ヨッシーの八方掲示板

2005年10月の投稿ログ

23990．整数

名前：リョウ 日付：10月31日(月) 23時12分

a,b,cは互いに素な正の整数とする。
a,b,cが
　　　　a^2＋b^2＝c^2
を満たすとき、以下の問いに答えよ。
(1)cは奇数であることを示せ。
(2)a,bの1つは3の倍数であることを示せ。
(3)a,bの1つは4の倍数であることを示せ。
という問題なのですがどうすればいいのやら。
お願いします

	23993．Re: 整数
	名前：らすかる日付：11月1日(火) 2時48分
	(1) (奇数)^2を4で割った余りは1、(偶数)^2を4で割った余りは0ですから、もしaとbが両方とも奇数だとすると、c^2を4で割った余りが2となり、式が成り立ちません。従って、aかbのどちらかが偶数ですので、条件よりcは奇数です。 (2) (3の倍数でない数)^2を3で割った余りは1、(3の倍数)^2を3で割った余りは0ですから、もしaとbが両方とも3の倍数でないとすると、 c^2を3で割った余りが2となり、式が成り立ちません。従って、aかbのどちらかが3の倍数です。 (3) (4の倍数でない数)^2を16で割った余りは1か4か9、(4の倍数)^2を 16で割った余りは0ですから、もしaとbが両方とも4の倍数でないとすると、c^2を16で割った余りが2,5,8,10,13のいずれかとなり、式が成り立ちません。従って、aかbのどちらかが4の倍数です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	23995．Re: 整数
	名前：リョウ日付：11月1日(火) 22時23分
	ありがとうございます。

23987．(untitled)

名前：こまったちゃん 日付：10月31日(月) 22時5分

０×０の答えはなんですか？

	23988．Re: (untitled)
	名前：Kurdt 日付：10月31日(月) 22時10分
	0です。 http://fairytale.holy.jp/

	23989．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月31日(月) 22時13分
	いくつかまとめて書いておくと、　０÷０　・・・計算できない　ａ⁰＝１　ただし、ａ≠０　０⁰　・・・計算できない　０！＝１　₀Ｃ₀＝１などなど。「計算できない」には、無数に答えがある（不定）、答えが存在しない、など、ひっくるめています。　　 http://yosshy.sansu.org/

	23992．Re
	名前：soredeha 日付：11月1日(火) 1時32分
	１袋に飴が３個、２袋で　　飴があわせて６個　　　　　　　　　　３個/袋×２袋＝６個　　　　　　　　　　３個/袋×１袋＝３個１袋に飴が３個、０袋で　　あわせて飴が０個　　　　　　　　　　３×０＝０１袋に飴が０個、２袋で　　飴があわせて０個　　　　　　　　　　０×２＝０　　　　　　　　　　０×１＝０１袋に飴が０個、０袋で　　飴があわせて０個　　　　　　　　　　０×０＝０ .

	24010．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月3日(木) 18時56分
	＞0⁰ これは、連続関数y=x^x(x＞0)を考えるときに、 x^x→1(x→+0)なので 0⁰＝1 と定義する流儀もあるよーな気がします…。

23984．(untitled)

名前：クラリネット 日付：10月31日(月) 19時45分

ある中学校の生徒数を調べたら、男子の人数は１９０人で、女子の人数は全員の人数の２分の1より１０人多くいました。女子の人数を求めなさい。

	23985．求めなさい、ね。
	名前：だるまにおん日付：10月31日(月) 19時52分
	女子の人数をx人とおくと、(190+x)/2+10=xですから・・・

23980．群数列

名前：琉架　高２ 日付：10月31日(月) 17時13分

群数列　1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|…　がある。次の質問に答えよ。
(1)第n群の1番目の数をb[n]とおく。b[n]を求めよ。
(2)第k群のk番目の数をc[k]とおく。c[1]+c[2]+…+c[n]を求めよ。
(3)第n群に含まれる数の総和を求めよ。
(4)2005は第何群の第何項かを答えよ。
この4つが分かりません。解き方を教えてください。

	23983．Re: 群数列
	名前：ヨッシー日付：10月31日(月) 19時22分
	まず、1\|2,3\|4,5,6\|7,8,9,10\|… を考えます。つまり、数字と何番目かがあっている数列です。この数列において、 (1)第n群の最後の数をc[n]とおく。c[n]を求めよ。　第１群の最後の数は　１。　第２群の最後の数は　１＋２＝３　第３群の最後の数は　１＋２＋３＝６　　・・・　第ｎ群の最後の数は　∑_k=1～nｋ＝n(n+1)/2　・・・　答え (1)' 第n群の1番目の数をb[n]とおく。b[n]を求めよ。　n=1 のとき、b[n]＝１　n>1 のとき、b[n]＝c[n-1]＋１なので、　　b[n]＝n(n-1)/2＋１＝(n^2-n+2)/2 　これは、n=1 のときも満たすので、任意の自然数ｎについて、　　b[n]＝(n^2-n+2)/2 ここまで出来たら、　1\|2,3\|4,5,6\|7,8,9,10\|… 　を　1\|3,5\|7,9,11\|13,15,17,19\|… に直す方法を考えます。答え　b[n]＝n^2-n+1 (2) c[k]＝b[k+1]－２　なので、　c[k]＝k^2+k-1 　c[1]+c[2]+…+c[n]＝∑c[k] 　(以下略) (3) 第ｎ群とは、b[n] が初項、c[n] が末項、項数ｎ個の等差数列なので、　(以下略) (4) 　b[n]＝n^2-n+1 が2005 に近くなるあたりを探すと、　b[45]＝1981、b[46]＝2071　なので、　2005 は、第45群のどこかにあります。　2005－1981＝24 より　(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

23979．場合分け

名前：へ（高一） 日付：10月31日(月) 17時4分

今僕は場合分けとかで(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)などを使っているのですがその代わりに(一)(二)(三)を使っても問題ないですか？

	23982．Re: 場合分け
	名前：ヨッシー日付：10月31日(月) 18時7分
	ローマ数字、丸付き数字は、ネットでは使わないようにするのが、エチケットのようです。私は Windows 環境なので、ＯＫですが、他の環境では、(i)(ii)(iii) のようには見えていないと思います。 (一)(二)(三)でも(１)(２)(３)でも(ア)(イ)(ウ)でも、何でもいいです。ただし、数式に漢数字はご遠慮ください(^^; 　一＋二三＝二十四　十^拾＝百億　　 http://yosshy.sansu.org/

