時32分
ｆ、ｇ が変数で、ｚ が ｆ，ｇ に対する関数の値ということでしょうか？そうであれば、例えば、ｚ＝ｆ＋ｇ のとき、ｚ は ｆ×ｇ で表すことができないので、ｆ×ｇ の関数ではありません。

文脈が全く判らないので、頓珍漢かも知れません。

17476．郡数列  
名前：楓（高３）    日付：9月30日(木) 21時54分
１からはじまる奇数列を次のように第ｎ郡の項数が２ｎ個となるように分けるものとする。
　１　３｜５　７　９　11｜13　15　17　19　21　23｜…
このとき、第ｎ郡の最初の項、および第ｎ郡に含まれる数列の総和を求めよ。　　この問題をお願いします。


17477．Re: 郡数列
名前：ヨッシー    日付：9月30日(木) 22時51分
まず、第ｎ群の最初の項は、何番目の項かを考えましょう。
そのためには、第ｎ－１群の最後の項を考えるのが、便利です。
そうしたら、その項がどの数字かを求めます。
ちなみに、ｋ番目の項は　２ｋ－１　ですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

17474．ん～  
名前：すすか（中２）    日付：9月30日(木) 20時53分
大小２つの整数がある。大きい数の２倍は、小さい数の７倍より３小さい。また、小さい数の９倍に６を加えたかずは、大きい数の３倍と等しい。この大小２つの整数を求めなさい。

お願いします


17475．Re: ん～
名前：momono花    日付：9月30日(木) 21時16分
大きい数をa, 小さい数をbとしたとき、
「大きい数の２倍は、小さい数の７倍より３小さい。」
「小さい数の９倍に６を加えたかずは、大きい数の３倍と等しい。」
を式で表してください。
そしたら連立方程式を解いてください。

17481．Re: ん～
名前：Bｏｂ    日付：10月1日(金) 9時2分
ヨコヤリすいません。

＞すすか（中２）　さん
この記事の三つぐらい下の
１次関数のグラフはかけたのでしょうか？

17468．円の座標を求めよ  
名前：ライト    日付：9月30日(木) 12時11分
Original Size: 944 x 772, 52KB

φ2000の円が2列×2行で接円して配置されている。
④上にφ1800の円が②･③の円に接するように配置されている。
原点は④の中心として、φ1800の中心の座標を求めてください。


17469．Re: 円の座標を求めよ
名前：花パジャ    日付：9月30日(木) 12時38分
三平方の定理と直角二等辺三角形の辺の比が1:1:√2であることを使うとか、
余弦定理を使うとか、
2円の交点で求めるとか....
(1000-50√322,1000-50√322)

17470．Re: 円の座標を求めよ
名前：ライト    日付：9月30日(木) 13時18分
計算過程が知りたいのですが、教えていただけないでしょうか？

17471．Re: 円の座標を求めよ
名前：花パジャ    日付：9月30日(木) 13時41分
...-_- 3番目に書いたの(+α)だと
(x-2000)^2+y^2=(2000/2+1800/2)^2において、x=y

17472．Re: 円の座標を求めよ
名前：ライト    日付：9月30日(木) 14時28分
花バシャさん、貴重な時間ありがとうございました。

17461．ベクトル　“係数和が１”　　　　・・・？  
名前：Graig    日付：9月29日(水) 23時56分
空間においてｘ、ｙ、ｚ軸上にそれぞれ原点Ｏと異なる点Ａ、Ｂ、Ｃをとる。ｐ、ｑを実数とし、
直線ＯＡ、ＢＣ、ＡＢ、ＣＯ上にそれぞれ点Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑを
［ＯＭ］＝［ＯＡ］/3、［ＢＮ］＝2［ＢＣ］/3、［ＡＰ］＝ｐ［ＡＢ］、［ＣＱ］＝ｑ［ＣＯ］
を満たすようにとる。［ＯＡ］＝［ａ］、［ＯＢ］＝［ｂ］、［ＯＣ］＝［ｃ］とおく。
このとき次の問に答えよ。

（１）［ＯＰ］および［ＯＮ］を［ａ］、［ｂ］、［ｃ］、ｐ、ｑを用いて表せ。
（２）Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑが同一平面上にあるとき、ｐ＋ｑは一定の値であることを示し、その値を求めよ。


お手上げです。お願いします。高３です。
［○○］は「○○ベクトル」と読んで下さい。


17467．Re: ベクトル　“係数和が１”　　　　・・・？
名前：ヨッシー    日付：9月30日(木) 6時4分
(1)
　ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ
　　　＝ＯＡ＋ｐＡＢ
　ＡＢ＝ｂ－ａ
より、
　ＯＰ＝ｐｂ＋(１－ｐ)ａ
いわゆる内分の公式そのままです。（点Ｐは、ＡＢをｐ：１－ｐ に内分する点です）
同様に、ＯＮ＝(ｂ＋２ｃ)／３　です。

つづきは、のちほど。
　
http://yosshy.sansu.org/

17473．Re: ベクトル　“係数和が１”　　　　・・・？
名前：花パジャ    日付：9月30日(木) 18時23分
例えば、同一平面上なので
　MN=kMQ+lMP
となるk,lが存在する
a,b,cの係数を比較して出る3式から
k,lを消去すると、p,qの関係式p+q=1になります

17458．この問題を解いていただきたいんですが････  
名前：みのり(高２)    日付：9月29日(水) 21時56分
三角形ＡＢＣにおいて、各辺の垂直二等分線は、１点で交わることを証明せよ。
という問題なのですが、よろしくお願いします。


17460．Re: この問題を解いていただきたいんですが････
名前：momono花    日付：9月29日(水) 23時13分
ヨッシーさんのHPないにありますよ。↓
http://yosshy.sansu.org/5xin.htm

17462．Re: この問題を解いていただきたいんですが････
名前：みのり(高２)    日付：9月29日(水) 23時59分
momono花様、どうもありがとうございました。
先程の質問でひとつ付け加えるのを忘れてしまったのですが、この問題で座標を用いて証明するようにする場合がよくわからないのですが。

17463．Re: この問題を解いていただきたいんですが････
名前：momono花    日付：9月30日(木) 0時17分
A(0, a), B(b, 0), C(c, 0)　(ただしa≠0, b≠c)と座標を取って
b = 0またはc = 0のときは垂線の交点はBまたはCとなります。
b,c≠0のとき
Bを通るACに垂直な傾きの直線とCを通るABに垂直な傾きの直線の
y切片が等しいことをいえればよいです。
http://yosshy.sansu.org/5xin.htm

17465．Re: この問題を解いていただきたいんですが････
名前：みのり(高２)    日付：9月30日(木) 0時57分
momono花様、本当にありがとうございました。助かりました。

17454．なぜ？  
名前：すすか（中２）    日付：9月29日(水) 20時7分
次の（１）、（２）の方程式のグラフをかきなさい。
また、グラフを用いて、（１）、（２）の方程式を組とする連立方程式の解を求めなさい。

（１）２x+y＝４　　　　　　（２）２x-３y＝１２

y＝-２x+４にかえてグラフにあらわさないといけないんですか？？
そのまま、xが１の時、yは２というようにしてグラフに表してはいけないんですか？


17455．Re: なぜ？
名前：ひで    日付：9月29日(水) 20時58分
そうですね。いろいろxの値を決めていけば、yの値も定まり、点を取ることができます。いちいち式変形しなくても直線のグラフはかけると思います。
しかし、これは「そのグラフをかいたら直線になる」という結果がわかっているからですよね。しかし、もし曲線だったらどうでしょう？「点と点の間はどうなっているのかな？」という疑問をもってみると、点でかいて結ぶのは、とても不思議な気分になります。
１００ｍ走はまっすぐ進むけど、マラソンは色々曲がりながらゴールまで走ります。世の中直線だけでは語りきれないことって多いんですよ。スタートとゴールを結ぶ線は直線ばかりではないんですね。だから、今は曲線を練習する前の直線の練習だと思ってください。
点で考えることはもちろん大切です。その気持ちもこれからも持ち続けてくださいね。でもこれからは、ちょっとずつでいいから、式に慣れつつグラフをかく練習、していきましょう(^_^)

17457．Re: なぜ？
名前：すすか（中２）    日付：9月29日(水) 21時46分
さっきやってみて（１）はできましたが
（２）のグラフはどのようになるのですか？

17459．Re: なぜ？
名前：Bｏｂ    日付：9月29日(水) 22時29分
（１）２x+y＝４　は
　　　　　ｙ＝－２ｘ＋４　と移項して
　　切片が４　傾きがー２　のグラフをかきましたね？

（２）は２x-３y＝１２
まずじゃまな２ｘを移項
　　　　　－３ｙ＝－２ｘ＋１２
次に－１倍しましょう
　　　　　　３ｙ＝２ｘ－１２
　　　　　　　ｙ＝（２／３）ｘ－４
切片４　（０,４）を通り　xが３進むとyが２上がる。
　　　

17451．問題を解いて下さい！  
名前：はる    日付：9月29日(水) 18時45分
中１の女子です。宿題がわからないのでお願いします。p,qをp分のq＝１－２分の１＋３分の１ー４分の１・・・ー１３１８分の１＋１３１９分の１を満たすような正の整数とする。このときpは、１９７９で割り切れる事を示せ。（ちなみに１９７９は素数である）
みにくくてすみません。解いてくださったらうれしいです。お願いします


17452．Re: 問題を解いて下さい！
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月29日(水) 19時25分
p/q = (1 + 1/2 + 1/3 + ....... + 1/1319 ) - 2*(1/2 + 1/4 + 1/6 + ..... + 1/1318)
= (1 + 1/2 + 1/3 + ....... + 1/1319 ) - (1 + 1/2 + 1/3 + ...... + 1/659)
= 1/660 + 1/671 + .... + 1/1319
= (1/660 + 1/1319) + (1/661 + 1/1318) + .... + (1/898 + 1/990)
= 1979*(1/(660*1319) + ...... + 1/(898*990) )

1979 がもし素数とすると・・・
参考ページ
http://www.math.titech.ac.jp/cont-j.html

17453．Re: 問題を解いて下さい！
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月29日(水) 19時47分
訂正
= (1/660 + 1/1319) + (1/661 + 1/1318) + .... + (1/989 + 1/990)
= 1979*( 1/(660*1319) + ...... + 1/(989*990) )

中一にしてはえらく難しい宿題だな。

17482．Re: 問題を解いて下さい！
名前：Rattle    日付：10月1日(金) 11時42分
数学オリンピックの1979イギリス大会の問題じゃないですかね？
以前解いたことがあります。

17447．鶴亀算＋α  
名前：赤い小馬（小学６年）の父    日付：9月29日(水) 8時45分
子供に聞かれて方程式では解けたのですが・・・
（問題）
７個詰めの箱と、９個詰めの箱が合計100箱ありました。
ケーキを、７個詰めの箱だけに詰めると、45個余ります。
９個詰めの箱だけに詰めると、185個余ります。
このときのケーキの個数と７個詰めの箱、９個詰めの箱の個数を求めなさい。


17448．Re: 鶴亀算＋α
名前：nabeX    日付：9月29日(水) 9時42分
全部7個詰の箱だったとするとケーキは745個
このとき9個詰の箱は0なので
9個詰の箱にだけ詰めるとケーキは745個あまる事になり
問題の設定より745-185=560個分ケーキは余分にあまってることになります。
ここで7個詰の箱を1つ9個詰の箱に変えるとこの余分は7+9=16個減ります
ので560÷16=35から35個の箱を7個詰から9個詰に変えればよい事がわかりますので、
9個詰の箱は35個　7個詰の箱は100-35=65個となります。
ケーキの総数は9*35+185=500個と計算するか、もしくは7*65+45=500個とすればよいでしょう。

17445．お願いします  
名前：すすか（中２）    日付：9月28日(火) 22時12分
駅から１０ｋｍ離れたところに登山口があります。
バスＡは、駅から登山口に向かって時速２０ｋｍで走り、バスＢは、
登山口から駅に向かって時速３０ｋｍで走ります。また、
バスＡとバスＢは同じ時刻に出発します。
２台のバスが出発してからＸ分後の駅からバスまでの距離を
Ｙｋｍとして、次の問いに答えなさい。

（１）２台のバスの運行の様子を表すグラフを、図にかきなさい。

（２）２台のバスがすれ違う時間と場所を求めなさい。

どちらとも、お願いします


17446．Re: お願いします
名前：知也    日付：9月29日(水) 0時18分
Original Size: 699 x 668, 34KB

駅のところを０kｍで登山口を10kｍとすると、Aは時速20キロだから赤の線になります。またBは登山口から時速30キロだから青の線になる。つまりAのバスはｙ＝20ｘと書けるね。またBはy=10-30x　ただ気をつけてほしいのはグラフをかくときはAは0≦ｘ≦0.5　Bは0≦x≦1/3　
　
　このグラフの交点は？　20x=10-30x　50x=10　x=0.2時間　４ｋｍのところですれ違う。


17442．お詫び  
名前：すすか（中２）    日付：9月28日(火) 20時3分
みなさんに、迷惑をおかけしてしまい
すみませんでした。
今後、気をつけます

17438．・・・奇数乗・・・  
名前：パゲさん    日付：9月28日(火) 18時13分
ｎが奇数のとき、２^n＋１が３の倍数になることを証明せよ。

というものです。お願いします。


17439．Re: ・・・奇数乗・・・
名前：中川　幸一    日付：9月28日(火) 18時26分
n=2m+1 (m∈N) とおく。
2n+1
=22m+1+1
=2×22m+1
=2×4m+1

ここで,
4m=(3+1)m≡1 (mod.3)
より,
2×4m+1
≡2×1+1 (mod.3)
＝3
≡0 (mod.3)

また, n=1 のときも 21+1=3 となり題意を満たす。

よって題意は示された。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

17440．Re: ・・・奇数乗・・・
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月28日(火) 18時37分
別解

n が奇数の時、a^n + b^n が a + b で割り切れる事を用いる。

17443．Re: ・・・奇数乗・・・
名前：花パジャ    日付：9月28日(火) 20時43分
別解)
2×4^m+1=3sのとき
2×4^(m+1)+1=4×2×4^m+1=4×(3s-1)+1=4×3s-3=3×(4s-1)
から数学的帰納法

17435．数列  
名前：ひよこ(高２)    日付：9月28日(火) 13時56分
初項がａ１で、公差ｄが整数である等差数列｛ ａｎ ｝が、２つの条件
Ａ）a3+a5+a7=93
Ｂ）an＞100となる最小のｎは１５である
を満たすとき初項と公差を求めなさい。

この問題を解く場合ｎ＝１４も示す必要があるんですよね？理由を教えて下さい。お願いします。


17437．Re: 数列
名前：ひよこ(高２)    日付：9月28日(火) 15時2分
解かっちゃいました。

17428．もうひとつ  
名前：darkz    日付：9月27日(月) 23時55分
関数f(x)=x^3-3ax^2＋3ax－a^2が異なる3つの実数解をもつような定数aの値の範囲は？
お願いします。


17436．Re: もうひとつ
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月28日(火) 14時56分
三次関数のグラフの概形を知っていると前提すれば、
極大値と極小値が存在して、その積が負になると言う事になります。

f (x) = x^3 - 3ax^2 ＋ 3ax － a^2
f '(x) = 3x^2 - 6ax + 3a = 3(x^2 - 2ax + a).
極値を持つという事から、D/4 = a^2 - a ＞ 0.
因って a ＞ 1　又は a ＜ 0.
f '(x) = 0 の根を α, β とすれば、極値の積は
f (α)*f (β).
f (x) を f '(x) で割ると余りは 2(a - a^2)x. 因って
f (α)*f (β) = 4(a - a^2)^2*α*β = 4a(a - a^2)^2 ＜ 0.
よって a ＜ 0.

17427．教えてください  
名前：darkz    日付：9月27日(月) 23時51分
x＋3y=1 x≧0 y≧-2のときxyの最大値及びそのときのx,yの値を求めよ。
この問題を教えてください。


17431．Re: 教えてください
名前：arc    日付：9月28日(火) 0時34分
x+3y=1 , x≧0 , y≧-2
x=1-3y
y=(1-x)/3
x=0 → y=1/3
y=-2 → x=7
∴0≦x≦7 , -2≦y≦1/3

xy = y(1-3y) = x(1-x)/3
= y-3y2 = (x-x2)/3
y: -3y2+y = -3(y-1/6)2+1/12
∴最大はy=1/6のとき。→x=1/2
x: (-x2/3)+x/3 = -1/3(x-1/2)2+1/12
∴最大はx=1/2のとき。→y=1/6

よって、xyの最大値は、x=1/2 , y=1/6のとき、 1/12 となる。

17441．Re: 教えてください
名前：Don    日付：9月28日(火) 19時18分
y < 0 のときf(x,y)=xyは最大とならないので、y≧0としてよい。
このとき、1=x+3y≧2√(x*3y)
∴f≦1/12=f(1/2,1/6)

17422．教えてください  
名前：ミミガー（中２）    日付：9月27日(月) 20時55分
１０％の食塩水と７％の食塩水を混ぜて、８％の食塩水を
１２０ｇつくりたい。１０％、７％の食塩水をそれぞれ何グラム
混ぜればよいですか。

やってみたんですけどなぜか計算が合いません
誰か説いてみてください


17425．Re: 教えてください
名前：arc    日付：9月27日(月) 22時29分
10%の食塩水をxグラム、7%の食塩水をyグラムとすると、
10x/100 + 7y/100 = 8*120/100
10x/100 + 7(120-x)/100 = 8*120/100 = 9.6
10x + 7(120-x) = 960
10x + 840 - 7x = 960
3x = 120
x = 40
y = 80

答　10%の食塩水を40グラム、7%の食塩水を80グラム混ぜればよい。

---追記---
意味も無くハンドルネームを変えることはやめましょう。
連続でスレッドを立てるなら、そのことに関して一言書きましょう。
「誰かお願いします」的な発言はやめましょう。数学に関係ない掲示板なら未だしも、
ここは数学に関する掲示板ですので、見た人が気分を害するような内容でなければ、誰かが必ず回答してくれます。

17421．これの式は。。。  
名前：すすか（中２）    日付：9月27日(月) 20時27分
Ａ中学校の今年の自転車通学者数は、昨年の自転車通学者数と比べると２０人増加して５１０人であった。これを男女別に見ると、昨年に比べ、男子の人数は１０％の減少であり、女子の人数は２０％の増加であった。このとき、今年の自転車通学者の男子と女子の人数を
それぞれ求めなさい。

これって式はどうなるんですか？


17424．Re: これの式は。。。
名前：arc    日付：9月27日(月) 22時6分
xを男子の人数、yを女子の人数とすると、
x+y=490 → x=490-y , y=490-x
9x/10 + 12y/10 = 510
(9x+12y)/10 = 510
9x+12y = 5100
3x+4y = 1700
3x+4(490-x) = 1700
1960+3x-4x = 1700
-x = -260
x = 260
y = 230
以下略

17417．sinθ  
名前：ＦＲＵＩＴ　　    日付：9月27日(月) 17時48分
sin8π/3の値を求めよ。という問題は
sin(-π/3+3π）＝-sinπ/3=-√3/2=-120°
で良いのですか？解答がないのでわかりません。
間違っていれば解き方を教えてください。　　　高2


17418．Re: sinθ
名前：arc    日付：9月27日(月) 19時36分
最後に角度が求められている意味も分かりませんが、
公式が少し間違っています。というか符号間違いがあります。

＞sin(-π/3+3π）＝-sinπ/3=-√3/2=-120°
sin(-π/3 + 3π) = -sin(-π/3) = -(√3)/2

※-は、 (8π)/3 = 3π -π/3 のマイナス。
※-は、 sin(θ) = -sin(θ+π) のマイナス。

となります。ちなみに、(8π)/3[rad]は度数法で表すと120°です。

17420． sinθ
名前：ＦＲＵＩＴ　　    日付：9月27日(月) 20時10分
どうもありがとうございました！！

17423．Re: sinθ
名前：arc    日付：9月27日(月) 21時56分
ちょっと間違い・・。
sin(-π/3 + 3π) = -sin(-π/3) = -(√3)/2

ノットイコールをつけようと思ったけど何か変だったので直したつもりが・・。
正しくはこの通り。
sin(-π/3 + 3π) = -sin(-π/3) = (√3)/2

17415．よろしくお願いします。  
名前：のぞみ１７歳    日付：9月27日(月) 15時13分
数列１｜２，３｜３，４，５｜４，５，６，７｜５，６，７，８，９｜・・・の第50項目の数字を答えなさい。

どのように考えていけば良いのでしょうか？詳しい解説お願いします。


17416．Re: よろしくお願いします。
名前：arc    日付：9月27日(月) 16時42分
各項の法則を見つければすぐ分かります。

17419．Re: よろしくお願いします。
名前：ひで    日付：9月27日(月) 19時56分
とりあえず、見やすくするために縦に書いてみますか？
　　１
　　２　３
　　３　４　５
　　４　５　６　７
　　５　６　７　８　９
　　・　・　・　・　・　・
何か気がつきませんか？

17411．三角関数  
名前：まりも    日付：9月27日(月) 1時14分
0≦x≦2πにおいて
π/4(tan(x))-x=0となるxを求めよ
よろしくお願いします。多分微分をすればよいのだと思いますがよく分かりません。


17412．Re: 三角関数
名前：T.M    日付：9月27日(月) 8時22分
まず微分の前に、式をじっと眺めて、ある１つの解は見つかりますか？

その後、微分を使って解がその１つだけである事を確認します。

17414．Re: 三角関数
名前：nabeX    日付：9月27日(月) 14時58分
そのままの条件だと解は3つありますが。
x=0,π/4を代入するとこれらが解になる事がまず確認できます。
もう1つの解はx=4.5の付近にありますが、この値を正確に書くのは難しいでしょう。

1つの可能性としては、問題文におけるxの範囲が間違ってはいないか?
ということです。
0≦x＜π/2といったような問題なら、T.Mさんが仰るような
「微分を使ってそれ以外の解がないことを示す｣問題になります。

17430．Re: 三角関数
名前：まりも    日付：9月28日(火) 0時27分
確かに。確認したところ0＜x＜π/2でした。微分してπ/(4(cosx)^2)-1この後がさっぱり分かりません。

17432．Re: 三角関数
名前：nabeX    日付：9月28日(火) 2時6分
証明のあらすじを書きます。
0≦x＜π/2の範囲でf(x)=π/4*tan(x)-xの増減表を書いてみると、
f(0)=0でここからf(x)は減少し極小値(＜0)を取って
そこから狭義単調増加する事がわかります。
よってf(x)=0となる点は多くても一つ、ということになります。
(狭義単調増加の部分ではf(x)のグラフとx軸は2回以上交われないから)
f(π/4)=0である事がすぐわかるので
方程式f(x)=0の0＜x＜π/2における解はx=π/4のみということになります。

f(x)の極値が1つだけ、を示すのは厳密にやろうとすると
結構ややこしいのですがf'(x)が狭義単調増加であることなどを用いれば示せます。

17444．Re: 三角関数
名前：T.M    日付：9月28日(火) 22時3分
> 1つの可能性としては、問題文におけるxの範囲が間違ってはいないか?
> ということです。
> 0≦x＜π/2といったような問題なら、T.Mさんが仰るような
> 「微分を使ってそれ以外の解がないことを示す｣問題になります。

まりもさん、失礼しました。nabeXさん、指摘ありがとうございます。
あまり問題文を読まず誤った回答をしてしまいました。
今後気をつけます。

17466．Re: 三角関数
名前：まりも    日付：9月30日(木) 3時50分
詳しい解説ありがとうございました。

17410．多項式  
名前：数学できない人    日付：9月27日(月) 0時22分
次の式A、Bをaについての多項式とみて、ＡをＢで割った商とあまりを求めよ
Ａ＝ａ＾3－ａ＾2ｂ＋２ab＾2－8b＾3　　B＝a－2ｂ
です。おねがいします


17426．Re: 多項式
名前：Bｏｂ    日付：9月27日(月) 23時1分
Ａ＝ａ＾３－ｂ（ａ＾２）＋２（ｂ＾２）ａ－８（ｂ＾３）
Ｂ＝ａ－２ｂ

Ａ÷Ｂ
　　　　　　ａ＾２＋ｂａ＋４（ｂ＾２）
　　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ーーーーーー
ａ－２ｂ　)ａ＾３－ｂ（ａ＾２）＋２（ｂ＾２）ａ－８（ｂ＾３）
　　　　　ａ＾３－２ｂ（ａ＾２）
　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　ｂ（ａ＾２）＋２（ｂ＾２）ａ－８（ｂ＾３）
　　　　　　　　　ｂ（ａ＾２）－２（ｂ＾２）ａ
　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　　　　　４（ｂ＾２）ａ－８（ｂ＾３）
　　　　　　　　　　　　　　　　４（ｂ＾２）ａ－８（ｂ＾３）
　　　　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
　　　　　　　　　　　　　

17408．お願いします  
名前：ゆき    日付：9月26日(日) 21時39分
二点Ａ(1,-2,-1),Ｂ(2,1,1)がある。点Ａを通り、直線ABに垂直な平面の方程式を求めよ。
この問題で、l(x-a)+(y-b)+(z-c)=0の公式を使って解いてみたら、-x-3y-2z=7になったのですが、これであってますか？？


17433．Re: お願いします
名前：ヨッシー    日付：9月28日(火) 8時32分
結果は合ってます。
ただし、
＞l(x-a)+(y-b)+(z-c)=0の公式
というのが、不安です。
l(x-a)+m(y-b)+n(z-c)=0
ではないでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

17406．小論文。。。  
名前：keiiiti    日付：9月26日(日) 20時56分
ガッコウで、『数学がどのような場面で役に立っているか事例をあげて２０００字程度で説明せよ』という小論文の宿題が出ました。
どのようなことを書いたらいいのか、見当もつきません（汗）
どなたか力をかしてください！お願いします。。。

17404．読み方を教えて下さい  
名前：ひで    日付：9月26日(日) 19時9分
以前、塾で小学生の算数を教えていました。授業の中で正多面体を教える機会がありました。そのときに模型を作ったのです、そしてものはついでと思って、サッカーボール型の模型（正五角形１２個，正六角形２０個）も作って見せたのです。で、そのサッカーボール型は準正多面体の一種で切隅二十面体というんですね。そこで、質問なんですが、「切隅」って何て読むのでしょうか？その時以来、気になってしまって・・・。


17405．Re: 読み方を教えて下さい
名前：Bｏｂ    日付：9月26日(日) 19時51分
「きりすみ」と読むようです。
下のHPを見てみましょう。
http://www.kawarayane.com/gekitan/dictionary/ki.htm

17409．Re: 読み方を教えて下さい
名前：ひで    日付：9月26日(日) 23時48分
ありがとうございます！
「せつぐう」とか「せっくう」で悩んでいました。まったく違ったんですね。またこんなページがあることも感心しました。ありがとうございました。

17399．アリの問題  
名前：亮太（高校生）    日付：9月26日(日) 13時18分
正方形ABCDがあり、それぞれの頂点にアリがいる。頂点Aにいるアリは頂点Bにいるアリに向かって歩き、BはC、CはD、DはAのアリに向かって歩きだすと、しばらくして中央で４匹がぶつかった。アリはどれだけ動いたことになるか？ただしアリの大きさは考えず、AB＝１とする。
有名な問題のようですが高校生にもわかる解法ってあるんでしょうか？よろしくおねがいします。


17400．Re: アリの問題
名前：のぼりん    日付：9月26日(日) 15時39分
蟻の動きを完全に解明するためには、微分方程式を使わなければならないのですが、動いた距離だけなら、以下の様に考えれば求まります。

蟻Ｂは、蟻Ａの進む方向と、常に直角方向に進みます。従って、蟻Ａから見ると、その動きは遠ざかりも近づきもしません。蟻Ｂが距離を変えずに、蟻Ａだけが一方的に近づいているのですから、蟻Ａは、当初の距離１だけ近づくと、蟻Ｂのところに到着します。

