この図と、三平方を使えば解けると思います。それでもわからなければ、その旨をレスしてください。

数列a(n)を　a(1)=√2　a(n+1)=√2＾a(n-1)とおきます。

lim(n→∞)a(n)=2の証明

準備１　a(n)<2の証明
n=1の時　a(1)=√2<2　より成り立つ
n=kの時　a(k)<2とすると　y=√2＾xは単調増加より
　a(k+1)=√2＾a(k)<√2^2=2
よってn=k+1のときも成り立つ
数学的帰納法によって　すべての自然数について
a(n)<2である

準備2　　　0<2-a(n+1)<0.9(2-a(n))
グラフ上の点A(3,√8)と点B(3,3)の間に点C(2.9,3)をとり
(2,2)と点Cを通る直線y=0.9(x-2)+2を引くと
x<2のときグラフより√2^x>0.9(x-2)+2
よってa(n+1)=√2^a(n)>0.9(a(n)-2)+2から
a(n+1)-2>0.9(a(n)-2)
0<2-a(n+1)<0.9(2-a(n))　（準備１より)

証明
準備2より　
0<2-a(n)<0.9(2-a(n-1))<0.9^2(2-a(n-2))<…<0.9^(n-1)(2-a(1))
よって　0<2-a(n)<…<0.9^(n-1)(2-a(1))
n→∞のとき両端の式が0に収束するので　真ん中の式も0に収束する
よってlim(n→∞)a(n)=2

こんなのは　どうでしょう。
y=√2^xが下に凸という性質を使って考えてみました。




　
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(1)α=1+√3i/2から　２α=1+√3i　2αー1=√3i　両辺を自乗して
4α^2-4α+1=-3　　4α^2-4α+4=0　α^2-α+1=0となります。
この問題はαを直接代入しても答えが出るので(1)はできておいて
ほしいですね。

　もし解けているならそのことを書いておくといいと思います。
自分でどこまで理解いているのかを書いてくれると説明の詳しさ
（この人はここまでわかってるから　というふうに解答者が考え
られるからです）

(2)点PはOを中心に60度回転して得られる点であるから
ω=z(cos60°+isin60°)=z×(1/2+i×√3/2)=z×α=αz
(3)
(γーα)/(β-α)という形の式を覚えてください。
この数値を極形式にするとαを中心にしてβをどのようにして動かすと
γになるかを示しています。
たとえば2(cos60°+isin60°)となったら　αを中心にしてαβの長さを
２倍して60°回転するとγになるという意味です。
この式のイメージのない人が多いのでぜひ覚えてください。
ここでは(B-A)/(Q-A)のイメージでやります。Aを中心にQを動かして
B　というイメージです。

準備(1)　α^2-α+1=0の両辺にα+1をかけると
　(α+1)(α^2-α+1)=0から　α＾3+1=0　　α＾3=-1　両辺を-α＾2で
割って1/α＾2=-α　
準備(2)　α^2-α+1=0から　1-α=-α＾2

解答
(z-1)/((z+α-αz)-1)=(z-1)/(z+α-αz-1)=(z-1)/(z-1)(1-α)
=1/(1-α)=-1/α＾2　　(準備2より）
=α　　　　　　　　　(準備１より）
=cos60°+isin60°
よってAを中心にしてAQの長さのままQを60°回転するとBになる
ので正三角形になります。
しかし　解答には　次のように書いてあるはずです
arg((z-1)/((z+α-αz)-1))=60°
絶対値(((z-1)/((z+α-αz)-1))=1より
絶対値(z-1)=絶対値(z+α-αz)-1)
よって　三角形ABQは正三角形
(4)
(z+α-αz)/ω-1=((1-α)z+α)/(αz-1)=(-α＾2z+α)/(αz-1)　準備２より
=-α(αz-1)/(αz-1)
=-α
=-1×α
=(cos180°+isin180°)(cos60°+isin60°)
=cos240°+isin240°
よってarg((z+α-αz)/(ω-1))=240°

ところでこの最後の問題は図形を使って解けるのです。
図形で三角形ABP　三角形ABQが正三角形のとき
三角形ABPをBを中心に60°回転すると三角形QBOにかさなりますから
角PRQ=120度　この問題はAPを回転してOQに一致させるという問題なんです
（AをOに　PをQに重ねる）すると　240°になりますね。
ただこういった図を考えることは高校ではあまりないし　複素数の
計算の意味を十分にしらないとできないことだと思います。
最後の図形の話は蛇足なのでわからなくてもいいです。
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グラフを添付してませんでした。
出典はネットで百科です。