23972．複利計算と等比数列について（＞＜）（高1です。）

名前：door 日付：10月30日(日) 23時35分

もうずっと悩んでいるのですが分かりそうで分かりません！！
問い．西暦2003年1月1日に100万円を年率7％で借りた人がいる。この返済は2003年12月31日を第1回とし、その後毎年年末に等額ずつ支払い、2005年年末に完済することにする。毎年年末に支払う金額を求めよ。ただし、1.07＾3＝1.225として計算し、1円未満は切り上げよ。
というものです。ちなみに答えは381112円でした。
解答には、借りた100万円の3年後の元利合計と、毎年の返済金（aとする）を同じ利率で積み立てたときの元利合計の総額が等しくなるので、

10^6×1.07^3＝a(1.07^3－1）/1.07－1

を解く。とありましたが、なぜ毎年の返済金(a)を積み立てていった総額と、借りっぱなしだと考えた(？)3年後の元金合計が等しくなるようにするのか分かりません。その理由を教えてください。お願いします！！！

	23975．Re: 複利計算と等比数列について（＞＜）（高1です。）
	名前：はくx 日付：10月31日(月) 3時4分
	毎年返済すべき額を1.07倍の利子をつけて貯めておき支払額と同額のときに支払うことと同じだからです。直接毎回の支払いの式で書くなら ((10^6×1.07-a)×1.07-a)×1.07-a=0 →10^6×1.07^3-a(1+1.07+1.07^2)=0 →10^6×1.07^3-a(1.07^3-1)/(1.07-1)=0

	23977．Re: 複利計算と等比数列について（＞＜）（高1です。）
	名前：キューダ日付：10月31日(月) 10時25分
	Ａさん、Ｂさん、二人ともＭ万円を持っていました。Ａさんは、Ｘ銀行に、Ｍ万円を年利ｐ％で預けていました。Ｂさんは、Ｘ銀行に、なぜか２つの口座（α、β）を持っていて、最初は全額を α口座に預け、毎年年末にα口座からβ口座へ一定額を振り替えるという事を続けて行っていました。もちろん、年利はｐ％で同じです。１．何年か経ったときの、Ａさんの口座の預金額と、Ｂさんのα口座とβ口座の預金額の合計、どちらが多いでしょうか？２．ある年の年末、Ｂさんがいつも通り、一定額をα口座から、β口座へ振り替えたら、調度、α口座の残金が０になりました。このことを式にすると、どうなるでしょう？

	23978．Re: 複利計算と等比数列について（＞＜）（高1です。）
	名前：door 日付：10月31日(月) 16時31分
	お二人ともありがとうございました！！１は〈同じ〉ですよね。２はよくわからないのですが・・・教えてください！！（＞＜）

	23981．Re: 複利計算と等比数列について（＞＜）（高1です。）
	名前：キューダ日付：10月31日(月) 18時1分
	Ａさんの口座の金額は、「借りっぱなしだと考えた(？)3年後の元金合計」に相当・・・● Ｂさんのα口座の金額は、借金の残高Ｂさんのβ口座の金額は、「毎年の返済金(a)を積み立てていった総額」に相当・・・▲ です／します。ご質問は、なぜ、●と▲が「等しくなるようにするのか分かりません。その理由を教えてください。」だったと思います。このたとえ話で、同じになる理由がわかったのではないかと思います。ところで、高一とのことですが、複利の計算式が、 > a(1.07^3－1）/(1.07－1) で与える、理由がわかりますか？これは、a+ax+ax^2=a(x^2+x+1)=a(x^3-1)/(x-1)という恒等式を用いたものです。

23969．(untitled)

名前：7777 日付：10月30日(日) 10時51分

F(t)=e^t/t -te^(1/t)が、ｔ＞1の範囲で、どのようなグラフになるか調べたいのですが、微分した式が、汚くなって、うまく解けません。どなたか教えてください。

	23970．Re: (untitled)
	名前：X 日付：10月31日(月) 9時25分
	F(t)=e^t/t -te^(1/t) より F'(t)=e^t/t-e^t/t^2 -e^(1/t)+(1/t)e^(1/t) =(1-1/t)(e^t)/t-(1-1/t)e^(1/t) =(1-1/t){(e^t)/t-e^(1/t)} =(t-1)(t+1){e^t-te^(1/t)}/(t^2) ここでさらに g(t)=e^t-te^(1/t) と置くと g'(t)=e^t-e^(1/t)+(1/t)e^(1/t) =e^t+(1/t-1)e^(1/t) ここでt>1において -1<1/t-1<0,0<e^(1/t)<e ∴-e<(1/t-1)e^(1/t)<0 よってg'(t)>0ですから、g(t)はt>1において単調増加ですから g(1)=0によりt>1においてg(t)>0 よってt>1においてF'(t)>0 ですから、t>1においてF(t)は単調増加となることが分かります。（続く）

	23976．Re: (untitled)
	名前：X 日付：10月31日(月) 11時25分
	（続き）さらに F''(t)=e^t/t-e^t/t^2-e^t/t^2+2e^t/t^3 +(1/t^2)e^(1/t)-(1/t^2)e^(1/t)-(1/t^3)e^(1/t) =e^t/t-2e^t/t^2+2e^t/t^3-(1/t^3)e^(1/t) =(e^t/t^3)(t^2-2t+1)+{e^t-e^(1/t)}/t^3 =(e^t/t^3)(t-1)^2+{e^t-e^(1/t)}/t^3>0(t>1) lim[t→∞]F(t)=∞(証明略) ですのでグラフの形は、丁度二次関数y=t^2-1のt>1の部分のグラフと同じような形になります。

	23991．Re: (untitled)
	名前：7777 日付：10月31日(月) 23時36分
	ありがとうございます！

23963．確率統計？

名前：わからんちん 日付：10月30日(日) 2時9分

赤球3個、青球3個、白球2個の球がある。
1）1列に並べるとき、すべての赤球がすべての青球より左にあるようなならべ方は何通りありますか。
2）8個の球を袋に入れ、2個ずつ4回取り出して、8個すべての球を取り出すとき、1度も同じ色のペアを取り出さない確率を求めなさい。