17401．Re: アリの問題
名前：亮太    日付：9月26日(日) 16時12分
なるほど、よくわかりました。ありがとうございました。続けて質問になってしまいますが、正方形以外の正多角形だとどうなるのでしょうか？今度は直角方向ではないので距離は変わるとおもうのですが…

17402．Re: アリの問題
名前：のぼりん    日付：9月26日(日) 16時39分
なるほど、確かにそのとおりですね。例えば正三角形の場合、蟻Ｂは蟻Ａに対して、常に６０°の角度で近づきます。蟻Ａが１微小単位近づく間に、蟻Ｂは０．５微小単位近づくので、全行程では、２/３だけ動きそうですね。

微分方程式を解いて見ないと、自信を持って断言はできないのですが、正ｎ角形では、１/〔１＋ｃｏｓ｛１８０°（ｎ－２）/ｎ｝〕だけ動く様です。

17407．Re: アリの問題
名前：亮太    日付：9月26日(日) 21時13分
大変よくわかりました。どうもありがとうございました。

17413．Re: アリの問題
名前：花パジャ    日付：9月27日(月) 12時10分
微分方程式を解いてみました。
極座標(r,θ)で考えます。
対称性から、全ての蟻に対してrは等しく、任意の2蟻間のθの差は一定です。
今、
2α=１８０°（ｎ－２）/ｎ
とし、微小時間dtでの蟻の移動距離をdsとすると
　dr=-ds*cosα
です(のぼりんさんの説明を式にしただけですね、これは)。
　s=∫ds
であり、
　r=∫dr=r(t=0)-cosα*∫ds=1/(2cosα)-s*cosα
となるので、蟻達のぶつかるr=0に対しては
　0=1/(2cosα)-s*cosα
　s=1/(2cosα*cosα)=1/(1+cos(2α))
となり、のぼりんさんの解になります。

17394．ベクトルの内積  
名前：知也    日付：9月26日(日) 1時16分
　今度化学の講義で分子運動を説明するためにベクトルの内積を遣って説明しなければならないんですけど、ベクトルの内積はいったい何を示しているのかいまいちわかりません。いつも公式として認識していますので。高校数学はもう5年前のことで、あまり深くはわからないんですけど、誰かご教授お願いできませんでしょうか？


17396．Re: ベクトルの内積
名前：のぼりん    日付：9月26日(日) 9時52分
物差しと分度器が一緒になった測定の道具と考えたらいかがでしょうか？一般に、
○　内積空間：長さ、角度が測定できる空間
○　ノルム空間：長さは測れるが、角度の概念がない空間
というイメージだと思います。

17397．Re: ベクトルの内積
名前：知也    日付：9月26日(日) 11時27分
ありがとうございます。空間がいまいちわからないんですが、極座標のようなものでしょうか？

17398．Re: ベクトルの内積
名前：のぼりん    日付：9月26日(日) 13時10分
略記してしまいましたが、空間とはベクトル空間のことです。ですから、通常の直交座標のイメージです。

ユークリッド空間なら、長さや角度が自然に定義できますが、一般化されたベクトル空間では、長さとか角度は、自動的には定義できません。そこで、これらを普遍化した概念が内積だと思います。

17393．解の公式の証明  
名前：ＳｕＮ1    日付：9月26日(日) 0時20分
はじめまして　今解の公式の証明のやり方の3つ目を考えて
いるのですが普通に証明するやり方・未知数を使っての証
明のほかが思いつきません　教えてください
お願いします

17387．数と式　　高３  
名前：AYA    日付：9月25日(土) 19時25分
ある貯水槽を満杯にする仕事に3台のポンプＡ、Ｂ、Ｃガ利用できる。
この仕事はＡだけを3時間使った後、Ｂだけを4時間使えば完了する。
ＡとＣを同時に使用すると4時間で完了する。
ＡとＢとＣを同時に使用すれば2時間40分で完了する。
この仕事をそれぞれ単独で完了するのに必要な時間を求めよ。


17388．Re: 数と式　　高３
名前：知也    日付：9月25日(土) 21時1分
これ高3の問題じゃないよね？単なる連立方程式なんじゃないの？

17389．Re: 数と式　　高３
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月25日(土) 21時18分
常時一定の排水・使用水はあるのか無いのか？
使用しなければ水を入れる必要は無い。
無いなら、すでに満杯の場合を考えれば時間は 0.
気化は考える必要があるのか？
表面積・温度差が関係してくる。

17391．Re: 数と式　　高３
名前：ひで    日付：9月25日(土) 21時41分
最近は３元の連立方程式はやらないですもんねぇ・・・。

17392．Re: 数と式　　高３
名前：知也    日付：9月25日(土) 21時55分
1時間あたりの仕事量についてAをｘ、Bをｙ、Cをｚとおくと、
3x+4y=1　4(x+z)=1　8/3(x+y+z)=1 （全体の仕事は１だから）
y=1/8 x=1/6 z=1/12
つまりAは6時間　Bは8時間　Cは12時間となる。

17382．(untitled)  
名前：WS.    日付：9月24日(金) 23時27分
ある物体がAからBまで(位置エネルギーA>B)なめらかな曲線f(x)を
滑る時に要する時間の算出方法ってありますか？有名曲線の具体例
でも構いません。教えてください。


17383．質問には、判りやすい表題を入力して下さい。
名前：のぼりん    日付：9月25日(土) 10時12分
スクレロノーマスな束縛条件 ｙ（ｔ）＝ｆ（ｘ（ｔ）） を持つ二次元の運動方程式ですね。定石どおり、ラグランジュの未定乗数法を用いてラグランジュの運動方程式を解いてみます。なお、重力加速度を ｇ とし、ｘ は水平方向、ｙ は垂直方向と解釈します。

束縛条件から生ずる束縛力は、未定乗数 λ を用いて、
　　Ｃｘ＝½ｆ’（ｘ）λ　，　　Ｃｙ＝－½λ
と書けます。この束縛力の下で、運動方程式は、
　　ｄ２ｘ/ｄｔ２＝２Ｃｘ＝ｆ’（ｘ）λ　，　　ｄ２ｙ/ｄｔ２－ｇ＝２Ｃｙ＝－λ
です。λ を消去し、 ｙ＝ｆ（ｘ） を代入すると、
　　ｄ２ｘ/ｄｔ２＝ｆ’（ｘ）（ｇ－ｄ２ｙ/ｄｔ２）＝ｆ’（ｘ）｛ｇ－ｆ”（ｘ）（ｄｘ/ｄｔ）２－ｆ’（ｘ）ｄ２ｘ/ｄｔ２｝
　⇔　｛ｆ’（ｘ）２＋１｝ｄ２ｘ/ｄｔ２＋ｆ”（ｘ）ｆ’（ｘ）（ｄｘ/ｄｔ）２－ｇｆ’（ｘ）＝０
と、非線形の二階常微分方程式が得られました。少なくとも私には、この方程式を一般的に解くことができませんが、具体的な ｆ が与えられて ｘ＝ｘ（ｔ） と解ければ、その逆関数を求めて、Ａ→Ｂ の移動時間を計算することができます。

17376．三角関数  
名前：ＦＲＵＩＴ　　    日付：9月24日(金) 18時45分
座標平面上でｘ軸の正の部分を始線にとる。次の角の動角は、第何象限にあるか。

１、　　３１π/６

２、　　２

この問題を教えてください。お願いします。高2


17377．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：9月24日(金) 18時59分
角度に単位が付いていないときは、その単位は rad （ラジアン）というのが、
決まりです。
０（０°）と２π（３６０°）が同じ角というのは分かりますか？
同様にπ/２（９０°）と５π/２（４５０°）も同じ角です。
つまり、２π（３６０°）ごとに同じ角になるわけです。

すると、３１π/６（９３０°）と同じ角で正でもっとも小さい角は何度でしょう？

π≒３．１４ が １８０°なので、２ というのは何度くらいでしょう？

象限についてはこちらをどうぞ。
　
http://yosshy.sansu.org/

17386．三角関数
名前：ＦＲＵＩＴ　　    日付：9月25日(土) 16時37分
どうもありがとうございました。
解いてみます！！

17364．(untitled)  
名前：パゲさん    日付：9月23日(木) 21時16分
－(ｘ＋１)^2 ＜ ａｘ－(ａ＋１) ≦ ｘ^2　がすべてのｘについて成立するような、ａの範囲を求めよ。

という問題です。学校の先生は「まぁ、普通にも解けるけど、図形の考え方で解けるとおもしろいよね。」とのこと。僕にはまったくなんのことを言ってるのか・・・。どなたかよろしくお願いします。。ちなみに高１です。


17365．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月23日(木) 21時35分
　y1=-(x+1)^2
　y2=ax-(a+1)
　y3=x^2
とおき、y1 と y3 の間に、y2 があればいい。
　y2=a(x-1)-1
とおけるので、y=y2 は常に(1,-1)を通る。（傾きはａ）

y2 が、
　y1 と接するときが傾き最大。（接するときは含まない）
　y3 と接するときが傾き最小。（接するときも含む）
　
http://yosshy.sansu.org/

17366．Re: (untitled)
名前：パゲさん    日付：9月23日(木) 22時31分
ありがとうございます。もう１問おねがいしたいのですが、よろしいでしょうか。

(ａ－１)ｘ^2－２ａｘ＋２(ａ＋２)≦０　がすべてのｘについて成立するようなａの範囲を求めよ。

という問題です。今の問題にお答えいただいたうえで、もう一度考えてみたのですが、わかりません。おねがいします。

17367．Re: (untitled)
名前：wakky    日付：9月23日(木) 22時43分
平方完成して頂点の座標がどうなるか調べてみればいいんです。
頂点の ｘ座標≦０ ｙ座標≦０
ｘ^2の係数＜０
つまり
ｙ＝ｐ（ｘ－ａ）^2＋ｂ となったときには
ｐ＜０、ａ≦０、ｂ≦０です
なお、詳しくはやっていませんが
問題で、ａ＝１のときは１次関数になるので、場合分けが必要になるものと思われます。

17368．Re: (untitled)
名前：パゲさん    日付：9月23日(木) 22時49分
(頂点のｘ座標)≦０である必要はあるんですか？

17369．Re: (untitled)
名前：知也    日付：9月23日(木) 23時58分
関係ないです。

　このグラフがｘ軸と共有点を持つ可能性は？
a=1のとき1次関数より当然共有点を持つのでアウト！
a≠1のとき共有点を持たないようにするにはD/4=a^2-2(a-1)(a+2)=-a^2-2a^2-2a+4=-3a^2-2a+4<0 3a^2+2a-4>0 a<-2√3　a>2√3　

17363．速さの問題です  
名前：Pico（６年）    日付：9月23日(木) 16時46分
Ａ地からＢ地までは平地、Ｂ地からＣ地までは登り坂、Ｃ地からＤ地までは下り坂になっている道路があります。バスＰはＡ地からＤ地へ向かって、バスＱはＤ地からＡ地に向かって、同時に出発しました。出発してから４２分後にＰとＱはすれちがい、その後４８分でＰはＤ地に着き、３０分でＱはＡ地に着きました。２台のバスＰとＱは、ともに、平地は毎時３０ｋｍ、登り坂は毎時２０ｋｍ、下り坂は毎時４０ｋｍで走り途中では止まらないものとします。
１）２台のバスがすれちがうのは（ア）、（イ）、（ウ）のどこですか。（ア）ＡＢ間、（イ）ＢＣ間、（ウ）ＣＤ間
２）ＡＢ間、ＢＣ間、ＣＤ間のそれぞれの距離を求めなさい。


17370．Re: 速さの問題です
名前：ひで    日付：9月24日(金) 3時43分
１）（イ）ＢＣ間
バスにとらわれず、しっかり問題を読んでみようね。もしＰとＱが出会った場所をＲ地点とします。すると
　　バスＰ　ＡからＲに行くには４２分
　　　　　　ＲからＤに行くには４８分
　　バスＱ　ＤからＲに行くには４２分
　　　　　　ＲからＡに行くには３０分
かかります。ここでＡ→ＲとＲ→Ａを比かくしてみよう。もしＲがＡＢ間にあればＡＢ間は平地だからＡからＲに行く時間も、ＲからＡに行く時間も同じなはず。ということからＲはＡＢ間にはありません。
今度はＲ→ＤとＤ→Ｒを比かくしてみよう。もしＲがＣＤ間にあればＲからＤへは下り坂で、ＤからＲは上り坂になります。ということは下っているＲからＤへ行くほうが早い（時間は短いはず）ですね。ところがＲからＤに行くほうが４８分でＤからＲに行くよりも時間がかかっています。ということはＲはＣＤ間にもありません。
このことからＲはＢＣ間にあることが分かります。


２）ＡＢ間９ｋｍ，ＢＣ間２０ｋｍ，ＣＤ間８ｋｍ
ちなみに
　　Ａ←９ｋｍ→Ｂ←８ｋｍ→Ｒ←１２ｋｍ→Ｃ←８ｋｍ→Ｄ
となります。

17373．ＡＢ間の求め方
名前：ひで    日付：9月24日(金) 16時3分
Ａ→Ｂ→Ｒに注目すると４２分
Ｒ→Ｂ→Ａに注目すると３０分
ＡＢ間の速さは同じですからこの差１２分はＢＲ間を２０ｋｍ／時で走るか４０ｋｍ／時で走るかの差となります。同じみちのりに対する時間の比は速さの比の逆比になりますから、
　１／２０；１／４０＝２：１
この比の差の２－１＝１が１２分にあたります。要するに
　Ｂ→Ｒは　１２分×２＝２４分
　Ｒ→Ｂは　１２分×１＝１２分
となります。そうすれば、ＡＢ間を走るのにかかる時間は分かるかな？
Ａ→Ｂ→Ｒで４２分だからＡＢ間を走るのにかかった時間は
　４２分－２４分＝１８分
となります。ＡＢ間は３０ｋｍ／時で走るので
　３０×１８÷６０＝９ｋｍ
となります。
ついでながらおまけでＢＲ間のみちのりも分かります。
　２０×２４÷６０＝８ｋｍ

17374．ＲＣ間，ＣＤ間，ＢＣ間の求め方
名前：ひで    日付：9月24日(金) 16時26分
私はここから先は面積図を使ったのですが、速さの面積図を知らないといけないので、ここでは敢えて他の方法でいきます。
　ＲＣ間を２０ｋｍ／時，ＣＤ間を４０ｋｍ／時で走ると４８分
　ＲＣ間を４０ｋｍ／時，ＣＤ間を２０ｋｍ／時で走ると４２分
かかっています。先程と同じように、同じみちのりに対してかかる時間の比は速さの比の逆比ですから
　１／２０：１／４０＝２：１
いまＲＣ間を４０ｋｍ／時で走ったときにかかる時間を●分とします。
またＣＤ間を４０ｋｍ／時で走ったときにかかる時間を▲分とします。
すると２０ｋｍ／時で走るとそれぞれ倍かかるから
　ＲＣ間を２０ｋｍ／時で走ると●●分
　ＲＣ間を４０ｋｍ／時で走ると▲▲分
となります。だから
　●●▲　で４８分
　●▲▲　で４２分
です。ここから消去算で●は１８分、▲は１２分となります。
よってＲＣ間のみちのりは
　４０×１８÷６０＝１２ｋｍ
ＣＤ間のみちのりは
　４０×１２÷６０＝８ｋｍ
またＢＣ間のみちのりは先程のＢＲ間のみちのりが８ｋｍでしたから
　８＋１２＝２０ｋｍ
となります。

17395．Re: 速さの問題です
名前：Pico（６年）    日付：9月26日(日) 6時24分
1)は何とかわかっていたのですが、今回の説明をみてとってもよく理解できました。ありがとうございました。

17403．Re: 速さの問題です
名前：ひで    日付：9月26日(日) 19時1分
Picoさんへ
ごめんなさい。久しぶりに算数で解いてみたのですが、分かっていただけたでしょうか？本当は図などを利用しながら説明した方が分かりやすいんですけどね。
で、謝らないといけないことが１点あります気がつかれたかもしれないのですが、

＞　ＲＣ間を２０ｋｍ／時で走ると●●分
＞　ＲＣ間を４０ｋｍ／時で走ると▲▲分

と書いてある行の２行目、以下の間違いでした。すいません。。。


＞　ＲＣ間を２０ｋｍ／時で走ると●●分
＞　ＣＤ間を２０ｋｍ／時で走ると▲▲分

17351．数列(数B)  
名前：あいこ(高2)    日付：9月23日(木) 14時20分
数列{a_n}の項を、初項から２つおきにとってできる数列{b_n}は等差数列であることを示し、その初項と交差を求めよ。数列{a_n}の一般項は、a_n = -1 +{(n-1)*(-5)}である。

という問題なのですが、問題文始めの、「数列{b_n}は等差数列であることを示し」というところは、まず、b_nの一般項を求めて、b_(n+1)-b_nを計算する、とは考え付くのですが、b_nの初項、公差の求め方が、まず、何をすればいいのか全く見当が付きませんでした。もし宜しければ、何方か御指導宜しくお願い致します。


17360．Re: 数列(数B)
名前：知也    日付：9月23日(木) 15時0分
普通に1.4.7…の順で数えるんですよねえ。n=3m-2(ｍ=1.2.3…）とおいてみては？

　問題文のやり方ではややこしいのでもとの数列をa_mとします。　n=3m-2とすれば、nを一つ増やして
b_(n+1)-b_(n)=a_(3m+1)-a_(3m-2)=-1-5*(3m)-{(-1)-5(3m-3)}=-15（公差）をこんな感じで証明すればええんかなあ？
　もちろん初項はa_1=b_1=-1です。a_nとb_nのnが一緒やとなんかややこしいなあ。

17361．Re: 数列(数B)
名前：あいこ(高2)    日付：9月23日(木) 16時42分
知也さん、御指導有難うございました。
とても参考なりました。知也さんがおっしゃるように学習内容も色々と変わっているんですね。

17362．Re: 数列(数B)
名前：知也    日付：9月23日(木) 16時43分
等差数列を等間隔にピックアップしてるんだから選んだ項ももちろん等差数列になるのは当たり前なんだけど、別に（1.5.9でも一緒）

17371．Re: 数列(数B)
名前：とおりすがりのＭ    日付：9月24日(金) 6時22分
数列{a_n}の初項から１つおきにとったの数列が{b_n}なのだから,
b_n=a_(3n-2)
ですよね。
したがって
b_n=-1-5{(3n-2)-1}=...
ということですね。

17372．Re: 数列(数B)
名前：とおりすがりのＭ    日付：9月24日(金) 6時24分
失礼(^^ゞ

>１つおき
ではなく
２つおきでしたね。

17375．Re: 数列(数B)
名前：あいこ(高2)    日付：9月24日(金) 18時30分
とおりすがりのＭさん、御指導有難うございました。

とおりすがりのＭさん、そして、昨日御指導してくださった知也さんが書かれたことに〝３ｍ－２または、３ｎ－２〟がでてきましたが、どのようにして導いたか、色々考えたのですが、分かりませんでした。
しかし、私は、

　a_n=-1+{(n-1)*(-5)}から、{a_n}の初項は-1、公差-5　なので{a_n}の数列は

　-1,-6,-11,-16,-21,-26,-31,･･････

求める数列{b_n}は数列{a_n}の項を、初項から２つおきにとるので{b_n}の数列は

　-1,-16,-31,-46,-61,･･････

これより数列{b_n}は初項-1、公差-15


というように原始的に求めました。これは解答としてはよくない例でしょうか。

もし宜しければ、何方か御指導宜しくお願い致します。

17378．Re: 数列(数B)
名前：ヨッシー    日付：9月24日(金) 19時16分
「a_n が○○○の等差数列であるとき、a_n を２つおきに取った、b_n も
等差数列である。この時、b_n の初項と公差を求めよ。」
というような問題なら、それで良いでしょう。
ただし、今回は、b_n が等差数列になること自体を示させているので、
文字を使って、一般的に示さないと、まずいでしょう。
あいこさんの方法では、「最初の５項は確かに等差数列だが、その後、または
ずっと先の方はどうなの？」と聞かれると弱いですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

17379．Re: 数列(数B)
名前：あいこ(高2)    日付：9月24日(金) 20時7分
ヨッシーさん、御指導有難うございました。
確かにそうですね。文字を使って解くときに知也さんや、とおりすがりのＭさんが使われた3m-2や3n-2を使うんですね。しかし、3m-2や3n-2はどのようにして導かれたのでしょうか？もし宜しければ御回答宜しくお願い致します。

17380．Re: 数列(数B)
名前：知也    日付：9月24日(金) 20時10分
n=3m-2とおいたのは、1,4,7,10,13・・・・を表しています。つまりa_mの何項目がb_nになるのかということ。僕はそこからb_nは等差数列になることを示しており、今回は1,4,7,10,13・・・・なんだから3m-2番目の項がb_nのnになりうるということです。

　証明についてはヨッシーさんの意見に１票です。それでは部分点しかもらえないよ。

17381．Re: 数列(数B)
名前：知也    日付：9月24日(金) 20時13分
m=3n-2は間違いです。忘れてください。ああこれから来月の学会発表の準備をせねばなりませんので…鬱です（笑）

17385．Re: 数列(数B)
名前：あいこ(高2)    日付：9月25日(土) 12時18分
知也さん、御忙しい中質問に答えていただき有難うございました。
もう一度、しっかり考えてみます。学会の御準備頑張ってください。
それでは。

17345．行列  
名前：かずま    日付：9月23日(木) 9時27分
A=(0 -1 -2)　T=(-1 -1 2)　　　
(1 2 2) (1 1 0)
(1 1 3)、 (1 0 1)として、
T^-1=1/2(-1 -1 2)
(1 3 2)
(1 1 0)
となりました。授業でT^(-1)ATを計算したところ、
(1 0 0)
(0 3 0)
(0 0 3)がでたのですが、なぜこうなるのかがわからないので、計算の仕方を教えていただけないでしょうか。何度もすみません。
ちなみに、T^(-1)ATとTAT^(-1)の結果は同じなのでしょうか。


17348．Re: 行列
名前：のぼりん    日付：9月23日(木) 9時59分
式が見難いのですが
　　　　｜０　－１　－２｜　　　　｜－１　－１　２｜
　　Ａ＝｜１　　２　　２｜　　Ｔ＝｜　１　　１　０｜
　　　　｜１　　１　　３｜　　　　｜　１　　０　１｜
ですね？このとき確かに、
　　　　　｜－０．５　－０．５　１｜
　　 Ｔ-1＝｜　０．５　　１．５　１｜
　　　　　｜　０．５　　０．５　０｜
ですが、
　　　　　　｜０．５　０．５　　３｜
　　 Ｔ-1Ａ＝｜０．５　０．５　－１｜
　　　　　　｜０．５　０．５　　０｜
　　　　　　　｜３　０　４｜　｜１　０　０｜
　　 Ｔ-1ＡＴ＝｜０　１　０｜≠｜０　３　０｜＝授業のＴ-1ＡＴ
　　　　　　　｜０　０　１｜　｜０　０　３｜
となりました。単なる計算間違いじゃないでしょうか？ちなみに、
　　　　　　　｜３　４　０｜　｜３　０　４｜
　　 ＴＡＴ-1＝｜０　１　０｜≠｜０　１　０｜＝Ｔ-1ＡＴ
　　　　　　　｜０　０　１｜　｜０　０　１｜
のようです。

17350．Re: 行列
名前：かずま    日付：9月23日(木) 13時13分
のぼりん様、丁寧に教えていただきましてありがとうございます。値が違うということで、もう一度学校の先生に聞いてみます。失礼しました。

17343．合同式について  
名前：知美（大１）    日付：9月23日(木) 8時25分
次の合同式を解きなさい。
x^3+x^2+2x+3≡0(mod 7)
解き方が解らずに困っていますので教えてくださる方お願いします。


17349．Re: 合同式について
名前：のぼりん    日付：9月23日(木) 10時6分
ｆ（ｘ）：＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ＋３ とおくと、
　　ｆ（０）＝　　３≡３（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（１）＝　　７≡０（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（２）＝　１９≡５（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（３）＝　４５≡３（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（４）＝　９１≡０（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（５）＝１６３≡２（ｍｏｄ ７）
　　ｆ（６）＝２６７≡１（ｍｏｄ ７）
ですから、
　　ｆ（ｘ）≡０（ｍｏｄ ７）　⇔　ｘ≡１または４（ｍｏｄ ７）
です。

17341．友達に  
名前：高２    日付：9月23日(木) 7時2分
Original Size: 353 x 118, 3KB

友達に出された問題を解いている最中です。どうも何か失敗してるような気がしてなりません。どうですか？


17342．Re: 友達に
名前：のぼりん    日付：9月23日(木) 8時7分
ｋ：＝√（０＋√（０＋…）） が方程式 ｘ２－ｘ＝０ を満たすのは、ご高察のとおりですが、逆に、方程式 ｘ２－ｘ＝０ を満たす数は ｋ に限る訳ではありません。実際、ｋ＝０ または １ と得られたところで、ｋ≠１ だから ｋ＝０ である、とすれば、正しい答えが得られます。

この問題は、以下のように解けます。先ず、ａ０＝０、ａｎ＋１＝√（０＋ａｎ）（ｎ＝０，１，…） と数列 ｛ａｎ｝ を帰納的に定義します。明らかに ａｎ＝０（ｎ＝０，１，…） です。数列 ｛ａｎ｝ は広義単調増加（＝単調非減少）で上に有界（＝全ての ａｎ は一定値より小さい）なので、収束し、ａｎ＝０（ｎ＝０，１，…） だから、その収束値 ｌｉｍｎ→∞ａｎ は、０ です。ここで、、ｋ＝ｌｉｍｎ→∞ａｎ ですから、ｋ＝ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０ となります。

極端な言い方をすると、１７３４１の解法は、以下の論法と同じことになります：「ｊ＝０ とおくと、ｊ は方程式 ｘ２－ｘ＝０ を満たすので、ｊ２－ｊ＝０ です。これを解くと、ｊ＝０，１ ですが、ｊ＝０ でしたから、０＝ｊ＝０，１ となりました。」

17344．Re: 友達に
名前：高２    日付：9月23日(木) 8時28分
ありがとうございました。

17334．(untitled)  
名前：楓（高３）    日付：9月22日(水) 23時14分

原点をＯとするxｙ平面上を動く点Ｐがあり、その位置ベクトル
＿＿　　　　　　＿　　　　　　　　＿
ＯＰを、ベクトルａ＝（３，－１）、ｂ＝（２，１）を用いて、
＿＿　 ＿ ＿　　 　　
ＯＰ＝sａ＋tｂと表すとする。ただし、s、ｔはそれぞれs＋t≦２、

s≧０、t≧０を満たす実数であるとき、点Pが存在する範囲の面積を

求めよ。　　これ、教えてください。


17335．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月23日(木) 0時12分
こちらが少し役に立つでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

17338．Re: (untitled)
名前：arc    日付：9月23日(木) 4時13分
Original Size: 388 x 259, 4KB

5*2=10

こんな感じかな？


17325．種々の数列(３)～数B  
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 18時13分
次の数列の初項から第ｎ項までの和を求めよ。
1/(1・3),1/(2・4),1/(3・5)･････
という問題で、

この数列の第k項a_kは
　a_k = 1/{k(k+2)}
よって、求める和をSとすると
　S　=1/2[{1-(1/3)}+{(1/2)-(1/4)}+{(1/3)-(1/5)}+･･････+{(1/n)-(1/n+2)}]

-----------------------------------------

ここで質問なんですが、Sは最終的に[ ]内が整理され、
　S = 1/2[{1+(1/2)}-(1/n+1)-(1/n+2)]となります。
どのようにして[ ]内をまとめるのでしょうか？
宜しければ御指導宜しくお願い致します。


17328．Re: 種々の数列(３)～数B
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：9月22日(水) 18時28分
　S = (1/2)*[{1-(1/3)} + {(1/2)-(1/4)} + {(1/3)-(1/5)} + {(1/4)-(1/6)} + … + {(1/(n-1))-(1/(n+1)} + {(1/n)-(1/(n+2))}]
ここで, 式をじっくりながめると, -1/3と1/3, -1/4と1/4 のように足し合わせるとほとんどの項が消えてしまうことがわかると思います. 残る項は, 1, 1/2, -1/(n+1), -1/(n+2) の4つだけです. したがって,
　S = (1/2)*[1 + (1/2) - {1/(n+1)} - {1/(n+2)}]
となります.
どの項が残るかを見極めるのは慣れていないと難しいと思いますが, じっくり考えてみてください.