お願い、誰か！！！教えて下さい！！！！

	23966．Re: 確率統計？
	名前：ヨッシー日付：10月31日(月) 19時22分
	1) は２通りのやり方（もっと？）が考えられます。すべての並べ方は、８！/（３！３！２！）＝５６０通り　このうち ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● ○○●●●●●● 　・・・などはすべて、 ○○●●●●●● に集約されます。こういう組合せ（白の位置は同じで、赤青だけ入れ替えた）が、　６！/（３！３！）＝２０　通りずつあるので、　５６０÷２０＝２８　通りあるいは、 ●●●●●● を先に並べておいて、両端を含む７カ所の隙間に白を挿入していくと考えると、１個目の白を入れるのは７通り２個目の白を入れるのは８通り２通りずつ同じ並べ方が出来るので、　７×８÷２＝２８　通り 2) はこの次。　答えは　12/35 になりそうですが。　 http://yosshy.sansu.org/

	23967．Re: 確率統計？
	名前：らすかる日付：10月30日(日) 8時32分
	1)別解赤と青を●、白を○として、●６個と○２個を並べ、６個の●の左３個を赤とみなせばよいので、8C2=28通り http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	23968．Re: 確率統計？
	名前：らすかる日付：10月30日(日) 9時0分
	2) 4回のペアの組合せは(赤青)(赤青)(赤白)(青白)しかなく、ペアの順番が4!/2通り、各ペアの入れ替えが2^4通りなので、 4!×2^3通り。全部で8!/(3!3!2!)通りなので、求める確率は (4!×2^3)÷{8!/(3!3!2!)}=12/35 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23961．(untitled)

名前：予備男 日付：10月29日(土) 23時1分

リンゴが１０個ある。これを両親と子供１人の計３人で分けるとき１個ももらわない人がいてもよいとするなら、分配の仕方は何通りあるか?
答えは１２!／１０!２!って式なんですかこれはどのようにでてきたんですか?

	23962．Re: 適切な表題も付けましょう
	名前：のぼりん日付：10月30日(日) 0時43分
	左から右に一列に並んだ１２個の空白を用意します。１２個の空白から任意に２つ選び、縦棒を置き、残りの１０個の空白には林檎を置きます。区切られた林檎を左から、父、母、子供が取ることとします。【例】`○○○｜○○｜○○○○○ 　父　　母　　　子` この方法により、分配の仕方は尽くされるので、答えは_１２Ｃ_２＝１２！／（１０！２！）通りです。

23960．円

名前：マスマティックス 日付：10月29日(土) 20時44分

「円Oと円Pにおいて円Oの円周上の一点Aで円Oと円Pが接しているとき、
円Oの位置を定めると円Pの位置も定まることを証明せよ(２次元において)」というのが分かりません。ちなみにぼくは「円周上の一点を通る直線が一本に定まる」というのも分かりません。だって円の曲線と直線との間に隙間があるのですからその間を通り接点を通り円とは接しない直線は引けるはずじゃないですか？

	23964．Re: 円
	名前：黒蟻日付：10月30日(日) 5時12分
	「円周上の一点を通る直線が一本に定まる」これは間違いですね。何本も引けます。「円周上の一点を通る、円の接線が一本に定まる」これなら正しいです。

	23971．Re: 円
	名前：マスマティックス日付：10月30日(日) 22時9分
	すいません。間違えてました。しかしそれでも分からないんですが・・

	23973．Re: 円
	名前：ケロ＠前座日付：10月30日(日) 23時55分
	むかしむかし　ロシアにロバチェフスキー　ハンガリーにボヤイといふかたがゐらつしやつたさうです。

23957．チェバの定理

名前：maru高１ 日付：10月29日(土) 0時44分

チェバの定理の逆はどのように証明すればいいのでしょうか？やり方がさっぱりわからないのですが・・・。教えてください。

	23959．Re: チェバの定理
	名前：七宝日付：10月29日(土) 20時24分
	「三角形ABCの三頂点A,B,Cと三角形の辺上にもその延長上にもない点Oとを結ぶ直線が、対辺BC、CA、ABまたはその延長と交わるときその交点をそれぞれP,Q,Rとするならば、BP/PC＊CQ/QA＊AR/RB＝１が成り立つ」これがチェバの定理なわけですから、これの逆というのは「BP/PCCQ/QAAR/RB＝１が成り立つとき上の条件の三本の直線が一点で交わる」ことを証明すればいいわけです。メネラウスの定理のときも同じですが、背理法を使えばすぐに証明できます。つまり「三本の直線が１点で交わらない」とするわけです。これで少し考えてみてください

	23974．Re: チェバの定理
	名前：悩める子羊　日付：10月31日(月) 1時11分
	私も同じ所を今、授業でやっていて悩んでいました。でも、まだ「背理法」というものを習っていないのでよくわからないのですが…どのような証明になるのでしょうか？（高１）

23954．線形代数学

名前：ねむ日付：10月28日(金) 22時25分

Ａ，Ｂ，ＣをＲ^nの部分空間とするとき、
(Ａ∩Ｂ)＋(Ａ∩Ｃ)⊂Ａ∩(Ｂ＋Ｃ)
が成立することを示せ。

この問題がどうしても解けないんです。
どなたか教えてくださるとうれしいです。

	23955．Re: 線形代数学
	名前：のぼりん日付：10月28日(金) 23時46分
	Ａ、Ｂ、ＣをＫ－線形空間Ｖの部分空間とします。Ａ∩Ｂ、Ａ∩ＣもＶの部分空間です。（Ａ∩Ｂ）＋（Ａ∩Ｃ）⊆Ａ＋Ａ＝Ａです。また、（Ａ∩Ｂ）＋（Ａ∩Ｃ）⊆Ｂ＋Ｃです。よって、（Ａ∩Ｂ）＋（Ａ∩Ｃ）⊆Ａ∩（Ｂ＋Ｃ）です。

23953．どなたか教えてください！

名前：ペリー 日付：10月28日(金) 22時13分

→　　　 →
OA=(3,6) OB=(4,-2)がある。
∠AOBの内角の二等分線上の点をPとするとき
→
OP と同じ向きの単位ベクトルを求めよ。

	23956．Re: どなたか教えてください！
	名前：ヨッシー日付：10月29日(土) 0時19分
	ＯＢをＢ方向に１．５倍に伸ばした点をＢ’とすると、　Ｂ’：（６，－３）となり、ＯＡ　と　ＯＢ’　は同じ大きさになります。ＯＡ＋ＯＢ’は、とりあえずは、ＯＰと同じ向きのベクトルになるので、あとは、大きさが１になるようにＯＰの大きさで割ってやると、単位ベクトルになります。　 http://yosshy.sansu.org/

23952．フォイエルバッハの定理

名前：通りすがり 日付：10月28日(金) 21時36分

どちらに返信したらいいか決めかねるので、新しく立てます。

私の知る限り、フォイエルバッハの証明は、幾何学的なものと複素数を使ったものがあります。
どちらもさほど難しいものではありませんが、打つのには面倒くさい量です。
問題集の問題や学校の課題など、固有問題ならば頑張って打ってもいいんですが、
有名な定理ですから、図書館などで調べれば、証明が載っている本があるはずです。
ぜひ、足を運んでみてください。（学生ならば、数学の先生に聞くのもありですね。）

それでも、どうしてもということであれば、事情如何によっては、
一方ぐらいならば打っても構いません。ただし、他力本願はダメですよ。

	23986．Re: フォイエルバッハの定理
	名前：ラルク日付：10月31日(月) 21時5分
	幾何学的なものの証明で、傍接円と接するほうの証明を知りたいのですが。。。高１

23947．さっぱりわかりません。

名前：yuuki 日付：10月27日(木) 19時27分

aを定数として関数ｆ（ｘ）＝ｘの三乗-3ｘの二乗+9かけるｘ－aの絶対値＋1を考える。（1）ｘ＞aの範囲でｆ（ｘ）は増加することを示せ。（2）実数全体でｆ（ｘ）が増加するためのaの条件を求めよ。（3）ｘ＞以上-1の範囲でのｆ（ｘ）の最小値をｍとするとき、ｍをa
を用いて表せ。（4）（3）の最小値ｍが-3となるaの値を求めよ。ってゆう問題なのですがどなたか教えて下さい。

	23951．Re: さっぱりわかりません。
	名前：ヨッシー日付：10月28日(金) 18時0分
	1. f(x)=x^3-3x^2+9\|x-a\|+1 2. f(x)=\|x^3-3x^2+9x-a\|+1 3. f(x)=x^3-3x^2+9x-\|a\|+1 など、いろいろに解釈できる表現ですが、1. だと仮定してやってみます。 (1) ｘ＞ａより、\|x-a\|=x-a 　このとき、　f(x)=x^3-3x^2+9(x-a)+1 　f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 + 6 　　= 3(x-1)^2 + 6 ＞0 より、f(x) は単調増加します。 (2) ｘ≦ａでも単調増加すればいいので、　\|x-a\|=a-x より、　f(x)=x^3-3x^2+9(a-x)+1 　f'(x)=3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) よって、　f'(x)≧０となるのは、ｘ≧３またはｘ≦－１のとき。　ｘ≦ａが、この範囲にすべて入っていればいいので、　ａ≦－１ (3) ａ≦－１のときは、明らかにｘ＝－１で最小値 -12-9a をとります。　－１＜ａ＜３のときは、ｘ＝ａで最小値　a^3-3a^2+1 をとります。　３≦ａのときは、ｘ＝３で最小値 9a-26 をとります。 (4) ａ≦－１のとき、-12-9a=-3 より、a=-1 ・・・ＯＫ　－１＜ａ＜３のとき、a^3-3a^2+1=-3 より、　　　(a+1)(a-2)^2＝０　より、a=2　・・・ＯＫ　３≦ａのとき、　9a-26=-3 より、a=23/9　・・・ＮＧ　 http://yosshy.sansu.org/

23945．分かりません

名前：さとこ 日付：10月27日(木) 16時50分

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1(a>b>c>0)(楕円面)
lx+my+nz=0(原点を通る平面)
のもとで、関数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2の最大値,最小値は次の方程式の２解であることを示せ
a^2l^2/(X-a^2)+b^2m^2/(X-b^2)+c^2n^2/(X-c^2)=0
ただし(am-bl)^2+(bn-cm)^2+(an-cl)^2≠0とする。
この問題の解き方がまったく分からないのでどなたか分かる方、
教えてください。お願いします。

23941．これは公式でしょうか？

名前：サンド 日付：10月27日(木) 13時53分

C:y＝ax^2＋bx＋cと直線mがP(α,Β)で接するときに、
C－m＝a(x－α)^2になるのはなぜなのでしょうか？

	23943．Re: これは公式でしょうか？
	名前：tarame 日付：10月27日(木) 16時6分
	ｍは１次式だから、Ｃ－ｍは　ax^2+px+q＝0 となります。この方程式の解が、Ｃとｍの交点のｘ座標になります。接するということは、解が１つ（重解α）ですので ax^2+px+q＝a(x－α)^2 と変形できるわけです。

	23946．Re: これは公式でしょうか？
	名前：サンド日付：10月27日(木) 17時46分
	ありがとうございました

23940．三角関数

名前：カル日付：10月27日(木) 13時49分

正の実数aに対して、ｆ(θ)＝－sin(aθ)＋cos(aθ)を考える。
ｆ(θ)＝－√2sin(aθ＋135°)である。
θは、0°≦θ≦45°を動くとする。
このとき、ｆ(θ)の最大値が1、最小値が－√2となるようなaの範囲を
求めよ。
よろしくお願いいたします

	23942．Re: 三角関数
	名前：tarame 日付：10月27日(木) 16時0分
	＞ｆ(θ)＝－sin(aθ)＋cos(aθ)＝－√2sin(aθ＋135°)である。まず、これが間違っています。ｆ(θ)＝√2sin(aθ＋135°)です！！ｘ＝aθ＋135°とおき、y＝√2sinｘのグラフを描いてください。 0°≦θ≦45°のとき、135°≦ｘ≦(45a+135)°です。ｘ＝135°,405°のとき　ｙ＝1 ｘ＝270°のとき　ｙ＝-√2 であることから 270≦45a＋135≦405 となりますね！！！