17329．Re: 種々の数列(３)～数B
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 18時42分
HybridThさん、度々御回答してくださり誠に有難うございます。消える項にもある程度の規則があるんですね。見極めが付くよう慣れたいと思います。

17323．食べられる牧草の面積  
名前：ロッキー    日付：9月22日(水) 17時49分
２ｍ×４ｍの長方形の敷地があります。その敷地の周り一面は牧草です。敷地の４角のうちの１つに３ｍのくさりにつながれた牛がいます。その牛が食べル事の出来る牧草の面積は？


17327．Re: 食べられる牧草の面積
名前：tarame    日付：9月22日(水) 18時23分
７Π 平方メートル？

17331．Re: 食べられる牧草の面積
名前：ロッキー    日付：9月22日(水) 19時3分
ｔａｒｅｍｅさん、御返事ありがとうございます。
この問題知人に出されて、
円の面積３×３×３．１４＝２８．２６
その１/４の面積２８．２６÷４＝７．０６５
まで出せたんですが、そのあと７．０６５と交わる敷地の面積が出せなくて困っています。その交わる面積が出せるとあとは２８．２６から引けば良いと思うのですが…その方法がわかれば教えていただけますか？

17332．Re: 食べられる牧草の面積
名前：ひで    日付：9月22日(水) 22時43分
Original Size: 306 x 238, 6KB

この図でいかがでしょうか？


17337．Re: 食べられる牧草の面積
名前：ヨッシー    日付：9月23日(木) 3時41分
出題者の意図も、おそらくひでさんの描かれたような図だと思いますが、
敷地が壁で囲まれているとか、４隅に杭が打ってあるとか書いてないので、
こんな図も、考えられます。

ただし、中学以下の範囲では答えは出ません。
くさりが４ｍなら出せます。
　
http://yosshy.sansu.org/

17339．Re: 食べられる牧草の面積
名前：ひで    日付：9月23日(木) 4時52分
ヨッシーさん＞
確かにその通りですね。文章からは読み取れない部分も多いですね。

17320．点  
名前：さんぽ    日付：9月22日(水) 15時31分
u^2-2v<1とu^2-4v≧0を同時に見たす点の集合を見つけ図示しなさい。
２つの文字が入っているのでわからないので教えてください。


17326．Re: 点
名前：tarame    日付：9月22日(水) 18時15分
u^2-2v<1とu^2-4v≧0を
ｖ＞(1/2)ｕ^2-1/2
ｖ≦(1/4)ｕ^2
と式変形すれば、分りませんか？

17330．Re: 点
名前：さんぽ    日付：9月22日(水) 18時52分
わかりました。ありがとうございました。

17318．教えて下さい。  
名前：ココロ(高１)    日付：9月22日(水) 13時49分
数列の和Ｓn＝1+2x+2x^2+･･･+2x^n-1を計算しなさい。

ｘ＝１のとき
Sn＝１+２+２+･･･+２＝？　　　　　　　　　　
求め方が解りません。　　　　　　　　　　　


17319．Re: 教えて下さい。
名前：ヨッシー    日付：9月22日(水) 15時24分
17206番の記事をご覧下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

17317．(untitled)  
名前：美里(１６歳)    日付：9月22日(水) 11時11分
解りました。

17316．計算過程が解りません。  
名前：美里(１６歳)    日付：9月22日(水) 10時51分
計算問題抜粋
1/2｛1/6n(n+1)(2n+1)-1/2n(n+1)+2n｝
↓
1/12｛n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)+12n｝

大カッコの中は６を掛けて分母をはらっているのだから、大カッコの外も６を掛けて3になるのでは？なんで1/12になるの？

教えて下さい。お願いします。

17311．種々の数列(２)～数B  
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 6時8分
続けて質問してしまい申し訳ありません。今回も同じく数列の分野からなのですが、

次の和を求めよ。
　　S＝1 + 2/3 + 3/3^2 + 4/3^3 +　･････　+ n/3^(n-1)

という問題で、1/3・Sという式を求め、S - 1/3SをしてSを求める方法で解こうとおもったのですが、
　　S - 1/3S = 2/3S
　　　　　　=1 +1/3 +1/3^2 +1/3^3 +････+1/3^(n-1) -n/3^n
=1+ 1/3･(1 -1/3^n-1)/ 1-1/3 - n/3^n ････(1)

ここまで求めたのですが、解答で(１)が
　　　　　=1{1-(1/3)^n} / 1-1/3 - n/3^n
となっていました。私の求めた式は間違いでしょうか？

もし宜しければ御指導宜しくお願い致します。

　


17313．Re: 種々の数列(２)～数B
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：9月22日(水) 7時6分
あいこ(高2)さんは恐らく,
　S - S/3 = 1 + 1/3 + 1/(3^2) + 1/(3^3) + … + 1/{3^(n-1)} - n/(3^n)
の太字の部分を初項1/3, 公比1/3 の等比数列の第(n-1)項までの和として

＞=1+ 1/3･(1 -1/3^n-1)/ 1-1/3 - n/3^n ････(1)

と計算されたのでしょう. これはこれで正しいのですが,
　S - S/3 = 1 + 1/3 + 1/(3^2) + 1/(3^3) + … + 1/{3^(n-1)} - n/(3^n)
の太字の部分を初項1, 公比(1/3) の等比数列の第n項目までの和と考えると
　1*{1 - (1/3)^n}/{1 - (1/3)} - n/(3^n)
となり, より簡単に表せます.

なお,

＞=1+ 1/3･(1 -1/3^n-1)/ 1-1/3 - n/3^n ････(1)

は,
　= 1 + (1/3)*{1 - 1/(3^(n-1))}/{1 - (1/3)} - n/(3^n)
などと表記すべきです. そうしないと, いろいろと誤解を招く(というか違う意味の)式になってしまいます. 掲示板上で数式を表記する際は, 注意するようにしましょう.

17322．Re: 種々の数列(２)～数B
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 17時26分
HybridThさん、前回に続き御指導していただき有難うございました。
初項1, 公比(1/3) の等比数列の第n項目までの和と考えるんですね。とても参考になりました。計算の表記については、HybridThさんが御指摘されたところを私も改めて拝見したのですが、恥ずかしながら全く理解できませんでした。御指摘有難うございました。今後気をつけたいと思います。そして、分かりにくい計算式にも関わらず御回答していただき誠に有難うございました。

17310．種々の数列(１)～数B  
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 5時54分
問題の途中に出てきた計算が出来ませんでした。どのようにして計算すればいいのでしょうか？
　　　1+2+4+････････+2^n-2=？
解答の方は
　　　1+2+4+････････+2^n-2=1(2^n-1 -1)/2-1
=2^n-1 -1
と出ていました。

何方か御指導宜しくお願い致します。


17312．Re: 種々の数列(１)～数B
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：9月22日(水) 6時41分
初項a, 公比r の等比数列の第n項までの和
　a + a*r + a*r^2 + … + a*r^(n-1)
は(r≠1のとき),
　a(r^n - 1)/(r - 1)　…(*)
となります. ここで,
　1 + 2 + 4 + … + 2^(n-2)
は, 初項1, 公比2 の等比数列の第(n-1)項までの和ですから, (*)において, 初項aを1, 公比rを2, nを(n-1)として代入すると,
　1 + 2 + 4 + … + 2^(n-2) = 1*{2^(n-1) - 1}/(2 - 1)
と計算できます.

17321．Re: 種々の数列(１)～数B
名前：あいこ(高2)    日付：9月22日(水) 17時17分
HybridThさん、御指導有難うございました。まだ、等比数列の公式がつかめていないようなので、今回の御指導を参考にしっかりと習得していきたいと思います。

17333．Re: 種々の数列(１)～数B
名前：ひで    日付：9月22日(水) 22時53分
数列とは関係のない話題ですが、以下の公式は数列の幅を広げるのに役立つこともあるかも？

1－x2＝(1－x)(1＋x)
1－x3＝(1－x)(1＋x＋x2)

ということは、この公式の発展形で次のことも言えます。

1－xn＝(1－x)(1＋x＋x2＋……＋xn－1)

もうお分かりですか？「1＋x＋x2＋……＋xn－1」が初項1、公比xの等比数列の和になっていることを(^_^)

17340．Re: 種々の数列(１)～数B
名前：あいこ(高2)    日付：9月23日(木) 6時8分
ひでさん、御回答有難うございます。公式にも数列が隠れているなんて驚きでした。是非、覚えておきたいと思います。

17296．(untitled)  
名前：千郷    日付：9月21日(火) 17時53分
数学上での、特別と一般とは何か。

この問題へのご返答宜しくお願いします。

直メールして頂ければ幸いです。


17300．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月21日(火) 20時43分
前後関係によって色々意味が変わります。
「特別」は、多くある中の特定な物、或は適当なる物、一般論の特殊な場合等々・・・
「一般」は、任意、generic など。generic は訳語がありませんが、平面上の generic な二点に対して、それ等を通る直線が只一つ存在する。但しその二点が一致する場合は除く、の様に使います。

17295．１次独立  
名前：コロンブス    日付：9月21日(火) 17時16分
a1,a2,b1,b2,c1,c2を任意の実数とするとき、ベクトルa=(a1,a2),ベクトルb=(b1,b2),ベクトルc=(c1,c2)は１次独立でないことを示せ。
応用問題で出された宿題なのですが全くわからないので教えてください。よろしくお願いします。


17297．Re: １次独立
名前：えいぶ    日付：9月21日(火) 17時57分
２次元内の３つのベクトルなので一次独立でないことはほとんど自明ですが…
一次独立でないことを示すには１つのベクトルが他の二つの定数倍の和で表せればＯＫでしたよね？
定数をp,qとして
p×a1+q×b1=c1
p×a2+q×b2=c2
が成り立てばよく、p,qを求めると…

17298．Re: １次独立
名前：コロンブス    日付：9月21日(火) 19時23分
ありがとうございます。すみませんが具体的に計算などで教えていただければ非常にありがたいのですが。もうわからなくて困っています。どうかよろしくお願いします。

17302．Re: １次独立
名前：ひで    日付：9月21日(火) 22時9分
えいぶさん＞
確かに定数倍の和ですが、えいぶさんの連立方程式だと、例えば
　a=(1,2),b=(2,4),c=(0,1)
の場合があてはまりません。a,b,cは任意ですから…。あくまで一次独立でないことの証明は
　pa+qb+rc=0のとき(p,q,r)=(0,0,0)でない実数の組(p,q,r)の存在
ですよ。証明してみましたが、この問題だと私の証明、かなり場合分けして面倒です。。。

17303．Re: １次独立
名前：arc    日付：9月21日(火) 23時49分
●まず、１次独立とは・・・
【いくつかのベクトルを何倍かしたものを足し合わせたものを、それらのベクトルの線形結合（１次結合）という。】
【与えられた幾つかのベクトルが、互いに他のベクトルの線形結合（１次結合）では表せないとき、これらは線形独立（１次独立）であるという。】
【また、線形独立でないことを線形従属（１次従属）という。】

●２つの平面ベクトル(p↑),(q↑)に関して、(p↑),(q↑)が零ベクトルでなく、互いに平行でない時、
(p↑),(q↑)は互いに１次結合で表せないので、これらは１次独立であると言える。
仮に(p↑)が零ベクトルであれば、(p↑)=m(q↑)という式に於いて、(m=0)の時に(p↑)は(q↑)の１次結合となるので、
これらは１次独立でない（＝１次従属である）と言える。
(p↑),(q↑)が互いに平行であれば、(p↑)=m(q↑)という式において、式を満たす実数mが存在する事になり、
(p↑)は(q↑)の１次結合となるので、これらは１次独立でない（＝１次従属である）と言える。

●３つの平面ベクトル(a↑),(b↑),(c↑)に関して、仮に(a↑)が零ベクトルであれば、
(a↑)=m(b↑)=m(c↑)という式に於いて、(m=0)の時に（以下略、上記と同様）
また、(a↑),(b↑)の二つのベクトルが零ベクトルであっても、(a↑)=(b↑)=m(c↑)という式に於いて、
(m=0)の時に（以下略）　：他の二つのベクトルに関しても同様。
次に、(a↑),(b↑)が平行であった場合、(p↑),(q↑)と同様に、１次従属となる。　：他の二つのベクトルに関しても同様。

ここで、(a↑),(b↑),(c↑)がそれぞれ零ベクトルでなく平行でない時、
それぞれの成分｛ベクトルa=(a1,a2),ベクトルb=(b1,b2),ベクトルc=(c1,c2)｝について、
(a↑)を(b↑),(c↑)の１次結合で表すことを考えると、(a1)=m(b1)+n(c1) かつ (a2)=m(b2)+n(c2) を満たす実数m,nが存在することになる。
∵{a1,a2,b1,b2,c1,c2}は任意の実数より、{Am+Bn=C , Xm+Yn=Z}(A,B,C,X,Y,Zは定数)の連立方程式を解くことと同様なので。
(b↑)を(a↑),(c↑)の１次結合で表すこと、(c↑)を(a↑),(b↑)の１次結合で表すこと。も同様。
故に、平面ベクトル範囲では任意の３つのベクトル(a↑),(b↑),(c↑)が互いに１次独立であることはない。と言える。

17304．基底の入替え
名前：ころっさす    日付：9月21日(火) 23時53分
e1＝(1，0)，e2＝(0，1) のとき，任意の実数 x，y に対して
　(x，y)＝xe1+ye2
となることに注意すると，次のように示せます．

a，b，c が一次独立ならば，a≠(0，0) ゆえ
　a＝a1e1+a2e2，a1≠0
としても一般性を欠かず
　e1＝x1a+x2e2
なる実数 x1，x2 が存在するので
　b＝y1a+y2e2
なる実数 y1，y2 が存在します．ここで，a，b は一次独立ゆえ，y2≠0 となり
　e2＝z1a+z2b
なる実数 z1，z2 が存在するので
　c＝w1a+w2b
なる実数 w1，w2 が存在して，a，b，c が一次従属となり，不合理です．

17293．不等式です  
名前：mikky    日付：9月21日(火) 0時59分
はじめましてなんですが　ここを見つけたので早速質問させていただｓきます。
高１です。

下の問題なんですが教えていただけますか？

＊次の不等式を解け　だたしｐ＞１とする。
　　　ｐｘ＾２－（ｐ＋１）ｘ＋１＞＝０

ですが　とき方がわかりません　どなたかお願いです。
よろしくお願いします。


17294．Re: 不等式です
名前：tobira    日付：9月21日(火) 2時1分

※まず、p＞ 1より、p≠0 なので、二次不等式を解けば良いことを確認
※加えて、p＞1 より、p＞0 なので、不等号の向きは≧0で良いと確認

因数分解できるので
　px^2－(p＋1)x＋1≧0
　(px－1)(x－1)≧0
ここで、(px－1)(x－1)＝0 を解くと、x＝1/p，x＝1
さらに、1/p と 1 の大小関係を考えると、p＞1 より、1＞1/p
よって、x≦1/p，1≦x

17307．なるほど！！
名前：mikky    日付：9月22日(水) 1時32分
ありがとうございます。

ご親切に教えていただき感謝します、よくわかりました。
これからもよろしくお願いいたします。

17308．すみません　追伸です
名前：mikky    日付：9月22日(水) 1時50分
因数分解のやり方がいまひとつ解らないのですが、教えていただけますか？

17309．Re: 不等式です
名前：tobira    日付：9月22日(水) 2時41分
この因数分解は、いろいろやり方がありますが
「たすきがけ」でやるのが一番適切なような気がします。

でなければ、px^2－(p＋1)x＋1　をばらしてから、くくりなおして・・・
●px^2－(p＋1)x＋1
　　分配法則で展開
＝px^2－px－x＋1
　　前２項をpxで、後ろ２項を－で、それぞれくくる
＝px(x－1)－(x－1)
　　さらに、(x－1)でくくる
＝(x－1)(px－1)　

17286．教えて下さい  
名前：ゆき    日付：9月20日(月) 18時42分
次の三点を通る平面の方程式を求めよ。(3,0,0)(0,-2,0)(0,0,-5)
を教えて下さいm(_ _)m


17287．Re: 教えて下さい
名前：のぼりん    日付：9月20日(月) 19時38分
求める平面の方程式を
　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝３０
とおき、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，０，０），（０，－２，０），（０，０，－５）を夫々代入すると、
　　３ａ＝－２ｂ＝－５ｃ＝３０
∴　ａ＝１０，ｂ＝－１５，ｃ＝－６
が得られるので、
　　１０ｘ－１５ｙ－６ｚ＝３０
と求められました。

17288．Re: 教えて下さい
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月20日(月) 20時15分
知っておくと便利な事実 : a, b, c ≠ 0 の時、三点
(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) を通る平面は
x/a + y/b + z/c = 1

17289．Re: 教えて下さい
名前：ゆき    日付：9月20日(月) 22時2分
分かりました！！ありがとうございます(^O^)

17290．Re: 教えて下さい
名前：ゆき    日付：9月20日(月) 22時26分
またまたすいません。。同じ問題で、三点が(1,2,-3)(-1,2,3)(1,-2,3)の場合はどうなりますか？

17291．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：9月20日(月) 22時42分
基本は、求める平面を
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０　または
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄ
とおき、３点の座標を代入して、３つの式を作ります。
文字が４個に式が３つですから、ａ，ｂ，ｃ，ｄ は、値としては決まらずに、
　ａ＝ｄ、ｂ＝ｄ／２、ｃ＝ｄ／３
のように、３つの文字を、残り一つの文字の何倍という形になります。
これを、　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄ　に代入すると、
　ｄｘ＋ｄｙ／２＋ｄｚ／３＝ｄ
となります。そして、ここからが、この手の問題の常套句なのですが、
「もしｄ＝０ならば、上式は、ｘ、ｙ、ｚに関係なく成り立ってしまい、
平面の式となり得ない。よって、ｄ≠０ でなければならず、その時は
両辺をｄで割って」
　ｘ＋ｙ／２＋ｚ／３＝１
となります。

のぼりんさんの　＝３０　とおくのも、我疑う故に存在する我 さんの
方法も、上の方法の特別な場合と思って良いでしょう。

特に、＝３０ とは行かないまでも、
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝１
とおけば、この問題は解けますが、原点を通る平面の場合は、これでは
解けず、やはり ＝ｄ とおくのが一般形です。
　
http://yosshy.sansu.org/

17292．Re: 教えて下さい
名前：ひで    日付：9月20日(月) 23時50分
はじめまして。ネットで他のことを検索していたらここにいきつきました。挨拶がてら（？）私にもレスつけさせてください。
私も基本的にはヨッシーさんと同じ解き方をします。ただ図形的なイメージでいくと、この問題に関しては楽になりますよ。というのも
(1,2,-3)と(-1,2,3)を通るから、y軸との交点のy座標は2
(1,2,-3)と(1,-2,3)を通るから、x軸との交点のx座標は1
(-1,2,3)と(1,-2,3)を通るから、z軸との交点のz座標は3
ということに気がつきます。そうすれば、最初にゆきさんが解いてた問題と同じように解けますね(^_^)
この問題の場合、3点が(1,2,3)に対して各座標平面に関して対称な点ですから、そのことに気がつけば、後は空間座標の絵を描けば気がつきますよ(^_^)

17347．Re: 教えて下さい
名前：ゆき    日付：9月23日(木) 9時48分
ありがとうございます！！！わかりました☆

17280．角の求め方  
名前：ママ    日付：9月19日(日) 14時23分
Original Size: 554 x 306, 29KB

高校受験の娘に質問されたのですが…


17281．Re: 角の求め方
名前：知也    日付：9月19日(日) 15時15分
∠ABC=∠ADC＝ｘ　（円周角の定理）はわかりますか？すると外角の定理からｘ＋ｙ=80（△ABFで考えると）　また△AEDで考えると外角の定理でy+20=x　なのでこの連立方程式を解くとx=50°　y=30°になります。どこに目をつけるかがポイントですね。 この程度の問題は中ほどから上位校では必須だと思われます。。。高校受験がんばってください

17279．固有値  
名前：たか    日付：9月19日(日) 14時3分
線形代数の問題で分からない問題があったので質問させて頂きます。
　(６　２　１)
A=(-６　-２　-３)
　(-２　-２　３)
の固有値を求めよ.

・・・・・・・・・・・・
(4-λ)^2{-3+20-9λ+λ^2}=0
となってλが求めることが出来ません。
答はλ=4(2重解)、-1です。

宜しくお願いします。


17282．Re: 固有値
名前：ヨッシー    日付：9月19日(日) 18時44分
λの４次式になっているのはおかしいですね。
（６－λ　　２　　　１　）
（－６　－２－λ　－３　）
（－２　　－２　　３－λ）
の行列式が０になる方程式が固有値を求める式なので、
３次式になるはずです。
　
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17275．ベクトル  
名前：高1です    日付：9月18日(土) 22時18分
三角形ABCにおいて、BCを3:2に分ける点をD,ADを2:1に分ける点をPとし、BPの延長線とACの交点をQとするとき、AQベクトルをABベクトル、ACベクトルを用いてあらわせ。


17276．Re: ベクトル
名前：知也    日付：9月18日(土) 23時30分
本文を読む限りQはAC上にあると考えられるんですけど？ならABベクトルは必要ないかと思いますが。。。内分とか外分とかきちんと書いてください。

17278．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：9月18日(土) 23時59分
この手の問題の多くは、チェバの定理かメネラウスの定理で解けますが、
やはり、ベクトルのみで解かないといけないんでしょうねぇ。

以下、内分として解きます。

ＢＤ：ＤＣ＝３：２　より
　ＡＤ＝(２ＡＢ＋３ＡＣ)/５
ＡＰ＝２ＡＤ/３　より
　ＡＰ＝２(２ＡＢ＋３ＡＣ)/１５　・・・(1)
ＱはＡＣ上の点なので、
　ＡＣ＝ｋＡＱ　・・・(2)
とおけます。(1) に代入して
　ＡＰ＝(４ＡＢ＋６ｋＡＱ)/１５
ＰはＢＱ上の点なので、
　４/１５ ＋ ６ｋ/１５　＝　１
これより、ｋ＝１１/６
(2) より、ＡＱ＝６ＡＣ/１１
　
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17271．山道と数学について  
名前：haru    日付：9月18日(土) 15時30分
山（富士山でもいいのですが）を円錐台と仮定して、地面から頂上へ登るための山道を作ろうと思います。その山道は、地面に対して、ある角度を保ちながら、円錐面に沿って作ろうと思います（線として仮定する）。この場合、円錐台の展開図を使って（上下の円を除いたもの）、下の円弧の端から等角螺旋の曲線を何本も描きながら上の円弧にその曲線が、ついたところで山道が出来上がるという方法でいいのでしょうか。また等角螺旋の等角の角度を９０度プラスαとすると、このαが地面との角度になるのでしょうか。

17270．正多面体が球に内接または外接することについて  
名前：haru    日付：9月18日(土) 15時4分
昨日の質問は、正多面体の質問と勘違いしてしまいました。
正多面体が球に外接または内接するということが本に書いてあり、本の著者に聞いたのですが、まず正多角形が円に内接または外接することを理解することとあったのですが、実際、模型を作ってみたのですが、その説明だけではいまいち納得しないので（正多面体に内接する球が、本当に各面の中心に接するのか）、教えてください。
昨日は、答えてくれてありがとうございました。
模型を

17266．幾何学なんですけど  
名前：猫(大学１年)    日付：9月18日(土) 14時0分
直角三角形の斜辺以外の長さが
21と23の時の鋭角の角度を厳密に
求めたいのですが。
手も足も出ません


17267．Re: 幾何学なんですけど
名前：知也    日付：9月18日(土) 14時4分
arctan(21/23)を求めてもダメ？

17272．Re: 幾何学なんですけど
名前：猫    日付：9月18日(土) 15時48分
端数が出るからだめなんです。きっと分数とか無理数の答えが出るんだとおもいます

17260．数Aの問題なんですけど・・  
名前：マリ子（高一）    日付：9月17日(金) 20時12分
１組52枚のトランプから1枚取り出すとき、次の確率を求めよ。
（１）スペードまたは絵札が出る確率

（２）偶数または3の倍数（絵札は除く）が出る確率

答えは（１）11/26（２）7/13なんですけど、やり方がわからないので
お願いします。


17261．Re: 数Aの問題なんですけど・・
名前：通りすがり    日付：9月17日(金) 20時40分
条件を満たすトランプの枚数をきちんと数えられるかがポイントです.

(1)
絵札は全部で12枚あります. 絵札ではないスペードは全部で10枚あります. したがって, 絵札またはスペードが出る確率は 22/52 = 11/26 となります.

(2)
絵札と除くと, 偶数は 2, 4, 6, 8, 10 です. 全部で4スーツ(ダイヤ, ハート, クローバー, スペード)ありますから, 偶数のトランプは全部で20枚です. (絵札を除いた)3の倍数は, 3, 6, 9 ですが, 6は既にカウント済みなので, 3, 9 のトランプだけを数えます. こちらもやはり全部で4スーツありますから, 3の倍数のトランプは全部で8枚です. したがって, 求める確率は (20+8)/52 = 14/26 = 7/13 となります.

17262．Re: 数Aの問題なんですけど・・
名前：マリ子（高一）    日付：9月17日(金) 20時46分
ありがとうございました！！

17258．ベクトル  
名前：ふみや    日付：9月17日(金) 19時34分
（１）2つのベクトル a=(2,1,3) ,b=(3,4,5)の両方に垂直な単位ベクト　　ルeを求めよ。
（２）a=(3,-2,1),b=(1,1,1)のとき x垂直a,x垂直b,絶対値x=1となるｘ　　を求めよ。
　　よろしくお願いします。


17259．Re: ベクトル
名前：知也    日付：9月17日(金) 19時44分
　垂直なベクトルを求めるには内積の和が0であることをもちいればいいｘ＝(x,y,z)とおくと

a,bそれぞれに垂直であるから
a 2x+y+3z=0 b 3x+4y+5z=0
単位ベクトルであるのでその大きさは1である。
√(x^2+y^2+z^2)=1 x^2+y^2+z^2=1 で求まる。ここで注意したいのは垂直なベクトルは2次式を見てもわかるとおり2本あることである。

　2番目の問題も言い方は違うが結局は同じことなのでこの方法で求めよう。

17263．Re: ベクトル
名前：ふみや    日付：9月17日(金) 22時4分
ありがとうございました。

17255．(untitled)  
名前：haru    日付：9月17日(金) 13時25分
正多角形がなぜ球に内接または外接するのかいまいちわからないので、教えてください。


17256．正多角形の定義から考えてみましょう
名前：Ritz    日付：9月17日(金) 15時48分
正多角形は次の2点を満たします。
・多角形を構成する辺の長さが等しい
・すべての頂点の角が等しい

このことから正多角形の重心をGとすると、次の2点が導かれます。
・重心Gから各頂点までの距離は等しい …(a)
・重心Gから各辺におろした垂線の長さは等しい …(b)

(a)の関係を用いて、重心Gから頂点までの距離をrとして、重心Gを中心とした半径rの円を描くと外接円となります。
(b)の関係を用いて、重心Gから辺におろした垂線の長さをhとして、重心Gを中心とした半径hの円を描くと内接円となります。

17257．よく見ると
名前：Ritz    日付：9月17日(金) 16時52分
球となっているので、立体を対象としているのですね。その場合は正多面体と言います。
分かりやすい説明が思い浮かんだら、また書かせていただきます。

17269．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月18日(土) 14時56分
記事
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=17177&qu=1
で、その概略を述べましたが、その前提とした
「正多面体の中心」という概念はご存知ですか?