	23944．Re: 三角関数
	名前：ヨッシー日付：10月27日(木) 16時14分
	ｆ(θ)＝√2sin(aθ＋135°) ですね。点(0,1) はａにかかわらず通るので、あとは、ａによって、グラフの左右の倍率が変わるだけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	23948．Re: 三角関数
	名前：カル日付：10月27日(木) 22時43分
	計算間違っててすみません。 tarameさん、ヨッシーさんありがとうございます

23939．近似式

名前：ｎo 日付：10月27日(木) 12時59分

3次元空間に、何点か点が与えられているとき、
その点の近似式を求める方法はありますでしょうか。

図書館で調べてみても、平面での近似式しか見つかりませんでした。
3次元空間では近似式はないのでしょうか。

どなたかご存知の方がいましたら、よろしくお願いします。
大学生です。勉強不足で申し訳ありません。

	23950．Re: 近似式
	名前：花パジャ日付：10月28日(金) 13時28分
	どういう式に近似したいのですか? 平面?直線?... 各点との近似形状との距離の2乗の総和が最小になる、という条件で求まるかと思います。

23936．(untitled)

名前：こーん 日付：10月26日(水) 23時43分

2^x-2^(5-x)<4
この不等式なんですが・・・いまいち良い解がでてきません。
2^(5-x)を変形させるのでしょうか？それとも底を2にそろえるのでしょうか？
ご指導ヨロシクお願いします。

	23937．Re: (untitled)
	名前：花パジャ日付：10月27日(木) 1時32分
	y=2^xとして、y>0に注意して2次不等式を解く。y=2^xが単調だから...てな感じ? 前が単調増加、後が単調減少だから、「=」解いて、それ未満、でも良いような

	23949．Re: (untitled)
	名前：こーん日付：10月27日(木) 23時52分
	よく考えてみます、ありがとうございました。

23933．前に質問した問題ですが

名前：初夏日付：10月25日(火) 23時35分

空間内に、一辺の長さが１の正方形Qが固定されている。半径１の球面Pが、Qの内部と共有店をもち、かつ、Qの周と共有点をもたないとき、Pの中心の存在する部分の体積を求めよ。
という問題が未だ解けません宜しくお願いします

	23934．Re: 前に質問した問題ですが
	名前：ヨッシー日付：10月26日(水) 14時18分
	前のときに、私が書いた図は、長さ２の場合でした。長さが１のときは、図のようになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	23935．Re: 前に質問した問題ですが
	名前：ヨッシー日付：10月26日(水) 14時52分
	図のように、正方形より上に出た部分の高さをｘとします。このとき　０≦ｘ≦(２－√3)/２高さｘのとき、　ＯＡ＝１－ｘ　ＡＢ＝√(１－ＯＡ^2)＝√(２ｘ－ｘ^2) このとき、中心の動く範囲の面積は、１辺　１－２ＡＢの正方形の内部なので、　(１－２ＡＢ)^2＝１－４ＡＢ＋４ＡＢ^2 　　＝１＋４(２ｘ－ｘ^2)－４√(２ｘ－ｘ^2) 　　＝１＋８ｘ－４ｘ^2－４√(２ｘ－ｘ^2) これを、０≦ｘ≦(２－√3)/２で積分するわけですが、　１＋８ｘ－４ｘ^2 は普通に積分できますね。　ｙ＝√(２ｘ－ｘ^2) とおくと、　ｙ^2＝２ｘ－ｘ^2 　(ｘ－１)^2＋ｙ^2＝１となり、半円の一部であることを使えば、面積を出すことで、積分することが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	23938．Re: 前に質問した問題ですが
	名前：初夏日付：10月27日(木) 1時39分
	なるほど、分かりました。計算してみます

23926．分数の方程式（高１）

名前：たかし 日付：10月25日(火) 20時39分

10
--- *100 =5
x+10

x
--- *100=10
180+x

の解答方法を教えてください

	23930．Re: 分数の方程式（高１）
	名前：だるまにおん日付：10月25日(火) 22時56分
	実質的には1次方程式とかわりません。 100*10/(x+10)=5の両辺にx+10をかけると 1000=5(x+10)←これなら解けるのでは？

	23932．解けました
	名前：たかし日付：10月25日(火) 23時33分
	問題を解くことができました。本当にありがとうございました。

23925．(untitled)

名前：AA 日付：10月25日(火) 19時29分

算数で比を習ったのですが、
天秤図を使ったほうが楽と、いわれました。
わからないので、教えてください。
楽な方法でやりたいです。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂｙ５ねんAA

	23927．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月25日(火) 20時40分
	たとえば、 20% の食塩水と、10% の食塩水をまぜて、12% の食塩水を 200g 作ったとします。このとき、20%, 10% の食塩水はそれぞれ何ｇずつまぜたでしょう？という問題で、下のような図を描きます。天秤のさおに、10% から 20% まで、目盛りを打ち、12% のところで、天秤をつるしたとします。このときに、10% の位置と 20% の位置に合わせて 200g の重りをつるしてつり合わせようとするとき、それぞれ何ｇの重りをつるすかを考えます。つるした位置から、重りまでの距離の比は、１：４ですから、重りは４：１の比でつるせばいいので、10% の位置に 160g、20% の位置に 40g つるせば、つり合います。この重りが、混ぜ合わせる食塩水の重さに等しくなります。答え：10% の食塩水160g、20% の食塩水 40g これが天秤算です。 10% の食塩水 150g と、20% の食塩水 450g をまぜたときに出来る食塩水の濃度を求める。 20% の食塩水100g に、水をどれだけか入れて、16% の食塩水にするには何ｇの水が必要か？全部、天秤算で出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

23918．教えてください

名前：tazawa shirou 日付：10月25日(火) 0時0分

球体の面積の測り方
宜しくお願いしますっ

	23919．Re:
	名前：soredeha 日付：10月25日(火) 4時14分
	http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/ball/index.html

	23924．Re: 教えてください
	名前：顔なし日付：10月25日(火) 18時23分
	計測の目的レベルによって違ってくるでしょうけど　１、直径を計測する。　２、体積を計測する。　３、重さを計測する。　４、そのた　　１、２、は一番普通ではないでしょうか？　　３、は密度がわかっていないと、、、。　　４、いろいろありますが、、紙を貼り付けて、貼り付けた紙の量又は面積を計測(誤差が大きい）と言うのはどうでしょう？　　質問のレベルが解らないのでこんな答え方をしてみました。