17253．(untitled)  
名前：しん（高1）    日付：9月16日(木) 23時21分
ありがとうございました。

17251．あの～。。。  
名前：すすか（中２）    日付：9月16日(木) 21時53分
文章にどうあてはめればいいんでしょうか？


17252．Re: あの～。。。
名前：arc    日付：9月16日(木) 22時58分
＞２けたの自然数がある。
■(10m)+n （m,nは基数でm≠0）
＞その数の十の位の数と一の位の数の和は９で、
▲m+n=9 ⇔ m=(9-n) ⇔ n=(9-m)
＞十の位の数と一の位の数を入れ替えて出来る数は、もとの数より９小さい。
●(10m)+n = (10n)+m+9
＞このとき、もとの自然数を求めなさい。

★解答
2桁の自然数は、0でない基数mと基数nを用いて、『(10m)+n』と表せる。…■
「十の位の数」と「一の位の数」は、それぞれmとnなので、『m+n=9』と表せる。…▲
「十の位の数と一の位の数を入れ替えて出来る数」は、『(10n)+m』と表せられ、
元の数（■）よりも９小さいことから、『(10m)+n = (10n)+m+9』が成り立つ。…●

●の式を整理すると、
(10m)+n = (10n)+m+9
▲から、n=(9-m)となるので、
(10m)+(9-m) = (10(9-m))+m+9
9m+9 = 99-9m
18m = 90
m = 90/18 = 5
n = 9-m = 9-5 = 4

∴■から、元の数は (10*5)+4 = 50+4 = 54 であることが求められる。

17249．mだけですか？  
名前：すすか（中２）    日付：9月16日(木) 21時36分
ｍだけであらわしていいんですか？
ｎは使わなくていいんですか？


17250．Re: mだけですか？
名前：Bｏｂ    日付：9月16日(木) 21時44分
通りすがりさんのは　1次方程式つまり文字1個使う方程式です

あなたは中2ということで、連立方程式を知っているのなら
文字二つ（ｍとｎ）をつかうこともできます。

十の位をｍ　一の位ｎとすると
ｍ＋ｎ＝９　－－－－－－（１）

元の整数は１０ｍ＋ｎ　です
入れ替え整数は１０ｎ＋ｍ　です
１０ｎ＋ｍ＝１０ｍ＋ｎ－９　－－－－－－（２）

（１）と（２）を連立で解きます。

17247．整数についての問題  
名前：すすか（中２）    日付：9月16日(木) 20時7分
２けたの自然数がある。その数の十の位の数と一の位の数の和は
９で、十の位の数と一の位の数を入れ替えて出来る数は、もとの
数より９小さい。このとき、もとの自然数を求めなさい。

明日、当てられるんです
誰かといてください


17248．Re: 整数についての問題
名前：通りすがり    日付：9月16日(木) 20時43分
元の自然数の十の位の数を m とすると, 一の位の数は (9-m) ですよね(十の位の数と一の位の数の和が9なので).
このとき, 元の自然数は 10m + (9-m) と表せます.
また, 十の位と一の位の数を入れ替えてできる自然数は 10*(9-m) + m と表せますね.
十の位と一の位を入れ替えてできる自然数は, 元の自然数より 9 小さいので,
　{10m + (9-m)} - {10*(9-m) + m} = 9 …(*)
という方程式が成り立ちます.
(*)の方程式を解けば m が求まり, したがって元の自然数も求まります.

17241．逆三角関数  
名前：saka    日付：9月16日(木) 10時49分
y=cosecθ=1/sinθ　の逆関数　y=Arccosecθ のグラフはほぼどのようになるのでしょうか？　y=cosecθ　を y=x で折り返すといい筈ということは、逆関数の定義から分かりますが、上手く描けません。特に値域の範囲が分かりません。
社会人ですが、宜しく御願いいたします。


17245．Re: 逆三角関数
名前：ヨッシー    日付：9月16日(木) 19時11分
Original Size: 479 x 279, 5KB

図は、ｙ＝1/sinｘ のグラフです。（ｘの目盛りの単位は度です）
ｘ＝ｎπ（ｎは整数）以外で定義され、ｙの値域はｙ≧１ または ｙ≦－１ です。
逆関数にするには、１対１の部分を決めないといけないので、例えば、
四角で囲った部分を切り出して、定義域ｘ≧１ または ｘ≦－１、
値域 －π/２≦ｙ＜０ または ０＜ｙ≦π/２ と決めます。
　
http://yosshy.sansu.org/


17254．Re: 逆三角関数
名前：saka    日付：9月17日(金) 12時44分
早速ご回答いただき有り難う御座いました。
先ずは、お礼まで。

17233．おねがいします。教えてください  
名前：しん（高1）    日付：9月16日(木) 0時3分
「PA=PB=PC=4,AB=6,BC=4,CA=5である三角錐PABCの体積Vを求めよ」
この問題が解けません。
教えてください。


17235．Re: おねがいします。教えてください
名前：ヨッシー    日付：9月16日(木) 0時53分
正弦定理、余弦定理、使っても良いですか？
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

17236．Re: おねがいします。教えてください
名前：しん（高1）    日付：9月16日(木) 1時14分
はい。

17240．Re: おねがいします。教えてください
名前：ヨッシー    日付：9月16日(木) 7時23分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://yosshy.sansu.org/

17228．ん～  
名前：すすか（中２）    日付：9月15日(水) 21時32分
グラフではー２分の一ってどの部分なんでしょう？


17229．Re: ん～
名前：T.M    日付：9月15日(水) 22時11分
傾きというのは、そのグラフ上のある点に対応するわけではなく、
名のとおりどの様に傾いているかを調べるものです。

そのグラフは（０，４）からx軸に+2移動したときy軸に-1移動するという事です。

くだいて言うと、（０，４）から左に2行って下に1行くような傾き具合ですね。

ここら辺はご自分で教科書読んで調べてみた方が良いと思います。
わかりにくいものを、頑張って理解する能力って大事ですよ。
これから中高とだんだんわかりにくくなってきますけど、今のうちから
わからないものをとりあえずゆっくり読んでみる、という訓練は
数学以外でも役に立ちます。

もちろん読んでもわからないなら、掲示板を使うべきだと思います。

17230．Re: ん～
名前：T.M    日付：9月15日(水) 22時43分
１つ気になったので、付け足します。
今お聞きになった-2分の1は傾きの意味だと思って、上のように回答しました。

17232．Re: ん～
名前：知也    日付：9月15日(水) 23時57分
Original Size: 699 x 668, 41KB

これがそのグラフです。


17226．書き方  
名前：すすか    日付：9月15日(水) 20時16分
グラフはどのように書けばいいでしょうか？


17227．Re: 書き方
名前：知也    日付：9月15日(水) 20時26分
点（０，４）をとおり、傾きが－２分の１の直線としか言いようが無いように思えます。わからなかったら中１の教科書をグラフの最初から見直したほうがいいでしょう。

17224．直線の式  
名前：すすか    日付：9月15日(水) 20時1分
点（０，４）をとおり、傾きが－２分の１の直線の
直線の式と直線はどうとけばいいですか？


17225．Re: 直線の式
名前：知也    日付：9月15日(水) 20時6分
点（a,b）をとおり、傾きがmの直線はy-b=m(x-a)です

17223．三次方程式の解の公式  
名前：N.K    日付：9月15日(水) 19時18分
はじめまして。このホームページの三次方程式の解の公式のコーナーを見て、質問にあがりました。前々から疑問に思っていたんですが、なかなか満足のいく回答をしてくれる人がいなくて。内容は「三次方程式の解の公式には三乗根がでてきて、その中身は複素数になることがあり得る。複素数は絶対値と偏角を持つので、絶対値の三乗根と偏角の三分の一を考えなくてはいけない。ここで三倍角の公式より偏角三分の一を処理したいが、そうすると最初と全く同じ三次方程式が出てくる。これは解の公式の欠陥ではないか？」というものです。いいかえれば、三乗根の記号の中にうまくとかしこんでいるが、結局解けたことにはならないのでは？ということです。よろしくお願いします。


17283．Re: 三次方程式の解の公式
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月19日(日) 20時35分
もとの三次方程式が実係数であったとしても、
この係数から四則演算と実の範囲でのべき根（及び虚数単位）
で解を表すことは出来ません。（一般には不可能であることが証明されています）

17220．(untitled)  
名前：呆け人    日付：9月15日(水) 11時4分
お久しぶりです！質問にあがりました。
領域Ｄ＝{(x,y)|0≦y≦π/2,0≦x≦y}上の柱状体積のうち
曲面z=πcosxと曲面z=ycosx間にある部分の体積を求めよ
という問題で、計算方法は理解できましたが
立体の概形の図示方法がよくわかりませんでした。
この立体の図示の仕方を教えていただきたいです。
とくにz=ycosxの書き方がわかってない気がします。


17221．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月15日(水) 16時39分

ｘｙ平面の第１象限だけで考えると、左の図のようになります。
１つ１つの曲線は、cos 曲線です。

ｘ≦ｙの条件も入れると、右のようになります。

実際は、こんなに線をいっぱいひく必要はありませんが、
xy平面、yz平面と交わる形状等をしっかり描いておけばいいでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

17222．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月15日(水) 17時23分
上は、z=ycosx の図です。
　
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17231．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：9月15日(水) 23時27分
うーん、確認させてください
まず、直線z=yをyz平面に引っ張って、
その直線の一点一点からx軸方向にcos曲線を描いていくという
方針ですか？

17246．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月16日(木) 19時18分
結果的にはそうなりますね。

ｚｘ平面に平行な平面　ｙ＝ｎ　（０≦ｎ≦π/２）を立てて、
そこに、振幅 ｙ の cos曲線を描きます。
　
http://yosshy.sansu.org/

17264．Re: (untitled)
名前：呆け人    日付：9月17日(金) 22時38分
やっぱりよくわかってないです。これより少しやさしめの形　D=(x,y)|0≦x≦1,-x≦y≦0上の曲面 z=1/2x2の概形の書き方から
もう一度書き方教えていただけませんか。

17218．距離  
名前：アカギ    日付：9月15日(水) 1時23分
ユークリッド距離とハミング距離の公理、それからその公理がどんな役目を果たしているかについて教えてください。距離とは何なのか…気になるけど、ユークリッド原論には載っていなかったように思います。
どなたかよろしくお願いします。


17237．Re: 距離
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月16日(木) 2時36分
これは昔ある文学者が述べた事
＞三角形の二辺の和が他の一辺より長いと言う事は学校で教わらなくても犬猫でも知っている

と言う事に相当している。

ハミング距離は立方体（或いは超立方体）の頂点の間の辺に沿う道のりだから、直線距離以上である。

17239．Re: 距離
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月16日(木) 2時51分
菊池寛（きくちひろし）だったか・・・

17265．Re: 距離
名前：アカギ    日付：9月17日(金) 23時19分
菊池寛という名前で検索しましたが、距離の公理に関するものは出てきませんでした。公理そのものをどなたかご存知ないですか？？

17268．Re: 距離
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月18日(土) 14時53分
菊池寛は作家だから検索しても出てくるわけは無い。
日本で言う「文科系」の人は、理科系の基礎知識に無知であるという話。
（本題とは少し外れたが。･･･）

17274．Re: 距離
名前：アカギ    日付：9月18日(土) 22時3分
＞我疑う故に存在する我さん
そうですか。どうりで。
ユークリッド原論の公理の中に距離の公理ってないですよね？
ユークリッド距離を支える公理を探しています。（表現おかしいかも）どなたかご存知ないでしょうか？

17284．Re: 距離
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月20日(月) 11時23分
もともとのご質問の趣旨が良く分からなかったので、
このような回答になってしまいましたが、
ユークリッドの距離の公理（三角不等式）は
公理ではなく、定理です。

17285．Re: 距離
名前：アカギ    日付：9月20日(月) 12時38分
公理じゃなかったんですねΣ(￣□￣；)だから探してもなかったのか！

ユークリッドの距離は
｜v-u|=√{(v1-u1)^2+…+(vn-un)^2}
いっぽうハミング距離は
ｖとuの各成分を比較したときに異なる成分の個数

ということでよろしいでしょうか？これは…定義…ですかね？？

あ、三角不等式は大丈夫です。簡単に言うと寄り道した方が近くなることはないってことだったかな。それは↑の距離の定義？公理？から導き出したものだから定理ですねっ☆
間違いなどあればご指摘ください^^;

17305．Re: 距離
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月22日(水) 0時0分
＞ユークリッドの距離は

通常無定義用語として扱われます。

＞｜v-u|=√{(v1-u1)^2+…+(vn-un)^2}

これは定理となります。

＞いっぽうハミング距離は
＞ｖとuの各成分を比較したときに異なる成分の個数

勿論定義です。
通常は座標が、0, 1 のみからなる点に付いてのみ言います。
符号理論などで使われます。

17306．Re: 距離
名前：アカギ    日付：9月22日(水) 0時9分
どうやら、距離公理なるものが存在するようです。詳しくは調べていないのでまだわかりませんが。
ユークリッド距離は無定義用語として使われることが多いんですね。なんかいんちきな気もするけど、どこかで妥協が必要なのか。
ありがとうございました☆

17215．オイラーの公式→2倍角の公式  
名前：たか    日付：9月14日(火) 18時59分
オイラーの公式e^iθ = cosθ+isinθより倍角の公式sin2θ = 2sinθcosθ,cos2θ = cos^2θ-sin^2θを導け.
この問題が分かりません。宜しくお願いします。


17217．Re: オイラーの公式→2倍角の公式
名前：知也    日付：9月14日(火) 19時56分
オイラーの公式によると(e^(i*x))^2=(cosx+isinx)^2=cos2x+isin2x

(cosx+isinx)^2=cos2x+isin2xに注目すると
左辺＝(cosx)^2+2icosx*sinx-(sinx)^2 これで係数比較ですね。

17206．よろしくお願いします。  
名前：美香(１７歳)    日付：9月14日(火) 11時36分
数列の和１＋2ｘ＋2ｘ^2＋・・・＋2ｘ^n-1を計算しなさい。

ｘ＝１のときの解答見ても導き方が解りません。
Ｓｎ＝１＋２＋２＋・・・＋２＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１
等差の一般項を求めるんじゃないですよね？


17207．Re: よろしくお願いします。
名前：ヨッシー    日付：9月14日(火) 11時50分
最初の　１＋　は特殊な項ですので、別扱いにして、
　Ｓ＝２ｘ＋２ｘ2＋・・・＋２ｘn-1
を考えます。これは、公比ｘの等比数列なので、等比数列の和の求め方の通り、
　ｘＳ＝２ｘ2＋２ｘ3＋・・・＋２ｘn
　Ｓ＝２ｘ＋２ｘ2＋・・・＋２ｘn-1
上から下を引いて、
　(ｘ－１)Ｓ＝２ｘn－２ｘ
　Ｓ＝(２ｘn－２ｘ)/(ｘ－１)
です。あとはこれに、最初に外した１を足せば出来上がりです。
ただし、これは、分母にｘ－１があるように、ｘ≠１ のときに限ります。

で、ｘ＝１ のときは、別途求めます。
ｘ＝１ のときは、
　Ｓ＝２ｘ＋２ｘ2＋・・・＋２ｘn-1
　　＝２＋２＋２＋２・・・＋２
で、２がｎ－１個足されています。ですから、和は２（ｎ－１）。
これに１を足して　２ｎ－１　です。

公比が１の等比数列は、公差が０の等差数列でもあり、結局は、
同じ数がいくつか足されたものであるので、このような式になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

17214．Re: よろしくお願いします。
名前：美香(１７歳)    日付：9月14日(火) 16時31分
解りました。ありがとうございました。

17189．三角関数と加法定理  
名前：高校三年生    日付：9月13日(月) 19時36分
初めまして、こんばんは。次の問題がどうしてもわかりません。どなたかよろしくお願いします。「点Ｏを中心とする円に内接する五角形ＡＢＣＤＥにおいて、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝１、ｃｏｓＢ＝－１/４である。（１）∠ＡＯＢ＝２θとおくとき、ｃｏｓθを求めよ。（２）線分ＥＡの長さを求めよ。」この問題のヒントとして、「Ｂ＝２（９０－θ）、∠ＡＯＥ＝３６０度ー２θ×４を利用する。」とあります。よろしくお願いします。


17196．Re: 三角関数と加法定理
名前：知也    日付：9月13日(月) 23時12分
(1)ACに補助線を引くと、ABCは底角θの二等辺三角形になる。ここでBからACに垂線を引いた点をFとする。余弦定理からAC＝√10/2 AF=√10/4つまりcosθ＝（√10/4）/1＝√10/4

(2)AOBにおいてOAを余弦定理で求められる。そうすると∠AOE＝360-(2θ*4)からAOEで余弦定理を使ってAEを求める。加法定理を使います。

17199．Re: 三角関数と加法定理
名前：高校三年生    日付：9月14日(火) 4時29分
返信ありがとうございます。あの・・・それぞれの余弦定理が良くわかりません。出来ましたら、そこの所も教えてください。よろしくお願いします。

17200．Re: 三角関数と加法定理
名前：知也    日付：9月14日(火) 7時24分
OA=OB=OEです。
△AOBでOA=ｒとすると1＝r＾2＋r＾2-2r^2*cos(2θ）これでｒがもとまる。
△AOEでAE^2＝r^2＋r^2＋2r^2*cos(360-2θ*4)

17201．Re: 三角関数と加法定理
名前：高校三年生    日付：9月14日(火) 7時55分
ありがとうございます。あの、ＯＡ＝式からどうやって計算するのかわかりません。－２r＾２２cos（２θ）の所がよくわかりません。よろしくおねがいします。

17202．Re: 三角関数と加法定理
名前：知也    日付：9月14日(火) 8時31分
どこが？加法定理がわからないとか？　1＝r＾2＋r＾2-2r^2*cos(2θ）cos2θ=2(cosθ)^2-1=1/4
1=2r^2*(1-1/4) 2r^2=4/3 r^2=2/3 r=√6/3

それと上の式間違ってました。△AOEでAE^2＝r^2＋r^2-2r^2*cos(360-2θ*4)

17210．Re: 三角関数と加法定理
名前：ヨッシー    日付：9月14日(火) 12時45分
加法定理より、余弦定理の方で、困っているように思います。

△ＡＯＢで、ＡＢ＝１，ＡＯ＝ＢＯ＝ｒ、∠ＡＯＢ＝２θ　これらを、余弦定理の式
　ＡＢ^2＝ＡＯ^2＋ＢＯ^2－２ＡＯ・ＢＯcos∠ＡＯＢ
に代入したのが、
　１＝ｒ^2＋ｒ^2－２ｒ^2cos２θ

また、cosθ＝√10/4 と同時に sinθ＝√6/4 も求めておき、倍角の公式
　cos２θ＝cos2θ－sin2θ
を使います。
　
http://yosshy.sansu.org/

17211．Re: 三角関数と加法定理
名前：知也    日付：9月14日(火) 13時51分
　ヨッシーさんの言うとおりsinを求める方法からでも結構なんですけどcos2x=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2=(cosx)^2-(sinx)^2を自在に操れれば、sinｘを求める必要はなくなりますね。

17219．Re: 三角関数と加法定理
名前：高校三年生    日付：9月15日(水) 7時58分
知也さん、ヨッシーさんありがとうございます。この問題が出来て、とてもうれしいです。どうもありがとうございました。よろしければ、今後もよろしくお願いします。

17187．お願いします  
名前：ひな（中３）    日付：9月13日(月) 19時14分
Original Size: 383 x 369, 9KB

図で点cのｙ座標は正である。
点ｂのｘ座標は３。
点eの座標は（－３、２）である。
問題
△abeの面積が△abcの面積の5分の2倍になるとき、△bcdの面積は
△abeの面積の何倍になるか。
という問題です。
よろしくお願いします


17192．Re: お願いします
名前：知也    日付：9月13日(月) 22時5分
直線beはb(3.0)e(-3.2)を通ってるからｙ＝-1/3x+1でしょ！
ということはd(0.1)になる。つまりdはbとeの中点だからbd=de

なので底辺の比から△ebcで考えると△ecd:△bcd=1:1
△ebcは△aebの3/2なので　△bcdはその半分だから3/4倍
　

17194．Re: お願いします
名前：Bｏｂ    日付：9月13日(月) 22時32分
面積を
三角形EBC=3
三角形EBA=2
三角形ABC=5　とおきます
ここで三角形EBC＝三角形bcd＋三角形cdeです
三角形bcdと三角形cdeの面積比は
底辺cdが共通なので高さの比が面積の比になります
高さですが三角形bcdのほうがBのＸ座標　３

　　　　　三角形cdeのほうがｅのＸ座標　３
　よって３：３＝１：１
よって三角形bcdが１．５　　三角形cdeも１．５
よって、１．５÷2＝０．７５
△bcdの面積は△abeの面積の０．７５　倍　（３／４　倍）

17243．Re: お願いします
名前：ひな（中３）    日付：9月16日(木) 19時4分
知也さん、Bobさんありがとうございました！

17177．正５角反柱の体積の求め方  
名前：haru    日付：9月13日(月) 12時14分
正２０面体の体積を求めるときにこの体積が解らないと出ないので、おしえてください。それから正多面体は球に内接または外接するとあったのですが、どうしてそのことがわかるのか教えてください。(特に正１２面体と正２０面体）


17179．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月13日(月) 13時30分
詳しく書くと長くなるので、概略を述べます。

一つの正多面体が与えられたとして、その中心を 0, 一つの面の中心を P, その面に於ける一つの辺の中心を Q, その辺の一つの端点（つまり正多面体の頂点）を R とします。この時、

(1) この四面体の各面は直角三角形
(2) 面に現れる三角形の角度の幾つかについてはすぐ分かる。
(3) OP が内接球の半径
(4) OR が外接球の半径。
(5) （例えば正十二面体の場合）この四面体 120　個で覆われるので、
　体積は四面体の体積の 120 倍

これらより計算で導きます。
詳しくは
一松信、正多面体を解く、東海大学出版会
を参照。

17180．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：ヨッシー    日付：9月13日(月) 14時37分
正５角反柱は、面倒なのでおいといて（ぉぃ
私のページに「正２０面体の体積」があります。
　
http://yosshy.sansu.org/

17182．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月13日(月) 15時16分
haru さん
タイトルにあった
＞正５角反柱
って何ですか？

17183．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：ヨッシー    日付：9月13日(月) 15時31分

こういうのかと思いましたが。
正２０面体から５角錘を上下取り去った形。
　
http://yosshy.sansu.org/

17185．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月13日(月) 18時4分
＞ヨッシーさん
そのような図形のことでしたか。

＞haru さん

結論だけからから云うと次のようになります。
正五角反柱に限らず、多角反柱があるとき、底面に平行な平面で高さの真ん中を通る物で切り取った切り口の面積を M
とすると

体積 = (1/6)(上底面の面積 + 4M ＋下底面の面積)×[高さ]

となります。（擬柱公式）
これは直方体、平行六面体、角柱、角錐、円柱、円錐、球体等について成立します。
特に四面体で成立するので、上記の多角反柱を頂点が上底面、下底面の何れかに持つような四面体で切り分けてやれば、それら各々について成立し、和を取れば多角反柱についても成立することが分かります。

正多面体の体積の計算にはすぐには役立たないかも知れませんが。

17234．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：ｎ厨(中二)    日付：9月16日(木) 0時34分
すみません横から。ちょっと気になったもので
>我疑う故に存在する我さん

>>体積 = (1/6)(上底面の面積 + 4M ＋下底面の面積)×[高さ]
これも「正多面体を解く」に書いてあるのですか？

＞ヨッシーさん
中学入試のときこのような展開図を書くような問題を塾でやったことがあります。こんな名前があったんですね。。

17238．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月16日(木) 2時48分
>>>体積 = (1/6)(上底面の面積 + 4M ＋下底面の面積)×[高さ]
これも「正多面体を解く」に書いてあるのですか？

書いてありません。一般の多面体では成立しません。
他書にありますが現在入手不能。

17242．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：n厨(中二)    日付：9月16日(木) 17時50分
>我疑う故に存在する我さん
レスありがとうございます
＞書いてありません
そうですかorz。考えてみます

17273．Re: 正５角反柱の体積の求め方
名前：haru    日付：9月18日(土) 15時56分
以前、出した質問でしたが最近わかりました。これは側面を延長した五角錐台から、５つの三角錐を引いたものであることがわかりました。また別の公式があることも後でわかりました。数学オリンピック事典に載っているそうです。

17171．数Ｂの問題で質問です。  
名前：オリバー    日付：9月13日(月) 1時33分
皆さんこんばんわ。

①Ｐ（ｘ）＝ｘ^18+ｘ＾６+１を（ｘ－１）＾２（ｘ＋１）で割ったときの余りをもとめよ。

②ｘ＾８０＋aｘ＾２＋ｂがｘ＾２+ｘ+１で割り切れるように係数a,bを求めよ。

よろしくお願いします。


17172．Re: 数Ｂの問題で質問です。
名前：豆    日付：9月13日(月) 8時39分
[1問目]
P(x)=(x^18+x^6+1)=(x-1)^2(x+1)Q(x)+ax^2+bx+c　とおく，
P(1)=a+b+c=3
P(-1)=a-b+c=3
P’(1)=2a+b=24

[2問目]
f(x)=x^80+ax^2+bはx^2+x+1　で割り切れるので，
x^2+x+1=0の根をαとすると，f(α)=0　である．
α^2+α+1=0にα-1をかけて，α^3=1
f(α)=α^80+aα^2+b=(1+a)α^2+b=0
αは複素数なので，1+a=0　かつb=0

17175．Re: 数Ｂの問題で質問です。
名前：豆    日付：9月13日(月) 12時0分
表題が「数Ｂの問題で質問です」となっていることに気が付きました．
今の高校数学の分類の仕方は複雑そうで良くわからないんですが，微分は使えませんか？
だとしたら[1問目]は少し修正が必要（結局同じようなことですが）．

P(1)，P(-1)　の値より，b=0，c=3-a
x^18+x^6+1-(ax^2+3-a)=(x-1)^2(x+1)Q(x)
(x^18-1)+(x^6-1)-a(x^2-1)=(x-1)^2(x+1)Q(x)
両辺をx-1で割って，
(x^17+x^16+・・・+1)+(x^5+x^4+・・・+1)-a(x+1)=(x-1)(x+1)Q(x)
x=1を代入して，
18+6-2a=0　　　a=12

17197．Re: 数Ｂの問題で質問です。
名前：オリバー    日付：9月13日(月) 23時15分
解答ありがとうございます。
微分で求められるんですね！そんな近道があったとは知りませんでしたが・・・＾＾；
数Ｂだけで考えると無理かもしれませんが、ちょっとしたテクですね～＾＾
ありがとうございました。

17198．Re: 数Ｂの問題で質問です。
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月14日(火) 0時53分
またまた削除して再投稿。

[1問目]の別解。
＞数Ｂの問題で質問です。
と言う事なので微分は使って良いと思いますが、
微分を使わない方法。

豆さんの

P(x) = x^18 + x^6 + 1 = (x - 1)^2(x + 1)Q(x) + ax^2 +bx + c　とおく。
P(1) = a + b + c = 3
P(-1) = a - b + c = 3
に加えて、

x^18 + x^6 + 1 = (x - 1)^2(x + 1)Q(x) + ax^2 +bx + c
x に x + 1 を代入し、
(x + 1)^18 + (x + 1)^6 + 1 = x^2(x + 2)Q(x + 1) + a(x + 1)^2 +b(x + 1) + c.

x^2(x + 2)Q(x + 1) は2次以上の項しか持たないから、
(x + 1)^18 + (x + 1)^6 + 1 の定数項と1次の項を二項定理より求める。
二項だけ求めるのだから計算もそう難しくない。
これが ax(x + 1)2 +b(x + 1) + c の定数項と1次の項となる。
1次の項だけ見ても 2a + b = 24,
定数項を見ると、 a + b + c = 3.

17170．ベクトル  
名前：数学できない人    日付：9月13日(月) 0時14分
ΔABCにおいて、辺ABを2：1に内分する点をD、辺ACを3：2に内分する点をEとし、２つの線分CD、BEの交点をPとする。また、APの延長と辺BCの交点をQとする。ベクトルAB＝ベクトルb、ベクトルAC＝ベクトルC　とするとき
（１）ベクトルAPをベクトルb、ベクトルｃで表せ
（２）ベクトルAQをベクトルb、ベクトルｃで表せ
です。おねがいします


17176．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：9月13日(月) 12時4分
一般に２点Ｂ(ｂ)、Ｃ(ｃ) を通る直線上の点の位置ベクトルは、
　(1-t)ｂ＋tｃ
で表されます。

＜解法1＞
　ＡＰ＝(1-s)ＡＢ＋sＡＥ
　　　　＝(1-s)ｂ＋3sｃ/5
　ＡＰ＝(1-t)ＡＤ＋tＡＣ
　　　　＝2(1-t)ｂ/3＋tｃ
から、s,t を求める。
ＡＰを何倍か伸ばしたのがＡＱなので、
　ＡＱ＝mＡＰ
とおいて、ｂの係数＋ｃの係数＝１ となるようにｍを決める。

＜解法２＞
　チェバの定理より、ＢＱ：ＱＣ＝３：４　が即座に求まり、
　ＡＱが先に求まる。
ＡＱを何倍かに伸ばしたのがＡＰなので、（以下同じ）
　
http://yosshy.sansu.org/nembutsu/

17168．二項定理  
名前：IGA（高１）    日付：9月12日(日) 23時30分
(x^2+x+1){x+(1/x)}^10
定数項の係数を求めよ。

過程だと
10Cr{x^(12-2r)+x^(11-2r)+x^(10-2r)}
のようになり
x^(12-2r)＝ｘ＾０
x^(11-2r)＝ｘ＾０
x^(10-2r)＝ｘ＾０
になるｒを求めるとｒ＝６とｒ＝５
よって求める定数項は
10C6+10C5=462

たしかにｒ＝６と５になります。しかしx^(11-2r)＝ｘ＾０はｒが整数になりません。よって不適なのですが、不適なものが一つでもでてきていいのでしょうか。あとｒ＝５と６だから10C6+10C5=462←のような式をどうやって導くかがわかりません。

お願いします。


17181．Re: 二項定理
名前：ヨッシー    日付：9月13日(月) 14時53分
まず、{x+(1/x)}^10 を展開すると、
　10Ｃ0ｘ^10＋10Ｃ1ｘ^9(1/x)＋10Ｃ2ｘ^8(1/x)^2＋・・・＋10Ｃ9ｘ(1/x)^9＋10Ｃ10(1/x)^10
　＝Σ(r=0～10)10Ｃrｘ^(10-2r)
です。これに、x^2＋x＋1 を掛けると、
　Σ(r=0～10)10Ｃr{ｘ^(12-2r)＋ｘ^(11-2r)＋ｘ^(10-2r)}
となります。単純に展開すると
　１１×３＝３３個の項が出来ます。
（中には、ｘの係数が同じで、計算できてしまうものもあります。）
この中で、定数項となる可能性のあるのは、
　10Ｃrｘ^(12-2r) が定数項となる場合、
　10Ｃrｘ^(11-2r) が定数項となる場合、
　10Ｃrｘ^(10-2r) が定数項となる場合、の３とおりです。
10Ｃrｘ^(12-2r) が定数項となるのは、ｒ＝６のときで、その時の項は、
　10Ｃ6＝210
10Ｃrｘ^(11-2r) が定数項となることは、ありません。
10Ｃrｘ^(10-2r) が定数項となるのは、ｒ＝５のときで、その時の項は、
　10Ｃ5＝252
よって、展開した３３個の項のうち、定数項は、210 と 252 で、計算した結果の
定数項は、210＋252＝462 となります。
　
http://yosshy.sansu.org/

17184．Re: 二項定理
名前：IGA（高１）    日付：9月13日(月) 16時19分
なるほど！わかりました！！！
Σの意味はいったいなんですか？

17186．Re: 二項定理
名前：Bｏｂ    日付：9月13日(月) 18時4分
シグマ　総和のことです

来年高２の数Ｂで「数列」を習えばでてきますよ。

17163．複素平面  
名前：ふみや    日付：9月12日(日) 22時39分
複素数Ｚについてz/(z-1)が純虚数であるようにＺが変化するとき、ｚがえがく図形を求めて、複素平面上に図示せよ。

まったく意味がわかりません。


17164．Re: 複素平面
名前：ヨッシー    日付：9月12日(日) 22時41分
z=x+yi とおいて、z/(z-1) を計算し、分母を実数化します。
純虚数ということは、実部＝０ とおいて、ｘとｙの関係を求めます。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

17166．Re: 複素平面
名前：知也    日付：9月12日(日) 23時8分
z=x+yiとすると、z/(z-1)=(x+yi)/(x+(y-1)i)=(x+yi)(x-(y-1)i)/(x^2+(y-1)^2)

実部はx^2+y(y-1)でx^2+y(y-1)=0　x^2+y^2-y=0 x^2+(y-1/2)^2=1/4 よって複素数平面状では(0,1/2i）を中心とした半径1/2の円

｜z-1/2i｜=1/2です

17174．Re: 複素平面
名前：豆    日付：9月13日(月) 11時26分
知也さんの途中式はちょっと間違いが
＞　z/(z-1)=(x+yi)/(x+(y-1)i)=・・・
　　z/(z-1)=(x+yi)/((x-1)+yi)=・・・

なお，やり方としてはwが純虚数のとき，w+w~=0　を利用してもいけます．
z/(z-1)+z~/(z~-1)=0
分母を払って，変形すれば
(z-1/2)(z~-1/2)=1/4　　但しz≠1

17191．Re: 複素平面
名前：知也    日付：9月13日(月) 21時50分
すみません。おそまつでした。

17155．二次不等式  
名前：けーすけ（高1）    日付：9月12日(日) 18時1分
こんにちは、質問をさせていただくけーすけといいまｓｙ。

《問題》x^2-5x+6<0を満たすすべてのxが
不等式x^2-3ax+2a^2を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。

という問題なのですが自分なりにほぼ解けています。
解釈でとまどっているのですが、
私は、x^2-5x+6<0の答え(2<x<3）が
x^2-3ax+2a^2の答え（三種類考えられますが
適するのは、a<x<2aの場合のみ）a<x<2aを
含むようにせよという問題と解釈したのですが
実際は、逆でした。逆なのは解説を読んでわかったのですが
何故そうなのかがわかりません。

よろしくお願いします。


17156．Re: 二次不等式
名前：ヨッシー    日付：9月12日(日) 18時10分
x^2-5x+6<0 　・・・(1) の解がすべて
x^2-3ax+2a^2 ・・・(2) を満たすと言うことは、
(1) の範囲の一部でも、(2) からはみ出ていたら、その部分は
(2) を満たしていないということですから、(1) の範囲がすべて
(2) の範囲に含まれないといけないのです。

※「(1) の範囲」とは、(1) の不等式の解で表される範囲という意味で使っています。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

17152．関数　と　命題  
名前：中野けんいち    日付：9月12日(日) 17時34分
昔々、敵に囲まれ、城にいた１００人が逃げ遅れてしまった。
敵に命乞いをしたところ、敵からある条件が出された。［１００人全員に今から縦一列にならんでもらう。それから、こちらが用意する赤、黄、青のうちのどれかの帽子を一人ひとつずつかぶせていく。一列に並ぶと、自分の前の人の帽子の色が見える。後ろの人のは一切見えない。（前から５０人目に並んだ人は前にいる４９人分全ての帽子の色が分かる）そして一人ずつ赤、青、黄の色を一回だけ答えることができる。それが自分のかぶっている帽子の色と同じであればその人の命は助ける。答える順番は自由だ。］このような条件と作戦タイムが１００人に与えられた。　そこで１００人は話し合いを始めました。少しでも数多く生き残りたいとみんな考えています。　さて考え出された戦略とは、また、それによって何人助かったのか。
　なお帽子のかぶせ方に規則性はないものとする。
という命題を使って解く問題なのですが・・・
それと、
　　関数ｆ（ｘ）を（ｘ－α）で割るとあまりがmであった。また、関数ｆ（ｘ）を（ｘ2－β）（2は2乗の2です。）で割るとあまりが（Px＋q）であった。ｆ（ｘ）を（ｘ－α）×（ｘ2－β）で割るとあまりはいくらか？
これとこれ教えてください、急に二問も、すみません。

　　　　　　　　　　　　　　　　（高一です）


17154．Re: 関数　と　命題
名前：知也    日付：9月12日(日) 17時48分
２番目の問題ですが剰余の定理を使います。（ｘ－α）（x^2-β）で割った余りをax^2+bx+cとおいてそれぞれｘ＝αを代入してf(α）＝ｍとｘ＝√βと-√βを代入して３つの連立方程式からもとめる。

17165．Re: 関数　と　命題
名前：arc    日付：9月12日(日) 22時59分
ホスト一緒だったので。
何故時間ずらしてマルチなのか・・
教えてください。命題を使って論理パズルが解きたい！！

17138．定積分です。  
名前：つかさ(社会人)    日付：9月11日(土) 21時49分
大変申し訳ございません。
至急教えて頂ければ幸いです。

∫[_0^1]sin^(-1)x dx


17139．Re: 定積分です。
名前：ヨッシー    日付：9月11日(土) 22時33分

Sin-1 x は、sinｘ の逆関数なので、
図のようなグラフになり、求めたいのは青の部分です。
ところが赤の部分は別の見方をすれば、求められますよね。
それをπ／２（青＋赤の長方形）から引けば良いでしょう。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

17141．Re: 定積分です。
名前：つかさ(社会人)    日付：9月12日(日) 0時24分
ありがとうございます。
試験の答案もこのようなグラフから
答えを出しても大丈夫なのでしようか

17143．Re: 定積分です。
名前：ヨッシー    日付：9月12日(日) 7時33分
大丈夫でしょう。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

17145．Re: 定積分です。
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月12日(日) 13時18分
同内容の記事が
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=16216&qu=1
にもありましたね。
(図はないが）

17149．Re: 定積分です。
名前：キューダ    日付：9月12日(日) 16時12分
蛇足かと思いますが、一言付け加えさせて下さい。

次のような公式（？）があります。

∫f(x)dx ＝ x*f(x) － ∫x*f'(x)dx
（何の事はない、部分積分の特別な場合です。）

Log(x)、√（1+x^2)、等に並び、arcsin(x)も、このパターンで、
直接不定積分を求める事ができますよ。

17132．関数  
名前：わぃ    日付：9月11日(土) 16時21分
次の関数の逆関数をｙ=ｆ^-1（ｘ)形で表せ。
ｙ=log（x-1）
ｅを使うのかな？？と思っているんですが・・よくわかりません。

アステロイドｘ=ａcos^3ｔ、ｙ=ａsin^3t（ａ＞０）について
座標軸上の点以外の点における線分が２つの座標軸で切り取られる線分の長さは一定であることを示せ。

この2問を詳しく教えてください。お願いしますｍ(＿＿)ｍ


17134．Re: 関数
名前：のぼりん    日付：9月11日(土) 19時36分
第一問　ｘ＝ｌｏｇ｛ｆ－１（ｘ）－１｝　⇔　ｆ－１（ｘ）－１＝ｅｘ　⇔　ｆ－１（ｘ）＝ｅｘ＋１

第二問
＞座標軸上の点以外の点における線分が２つの座標軸で
＞切り取られる線分の長さは一定であることを示せ。
申し訳ありませんが、私には問題の意味が判りません。問題に写し間違い・写し漏れはないでしょうか？

17142．Re: 関数
名前：Rattle    日付：9月12日(日) 7時15分
座標軸上の点以外の、アステロイド上の点における接線が両座標軸と作る２交点を結ぶ線分の長さということですかね？

17146．Re: 関数
名前：わぃ    日付：9月12日(日) 14時29分
ごめんなさい・・・少し写し間違えしてました。
座標軸上の点以外における接線が２つの座標軸で切り取られる線分の長さは一定であることを示せ。

もう一度お願いします。

17147．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 14時53分
Original Size: 667 x 668, 54KB

アステロイド曲線を示しています。ただしa=1です。このx軸とy軸までの接線（線分）の長さがｔに関係なく一定であることを示せば言いわけです。座標軸上では接線は引けませんから。たぶん2aか3aになったような気がします。記憶が曖昧ですが。


17148．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 15時26分
Original Size: 629 x 437, 6KB

解答の証明です。計算がややこしいですががんばってください。


17150．Re: 関数
名前：わぃ    日付：9月12日(日) 17時1分
丁寧にありがとうございます。でも
y＝a(sint)^3＝tant(x-a(cost)^3)に　x=0、y=0　を代入してみても　
x=acost、y=asintにはならないんです。どういう計算をしているんですか？？

17151．Re: 関数
名前：わぃ    日付：9月12日(日) 17時24分
ｙ=log（x-1）
なんですが・・・log(x-1）＝logx－log1にはならないんですか？？

17153．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 17時35分
ちゃんとdy/dxを自分で計算しましたか？自分で確かめてみないと実力がつきませんよ。dy/dx=-tantです。
だからy-a(sint)^3＝-tant(x-a(cost)^3)　傾きはtant ではなく-tant です。

それとlog(a/b)=loga-logb です。log(x-1)=logx-log1=logxにはなりません。教科書を見直してみましょう。対数関数の基本中の基本ですから。

17157．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 18時21分
Original Size: 699 x 506, 22KB

こうなります。


17158．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 19時59分
　よりよい理解にはこちらを参考にしてください。線分の長さが一定という定義からアステロイドは書かれているのです。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/image/asteroid.html

17160．Re: 関数
名前：わぃ    日付：9月12日(日) 21時19分
ほんとにほんとにありがとうございました。
明日のテストなんとかなりそうです。あとはまとめてしっかり理解しておきます。

17162．Re: 関数
名前：知也    日付：9月12日(日) 22時2分
明日テストやったんや！そらしっかりできなあかんでほんまに。

17169．Re: 関数
名前：数学できない人    日付：9月12日(日) 23時55分
ありがとうございました

17127．三角関数  
名前：数学できない人    日付：9月10日(金) 23時34分
0≦x＜2π　のとき、次の関数の最大値と最小値を求めよ
y＝3sin＾2x＋4sinxcosx－cos＾2x
が分かりません。お願いします


17128．Re: 三角関数
名前：のぼりん    日付：9月11日(土) 0時36分
倍角の公式と加法定理により、
　　ｙ＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｓｉｎｘｃｏｓｘ－ｃｏｓ２ｘ＝１＋２（ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ）＋２ｓｉｎ（２ｘ）
　　　＝１＋２｛ｓｉｎ（２ｘ）－ｃｏｓ（２ｘ）｝＝１＋２√２ｓｉｎ（２ｘ－π/４）｝
ですから、最大値は １＋２√２、最小値は １－２√２ です。

17129．Re: 三角関数
名前：数学できない人    日付：9月11日(土) 0時49分
xの範囲の求め方はどうすればいいのですか？

17131．Re: 三角関数
名前：のぼりん    日付：9月11日(土) 7時51分
＞　xの範囲の求め方はどうすればいいのですか？
どういう意味ですか？本問では、ｘの範囲は
＞　0≦x＜2π
とされているようですが…

17135．Re: 三角関数
名前：数学できない人    日付：9月11日(土) 21時14分
すみません。範囲ではなく、最大値、最小値のときのxの値です

17136．Re: 三角関数
名前：のぼりん    日付：9月11日(土) 21時34分
問題文で、「最大値・最小値を与えるｘを求めよ」と聞かれていない以上、答える必要はありませんので、ご安心下さい。

ところで、１７１２８の式末尾の「｝」は余分でした。済みませんでした。削除して下さい。
【訂正】…＝１＋２√２ｓｉｎ（２ｘ－π/４）｝

17137．Re: 三角関数
名前：数学できない人    日付：9月11日(土) 21時42分
すみません、ｘを求めよと書いてありました

17140．Re: 三角関数
名前：arc    日付：9月12日(日) 0時1分
ｙ＝１＋２√２ｓｉｎ（２ｘ－π/４）
ここからｙの最大値は １＋２√２ 、最小値は １－２√２ となるのは、
ｓｉｎ（θ）の値が、最小値－１、最大値１であるからです。
ｓｉｎ（θ）が最大値１となるときのθは、θ＝π/４＋２ｎπです。
ｓｉｎ（θ）が最小値－１となるときのθは、θ＝３π/４＋２ｎπです。
※ｎは整数です。
このθに（２ｘ－π/４）を代入して計算すれば条件を満たすｘが求まります。

17144．Re: 三角関数
名前：のぼりん    日付：9月12日(日) 8時53分
おはようございます。

＞数学できない人様
arc様のご解説のとおりです。

＞arc様
適切なフォローをいただき、誠にありがとうございました。

17126．定積分  
名前：koji    日付：9月10日(金) 23時10分
以下の問題を教えてください。

次の定積分を求めよ。
①∫[上1,下0]{(x^2)*sin^(-1)xdx}


②∫[上∞,下2]{dx/x*(logx)^2}

大変申し訳ございませんがよろしくお願いします。


17130．Re: 定積分
名前：豆    日付：9月11日(土) 1時51分
積分範囲等は省略します。
(1)∫x^2arcsinxdx=(1/3)[x^3arcsinx]-(1/3)∫x^3dx/√(1-x^2)
　積分はt=√(1-x^2)で置換。
(2)∫dx/(x(logx)^2)=[logx/(logx)^2]+2∫logxdx/(x(logx)^3)
　右辺にも求めたい左辺が出てきました。

17122．漸化式　高１です。  
名前：HIROKEN    日付：9月10日(金) 21時57分
漸化式の基本的な解法に特性方程式というものがありますが、解き方はわかります。でもなぜ元の式のA（ｎ+1）とA(n)を"同じ文字α"などで置き換えていいのでしょうか？確かに置き換えて特性方程式を解けば階差数列が作れるのですが・・・。どうも腑に落ちないので教えてください。よろしくお願いします。


17123．Re: 漸化式　高１です。
名前：ヨッシー    日付：9月10日(金) 22時10分
私のページの「漸化式と特性方程式」をご覧下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

17121．二項定理  
名前：IGA（高１）    日付：9月10日(金) 21時55分
(3x^2-2x)^6 {x^8}
この式の展開式において｛　｝内の項の係数を求めよ。

過程をかきますと
C[6.r]*(3x^2)^(6-r)*(-2x)r
=C[6.r]*3^(6-r)*(-2)^r*x^(12-2r)*x^r
=C[6.r]*3(6-r)*(-2)^r*x^(12-r)

となります。
それでx^(12-2r)*x^r
が
x^(12-r)
になる過程を表記していただけませんでしょうか。


17124．Re: 二項定理
名前：花パジャ    日付：9月10日(金) 22時23分
x^a*x^b=x^(a+b)

17167．Re: 二項定理
名前：IGA（高１）    日付：9月12日(日) 23時23分
有り難うございました。

17116．面積  
名前：HAYASHI    日付：9月10日(金) 16時12分
半径と弦長がわかっているおおぎ型の面積を教えてください


17117．Re: 面積
名前：ヨッシー    日付：9月10日(金) 16時24分
扇形の中心角はπ未満とします。

半径をｒ、弦長をｄとすると、扇形の半径（辺になっている部分）と、
弦の中点とで、直角三角形が出来ます。
斜辺がｒで、扇形の中心角の半分が１つの角。その角をθとし、それと
向かい合う辺が ｄ／２　なので、
　sinθ＝（ｄ／２）／ｒ＝ｄ/２ｒ
逆関数を取って、
　θ＝Sin-1(ｄ／２ｒ)
よって、扇形の中心角は、２θ＝２Sin-1(ｄ／２ｒ)
面積Ｓは
　Ｓ＝ｒ2(２θ)／２＝ｒ2Sin-1(ｄ／２ｒ)
となります。
　
http://yosshy.sansu.org/nembutsu/

17109．不等式  
名前：セーラームーン    日付：9月10日(金) 6時24分
a<bのとき、
e^a<[{(e^b)-(e^a)}/b-a]<e^b
を証明しなさい。どうか教えていただけませんか？お願いします。


17110．Re: 不等式
名前：Rattle    日付：9月10日(金) 8時28分
平均値の定理を使いましょう。

17107．お願いします  
名前：ゆみ    日付：9月9日(木) 23時59分
点(2,-1,3)を通り、ベクトルv=(1,3,5)に垂直な平面の方程式を求めよ
の問題をお願いします!!


17108．Re: お願いします
名前：tobira    日付：9月10日(金) 0時22分
公式的なものだと思います
●点(p,q,r)を通り、ベクトルn(a,b,c)に垂直な平面
　a(x－p)＋b(y－q)＋c(z－r)＝0

17106．前にも投稿した問題ですが  
名前：オリバー    日付：9月9日(木) 22時54分
以前に投稿した問題で質問なのですが
loga(x+2)+loga(3-x)＝-1を満たす実数ｘが存在するための条件は？

4/25≦aと０＜aは出てくるのは分かるのですが、あともうひとつが分かりせん。

解答には（　/　）≦（　　）または（　　）＜aとあります。

あともうひとつ質問なのですが。

①空間にＡ（－６，３，３）、Ｂ（１，１，１）、Ｃ（－１，２，－１）がある。Ｏを原点として、線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを３つの辺とする平行六面体の体積は？　平行六面体とは向かい合う３組の面がそれぞれ平行である六面体。

よろしくお願いします。


17112．Re: 前にも投稿した問題ですが
名前：風あざみ    日付：9月10日(金) 9時35分
＞loga(x+2)+loga(3-x)＝-1

aは1にはなりえないですよね。

17114．前にも投稿した内容を含みますが
名前：花パジャ    日付：9月10日(金) 12時16分
平行四面体の体積=OA・(OB×OC)=
|-6 3　3|
| 1 1　1|
|-1 2 -1|

17118．Re: 前にも投稿した問題ですが
名前：オリバー    日付：9月10日(金) 19時36分
こんばんは。少し解答の訂正です。
解答には（　/　）≦a＜（　　）または（　　）＜aとあります。

loga(x+2)+loga(3-x)＝-1
これをみたす実数ｘが存在するための条件は実数aが
（　/　）≦a＜（　　）または（　　）＜aを満たすことである。

＞aは1にはなりえないですよね。
ならないと思います。

すみませんがまだ習っていないので平行四面体と六面体があまりよく想像できません。できれば詳しく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

17102．連立不等式　数Ⅱ  
名前：たけまる    日付：9月9日(木) 21時55分
Original Size: 512 x 384, 3KB

どーしても、座標が書けません。( p_q)ｴ-ﾝ
どんな形のグラフ（座標）になるか教えてください。

【問題】次の不等式の表す領域を図示せよ。
　（x-2)(x+y-1)>0

自分なりの式は　
①連立不等式であらわすと　x-2>0 x+y-1<0 境界線は含まない

または・・・
②連立不等式であらわすと　x-2<0 x+y-1>0　境界線は含まない

上記の通りなんですが、これをｘ、ｙの座標に書き落とせません。orz


17104．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：ヨッシー    日付：9月9日(木) 22時10分
それぞれの領域は描けますか？つまり、
　ｘ－２＞０　の領域は？
　ｘ＋ｙ－１＞０　の領域は？

ついでに言うと、
　ｘ－２＞０　かつ　ｘ＋ｙ－１＞０　または
　ｘ－２＜０　かつ　ｘ＋ｙ－１＜０　です。
プラス同士、マイナス同士、です。
　
http://yosshy.sansu.org/

17111．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：たけまる    日付：9月10日(金) 8時31分
領域についてですが、書けません・・・・。

どうグラフを書いていいのか、Ｘ－２＞０については

まったくわからないのです。

どうやって領域を書いたらいいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。(o*。_。)oペコッ

17119．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：ヨッシー    日付：9月10日(金) 20時35分
ｘ－２＞０ には、ｙがありません。
これはどういう意味かというと、
「ｘ－２＞０　さえ満たしていれば、ｙはどんな数でも良いですよ」
という意味です。
つまり、（３，１）、（３，２）、（３，４）、（３，１００）、（３，－１０００）
全部ＯＫです。
ＯＫになる点を、座標上にいっぱい打ってみましょう。
　
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17120．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：たけまる    日付：9月10日(金) 21時12分
(ーΩー )ウゥーン
ということは、Ｘ－２＞０をグラフに線であらわすことは、
できないのでしょうか？

考えれば考えるほどわからなくなってきました。
いったいグラフはどうなるのでしょうか？

17125．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：ヨッシー    日付：9月10日(金) 22時47分
ホントに点をいっぱい打ってみましたか？

こんなふうに。
　
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17133．Re: 連立不等式　数Ⅱ
名前：たけまる    日付：9月11日(土) 19時3分
(」ﾟﾛﾟ)｣(｣ﾟﾛﾟ)｣(｣ﾟﾛﾟ)｣ｵｵｵｵｵｯｯｯ
謎が解けました！！！！( p_q)ｴ-ﾝｳﾚﾁｲﾖｰ

本当にありがとうございました！！！！！！！

ﾍﾟｺm(_ _;m)三(m;_ _)mﾍﾟｺ

17099．累乗根の計算  
名前：もも○高2    日付：9月9日(木) 21時1分
3√12 ÷ 6√96 * √54

この計算をして答えは、
2＾3分の1*3＾3分の5となり、
3√2 * 3√3^5　となりました。
けれど、この答えではまだ不完全らしいです。
これ以上どうやって計算するんでしょうか?
できるだけ早くお願いします。


17100．Re: 累乗根の計算
名前：ヨッシー    日付：9月9日(木) 21時21分
√１２ ではまだ不十分で、２√３ としないといけないのと同じです。
　
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17097．お願いします　仕事算です  
名前：チェリー    日付：9月9日(木) 19時50分
A.B二人で働けば5日でしあがる仕事があります。Aだけで□日働いて全体の1/3を仕上げた後、残りをBだけが4日働いて仕上げました。


ある仕事を終えるのに、たけし君が12日、だいすけ君が18日、ひろゆき君が27日かかるといいます。今、たけし君とだいすけ君がこの仕事を４日間行いました。この後、残りの仕事をひろゆき君にやってもらうことにするとあと何日かかりますか。

　　みなさんよろしくお願いします


17098．Re: お願いします　仕事算です
名前：ヨッシー    日付：9月9日(木) 20時54分
全体の仕事を１とおきます。
２／３の仕事をＢは４日でやるので、１日では、１／６です。
ＡＢ２人では、１日１／５の仕事をするので、Ａの１日分は、
　１／５－１／６＝１／３０
です。
さて、１／３の仕事をＡは何日でやったでしょう？

後半も、全体の仕事を１。３人の１日にする仕事の量を
　１／１２，１／１８，１／２７
として考えます。
あるいは、最小公倍数の１０８とおいても良いです。
全体の仕事量を１０８とおくと、たけし、だいすけ、ひろゆきが
１日にする仕事は、９，６，４　である。という具合です。
　
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17096．始めまして。質問です。高校三年です。  
名前：ミー。    日付：9月9日(木) 19時34分
四面体OABCがOA=1,OB=OC=2,∠AOB=∠COA=90°,∠BOC=60°を満たしている。
三角形ABCの重心をGとし、線分OGをt:1-t(0<t<1)に内分する点をPとし、
Pから平面OABに下ろした垂線の足をHとする。
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとするとき、

(1)内積aベクトル･bベクトル、bベクトル･cベクトル、cベクトル･aベクトルを求めよ。
(2)OPベクトルをt,aベクトル,bベクトル,cベクトルを用いて表せ。
(3)OHベクトルをt,aベクトル,bベクトルを用いて表せ。
(4)四面体ABHPの体積Vをtを用いて表せ。また、tが0<t<1の範囲を変化するとき、
　 Vの最大値とそのときのtの値を求めよ。

(1)(2)は一応解けたのですが(3)以降が解けません。
私の解答は、
(1)a･b=0、b･c=2、c･a=0
(2)op=(a+b+c)/3(ベクトル記号省略)
です。

よろしくお願いします。


17101．Re: 始めまして。質問です。高校三年です。
名前：papiky    日付：9月9日(木) 21時53分
図形を描けないので言葉だけで書きます。わかりにくかったらごめんなさい。この図形は直方体の１つの頂点を点Ｏとして問題文に沿うように点Ｏを含む三角錐を切り出したものです。
ミーさんの答え(2)が違います。　OG=(a+b+c)/3　ですから、
　　　　　　　　　　　　　　　OP=t(a+b+c)/3　です。