23917．(untitled)

名前：yuhto（高３） 日付：10月24日(月) 23時57分

以前ネットで、簡単な筆算の方法を見つけたことがあるのですが、
どんなものだか忘れてしまって、、どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。確か、

繰り上がりのミスが防げる
斜めに数字を書き出す

みたいな感じだったと思うのですが、、、

23913．(untitled)

名前：弥生（高１） 日付：10月24日(月) 22時2分

フォイエルバッハの定理の傍接円と接する証明教えてください。

23912．2次関数

名前：高3 日付：10月24日(月) 21時54分

2次関数Ｃ：y＝x^2－ax－a－2のグラフの頂点をＰとする。
Ｃがx軸と2点交わる点をＡ、Ｂとすると、このとき三角形ＡＰＢ
が正三角形になるaを求めよ。
という問題です、よろしくお願いします。

	23916．Re: 2次関数
	名前：ヨッシー日付：10月24日(月) 23時6分
	y＝x^2－ax－a－2 は、ｙ＝x^2 を平行移動したグラフなので、頂点および、ｘ軸に平行な辺を含む正三角形は、図のようなサイズになります。Ａ(-√3, ３)、Ｂ(√3, ３) であるので、ＡＢ＝2√3 　y＝x^2－ax－a－2 の２解を、α、βとすると、解と係数の関係より、　α＋β＝ａ，αβ＝－ａ－２ＡＢ^2＝(β－α)^2＝(α＋β)^2－４αβ＝(２√３)^2＝１２これをａについて解きます。　　 http://yosshy.sansu.org/

	23920．Re: 2次関数
	名前：高3 日付：10月25日(火) 7時50分
	返信ありがとございます。これをとくと、a＝－2になると思うんですが、答えは√がつくんですよ？。私は正三角形だから、1：2：√3をつかうと思うんですが、何か答えがでないんです。これはマークの問題でわからないとこだけを書きました。全文書いてみます。 2次関数y＝x^2－ax－a－2のグラフをＣとするとき、グラフの頂点をＰは(○、○)であり、グラフＣは頂点の値にかかわらず、(○、○)を通る。 (1)Ｃがx軸と2点交わる点をＡ、Ｂとすると、線分ＡＢの長さが2のとき、a＝－○である。また、三角形ＡＰＢが正三角形となるとき、a＝－○±○√○である。(因みに○とは空欄のことです) 最後の空欄だけわかりません。よろしくお願いします。

	23921．Re: 2次関数
	名前：ヨッシー日付：10月25日(火) 8時12分
	ん？いかにも、a＝－○±○√○ に当てはまるような答えになりますよ？ちなみに、　ＡＢ^2＝(β－α)^2＝(α＋β)^2－４αβ＝(２√３)^2＝１２は、　a^2+4a+4=0 にはなりません。　 http://yosshy.sansu.org/

	23928．Re: 2次関数
	名前：高3 日付：10月25日(火) 21時33分
	すみませんでした。私の計算間違いでした。ありがとうございます

23911．教えてくださいm(＿＿)m

名前：ゆきひろ＠高１ 日付：10月24日(月) 21時32分

半径6cmの円上に、4点A･B･C･Dがある。
（だいたいの位置としては、左上にA、左下にB、右下にC、右上にD）
また、半直線AD、BCをひくと円外の1点で交わり、その角度は25°である。
弧ABの長さが3πcmのとき、弧CDは何cmか？

友人から聞かれたのですが、とっかかりがつかめず前に進めません…。
よろしくお願いします。

	23914．Re: 教えてくださいm(＿＿)m
	名前：ヨッシー日付：10月24日(月) 22時48分
	円の中心をＯとしたとき、∠ＡＯＢ＝90°であることに気付けば、図のように、∠ＤＢＣ＝20°。円周角の定理より　∠ＤＯＣ＝40°。これより、弧ＣＤの長さを出すことが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	23915．Re: 教えてくださいm(＿＿)m
	名前：ヨッシー日付：10月24日(月) 22時50分
	こういうのも考えられますが、半直線ＡＤというニュアンスから、Ａを始点としてみました。　 http://yosshy.sansu.org/

	23931．ありがとうございました！
	名前：ゆきひろ＠高１日付：10月25日(火) 23時4分
	∠ＡＯＢ＝90°は気付いたのですが…。そうかBDをひけば、スルスルと進めるのですね!! すっきりしました。ありがとうございましたm(＿＿)m

23909．追加

名前：琉架　高２ 日付：10月24日(月) 21時22分

すみません、もう１問お願いします。
この問題にいたってはまったく分かりません。
やり方だけでも教えてください。

等差数列{a[n]}と等比数列{b[n]}を使って、
新たに数列{c[n]}をc[n]=a[n]/b[n](n=1,2,…)と定義すると、
c[1]=2,c[2]=3/2,c[3]=1 となった。
このとき{c[n]}の一般項を求めよ。
ただし、{b[n]}の初項b、公比rは、b＞0,r＞1である。

	23922．Re: 追加
	名前：ヨッシー日付：10月25日(火) 11時39分
	a[1]=a, a[2]=a+d, a[3]=a+2d b[1]=b, b[2]=br, b[3]=br^2 とすると、a[n]/b[n] の最初の３項　a/b, (a+d)/br, (a+2d)/br^2 が、等差数列であることから、　2(a+d)/br = a/b + (a+2d)/br^2 = (ar^2+a+2d)/br^2 両辺 br^2 を掛けて、　2(a+d)r = ar^2+a+2d 展開して整理すると、　2d(r-1)=a(r^2-2r+1) r>0 より、両辺 r-1 で割って、　2d=a(r-1), d=a(r-1)/2 これより、　c[1] = a/b = 2 　c[2] = (a+d)/br = a(r+1)/2br = 3/2 　c[3] = (a+2d)/br^2 = a/br = 1 これらより、r=2, a=2b, d=b これより、　a[n] = a + (n-1)d = 2b + (n-1)b = b(n+1) 　b[n] = br^(n-1) = b・2^(n-1) 　c[n] = (n+1)/2^(n-1) を得ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	23923．Re: 追加
	名前：ヨッシー日付：10月25日(火) 11時43分
	最初から、　c[1] = a[1]/b[1] = a/b = 2 　c[2] = (a+d)/br = 3/2 　c[3] = (a+2d)/br^2 = 1 として、b だけ残して解けばいいのかも。　 http://yosshy.sansu.org/

23908．数列

名前：琉架　高２ 日付：10月24日(月) 20時46分

3a,2b,6cが、この順に等差数列をなし、2a,b,3cがこの順に等比数列をなす。
a,b,cが互いに異なる正の実数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 等差中項、等比中項の公式より、a,b,cで成立する等式を２つ求めよ。
(2) (1)の２式を変形することにより、a,cで成立する等式を１つ求めよ。
(3) a,b,cで作られる２次方程式ax＾2＋bx＋c＝0の実数解を求めよ。

『等差中項について：x,y,zがこの順に等差数列をなす ⇔ (x+z)/2 = y
等比中項について：x,y,zがこの順に等比数列をなす ⇔ xz = y^2』ここまでは何とか解けましたが後が分かりません。よろしくお願いします。

	23910．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：10月24日(月) 21時25分
	(1) 　4b=3a+6c　・・・(ア) 　b^2=6ac　・・・(イ) (2) は、a,c と言っているので、b を消去せよということですね。（イ）を１６倍した　16b^2＝96ac に、（ア）を代入して．．．　（中略） (3) (2)より、　3a=b=2c, a=b=6c という２つの解が得られるのですが、　それぞれ　ax＾2＋bx＋c＝0　に代入すると、ａ≠０より、　2x^2+6x+3=0 　6x^2+6x+1=0 という方程式になります。これを解けばいいでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

23902．微分の仕方

名前：みよ（高３） 日付：10月23日(日) 22時27分

解答を見てもよくわからなかったので、教えてください。
以下問題と解答です。
＜問題＞
直円柱形の物体の底面の半径が毎秒１cmの割合で増加し、
高さが毎秒２cmの割合で増加しているとき、この物体の
半径が50cm、高さが1cmになった瞬間における体積の
変化率を求めよ。

＜解答＞
時刻ｔにおける直円柱の底面の半径をｒcm、高さをｈcm、
体積をＶcm^3とすると、Ｖ＝ｈπr^2であり、ｒ、ｈはｔ
の関数なので、
ｄＶ／ｄｔ＝２πｒ・(dr/dt)・ｈ＋πｒ^2・（dh/dt）
条件より、
ｄｒ／ｄｔ＝１、ｄｈ／ｄｔ＝２であるから、r=50、h=100のとき
ｄＶ／ｄｔ＝２π・50・100＋π・50^2・2＝15000π（cm^3/秒）

以上です。
わからない点は、
ｄＶ／ｄｔ＝２πｒ・(dr/dt)・ｈ＋πｒ^2・（dh/dt）
この箇所はどのように微分しているかがよくわかりません。
あと、「ｒ、ｈはｔの関数なので」という解説もよくわか
らないので、教えてください。
よろしくおねがいします。

	23903．Re: 微分の仕方
	名前：ヨッシー日付：10月23日(日) 23時14分
	まず、「ｒ、ｈはｔの関数なので」というのは、「ｒもｈも、ｔによって変化する」と言う意味です。ｔ＝０のときの、ｒ、ｈをｒ0、ｈ0とすると、　ｒ＝r0＋ｔ、ｈ＝ｈ0＋２ｔという、ｔの関数になります。ｒ(t)、ｈ(t) と書くと、それらしく見えますか？積の微分、k(t)＝f(t)g(t) をｔで微分すると、　k'(t)＝f'(t)g(t)＋f(t)g'(t) という公式は知っていますか？　Ｖ＝ｈπr^2 において、f(t)＝ｒ(t)^2 、g(t)＝h(t) とおくと、　V'＝π{f'(t)g(t)＋f(t)g'(t)} と書けます。　f'(t)＝2r(t)・r'(t)、g'(t)＝h'(t) ですから、　V'＝π{2r(t)・r'(t)h(t)＋ｒ(t)^2h'(t)} という式になります。これを、(t)を省略したり、r'＝dr/dt という表現になおしたりすると、　ｄＶ／ｄｔ＝２πｒ・(dr/dt)・ｈ＋πｒ^2・（dh/dt）となります。　 f'(t)＝2r(t)・r'(t) は、合成関数の微分によっていますが、分からなければまた聞いてください。 http://yosshy.sansu.org/

23901．フォイエルバッハ

名前：†㈱しょっと† 日付：10月23日(日) 19時30分

フォイエルバッハの定理の傍接円と接する証明教えてください！！

23899．無限にある素数（Ｔｈｕｅ）

名前：アカギ 日付：10月23日(日) 17時14分

素数が無限にあるって言う証明の中の、Ｔｈｕｅの証明というのを本で調べました。次のようなものです。

まずn,kを(1+n)^k<2^nとなる整数とする。
p1=2,p2=3,…,pr をp=<2^nを満たすすべての素数とする。
ここでr=<kと仮定すると
算術の基本定理より、すべての整数m(1=<m=<2^n)は
m=2^e1+3^e2+…pr^er(0=<e1=<n,0=<e2<n,…,0=<er<n)
すべての可能性を検討することにより
2^n=<(n+1)n^(r-1)<(n+1)^r=<(n+1)^k<2^nとなるがこれは不合理。
だからr=>k+1
ここでn=2k^2を選べば、すべてのk=>1に対して1+2k^2<2^(2k)だから
(1+2k^2)^k<2^(2k^2)=4^k^2
よってp<4^k^2なる少なくともk+1個の素数が存在する。
ｋはいくらでも大きくとれるので素数が無限にあるといえる。

というものです。この証明の中で次の４点の意味がわかりません。
・５行目のeの範囲（ｎ以下だったりｎより小さかったり）
・６行目のすべての可能性を検討の意味と、それから生まれた７行目の最初の不等号成立の理由
・９行目のすべてのｋに対して…の部分
・下から２行目のｋ＋１個の素数が存在する理由。
それぞれについて教えていただけるとありがたいです。
長文失礼しました。よろしくお願いします。