(3)　OHベクトルがどこにあるかを考えます。
　　点Ｈは平面ＯＡＢ上にあるので、OH=(a+b)/3　
　　＜OCベクトル方向がいらないと考えられます＞

(4)　底面が三角形ＡＢＨ、高さがＰＨの四面体と考えれば
　　　体積＝底面積×高さ÷３
　　でtの２次式が得られます。後は０＜t＜１の範囲における２次式の　　最大値を求めればＯＫです。

17103．すみません。（３）で間違えました。
名前：papiky    日付：9月9日(木) 21時56分
(3)”OH=t(a+b)/3”です。”t”が抜け落ちました。

17090．時間がないので・・・  
名前：わぃ    日付：9月9日(木) 1時23分
ある工場で2種類の機械Ａ、Ｂを使って同じ製品を作っている。ＡとＢの生産の割合は70％と３０％であり、不良品の出る率はそれぞれ２％、３％である。今、1つの製品が不良品であったとき、それがＡで作られたものである確率は？

お願いします。


17091．Re: 時間がないので・・・
名前：ヨッシー    日付：9月9日(木) 6時2分
Ａの不良品が全体に占める割合は　０．７×０．０２＝０．０１４
Ｂの不良品が全体に占める割合は　０．３×０．０３＝０．００９

ある不良品がＡで作られた確率は、
　０．０１４／(０．０１４＋０．００９)＝１４／２３

製品を１０００個作ったとすると、Ａの製品７００個、Ｂの製品３００個。
そのうち、１４個、９個がそれぞれ不良品。
と考えてもいいでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

17095．Re: 時間がないので・・・
名前：わぃ    日付：9月9日(木) 16時55分
ほんとーにありがとうございます。おかげでなんとかテストが受けれそうです。

17088．こんばんわ。質問です。  
名前：オリバー    日付：9月9日(木) 0時1分
こんばんわ。質問です。

平面上に３直線ｋ：ｙ＝０，ｌ：ｙ＝－２ｘ＋４，ｍ：ｙ＝２ｘ、および直線ｋ上の点Ａ１（a１,０）がある。いま、Ａ１から直線ｌに下ろした垂線の足をＢ１，Ｂ１から直線ｍに下ろした垂線の足をＣ１，Ｃ１から直線ｋに下ろした垂線の足をＡ２（a2,０）とする。以下同様にＢ２，Ｃ２・・・Ａｎ、Ｂｎ、Ｃｎを定義する。点Ａｎの座標をＡｎ（ａn,０）とし、数列{an}を考える。なお、Ａｎが直線ｌ上にあるときはＢｎはＡｎと同一の点とし、Ｂｎが直線ｍ上にあるときはＣｎはＢｎと同一の点とし、Ｃｎが直線ｋ上にあるときはＡｎ+１はＣｎと同一の点とする。
①ｎ≧１のときのanとan+1の関係には
（　　）an+1　+　（　　)an＝（　　）

②a＝1のときの一般項anは？

よろしくお願いします。


17089．Re: こんばんわ。質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月9日(木) 0時39分
直線ＡnＢn の傾きは(　　)であり、点Ａn(ａn, 0) を通るので、その式は、
　ｙ＝(　　　)
これと、直線 l ：ｙ＝－２ｘ＋４ との交点がＢnなので、連立方程式を解いて、
Ｂn の座標は ((8+ａn)/5, (4-2ａn)/5) となります。
さらに、ＢnＣn の傾きは（　　）であるので、その式は、
　ｙ＝（　　　）
これと、直線ｍ：ｙ＝２ｘ との交点がＣn であり、そのｘ座標が ａn+1 であるので、
連立方程式を解いて、
　ａn+1＝(１６－３ａn)/２５
よって、２５ａn+1＋３ａn＝１６

(2) は ａ1＝１ のことだと解釈します。
こちらを参考にして解くと、
　ａn＝(3/7)(-3/25)^(n-1) + 4/7
となります。
　
http://yosshy.sansu.org/

17105．Re: こんばんわ。質問です。
名前：オリバー    日付：9月9日(木) 22時44分
解けました！
解答ありがとうございます。

17075．複素数  
名前：また台風    日付：9月8日(水) 7時6分
次の問題をどなたか御指導お願いします。困っています。
z^3=iを満たす複素数をすべて求めよ。


17076．Re: 複素数
名前：知也    日付：9月8日(水) 7時22分
i=(cos90+isin90)です。

17078．Re: 複素数
名前：ヨッシー    日付：9月8日(水) 8時56分
こちらの「累乗根」のところをご覧下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

17079．Re: 複素数
名前：ヨッシー    日付：9月8日(水) 9時46分
あるいは、ｉ＝（－ｉ）3 なので、
　ｘ3＝（－ｉ）3
　ｘ3－（－ｉ）3＝０
　（ｘ＋ｉ）（ｘ2－ｉｘ－１）＝０
から求めることも出来ます。
　
http://yosshy.sansu.org/

17057．円の方程式〔数２〕  
名前：tomo（高２）    日付：9月7日(火) 19時47分
連投スミマセン。また質問させて下さい。
　
１．２点(-2,5)、(3,1)を直径の両端とする円の方程式を求めなさい。
２．x^2＋y^2＋8x-6y＝0の円グラフを書きなさい。
３．x^2＋y^2＝18とy＝x＋1の共有点の座標をもとめ、グラフも書きなさい。

１は計算がおかしくなり、２.３ではグラフの書き方があやふやで…。
質問の数、多くて申し訳ないのですが
計算の途中式やグラフの詳しい書き方など
お手数ですが、よろしくお願いします。


17058．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 20時30分
1 中心の座標はその2点の中点　（3-2）/2=1/2 (5+1)/2=3 より中心の座標（1/2,3) (3,1)と(1/2,3)間の距離は？（x-1/2)^2+(y-3)^2=41/4　
2 式変形だけ　(x+4)＾2+(y-3)＾2＝25　(-4,3)を中心として半径5の円
3　単に代入　x＾2＋(x+1)＾2=0　2x＾2+2x+1=18　x=-1±√35　y=±√35

17061．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 21時15分
ここをしっかり基礎固めをしないとしとかないと軌跡の問題でかなり苦労しますよ。

17062．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 21時23分
　ごめんなさいｘ＝（-1±√35）/2 y=(1±√35）/2です。このごろ計算ミスが多いわ。

17063．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 21時25分
Original Size: 667 x 668, 58KB

参考にしてください。でも自分でも書いてください。


17064．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：tomo（高２）    日付：9月7日(火) 21時30分
返信どうもです。
今、ちょっと見返してみたんですが
計算の方は３つとも合ってました。
でも２，３のグラフの書き方がイマイチどうも…ずれてるというか…。
グラフについて少し詳しく、教えて下さい。
…スミマセン、何回も。出来たらでいいですので。

17065．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 21時38分
教科書を開いてみると　中心(a,b) 半径rの円は　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2とのっています。どうずれているのですか？

17066．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：tomo（高２）    日付：9月7日(火) 22時3分
青い円はx^2＋y^2＋8x-6y＝0のグラフですよね。
で、円のグラフの線がちょうど原点を通っている。
私のは少し原点からずれてたんです。
どこで、原点を通るのが分かるか、分からないんです。
。。。少し理解してないのかもしれませんが。

17069．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：知也    日付：9月7日(火) 22時32分
(-3,4)と原点との距離は５で半径と同じだからもちろん原点は通るよ。またx=0 や　y=0を代入するのもよし

17071．Re: 円の方程式〔数２〕
名前：tomo（高２）    日付：9月7日(火) 23時5分
スミマセン。
基本なこと忘れてました！…そうですよね。
自分でも、他の問題まとめながらやってたので
送った後気づきました。。。
ホント何度もお手数おかけしてしまいましたが
。。。知也さん、ありがとうございました！

17049．(untitled)  
名前：りんご（中３）    日付：9月7日(火) 18時42分
すみません！
二次関数①が０≦ｘ≦１のときです！

17048．二次関数  
名前：りんご（中３）    日付：9月7日(火) 18時41分
こんにちは。

aを定数とする。
二次関数y=x^2-ax+2a+5・・・①について次の問いに答えなさい。

二次関数①が≦ｘ≦１の範囲で最小値０をとるとき、定数aの値を求めよ。

という問題がわかりません。
教えてください、よろしくおねがいします！


17051．Re: 二次関数
名前：知也    日付：9月7日(火) 19時3分
aの値を求めるのですか？aの範囲ではないのですか？0≦ｘ≦1で最小値0をとる2次関数は無数にあると思えますが、１つに決まるのでしょうか？

17053．Re: 二次関数
名前：知也    日付：9月7日(火) 19時19分
頭ぼんやりしてました。すみません！いけますね。
y=（x-a/2)^2-a^2/4+2a+5
a/2<0 のときf(0)が最小値よりa^2/4-a^2/4+2a+5=0 a=-5/2 あてはまる。
a/2＞1 のときf(1)が最小値より1-a+a^2/4-a^2/4+2a+5=0 a=-6 あてはまらない。

0<a/2<1　0<a<1 のときf(a/2)が最小値から-a^2/4+2a+5=0 a^2-8a-20=0 (a-10)(a+2)=0 これはどちらともあてはまらないのでa=-5/2

17055．訂正
名前：知也    日付：9月7日(火) 19時23分
0<a/2<1 より0<a<2です

17056．Re: 二次関数
名前：りんご（中３）    日付：9月7日(火) 19時38分
ありがとうございました！！！

わからなかった問題がわかるようになって嬉しいです＾＾

感謝です！

17046．三角関数  
名前：tomo    日付：9月7日(火) 18時30分
次の関数のグラフを書きなさい、またその周期Ｔを求めなさい。
またグラフには必要な文字や数値も書き加えること。

1．y＝2sin2θ
2．y＝1/2cosθ/2

グラフの問題で申し訳ないのですが、書き方が少し怪しいので…
できたらでいいですので、詳しく教えてください。お願いします。


17047．Re: 三角関数
名前：tomo    日付：9月7日(火) 18時33分
スミマセン。学年は高２で、数２の範囲です。

17050．Re: 三角関数
名前：知也    日付：9月7日(火) 18時55分
Original Size: 668 x 668, 44KB

１が青で２が赤　周期はそれぞれ180度と720度


17054．Re: 三角関数
名前：tomo    日付：9月7日(火) 19時22分
解答みて、
自分の…やっぱり少し合ってなかった所もありました。
分かって良かったです。
知也さん、ありがとうございました。

17033．１０進法  
名前：はたけのやま    日付：9月7日(火) 7時34分
１０進法で１３１の数をn進法で表したら245となった。nを求めよ。
どう計算すればよいのでしょうか。教えてくださる方お願いします。


17034．Re: １０進法
名前：風あざみ    日付：9月7日(火) 8時13分
n進数で245となる数は2n2+4n+5とかける
よって二次方程式
2n2+4n+5=131
を解けばnが求まります。
あとはnが2以上の整数であることを忘れないでください。

17074．Re: １０進法
名前：はたけのやま    日付：9月8日(水) 6時59分
お忙しい中ありがとうございます。n=7でよろしいのでしょうか？お願いします。

17077．Re: １０進法
名前：風あざみ    日付：9月8日(水) 8時3分
OKです

17081．Re：蛇足ですが
名前：tarame    日付：9月8日(水) 12時32分
ｎ進法で 245 と表されているので
ｎは５以上の整数になります。

ちょっとだけ、気になったのでレスしました。

17092．Re: １０進法
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月9日(木) 9時5分
5 ＞ n, つまり6以上ですね。

17093．Re: １０進法
名前：tarame    日付：9月9日(木) 11時3分
あっ！指摘したつもりが…間違ってましたね。
面目ないです。

17094．Re: １０進法
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月9日(木) 12時38分
私も間違い

＞ 5 ＞ n
n ＞ 5 ですね。

17032．極限値  
名前：ともえ    日付：9月7日(火) 7時4分
次の極限値を求めよ。
lim[x→＋0]xlog(sinx)
どうか教えていただきたいのでよろしくお願いします。


17037．Re: 極限値
名前：花パジャ    日付：9月7日(火) 12時25分
lim[x→＋0]xlog(sinx)=lim[x→＋0]{x/sinx}{sinxlog(sinx)}
x→＋0のときsinx→＋0

17038．Re: 極限値
名前：豆    日付：9月7日(火) 13時40分
＞花バジャさん，
1・0・(-∞)　になりますが？ほかに含蓄が？

ロピタルがOKなら極限0は容易に示せるのですが，その他の変形が思いつきません．

17040．Re: 極限値
名前：花パジャ    日付：9月7日(火) 14時52分
lim[x→＋0]xlogx=0が既知とされると勘違いしてました m(_ _)m

...だけではなんなので...
http://www.jukensei.net/bbs/u-tokyo2003/past/5.html
の[689]にxlogxの極限に関する面白い証明がありました

17045．Re: 極限値
名前：三重らせん    日付：9月7日(火) 18時23分
lim[x→+0]x*log(x)=0 ⇔ lim[y→∞]-y/e^y=0
を示すには、たとえば y > 0 のとき e^y > y^2/2 を
言えばよいかと。

17067．Re: 極限値
名前：豆    日付：9月7日(火) 22時21分
花バジャさんご紹介の証明は面白いですが、かなり技巧的ですね。
三重らせんさんの解答も、級数展開の知識が要るだろうし、いずれにせよすんなりとは出せそうもないですね?

質問者の学年が分からないので理解してもらえるかどうかは？

17082．Re: 極限値
名前：sp@rk    日付：9月8日(水) 15時18分
lim[x→＋0]xlogx=0を証明して、
x*log(sin x)=x*log((sin x)/x)+x*log(x)
なので、

lim[x→+0]x*log(sin x)
=lim[x→+0]x*log((sin x)/x)+lim[x→+0]x*log(x)
=0*log(1)+0=0

とした方がわかり易いかもしれません。

17027．頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。  
名前：アキ    日付：9月7日(火) 2時16分
Original Size: 485 x 562, 123KB

以前こちらで質問させていただいたときは、

丁寧な御説明ありがとうございました。

１の（１）はできたんですが、

そっから先にちっとも進めない状態です。。。

こういった問題は本校の試験でも扱われやすいのですが、

コツもまったくつかめていません。

わかりやすく、図にしたものをのせました。

１、２、の両方になりますが、よろしくおねがいいたします。


17044．Re: 頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。
名前：Rattle    日付：9月7日(火) 17時8分
１の核心は(2)の証明でしょう。私はfの散会微分まで計算して数学的帰納法で証明しましたが。他にうまいやり方はありますかね？

17060．Re: 頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。
名前：知也    日付：9月7日(火) 20時50分
２-1は普通の部分積分ですね。1*(logx)^nでいけます。ｂはnを減らしていくだけだと思います。

2-2はDの範囲からx＾2+y＾2=rとおいて、積分範囲はｒは0～1　θは0～2π　積分の式はｒで置換すればｒdrdθ/√(1-r^2)ですぐ積分できます。

　なにせ化学が専門なもので、最後に微積を習ったのが4年前でして頼りになりません。

17068．Re: 頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。
名前：アキ    日付：9月7日(火) 22時25分
１－２　は、やっぱり、何回か微分するしかないんですかね・・・泣
一応微分したんですが、それでもよくわからないです・・どうなんでしょうか？？
２、そのやり方でやってみます！

17083．Re: 頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。
名前：sp@rk    日付：9月8日(水) 15時47分
1.(1) f(x)=arcsin(x)のとき、f'(x)=1/√(1-x^2)なので、
両辺を2乗して整理すると、
(1-x^2)(f'(x))^2=1
となる。この両辺を更にxで微分して、
-2x(f')^2+2(1-x^2)f'f''=0
となるので、f'(x)≠0より両辺を2f'(x)で割って、
-x f'(x)+(1-x^2)f''(x)=0.
よって、f''(x)=x/(1-x^2)^(3/2)となる。
(2)は、n次元微分に関するライプニッツの公式を利用して下さい。
（わからなければ、解析の本を見てください）
(3)は、(2)でx=0を代入。
(4)は、f'(0)=1, f''(0)=0と(3)の式を利用すれば求めることができます。答えは、
f^(2n)(0)=0, f^(2n+1)(0)=(1*3*5*…*(2n-1))^2 (n=0,1,2,…)
となるはずです。

17084．Re: 頑張ったんですが。。。高次導関数等の問題です。
名前：sp@rk    日付：9月8日(水) 15時57分
「n次元微分」ではなくて、「n回微分」の間違いです。

17026．導関数  
名前：ふみや    日付：9月7日(火) 1時57分
①f(x)=x^2e^xのときf^(4) (0)を求めよ。
②f(x)=e^x sinxのときf^(n) (x)を求めよ。
③f(x)=x^2sinxのときf^(4) (0)を求めよ。
④f(x)=e^xcosxのときf^(n) (x)を求めよ。
よろしくお願いします。


17036．Re: 導関数
名前：花パジャ    日付：9月7日(火) 12時22分
学年等書いてないので、2,4同時に計算する方法、すなわち
　g(x)=e^x(cosx+isinx)
として、後で実虚分ける
　g(x)=e^((1+i)x)
なので
　g^(n)(x)=(1+i)^n*e^((1+i)x)
　　=(√2(cos(π/4)+isin(π/4))^n*e^((1+i)x)
　　=(√2)^n*(cos(nπ/4)+isin(nπ/4))*e^((1+i)x)
　　=(√2)^n*e^(inπ/4)*e^((1+i)x)
　　=(√2)^n*e^(x+i(x+nπ/4))
　　=(√2)^n*e^x*(cos(x+nπ/4)+isin(x+nπ/4))
　　=(√2)^n*e^x*cos(x+nπ/4)+i(√2)^n*e^x*sin(x+nπ/4)

2)f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nπ/4)
4)f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*cos(x+nπ/4)

17041．Re: 導関数
名前：ふみや    日付：9月7日(火) 15時36分
ありがとうございます。難しすぎてわかりません。もう少し説明していただけませんでしょうか。それと、この場合、(1)と(3)はどのようになるのでしょうか。よりしくお願いします。

17042．Re: 導関数
名前：ヨッシー    日付：9月7日(火) 16時11分
(1)と(3) はとにかく４回微分して、その結果に　ｘ＝０　を代入します。

積の微分
　ｆ＝ｇｈ　のとき　ｆ’＝ｇ’ｈ＋ｇｈ’
は、マスターしていますか？たとえば、(1) を１回微分すると、
　f(x)＝ｘ2ｅx
　f'(x)＝(ｘ2)'ｅx＋ｘ2(ｅx)'
　　　＝２ｘｅx＋ｘ2ｅx
　　　＝(ｘ2＋２ｘ)ｅx
あとは、これの続きになります。

花パジャさんの方法は、まず
　ｅxi＝cosｘ＋ｉsinｘ
であることを知らないとその先進めません。
あとは、複素数平面の知識と。
　
http://yosshy.sansu.org/

17043．Re: 導関数
名前：ふみや    日付：9月7日(火) 16時39分
ありがとうございました。①と③はできそうですが②と④はもう一度考えてみます。

17025．ベクトルで、質問です。  
名前：オリバー    日付：9月7日(火) 1時3分
こんばんわ。質問です。

原点Ｏと点Ｃ（１，１，２）を通る直線Ｌがある
点Ａから直線に下ろした垂線の足をＰとし、点Ｐからｘ軸に下ろした垂線の足をＢとする。

①ベクトルＰＡは？
②ベクトルＰＢは？
③ベクトルＰＡとベクトルＰＢのなす角をθとするとcosθは？
よろしくお願いします。


17028．Re: ベクトルで、質問です。
名前：まじかるすてっき    日付：9月7日(火) 3時7分
揚げ足取るようで申し訳ないですが，
Ａが与えられておりませんが…。

17052．Re: ベクトルで、質問です。
名前：オリバー    日付：9月7日(火) 19時8分
あ、すみません。Ａ（０，０，２）です。

17080．Re: ベクトルで、質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月8日(水) 12時8分
点Ａ（０，０，２）を通り、ＯＣに垂直な平面
　ｘ＋ｙ＋２（ｚ－２）＝０
　ｘ＋ｙ＋２ｚ＝４
と、直線ＯＣ
　ｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ、ｚ＝２ｔ
との交点 (2/3, 2/3, 4/3) が、点Ｐ。
ｘ座標だけを残した (2/3, 0, 0) が点Ｂです。
　
http://yosshy.sansu.org/

17085．Re: ベクトルで、質問です。
名前：オリバー    日付：9月8日(水) 20時17分
すみません。まだ授業でやっていないので、もう少し詳しく教えていただけませんでしょうか？
よろしくお願いします。

17086．Re: ベクトルで、質問です。
名前：ヨッシー    日付：9月8日(水) 21時5分
ベクトル（ａ，ｂ，ｃ）に垂直で、点（ｘ０，ｙ０，ｚ０）を通る平面の式は、
　ａ（ｘ－ｘ０）＋ｂ（ｙ－ｙ０）＋ｃ（ｚ－ｚ０）＝０
と書けます。ところで、
　ＯＣ＝ｃ－ｏ＝（１，１，２）－（０，０，０）
　　＝（１，１，２）
であり、点Ａ（０，０，２）より、点Ａ（０，０，２）を通り、ＯＣに垂直な平面の式
　ｘ＋ｙ＋２ｚ＝４　・・・(1)
を得ます。

一方、ベクトル（ａ，ｂ，ｃ）に平行で、点（ｘ０，ｙ０，ｚ０）を通る直線の式は、実数ｔを媒介変数として、
　ｘ＝ａｔ＋ｘ０，ｙ＝ｂｔ＋ｙ０，ｚ＝ｃｔ＋ｚ０
と書けます。特に、ａ，ｂ，ｃ のいずれもが０でないときは、
　（ｘ－ｘ０）／ａ＝（ｙ－ｙ０）／ｂ＝（ｚ－ｚ０）／ｃ
と書けます。直線ＯＣは、ＯＣ＝（１，１，２）に平行で、
点（０，０，０）を通るので、
　ｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ、ｚ＝２ｔ　・・・(2)
と書けます。

(1) と (2) の交点が点Ｐなので、(2) を (1) に代入して、
　ｔ＋ｔ＋４ｔ＝４
よって、ｔ＝２／３。(2) より、Ｐの座標は、
　（２／３，２／３，４／３）・・・点Ｐ
点Ｂは、（２／３，０，０）
　
http://yosshy.sansu.org/

17087．Re: ベクトルで、質問です。
名前：オリバー    日付：9月8日(水) 23時39分
詳しく教えていただいてありがとうございます。
ｘ+ｙ+ｚの関数があってその交点をもとめるんですね。

17023．不等式  
名前：yuki    日付：9月7日(火) 0時13分
次の不等式が成り立つことを示せ

1.　e^x＜1/(1-x) (0＜x＜1)　
2. x-(x^3)/6＜log{x+√(1+x^2)}＜x (0＜x)

この問題がわかりません。よろしくお願いします。


17029．Re: 不等式
名前：まじかるすてっき    日付：9月7日(火) 3時29分
どちらの問題も解き方は同じでよいと思います。

大きい方から小さい方を引き，それを関数f(x)とおいてあげ，
1）f(0) >= 0 を示す
2）微分して区間内で単調増加であることを示す
という手順で証明しましょう。
ただし，計算は若干煩雑なので，計算ミスに注意が必要ですね。

なお，1.の e^x＜1/(1-x) (0＜x＜1) については，
両辺とも正であることから，両辺の対数をとって　
x＜-log(1-x) を示していくのも賢いかもしれません。
だいぶ計算量が減ります。

17022．(untitled)  
名前：中３    日付：9月6日(月) 23時30分
ファルコンの定理ってなんですか？


17030．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月7日(火) 6時34分
これかな？
　
http://yosshy.sansu.org/

17016．(untitled)  
名前：中1    日付：9月6日(月) 22時7分
教えてください
２つの容器A,Bにはｎｇずつの食塩水が入っており、濃度はそれぞれ１０％、２％である。両方の容器からAからの液はBへ、Bからの液はAへ入れよくかきまぜる。さらに同じ動作をもう一度繰り返したとき、Aの食塩水の濃度は７パーセントになった。一度目の操作後のBの食塩水の濃度を求めよ。ただしこのとき、AよりBのほうが濃度が高くなっていたものとする。
求め方も教えてください


17017．Re: (untitled)
名前：中1    日付：9月6日(月) 22時9分
↑の問題の訂正です。
食塩水は一回の動作でそれぞれｘｇずつくみ出す

17039．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月7日(火) 14時36分
答えは８％なのですが、２次方程式を使って良いですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

17070．Re: (untitled)
名前：中1    日付：9月7日(火) 22時37分
2次方程式の問題なのでおねがいします

17072．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月7日(火) 23時10分
ｓ＝ｎ／ｘ　とおきます。つまりｓは移した量の全体に占める割合です。
すると、１ｇの食塩水からｓｇずつを取り出したのとおなじと考えられます。

図で、赤はＡ、青はＢの食塩水で、混ぜたあとも、分離していると考えた時の様子です。

まず、１０％と２％をまぜて７％になったので、一番下の図の左で、
青が占めるのは、全体の３／８です。
天秤算の方法参照

これをｓで表すと、ｓ×（１－ｓ）の長方形が２つですから、
　２ｓ（１－ｓ）＝３／８
これを解いて、ｓ＝1/4，3/4 ですが、１回目の入れ替えで、Ｂの方が
濃度が高くなるのは、
全体の 3/4 を入れ替えたときで、Ｂは８％になっています。

s を求める方法として、天秤算を使った方法もあります。

最初の状態が、Ａが１０％、Ｂが２％です。
ＡとＢを１－ｓ：ｓの比で混ぜた液体の濃度はＡ' の位置にあります。
同様に、ＡとＢをｓ：１－ｓの比で混ぜた液体の濃度はＡ' の位置にあります。
今度は、Ａ’とＢ’の間隔を１として考えると、
Ａ’とＢ’を１－ｓ：ｓの比で混ぜた液体の濃度はＡ” の位置にあり、これが７％です。
（ｓが０．５よりも大きいときも考えられます。というか、むしろ今回は
そちらの方が答えなのですが、最終的なＡ”の位置は同じになるので、
線の交錯しない上のような図にしました。　↑　これは確認して下さい）
さて、１０％から７％までの間隔は、全体の３／８を占めますが、
これをｓであらわすと、
　ｓ＋（１－２ｓ）ｓ
となり、ｓ＋（１－２ｓ）ｓ＝３／８　となり、同じ方程式が得られます。
　
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17015．ベクトルです  
名前：ciel(高2)    日付：9月6日(月) 22時4分
一直線上にない３点Ｏ,Ａ,Ｂに対して、∠ＡＯＢの二等分線をＬとする。直線Ｌ上の点をＰとするとき、
ＯＰ＝ｔ(ＯＡ／|ＯＡ|＋ＯＢ／|ＯＢ|)　　(ｔは実数)
を証明せよ。

という問題なんですが、教えてください。ちなみに式のＯＰとかは全部ベクトルです。よろしくお願いします。


17020．Re: ベクトルです
名前：ヨッシー    日付：9月6日(月) 22時51分
ＯＣ＝ＯＡ／|ＯＡ|
ＯＤ＝ＯＢ／|ＯＢ|
となるような点Ｃ、Ｄを取ってみましょう。

ＯＡや、ＯＢの大きさはわかりませんが、
ＯＣや、ＯＤの大きさはわかりますね。

では、△ＯＣＤはどんな三角形でしょうか？
ＯＣ＋ＯＤの向きは？
　
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17021．Re: ベクトルです
名前：ciel(高2)    日付：9月6日(月) 23時0分
△ＯＣＤが二等辺三角形になって･･･
あ、わかりました！ありがとうございましたm(_ _)m

17014．(untitled)  
名前：taroyu    日付：9月6日(月) 21時3分
放物線Ｙ＝aX2を平行移動したＣ：Y=f(X)とする。ＣはＰ（ｐ、０），Ｑ（ｐ＋４，０）でＸ軸とまじわる。a,pは定数。
１）f(x)をa,p,Xを用いて表せ。


17018．Re: (untitled)
名前：Bｏｂ    日付：9月6日(月) 22時30分
ｙ＝ａｘ＾２　を
平行移動　しかもｘ軸と交わることから

Ｃ：Ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｐ）｛ｘ－（ｐ＋４）｝

17012．２次関数  
名前：ﾀﾐ　高１    日付：9月6日(月) 15時12分
aを定数とする。２次関数y=x^2-2ax+2a+1の 0≦ｘ≦３における最小値をｍとするとき、ｍの最大値Ｍを求めよ。

という問題です。よろしくおねがいします。


17013．Re: ２次関数
名前：ヨッシー    日付：9月6日(月) 17時13分
ｙ＝（ｘ－ａ）2－ａ2＋２ａ＋１
なので、ｘの範囲が０≦ｘ≦３のように、規定されていなければ、
ｘ＝ａ　のとき、最小値 －ａ2＋２ａ＋１ です。
（頂点で最小）

０≦ｘ≦３　のときは、頂点がこの範囲に入っている場合、入っていない場合で、
最小値が変わってきます。
２次関数の最大最小をご覧下さい。
　
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17059．Re: ２次関数
名前：タミ    日付：9月7日(火) 20時41分
ありがとうございました。

最小値ｍ　－２ａ＋５　（ｘ＝２のとき）
最大値Ｍ　１０－４ａ（ｘ＝３のとき）
になったのですが・・・。
これでいいのでしょうか。アドバイスください。

17006．(untitled)  
名前：koji    日付：9月6日(月) 7時46分
よろしくお願いします。
平面上の点(x,y)において、x,yが共に整数であるとき、
この点を格子点と呼ぶ。原点を中心とする半径5の円
の内部及び周上には全部でいくつの格子点があるか。
答えは
(1)35
(2)46
(3)52
(4)70
(5)81
のどれかです。


17010．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月6日(月) 8時57分

数えて下さい。
　
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17005．軌跡  
名前：奇跡　高２年    日付：9月6日(月) 6時54分
どうかよろしくお願いします。
２定点Ａ(-1,0),Ｂ(2,1)よりの距離の比が1:√5である点の軌跡の方程式を求めよ。
よくわからないので教えてください。


17007．Re: 軌跡
名前：知也    日付：9月6日(月) 8時19分
求めるその点を（ｘ、ｙ）とすると　√(x+1)＾2+y＾2：√(x-2)＾2＋(y-1)＾2＝１：√5　5（x+1)＾2+5y＾2＝（x-2)＾2＋(y-1)＾2

17011．Re: 軌跡
名前：ヨッシー    日付：9月6日(月) 8時59分
アポロニウスの定理ですね。
　
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17031．Re: 軌跡
名前：奇跡　高２年    日付：9月7日(火) 7時2分
ありがとうございます。この式からx,yを求めてどうすればよいのでしょうか。教えてください。

17035．Re: 軌跡
名前：ヨッシー    日付：9月7日(火) 9時17分
知也さんの記事の２つ目の式（１行ですが式は２つありますよ）を、
展開して整理するだけです。
　
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16999．たびたびすいません  
名前：匿名希望    日付：9月6日(月) 2時58分
重複順列だと思うんですけど3個の数字１，２，３を用いて6桁の整数を作るとき同じ数字を何度も使っていい場合全部で何個できるか？また同じ数字を5回まで使っていい場合いくつできるか。今日の朝からやってる問題です。難しすぎです


17001．Re: たびたびすいません
名前：arc    日付：9月6日(月) 3時8分
１桁目に1,2,3の３通り
２桁目に1,2,3の３通り
３桁目に1,2,3の３通り
４桁目に1,2,3の３通り
５桁目に1,2,3の３通り
６桁目に1,2,3の３通り
3Π6 = 36 = 729（通り）
▼同じ数字は５回まで。（＝６回使ってはいけない）
上記から、111111,222222,333333という３通りを除く。
故に答えは、729-3 = 726（通り）

17003．ありがとうございました
名前：匿名希望    日付：9月6日(月) 3時19分
感謝します。今高１で数学に苦戦中です(　・ω・)

16994．よろしくお願いします＾＾  
名前：今居聡子    日付：9月6日(月) 2時39分
異なる四色の旗がたくさんある。同じ色の旗を何度でも使っていいとき3本の旗を一列に並べて作る信号は何種類できるか？っていう問題なんですけど・・・さっぱりわかりません。よろしく頼みます(・。・。 )


16997．Re: よろしくお願いします＾＾
名前：arc    日付：9月6日(月) 2時46分
重複順列です。
4Π3 = 43 = 64(通り)
左、中、右　にそれぞれ４通りずつの選び方があるので、4*4*4となる。

16998．Re: よろしくお願いします＾＾
名前：今居聡子    日付：9月6日(月) 2時48分
Π←この記号、わからないんですが・・・

17000．Re: よろしくお願いします＾＾
名前：arc    日付：9月6日(月) 3時3分
質問者様の年齢（学年）と、どのようなレベルの問題なのかを記載していただかないと、
質問者様に合わせた適切な回答が出来ません・・・。

Π（パイ）は、組み合わせ『Ｃ』、順列『Ｐ』と同じようなものです。
組み合わせ、順列を既習されていないのであれば、数学Ａの範囲ですので学んでみて下さい。

16993．正互角推の6面を6色で塗り分ける方法はいくつあるか？  
名前：seek    日付：9月6日(月) 2時31分
悩んでいます・・・助けてください


16995．Re: 正互角推の6面を6色で塗り分ける方法はいくつあるか？
名前：arc    日付：9月6日(月) 2時42分
少し条件が不足していますが。。

底面が６色中の１色。
５つの側面のうち、４面が４！通り。（円順列を考える）
６×４！＝１４４（通り）
正五角形の六面を六色で塗り分ける方法は１４４通りある。

16996．Re: 正互角推の6面を6色で塗り分ける方法はいくつあるか？
名前：seek    日付：9月6日(月) 2時44分
ＥＸＣＥＬってゆう問題集の問題でこれしか書いてなかったです。早速の返信ありがとうございます

16992．ありがとうございました。助かりました  
名前：匿名希望    日付：9月6日(月) 2時30分
ヽ(´ー`)ﾉ

16990．すいません。。  
名前：匿名希望    日付：9月6日(月) 1時54分
8区間を走る駅伝で8人が走る順番は何通りあるか？とう問題がわかりません。求めると40320通りになったのですが心配です。よろしくお願いします。


16991．Re: すいません。。
名前：arc    日付：9月6日(月) 2時7分
区間 　　　　走者
Ａ～Ｂ　８人のうちの１人
Ｂ～Ｃ　７人のうちの１人
Ｃ～Ｄ　６人のうちの１人
Ｄ～Ｅ　５人のうちの１人
Ｅ～Ｆ　４人のうちの１人
Ｆ～Ｇ　３人のうちの１人
Ｇ～Ｈ　２人のうちの１人
Ｈ～Ｉ　残りの１人

普通に８個のものを一列に並べる方法と同じです。
8Ｐ8 = 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320(通り)

16982．平面の問題  
名前：koji    日付：9月6日(月) 0時2分
教えてください。
平面上に２点Ａ（-3，1），Ｂ（9，4）がある。点Ｐがx軸上を
動くとき、ＡＰ+ＰＢの最小値はいくつか。
よろしくお願いします。


16984．Re: 平面の問題
名前：知也    日付：9月6日(月) 0時10分
PはAと(9,-4)を通る直線とｘ軸の交点

16987．Re: 平面の問題
名前：arc    日付：9月6日(月) 0時43分
ＡＰ＋ＰＢが最短となる時のＰの座標は（-1,0）となる。
（略）
三平方の定理より、sqr(5)+sqr(114)となる。

16988．Re: 平面の問題
名前：koji    日付：9月6日(月) 0時57分
ありがとうございます。
13になりました

17002．Re: 平面の問題
名前：arc    日付：9月6日(月) 3時18分
入力ミスです・・。
誤：三平方の定理より、sqr(5)+sqr(114)となる。
正：三平方の定理より、sqr(5)+sqr(116)となる。

小数に直すと、13.00639759176879775891…です。

17019．Re: 平面の問題
名前：鍵屋    日付：9月6日(月) 22時45分
> ＡＰ＋ＰＢが最短となる時のＰの座標は（-1,0）となる。

(-3/5,0) です。

17073．Re: 平面の問題
名前：arc    日付：9月8日(水) 2時23分
(;´・…
私の解答は、Ｂ(7,4)の時でしたorz


正しい問題の答え・・・。
A(-3,1)からB(9,4)をP(x,0)を経由して移動する場合、最短となるPのx座標は、
「直線A(-3,1)B'(9,-4)」と「直線y=0」の交点となる。
直線AB'の式は、
+1=-3a+b
-4=+9a+b
の連立方程式を解いて、
-5=12a
a=-5/12
b=1/4
よって、「y=(-5/12)x+(1/4)」と「y=0」の交点がPのx座標。
移行して整理すると、x=-3/5。

三平方の定理より、
AP2=12+(12/5)2
PB2=42+(48/5)2
AP=13/5
PB=52/5
よって、AP+PB=(13+52)/5=65/5=13

もうだめぽ(;´・

16981．確率  
名前：koji    日付：9月5日(日) 23時57分
教えてください。
区別のない６個の玉を３個の箱Ａ，Ｂ，Ｃに空箱を作らずに
詰め分ける方法は全部で何通りあるかです。
よろしくお願いします。


16983．Re: 確率
名前：arc    日付：9月6日(月) 0時7分
区別の無い６個の玉ですか。
３個の箱に空箱を作らずに詰め別ける方法は、
○ ○ ○ ○ ○ ○
この○と○の間に線を２本引くのと同じと考えられます。
○|○ ○ ○|○ ○
なら、Ａに１個、Ｂに３個、Ｃに２個。というように考えれば、
５つの、○と○の間に、２本の線を引く。ということになるので、
『５つから２つを選ぶ方法』となります。
これは、組み合わせ 5Ｃ2 で計算されます。
（５×４）÷（２×１）＝１０
答え　１０通り

16985．Re: 確率
名前：koji    日付：9月6日(月) 0時15分
ありがとうございました。

16977．方程式  
名前：ふみや    日付：9月5日(日) 22時49分
もう一問お願いします。

（１）方程式x^4 +4x^3 -5x^2 -8x +6=0の或る2根の和は0であるとい　　　う。この方程式を解け。
（２）a=bでないとき、方程式1/(x-a) + 1/(x-a)=1は2実根を持つとい　　うことを示せ。
よろしくお願いします。


16979．Re: 方程式
名前：豆    日付：9月5日(日) 23時34分
(1)二つの根の和が0だから、
4次式は(x-α)(x+α)を因数に持つことが分かる。
従って、x^4 +4x^3 -5x^2 -8x +6=(x^2-α^2)(x^2+ax+b)とおける。
右辺をばらして左辺と係数比較。

(2)これも問題間違い。きちんと書くなり、見直す癖をつけないと意味のない点を落とすよ。
方程式は1/(x-a)+1/(x-b)=1ですね。
何も考える問題ではない。
分母を払ってできる２次方程式のD＞0を示せが良いだけ。

16976．整数  
名前：ふみや    日付：9月5日(日) 22時38分
nは正整数とする。
（１）10^n +2/3が整数であることを示せ。
（２）10^n　+2/3を数字で表せ。
よろしくお願いします。


16978．Re: 整数
名前：豆    日付：9月5日(日) 23時19分
分数はきちんと書こう。
このままだと、10のn乗に2/3を足すから、分数になる。
問題は(10^n+2)/3だね。
さて、10^n-1という数はどんな数だろう。
それが分かれば、分子は(10^n-1)+3となる。

16980．Re: 整数
名前：ふみや    日付：9月5日(日) 23時56分
ご指摘ありがとうございます。
まだよくわかりません。、10^n-1はどん数ですか。
よろしくお願いします。

16989．Re: 整数
名前：tobira    日付：9月6日(月) 1時44分
横から失礼しますm(__)m
豆さんのおっしゃった問題の式の解釈で
「もし、等比数列の和を習っているなら」の別解です。

初項１、公比１０の 第１項から第ｎ項までの和を考えます。
　1＋10＋(10^2)＋・・・＋{10^(n-1)}＝{(10^n)－1}/(10－1)
両辺を９倍します。
　9(1＋10＋(10^2)＋・・・＋{10^(n-1)}＝(10^n)－1
両辺に３を加えます
　3＋9(1＋10＋(10^2)＋・・・＋{10^(n-1)}＝(10^n)＋2
これより
　{(10^n)＋2}/3＝1＋3(1＋10＋(10^2)＋・・・＋{10^(n-1)}
　{(10^n)＋2}/3＝4＋3(10＋(10^2)＋・・・＋{10^(n-1)}
(2)は問題の意味が不明です。「数字で表せ。」
　「例をあげよ、とか、・・・桁の数とか」
　その他、条件を抜かさず、明確に・・・

17008．Re: 整数
名前：豆    日付：9月6日(月) 8時30分
＞まだよくわかりません。、10^n-1はどん数ですか。
どんな数？
こういう場合は，ただ漠然と考えるのでなく具体的に考えてみたらどうだろう
n=1のとき，　10^n-1=10^1-1=10-1=9
n-2のとき，　10^n-1=10^2-1=100-1=99
n=3のとき，　10^n-1=10^3-1=1000-1=999
つまり，9がn個並ぶ数字になる．
(10^nは1のあとに0がn個並んだ数だから)
従って，これを3で割れば3がn個並んだ数になる．

16968．面積比  
名前：ともだち    日付：9月5日(日) 14時38分
△ＡＢＣの各辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をそれぞれＤ，Ｅ，Ｆとする。ＱＲ＝ＡＤ，ＲＰ＝ＢＥ，ＰＱ＝ＣＦとなる△ＰＱＲを作ったとき、基の三角形の面積比△ＡＢＣ：△ＰＱＲを求めよ。
教えてください。お願いします。


16970．Re: 面積比
名前：ヨッシー    日付：9月5日(日) 18時42分
いろんな線の引き方がありますが、例えばこんな感じ

黒太線が△ＡＢＣ、青線が△ＰＱＲです。

斜線の部分の三角形がいくつはいるかを調べます。
　
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16973．Re: 面積比
名前：ともだち    日付：9月5日(日) 19時56分
図を書いてくださりありがとうございます！計算する上ではどのようにして行えばよろしいのでしょうか。わからずやですみませんが教えていただけないでしょうか。お願いします

16975．Re: 面積比
名前：tobira    日付：9月5日(日) 21時10分
横から失礼しますm(__)m
　とりあえず、文で・・・（計算も少し・・・）

まず、ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの交点をＧとすると、Ｇは重心なので
ＡＤ＝３ＧＤ，ＢＥ＝３ＧＥ，ＣＦ＝３ＧＦとなることに注目します

ここで、ＧＤ，ＤＥ，ＧＦを三辺とする三角形を考えると
　ＡＧの中点をＰとして作った△ＥＰＧと合同になります。
　{ＧＤ＝ＧＰ、ＧＦ＝ＥＰ(Ｇが重心、中点連結定理利用）}

以下、この△ＥＰＧを中心に考えます。

(1) △ＥＰＧ＝(1/2)△ＥＡＧ（ＡＰ＝２ＧＰより）
　　△ＥＡＧ＝(1/6)△ＡＢＣ（Ｇは△ＡＢＣの重心より)
　　よって、△ＥＰＧ＝(1/12)△ＡＢＣ
　　つまり、△ＡＢＣ＝12△ＥＰＧ

(2) ＡＤ＝３ＧＤ，ＢＥ＝３ＧＥ，ＣＦ＝３ＧＦなので
　　△ＥＰＧ∽△ＰＱＲで相似比１：３より
　　△ＰＱＲ＝9△ＥＰＧ

よって、△ＡＢＣ：△ＰＱＲ＝

(^^；回りくどいですね。
図で解いた方が良かったかもしれません。)

17004．Re: 面積比
名前：ともだち    日付：9月6日(月) 6時47分
どうもありがとうございます。３：４がこたえになるのでしょうか？
文や図もつけてくださるのでわかりやすいです。

17009．Re: 面積比
名前：ヨッシー    日付：9月6日(月) 8時51分
４：３　ですね。

こういう問題、答えだけ手っ取り早く知るには、
（問題には、どんな三角形とも規定していないので）
１辺が２の正三角形を、想定して、
　△ＡＢＣ：１辺２の正三角形
　△ＰＱＲ：１辺√3の正三角形
となるので、面積比は２乗比で　４：３
　
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16961．数列  
名前：アキラ（高３）    日付：9月5日(日) 9時42分
Anを求めよという問題ですが…。
An=∑(k=0→n)[1/(n-k)!・∑(j=0→k){(-1)^j}/j!]


16972．Re: 数列
名前：ray    日付：9月5日(日) 19時52分
Σ(k=0→n)[1/(n-k)!・Σ(j=0→k){(-1)^j}/j!]
= Σ(m=0→n)[Σ(j=0→m){(-1)^j/((m-j)!j!)}] (m=n-k+j)
= 1 + Σ(m=1→n){(1-1)^m/m!}
= 1

16958．数列  
名前：あいこ(高2)    日付：9月5日(日) 6時54分
初項50、公差-3の等差数列について、初項から第何項まで和が最大であるか。
という問題なのですが、この数列の一般項がa_n=50+(n-1)×-3になるというところから続きを考えることが出来ませんでした。
もし宜しければ、何方か御指導宜しくお願い致します。


16959．Re: 数列
名前：豆    日付：9月5日(日) 7時2分
一般項はあっていますね。
それでは、１からn項までの和は計算できますか？
nの２次式になるはずですから、それを最大とするnを求めればよいです。
ただし、nは整数ですから、気をつけて。
それから、書き方ですが、-3のところは(-3)と書いてください。

16960．Re: 数列
名前：あいこ(高2)    日付：9月5日(日) 7時54分
豆さん、御指導有難うございます。この等差数列の和をSn、項数をA、末項をnとおくと、Sn=1/2・A(50+n)となりました。項数Aの求め方が分かりません。その点も教えていただければ幸いです。

16962．Re: 数列
名前：知也    日付：9月5日(日) 9時44分
Sn＝1/2*項数（初項＋一般項）ですのでSn=1/2n(a_1+a_n)=1/2n(2a_1+d(n-1))です。これを2次関数としてみて平方完成してここで注意しなければならないのはnが自然数ということです。

16964．Re: 数列
名前：arc    日付：9月5日(日) 11時56分
一般には、等差数列の和をSn、初項をa、公差をd、公比をr、項数をn、末項をlとします。

初項a、項差d、項数n、末項lの等差数列の和をSnとすると、
Sn = (1/2)*n*{2a-(n-1)*d} = (1/2)*n*(a+l)
が成立します。

一般項は既に求められているので、一応書いておきます。
an = 50+(n-1)*(-3) = 53-3n

Sn = (1/2)*n*{2a-(n-1)*d}
この公式に値を代入すると、
Sn = (1/2)*n*{100-(n-1)*(-3)}
となります。これを整理すると、
Sn = (1/2)*n*(103-3n)
Sn = (-3n2+103n)/2
ここで、分子にある式を平方完成します。
※平方完成については、ここでは省略します。
-3n2+103n = -3(n-103/6)2+(10609/12)
この式の()の中が0に最も近ければいいので、
nは(103/6)に最も近い整数になります。
103/6 = 17.166… から、n=17であることが分かります。
結果はn=17として代入して確かめてみて下さい。

■別解
一般項が、53-3nなので、nが最大の自然数の時に、式の値が最小の自然数であればいい。
53-3nが最小の自然数になるnは、n=[53/3]と表される。（[]はガウス記号 = [x]はxを超えない最大の整数）
53/3 = 17.666… から、[53/3]=17となる。
よってnが17の時、53-3nが最小の自然数になる。⇔nが17より大きい時、53-3nは0以下（負の整数）になる。
以上から、n=17の時、Snが最大となる。
（検算等以下略）

16966．Re: 数列
名前：知也    日付：9月5日(日) 12時6分
　計算がめっちゃややこしい！と思ったら、これは別の方法でもいけると思います。an<0になればSnはもちろんどんどん減少していくので、和が最大になるのはanが0になる直前か直後の項になります。

　0＝50-3（n-1)とするとn=53/3=17.6666…　よって17項目か18項目になります。

　17項目　a17=2 合計は1/2*17(50+2)=425 18項目1/2*18(50-1)=441
ちなみに19項目1/2*19(50-4)=437　よって19項目

16967．Re: 数列
名前：知也    日付：9月5日(日) 12時8分
17項目の計算が間違ってました。17項目が442ですので最大は17項目です。

16969．Re: 数列
名前：あいこ(高2)    日付：9月5日(日) 14時43分
arcさん、知也さん、御指導有難うございました。この問題の場合Sn=1/2n(a-1)の式よりもSn=1/2n{2a+(n-1)d}を用いて求めた方がいいんですね。そして、別解も教えていただき有難うございました。

16954．線形代数の問題なのですが。。。  
名前：アキ    日付：9月4日(土) 23時25分
Original Size: 677 x 300, 109KB

はじめまして。
解答の無い問題に悪戦苦闘していたのですが、ギブアップです（泣

どうか、解き方、や解答を教えていただけませんか？？？
これは、ある大学の編入問題からの抜粋です。
画像を御覧下さい。


16957．Re: 線形代数の問題なのですが。。。
名前：のぼりん    日付：9月5日(日) 6時7分
（１）　φ（ｅ１＋ｅ２）＝ｔ（ａ，２，０）＝ａ（ｅ１＋ｅ２）＋（２－ａ）ｅ２
　　　φ（ｅ２）＝ｔ（０，２，０）＝２ｅ２
　　　φ（ｅ３）＝ｔ（ｂ，０，ｃ）＝ｂ（ｅ１＋ｅ２）－ｂｅ２＋ｃｅ３
ですから、求める表現行列を Ａ とすると、
　　　　｜ａ　２－ａ　０｜
　　Ａ＝｜０　　２　　０｜
　　　　｜ｂ　－ｂ　　ｃ｜
です。

（２）　任意の基底に対し、φ の表現行列が Ｂ になるためには、
　　任意の正方行列 Ｐ に対し、Ｐ－１ＢＰ＝Ｂ となる　… 〔１〕
が必要十分です。ここで Ｐ は、標準基底 〈ｅ１，ｅ２，ｅ３〉 から任意の基底への取り替えの行列の意味です。〔１〕 が成り立つためには、Ｂ が単位行列の定数倍であることが必要十分で、これは、ａ＝ｃ＝２，ｂ＝０ と同値です。

17024．Re: 線形代数の問題なのですが。。。
名前：アキ    日付：9月7日(火) 0時24分
ありがとうございます！！！
さっそくやってみます★

ネットの調子が悪くて、お礼遅れてすみませんでした＞＜

16950．教えてください  
名前：ゆか中2    日付：9月4日(土) 22時31分
-1/a=-a/(a+2)のaの値の求め方を教えてください！！


16952．Re: 教えてください
名前：知也    日付：9月4日(土) 22時36分
中３で習う因数分解や2次方程式をつかいます。aは0ではないとします。
-1/a=-a/(a+2) から両辺に-a(a+2)をかけて、a+2=a^2　a^2-a-2=0 (a-2)(a+1)=0 a=-1,2 これがわからなかったらまだ早いですが因数分解や2次方程式を勉強するといいでしょう。

16953．Re: 教えてください
名前：KEN    日付：9月4日(土) 22時43分
まず、ａ＝０,－２であるときを除くとして。
（分母が０になるときを除くので）
与式の両辺にａ（ａ＋２）をかけると
ａ＾２ーａ－２＝０となり、因数分解をすると
（ａ－２）（ａ＋１）＝０となる。
よって、ａ＝２,－１である。

16939．最大値が分かりません。  
名前：オリバー    日付：9月4日(土) 19時25分
こんばんわ。質問です。

２ｘ+ｙ＝４の最小値は分かるのですが、最大値を教えてください。
０≧ｘ　０≧ｙです。

よろしくお願いします。


16940．Re: 最大値が分かりません。
名前：ＫＧ    日付：9月4日(土) 19時45分
確認ですが，ｙの最大値ですね．

16941．Re: 最大値が分かりません。
名前：ＫＧ    日付：9月4日(土) 19時47分
＞０≧ｘ　０≧ｙです。
　ん？
　最小値はいくらになりましたか？

16942．Re: 最大値が分かりません。
名前：知也    日付：9月4日(土) 20時50分
最大値なんてないですよ。最小値は４ですが…

16944．Re: 最大値が分かりません。
名前：ＫＧ    日付：9月4日(土) 21時2分
　知也さん，
＞０≧ｘ　０≧ｙ
　なら，最小値も４とならないことはわかりますか？

16946．Re: 最大値が分かりません。
名前：ヨッシー    日付：9月4日(土) 21時24分
問題集か何かの問題なら、問題文を丸写しした方が良いです。
とにかく、問題として成り立っていません。
　
http://yosshy.sansu.org/

16948．Re: 最大値が分かりません。
名前：知也    日付：9月4日(土) 22時23分
ｙ≧0と勘違いしてましたよ。そうですねこの問題は成り立ちませんね。この２ｘ＋ｙ＝４がこの範囲を通ることはないですから。

16955．Re: 最大値が分かりません。
名前：オリバー    日付：9月5日(日) 2時22分
すみません。書き忘れをしていました。
ｘ^2+ｙ^2の最大値です。

ちなみに最小値はｘ＝8/5 y＝4/5のとき最小値16/5です。（私が計算したので合っているかどうかはわかりませんが＾＾；）
皆様に親身になって考えていただけたことに感謝いたしますm( )m

それではよろしくお願いします。

16956．Re: 最大値が分かりません。
名前：ＫＧ    日付：9月5日(日) 5時53分
まだ解決されていません．
＞０≧ｘ　０≧ｙです。
は，正しいのですか？

16971．Re: 最大値が分かりません。
名前：オリバー    日付：9月5日(日) 19時2分
問題は、２変数ｘ、ｙがあって２ｘ+ｙ＝４　ｘ≧０　ｙ≧０を満たしている。です。
すみません変数も抜けていました。

16974．Re: 最大値が分かりません。
名前：ＫＧ    日付：9月5日(日) 20時18分
＞２ｘ+ｙ＝４　
　より，ｙ＝４－２ｘ
　これと，ｙ≧０から，
　４－２ｘ≧０ ⇒ ｘ≦２
　さらに，ｘ≧０ なので，
　０≦ｘ≦２ となり，
　これが定義域です．

16986．Re: 最大値が分かりません。
名前：オリバー    日付：9月6日(月) 0時21分
ありがとうございました。

16935．食塩水  
名前：mogumogu    日付：9月4日(土) 18時16分
よろしく御願いします。小学６年です。
問題　AとBの食塩水がありAが３,Bが２　３:２で混ぜると７％の食塩水ができ、２：３で混ぜると６％の食塩水ができました。AとBの食塩水の濃度は何％でしょう。
僕は食塩水の量が書いていないので、できた食塩水の量を１００ｇとして
それを、５分の２と５分の３に分けてやってみました。あと、出来た食塩水の食塩の量６ｇも同じように分けてみたのですが、そこから先がまるで解かりません。どうぞ、教えて下さい。御願いします。


16936．Re: 食塩水
名前：ヨッシー    日付：9月4日(土) 18時43分
こちらにある「天秤算」を使いましょう。

線を引いて、左をＡ、右をＢの濃度とします。
３：２に分けた点を７％、２：３に分けた点を６％として、
あとは等間隔に目盛りを打てば、Ａの位置での濃度、Ｂの位置での濃度が求まります。
　
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16937．Re: 食塩水
名前：mogumogu    日付：9月4日(土) 19時7分
ありがとうございます。
見てみましたが、解かりません。ごめんなさい。
もう少し教えていただけないでしょうか。
御願いします。

16947．Re: 食塩水
名前：ヨッシー    日付：9月4日(土) 22時0分

青の高さがＡの濃度、赤の高さがＢの濃度です。
左右比べると、網掛けの部分が１％だとわかります。
左の図で、あと２つ網掛けを増やす（２％濃度を増す）と
全体がＡの高さになります。それがＡの濃度。
右の図で、あと２つ網掛けを減らす（２％濃度を減らす）と
全体がＢの高さになります。それがＢの濃度です。
　
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16965．Re: 食塩水
名前：mogumogu    日付：9月5日(日) 12時4分
有り難う御座いました。
なんとなくですけれでも、理解できました。
濃度の差が１なので、網掛けの部分が１でいいんですね。

16932．範囲  
名前：ＦＲＵＩＴ　　高２    日付：9月4日(土) 12時9分
又お願いします。
a≦1かつ-√2<a<√2

a>1かつa≦-√2、√2≦a

の共有している範囲を教えてください。
解答は-√2<a≦1、√2≦aなのですが
図をかいても良く分かりません。＜と≦のときの区別の違いも
分からないので解き方のこつを教えてください。


16933．Re: 範囲
名前：ヨッシー    日付：9月4日(土) 14時34分
例えば、１番目は、こんな図です。

●はその点を含む（≦≧）
○はその点を含まない（＜＞）
数直線の上が、ｘ≦１、下が　－√２＜ｘ＜√２
両者の範囲の重なったところが答えなので、
　－√２＜ｘ≦１
です。
　
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16963． 範囲
名前：ＦＲＵＩＴ　　    日付：9月5日(日) 11時19分
図があったのですごく分かりやすかったです。
どうもありがとうございました♪

16930．極限  
名前：こん（大学一年）    日付：9月4日(土) 0時4分
質問があります。
①　lim[x→1]{(1-logx)^(1/logx)}の値
②　f(x)=[e^{-1/(x^2)} (x≠0) , 0 (x=0)]はx=0で連続かどうか。また、微分可能かどうか。
　　求め方を教えてください。


16934．Re: 極限
名前：のぼりん    日付：9月4日(土) 15時18分
（１）　ｘ＞１ のとき、ｙ：＝－１/ｌｏｇ ｘ とおくと、ｘ→１ ⇔ ｙ→∞ で、
　　（１－ｌｏｇ ｘ）１/ｌｏｇ ｘ＝（１＋１/ｙ）－ｙ→ｅ－１　（ｘ→１＋０）
ｘ＜１ のとき、ｙ：＝１/ｌｏｇ ｘ とおくと、ｘ→１ ⇔ ｙ→∞ で、
　　（１－ｌｏｇ ｘ）１/ｌｏｇ ｘ＝（１－１/ｙ）ｙ＝｛１＋１/（ｙ－１）｝－（ｙ－１）/｛１＋１/（ｙ－１）｝→ｅ－１　（ｘ→１－０）
ですから、ｌｉｍｘ→１（１－ｌｏｇ ｘ）１/ｌｏｇ ｘ＝ｅ－１ です。

（２）　ｌｉｍｈ→０｛ｆ（ｈ）－ｆ（０）｝/ｈ＝ｌｉｍｈ→０ｅ－１/ｈ２/ｈ＝ｌｉｍｘ→±∞ｘｅ－ｘ２　（ｘ＝１/ｈ）
　　＝±½ｌｉｍｘ→∞（ｄ/ｄｘ）（ｅ－ｘ２）
ここで、ｇ（ｘ）＝ｅ－ｘ２ のグラフは、ｘ→∞ で限りなく ｘ 軸に近づき平坦になりますから、ｘ→∞ のとき、その傾き→０ となります。よって、
　　ｌｉｍｈ→０｛ｆ（ｈ）－ｆ（０）｝/ｈ＝±½ｌｉｍｘ→∞ｄｇ（ｘ）/ｄｘ＝０
です。従って、ｆ は ｘ＝０ で微分可能で、当然連続でもあります。

16928．積分　高三です  
名前：AYA    日付：9月3日(金) 22時37分
二次方程式ｘの2乗＋aｘ＋b＝は２つの実数解Ａ、Ｂ（Ａ＜Ｂ）をもつとする。
∫Ａからｒ（ｘの2乗＋aｘ＋b）ｄｘ＝となるｒ（ｒ＞Ａ）をＡ，Ｂで表せ。
∫はインテグラルです。


16929．Re: 積分　高三です
名前：ヨッシー    日付：9月3日(金) 22時59分
∫Ａからｒ（ｘの2乗＋aｘ＋b）ｄｘ＝　いくつになるんでしょうか？
　
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16943．Re：積分
名前：AYA    日付：9月4日(土) 20時54分
すいません。ｘの2乗＋aｘ＋b＝0,
∫Ａからr（ｘの2乗＋aｘ＋b）＝0
です。

16949．Re: 積分　高三です
名前：のぼりん    日付：9月4日(土) 22時24分
　　０＝∫〔Ａ，ｒ〕（ｘ２＋ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝∫〔Ａ，ｒ〕（ｘ－Ａ）（ｘ－Ｂ）ｄｘ
　　　＝∫〔Ａ，ｒ〕｛ｘ２－（Ａ＋Ｂ）ｘ＋ＡＢ｝ｄｘ
　　　＝〔ｘ３/３－（Ａ＋Ｂ）ｘ２/２＋ＡＢｘ〕Ａｒ
　　　＝（ｒ３－Ａ３）/３－（Ａ＋Ｂ）（ｒ２－Ａ２）/２＋ＡＢ（ｒ－Ａ）
　　　＝（ｒ－Ａ）｛２（ｒ２＋ｒＡ＋Ａ２）－３（Ａ＋Ｂ）（ｒ＋Ａ）＋６ＡＢ｝/６
　　　＝（ｒ－Ａ）｛２ｒ２－（Ａ＋３Ｂ）－Ａ２＋３ＡＢ｝/６
　　　＝（ｒ－Ａ）２（２ｒ＋Ａ－３Ｂ）/６
ｒ＞Ａ だから、ｒ＝（３Ｂ－Ａ）/２ です。

16923．距離  
名前：大学二年    日付：9月3日(金) 14時55分
こんにちは。質問があります。

Ａを集合とする。関数ｄ：Ａ×Ａ→Ｒ（実数）
がづぎの二条件を満たす時Ａの距離という。
かってな、a,b,c∈Ａに対し、
(1)ｄ(a,b)=0⇔a=b
(2)ｄ(a,b)+ｄ(a,c)≧ｄ(b,c)
問題
ｄがＡの距離であればｄ(a,b)≧0　であり
ｄ(a,b)=ｄ(b,a)がすべてのa,b∈Ａに対し成立する事を示せ。

という問題で
（2）でb＝cとして
ｄ(a,b)+ｄ(a,b)＝2ｄ(a,b)≧ｄ(b,b)＝0　　(1)
　ｄ(a,b)≧0 としたのですが、b＝cという条件の下で
解いて良いのか分からなくなってしまいました。
また（2）でa＝cとして
ｄ(a,b)≧ｄ(b,a),また
ｄ(b,a)+ｄ(b,c)≧ｄ(a,c)より
b＝cより　ｄ(b,a)≧ｄ(a,b)で
ｄ(b,a)＝ｄ(a,b)としたのですが、
これも、a＝cやb＝cなどの条件を入れて解いて良いのか
分からなくて困っています。
違うならば正しい解き方を教えて下さい、
お願いします。


16924．Re: 距離
名前：ヨッシー    日付：9月3日(金) 16時23分
良いと思います。
a,b,c は、ある決まった値ではなく、「かってな」３要素ですので、
たまたま、a,b,c の代わりに、a,b,a の３つを選んだと考えれば、
いいでしょう。
　
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16919．再び、失礼致します  
名前：ひろ    日付：9月3日(金) 11時22分
Original Size: 399 x 369, 3KB

再び失礼します。
原点を中心とした楕円があります。
その楕円に対する接線が２本あります。
楕円の長短軸の値、焦点および２接点の位置はわかりません。
わかっている情報は２接線の傾きと接点のｙ軸方向の距離ｈだけです。
この情報を基に楕円方程式を算出したいのですが
これだけでは条件が足らず求まりません。
あと１つ拘束条件を加えれば求まりそうなのですが･･･。
私の脳みそが足らないのか、接点のx軸方向の距離は分かりません。
１つの式が導きだせそうなのですが、あと一歩が出てきません・・・。


16922．Re: 再び、失礼致します
名前：花パジャ    日付：9月3日(金) 14時27分
どういう条件なら追加出来るのでしょうか?
(当然、図のα、βも求まらないのですよね?)

16926．Re: 再び、失礼致します
名前：ヨッシー    日付：9月3日(金) 17時17分
楕円の大きさも自由、２直線も傾き固定であれば上下左右自由に動けるとなると、
適当な楕円を作り、そこに２直線をあてがって、接点のｙ軸距離を測って、
それをｋとすると、元の楕円のｈ／ｋ倍の楕円を描けば、所望の状態になります。
つまり、いくらでも楕円を作ることができるわけですが、これを一意に決めるには、
短軸長軸の比、短軸または長軸どちらかの長さを固定、２直線のうちのどちらかを固定、
等の条件が必要ですね。

そもそも、これは、なにか実用的なモノの図面か何かでしょうか？
　
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16916．複素数と方程式  
名前：クッキー　[高２]    日付：9月3日(金) 9時29分
こんにちは。２次方程式ax(x-1)+b(x+1)(x-2)+c(x^2+1)=0の二つの解を
α、βとするとき、（１－α）（１－β）の値を求めよという問題があります。

解答は　

与えられた２次方程式の２つの解がα、βで、左辺のx^2の係数が
a+b+cであるからax(x-1)+b(x+1)(x-2)+c(x^2+1)=(a+b+c)(x-α)(x-β）①
ただしa+b+c≠0
①の両辺にx=1を代入すると
2c=(a+b+c)(x-α)(x-β)
よって、（１－α）（１－β）＝a+b+c/2c

なのですが
「①の両辺にx=1を代入すると
2c=(a+b+c)(x-α)(x-β)」←これがわかりません。２ｃはどこから出てきたのか教えてください。


16918．Re: 複素数と方程式
名前：ヨッシー    日付：9月3日(金) 10時34分
ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x^2+1)=0
ではないでしょうか？

あと、解と係数の関係を使う方法もあるでしょう。
最終的な通分が面倒かも知れませんが。
　
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16921．複素数と方程式
名前：ＦＲＵＩＴ    日付：9月3日(金) 14時0分
ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x^2+1)=0

でした。ごめんなさい！！！！

解と係数の関係もやってみますが、他の練習問題もすべて
2c=(a+b+c)(x-α)(x-β)←ここから分からないので
解ければいいなーと思ったので・・・。

16927．Re: 複素数と方程式
名前：ヨッシー    日付：9月3日(金) 17時20分
ならば、話は簡単。
ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x^2+1)=(a+b+c)(x-α)(x-β）
の両辺のｘに１を代入すると、(x-1) の部分は ０ になるので消えて、
　c(1^2 + 1) = (a+b+c)(１－α)(１－β)
左辺は ２ｃですね。両辺 a+b+c で割って、
　(１－α)(１－β)＝2c/(a+b+c)
となります。
　
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16931．Re: 複素数と方程式
名前：ＦＲＵＩＴ    日付：9月4日(土) 12時1分
本当ですね。ただ代入しただけだったんですね！！！
どうもありがとうございました。

16912．逆三角関数  
名前：高2です    日付：9月3日(金) 1時24分
三角関数でsin^n(x)=(sinx)^nという表記をしますよね？で、n=-1のとき、sin^(-1)(x)=(sinx)^(-1)=cscxだと思い込んでたのですが、何かいろんなサイトを見てみるとsin^(-1)(x)=arcsinxみたいにかいてあるんですが、nが-1のときこういう書き方はしないのですか？教えてください。


16913．Re: 逆三角関数
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月3日(金) 1時37分
確かに統一的ではありませんが、普通は
sin^(-1)(x) = arcsin x
です。

sin^n(x) を (sin x)^n と書いても勿論間違いではなく、
このほうがより正確といえます。

16911．質問です。（高３）  
名前：オリバー    日付：9月3日(金) 0時14分
ｚ+1/z=1のとき

z^n+1/z^n=1となるｎの最小値は？

ｎがいろいろ変わるときｚ^n+1/z^nのとりうる実数値の最大の値は？
また、そのような最大値を与えるｎのうち最小値は？

よろしくおねがいします。


16920．Re: 質問です。（高３）
名前：豆    日付：9月3日(金) 12時56分
z^2-z+1=0　ですから，z=cos(π/3)±isin(π/3)で-1の３乗根になります．
1/z=z~　ですから，z+1/z=2Re(z)　となります．
また，z^n+1/z^n=2Re(z^n)　で必ず実数となります．
nは自然数とします．
＞z^n+1/z^n=1となるｎの最小値は？
n=1は自明？
＞ｎがいろいろ変わるときｚ^n+1/z^nのとりうる実数値の最大の値は？
＞また、そのような最大値を与えるｎのうち最小値は？
6回転でz=1となりますから，n=6mのとき，最大値2
そのときのnの最小値は6

16938．Re: 質問です。（高３）
名前：オリバー    日付：9月4日(土) 19時23分
解答ありがとうございます。

ちょっと計算して見ます。

z^2-z+1 Ｚ＝（cos６０°+isin６０°）
Ｚ＾ｎ＝（cos60°xｎ±isin60°xｎ）
ｚ+1/z=1なので
z^n+1/n^n=1は２cos60°ｘｎ
1/2n+1/2n=n
nが１にならなければならないのでｎ＝１
というか計算しなくても１になるんですね＾＾；

実数値の最大というと「cosが最大になる場所」ということはわかりました。
cosが１になればよいので６０°ｘ６＝３６０°
ｎ＝６の時最大値が２ということですね。確かに１２でも１８でもよく最小値は６ですね！
６ｍになる理由を教えていただけないでしょうか？

16945．Re: 質問です。（高３）
名前：豆    日付：9月4日(土) 21時13分
？？？？
＞ｎ＝６の時最大値が２ということですね。確かに１２でも１８でもよく最小値は６ですね！
２４でも、３０でも、３６でも・・・・最小値は２です。
＞６ｍになる理由を教えていただけないでしょうか？
６の倍数を６ｍと書いているのですが。

16907．最速降下問題  
名前：WS.    日付：9月2日(木) 21時23分
今、物理の夏季課題で最速降下問題に絡んだ製作をしています。具体的にはBより高い位置にあるAからBに向けて、玉をいかに早く転がすかということなのですが、サイクロイドが有効であるということを耳にしました。それで他に何か有効な曲線等があれば教えていただきたいのですが、よろしくお願いしますm()m


16908．Re: 最速降下問題
名前：のぼりん    日付：9月2日(木) 21時41分
はじめまして。のぼりんといいます。よろしくお願いします。

＞サイクロイドが有効である
＞それで他に何か有効な曲線等があれば
最速降下線は、サイクロイド以外にはありません。従って、サイクロイドを用いて夏期課題を制作されることをお勧めします。

16909．Re: 最速降下問題
名前：WS.    日付：9月2日(木) 21時43分
すみません、もうひとつ。山越えという条件を課さなければいけないのですが、上るときに出来るだけ衝撃（力学的エネルギーの損失）を防ぐことのできる曲線等もあったらおしえていただけるとありがたいです。

16910．Re: 最速降下問題
名前：WS.    日付：9月2日(木) 21時44分
のぼりんさん、ありがとうございますm()mやはりサイクロイドがBESTですか・・・ではそれをベースに作りたいと思います。

16917．Re: 最速降下問題
名前：花パジャ    日付：9月3日(金) 10時17分
衝撃の方はクロソイド曲線とか...

16925．Re: 最速降下問題
名前：WS.    日付：9月3日(金) 16時55分
ありがとうございます、早速調べてみます。

16903．統計学  
名前：桃太（大学１年）    日付：9月2日(木) 13時30分
母集団は平均がμcm、標準偏差がσcmである。この母集団から3個を無作為に取り出す。この時、3個の長さの合計の期待値と標準偏差を求めよ。
という問題がわかりません。わかる方よろしくお願いします。


16904．Re: 統計学
名前：ヨッシー    日付：9月2日(木) 13時34分
平均は３倍、標準偏差は√３倍。
でしたっけ？
　
http://yosshy.sansu.org/

16914．Re: 統計学
名前：大学2年    日付：9月3日(金) 6時6分
この母集団からの３つの無作為な標本をX_1，X_2, X_3とする。
無作為標本であるのでX_1，X_2, X_3は互いに独立で
平均：E[X_1+X_2+X_3]=EX_1]+E[X_2]+E[X_3]
　　　 =3μ
標準偏差：√V(X_1+X_2+X_3)=√(V(X_1)+V(X_2)+V(X_3))
　　　　　=σ√3
となり平均は３倍、標準偏差は√3倍になります。

16900．質問です。（高３）  
名前：オリバー    日付：9月2日(木) 1時49分
こんばんわ。質問です。

半径１の円ＡとＢとＣがあり、円Ａは中心が（１，１）、円Ｂは中心が最初（１，３）にあり、中心の位置を（３，１）まで変えるものとする。
円Ｂは円Ａに外接しながら円Ａのまわりを時計回りにうごくものとする。
円Ｃは中心が第一象限にあり円Ａ、Ｂのいずれにも外接しているものとする。いま、２つの円Ｂ、Ｃは円Ａに外接し、しかも外接したまま、円Ｃがｘ軸に接するまで円Ａのまわりを時計回りに動くものとする。さらに、原点を１つの頂点とする正方形でこの３つの円Ａ、Ｂ、Ｃを内部に含む最も小さいものを考える。正方形は円Ｂ、Ｃの動きにつれて形を変える。この正方形の面積がが最も小さくなるときの円Ｂの中心の点は？
また、このときの１辺の長さを求めよ。

図は想像はできるのですが、どう求めればいいのか分からないのでよろしくお願いします。


16902．Re: 質問です。（高３）
名前：ヨッシー    日付：9月2日(木) 7時17分

ＡＣの角度をθとすると、ＡＢの角度はθ＋60度です。
ただし　０°≦θ≦30°。
このとき、円Ｂの一番上か、円Ｃの一番右のうち、小さくない方が
正方形の１辺になります。
点Ｂ、点Ｃの座標がわかったら、点Ｂのｙ座標＋１、点Ｃのｘ座標＋１
のグラフを　０°≦θ≦30°の範囲で描けば、見えてくるでしょう。
　
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16906．Re: 質問です。（高３）
名前：オリバー    日付：9月2日(木) 16時20分
解答ありがとうございます。

とすると、真ん中なので１５°ですね！
（３+１，１）を１５°回転し（１，３+１）を-１５°回転するわけですね！

計算してみます。

４+iとおいて４+i－（１－i）＝３
３（cos１５°+isin１５°）＝３・（√６－√２）/４+３・（√６＋√２）/４iこれに１+iを足して
座標はＣ（３√６/４－３√２/４+１，３√６/４+３√２/４+１）
で、大きいほうなんで正方形のいっぺんの長さは
３√６/４+３√２/４+２ということですね！Ｃで求めちゃいましたが、Ｂはこの逆ですね＾＾
ありがとうございました。

16896．円と正方形の共通部分  
名前：うっしー    日付：9月2日(木) 1時3分
一辺の長さがａの正方形があって、また、この正方形の対角線の交点を中心とする半径ｂ（ａ/2＜ｂ＜√2ａ/2）の円があったときに、この正方形と円の共通部分の面積を求めることはできるのでしょうか？　随分いろいろ考えてみたんですが、どうやってもできません…。すみませんが、ご教授お願いします。
ちなみに、只今センター試験まであと４ヶ月半の身です。


16898．Re: 円と正方形の共通部分
名前：ヨッシー    日付：9月2日(木) 1時15分
逆三角関数を使うことになります。
　
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16901．Re: 円と正方形の共通部分
名前：うっしー    日付：9月2日(木) 2時0分
どうもありがとうございました。
扇形部分の面積を求めるときに、中心角をａ、ｂでどうやって表せばいいのかで悩んでいたのですが、逆三角関数を使わないとやっぱり無理なんですね…。
勉強になりました。

16893．(untitled)  
名前：TAKU　高１    日付：9月1日(水) 23時42分
ありがとうございました。もし別解があったらまた教えてください。

16884．(untitled)  
名前：TAKU　高１    日付：9月1日(水) 20時47分
A,A,A,B,B,C,Dの７文字を１列に並べるときAも隣り合わず、Bも隣り合わない並べ方は何通りか。
という問題です。ベン図より求めるのかなと思ったんですがそのあとが進みません。お願いします。


16885．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月1日(水) 21時44分
まず、 C, D だけだったら並んでも良いから、二通り。これを XY と書く事にする。これに B を並ばないように加えるには、 ○X○Y○ の三箇所の○の中から二箇所選ぶ選べばよいから 3 C 2 通り。この並べ方を XYZW とすると、 A を並ばないように加えるには、 ○X○Y○Z○W○の5箇所の丸の内から三箇所選べばよいから 5 C 3 通り。よって答えは
2* 3 C 2 * 5 C 3 = 30 通り。

16886．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月1日(水) 21時52分
追加。
順序を逆にして考える事も出来る。
まず、 C, D だけだったら並んでも良いから、二通り。これを XY と書く事にする。
A が並ばないように加えるには、 ○X○Y○ の三箇所の○の中から
三箇所選ぶ選べばよいから 3 C 3 通り。
これを XYZVW とする。
これに B を並ばないように加えるには、○X○Y○Z○V○W○の
6箇所の丸から2箇所選べばよいから、 6 C 2 通り。
よって答えは、2* 3 C 3 * 6 C 2 = 30 通り。

16887．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：9月1日(水) 21時59分
上記のやり方では例えば　ABABACD　というのが出てこないかと

16888．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月1日(水) 22時43分
失礼!
間違っていました。
又考える。

16890．Re: (untitled)
名前：TAKU　高１    日付：9月1日(水) 23時17分
答えは９６通りなんですけど解説はないんです。
それでその前の小問がAのみ隣り合わないで１２０は出せました。そこでBも考えて３００が出ました。全体は４２０ですがそこから導き出せないのでしょうか？

16892．Re: (untitled)
名前：我疑う故に存在する我    日付：9月1日(水) 23時38分
考えるのが面倒になったから、数え上げの力技で行く。
まず、 A, B 5文字を並べる並べ方は10通り。
それに C, D を割り込ませて、
A, B が並ばないようにする数を全部調べて加える。

AAABB......0
AABAB.....12
ABAAB.....12
BAAAB......2
AABBA......2
ABABA.....42
AAABA.....12
ABBAA......2
BABAA.....12
BBAAA......0

合計......96 通り。

16895．Re: (untitled)
名前：F    日付：9月2日(木) 0時50分
Aのみ隣り合わない場合
BBCDの並び方は、4!/2!=12
その間と両端にAを並べる方法は、5C3=10
よって、12*10=120 …(1)

Bが隣り合って、Aが隣り合わない場合
BBが隣り合うBBCDの並び方は、3!=6
BBの間を除いた間とその両端にAを並べる方法は、4C3=4
よって、6*4=24 …(2)

求めるものは、(1)-(2)だから、
120-24=96 (通り)

16897．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月2日(木) 1時13分
我疑う故に存在する我さんとだいたい同じですが、Ａの配置として
Ａ□Ａ□Ａ□□
Ａ□Ａ□□Ａ□
Ａ□Ａ□□□Ａ
Ａ□□Ａ□Ａ□
Ａ□□Ａ□□Ａ
Ａ□□□Ａ□Ａ
□Ａ□Ａ□Ａ□
□Ａ□Ａ□□Ａ
□Ａ□□Ａ□Ａ
□□Ａ□Ａ□Ａ
の１０通り、４つの□に、ＢＢＣＤを入れるやり方は
　４！／２！＝１２通り
このうち、Ｂが隣り合うのは何通りかを求めて引きます。
□□　１個で、マイナス２通り
□□□　１個で、マイナス４通り
□□　２個で、マイナス４通り
であり、上から順に
１０＋１０＋８＋１０＋８＋８＋１２＋１０＋１０＋１０＝９６（通り）
　
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16951．Re: (untitled)
名前：arc    日付：9月4日(土) 22時34分
http://kent.parks.jp/59/otona/bbs.cgi?mode=form&no=10272

数日ちょっと来てなかったけど、これはマルチ…？

16882．極限  
名前：先輩　高校3年    日付：9月1日(水) 20時14分
lim[x→0]{[(e^x)^cosx]/x}の解き方を教えてください。お願いします。


16883．Re: 極限
名前：ヨッシー    日付：9月1日(水) 20時35分
普通に考えて、ｘ→０　のとき
　分子　→　１
　分母　→　０
なので、無限大に飛ぶはずですが。

ひょっとして、16758 の記事と一緒では？
　
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16878．(untitled)  
名前：AYUMI    日付：9月1日(水) 19時24分
すみません！学年を書くのをわすれていました！
中1です

16877．教えてください！！  
名前：AYUMI    日付：9月1日(水) 19時23分
（1）2点（－4,5）、（8、－1）を通る直線の傾きを求めよ。
（2）直線ｙ＝3ｘ＋4に平行で、点（1、－2）を通る直線の式を求めよ
（3）2点（－3、－5）（3、7）を通る直線とｘ軸との交点の座標が　　　　（ａ、0）であるとき、ａの値を求めよ
（4）2つの直線ｙ＝ｘ－4とｙ＝－2ｘ＋5の交点の座標を求めよ


16880．Re: 教えてください！！
名前：ヨッシー    日付：9月1日(水) 19時35分
(1) ２点(0, 0), (1, 2) を通る直線の傾きはわかりますか？
　　２点(0, 0), (3, 2) を通る直線の傾きはわかりますか？
(2) グラフを描きましょう。傾きは？切片は？
(3) グラフを描きましょう。傾きは？切片は？　直線の式は作れますか？
　作れたら、y=0 として、x について解きます。
(4) グラフを描きましょう。座標は格子点（ｘ座標、ｙ座標ともに整数）です。
　もしくは、２つの式を連立方程式として解きます。
　
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16876．集合  
名前：IGA（高１）    日付：9月1日(水) 18時24分
ｎ（A∪B∪C）＝ｎ（A)＋ｎ（B)＋ｎ（ｃ）ーｎ（A∩B）ーｎ（B∩C)ーｎ（C∩A）＋ｎ（A∩B∩C）
という公式がありますよね。
一応覚えているのですが実際に図をかいて考えると・・・
あまりにも複雑すぎてこんがらがってきます。

この公式をうまく理解する方法はないでしょうか。

わかりにくい質問ですいません。


16879．Re: 集合
名前：ヨッシー    日付：9月1日(水) 19時29分

こんな感じ。
　
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16881．Re: 集合
名前：ヨッシー    日付：9月1日(水) 19時59分
ベン図上の７つの領域（外側も入れると８つですが）に、
○を書いたり消したりしていけば、わかりやすいでしょう。
　
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16905．Re: 集合
名前：IGA（高１）    日付：9月2日(木) 14時38分
有り難うございました。

16873．集合  
名前：IGA（高１）    日付：9月1日(水) 16時38分
実数全体を全体集合とする。A_∪B＿＝｛ｘ｜ｘ≦ー１またはｘ＞３｝
A∩B＝｛ｘ｜－２≦ｘ≦ー１｝A∩B＿＝｛ｘ｜３＜ｘ≦４｝を満たす集合A,Bを求めよ。

＿はバーです。

解説ではA∩B＝｛ｘ｜－１＜ｘ≦３｝とかいてありました。
しかしこれだと問題文と矛盾します。
A_∪B＿＝｛ｘ｜ｘ≦ー１またはｘ＞３｝をもとに考えれば解説はあっていると思います。
しかし問題文とあってない・・・・。
わけがわかりません。
お願いします。


16874．Re: 集合
名前：ヨッシー    日付：9月1日(水) 18時1分
A＿∩B＝｛ｘ｜－２≦ｘ≦ー１｝　の間違いでしょう。
でないと、問題文自体が矛盾を含んでしまいます。
　
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16875．Re: 集合
名前：IGA（高１）    日付：9月1日(水) 18時2分
あ・・・・
すいません。
有り難うございます。
しばらく考えてみます。

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