	23905．Re: 無限にある素数（Ｔｈｕｅ）
	名前：風あざみ日付：10月24日(月) 1時4分
	(1) 0≦e_1≦nだからe_1は0からnまでの整数です。 0≦e_2＜nだからe_2は0からn-1までの整数です。 0≦e_3＜nだからe_3は0からn-1までの整数です。・・・ 0≦e_r＜nだからe_rは0からn-1までの整数です。 (2) 1以上2^n以下の自然数の個数が2^n個です。 m=2^(e_1)3^(e_2)・・・(p_r)^(e_r) 0≦e_1≦n、0≦e_2≦n-1、・・・、0≦e_r≦n-1 と書ける自然数mの集合をSとします。 mの値はe_1、e_2、・・・、e_rによって定まります。 0≦e_1≦nですから、e_1の取れる値はn+1通り 0≦e_2≦n-1ですから、e_2の取れる値はn通り・・・ 0≦e_r≦n-1ですから、e_rの取れる値はn通りよって、mは(n+1)n^(r-1)通りの値をとります。したがって、Sの要素の個数は(n+1)n^(r-1)個あります。一方、1以上2^n以下の自然数kは、 k=2^(e_1)3^(e_2)・・・(p_r)^(e_r)とかけますから、kはSの要素である。したがって、2^n≦(n+1)n^(r-1)となります。

	23906．Re: 無限にある素数（Ｔｈｕｅ）
	名前：風あざみ日付：10月24日(月) 1時15分
	(3) 任意の自然数kに対して、1+2k^2＜2^(2k)が成立するから n=2k^2とおくと、(1+n)^k<2^nとなる自然数nとkが得られる。 8行目までは、(1+n)^k<2^nとなる自然数の存在を仮定して(実際、、(1+n)^k<2^nとなる自然数n,kがあるかどうかは分からない)「(1+n)^k<2^nならば、p＜nとなる素数の個数が少なくともk+1以上ある」ことを証明しています。そして9行目以降で、実際に(1+n)^k＜2^nとなる自然数nとkが存在することを示しています(実際に、(1+n)^k<2^nとなる自然数n,kがあった！)。 (4) 下から3行目までの証明で「(1+n)^k<2^nならば、p＜nとなる素数の個数が少なくともk+1以上ある」ことが示されたからです。

	23958．Re: 無限にある素数（Ｔｈｕｅ）
	名前：アカギ日付：10月29日(土) 12時59分
	ありがとうございました。やっと意味がわかりました。

23898．(untitled)

名前：みぃ。小６です。 日付：10月23日(日) 16時32分

あのぉ。早く教えてください！！！！

23897．お願いします！！！

名前：みぃ。小６です。 日付：10月23日(日) 14時46分

ひろみさんともも子さんが自転車に乗って、公園へサイクリングに出かけました。2人がひろみさんの家を同時に出発してから、目的地の公園まで着くまで、ひろみさんは3.6kmを15分の速さで、もも子さんは6.5kmを25分の速さで走りました。次の（1）（2）の問いに答えなさい。　
（1）ひろみさんともも子さんでは、1分につき、どちらが何m速いですか？
（2）2人のうち、早い方の人が公園に着いた時、遅い方の人は公園まであと720mの地点を走っていました。ひろみさんの家から公園までは何kmですか？
　
と言う問題です。分からないので教えてください。　できるだけ、分かりやすくお願いします。

	23900．Re: お願いします！！！
	名前：アカギ日付：10月23日(日) 17時24分
	まずはひろみさんとももこさんの分速を求めます。ひろみ：３．６÷１５＝０．２４ももこ：６．５÷２５＝０．２６つまり、一分ごとに、０．２６－０．２４＝０．０２ｋｍ（２０ｍ）ずつ差がつくわけです。だから（１）ももこの方が２０ｍはやい。そして、２０ｍずつ差がつく二人が７２０ｍ差がついた…ということは７２０÷２０＝３６分だけ二人は走ったということです。ここで、ももこさんは家から公園に３６分かけて着いたことから０．２６×３６＝９３６ｍだから（２）家から公園までの距離は０．９３６ｋｍ。こんな感じでどうでしょう？もしかしたら計算ミスがあるかも…。。小学生にしてはかなり難しい問題ですね。がんばって解いてみました＾＾；

23889．菊花賞

名前：10cc 日付：10月22日(土) 23時27分

大変拙い質問で恐縮ですがお願いします。
競馬新聞を見ていて、疑問の思いました。
18頭立てで、3連単どのくらいの組み合わせがあるのでしょうか？
また、どの位の確立で当たるのでしょうか？
こちらの掲示板には、そぐ遇わない質問だと思いますが
宜しくお願いします。
PS.遠い過去の記憶ですが、なんとなく順列、組み合わせの記憶は
若干、残っています。

	23891．Re: 菊花賞
	名前：らすかる日付：10月23日(日) 0時9分
	３連単は 18P3=18×17×16=4896通りです。どの位の確率で当たるかは、馬の実力によるので何とも言えませんが、もし全ての馬の実力が同じで枠などによる有利不利も全くないとすれば、 1/4896となります。 # いや、全く同じなら全頭同着かな？（笑） http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	23896．Re: 菊花賞
	名前：10cc 日付：10月23日(日) 8時34分
	らすかるさん、有難うございました。そうすると、4896×100円＝489600円買えば取り敢えず当たるのですね。 PS らすかるさんのホームページ、お気に入りに登録させて頂きました。

23886．代数ですうう

名前：数学まん 日付：10月22日(土) 14時3分

a,b,cを整数とするとき次を示せ。　(a,b)=1→(ac,b)=(c,b) だれか教えてください。

	23887．Re: 代數ですうう
	名前：のぼりん日付：10月22日(土) 19時54分
	（ａ，ｂ）＝１ならば、ある整數ｘ、ｙが存在し、ｘａ＋ｙｂ＝１です。整數ｄ、ｖ、ｗに對しｖｃ＋ｗｂ＝ｄのとき、ｄ＝（ｘａ＋ｙｂ）（ｖｃ＋ｗｂ）＝（ｘｖ）ａｃ＋（ｘｗａ＋ｖｙｃ＋ｙｗｂ）ｂなので、（ａｃ，ｂ）＝（ｃ，ｂ）です。

	23888．Re: 代数ですうう
	名前：風あざみ日付：10月22日(土) 21時29分
	(c,b)=d (ac,b)=eと置きます。 b=db',c=dc'(b'とc'は互いに素な整数)ですから ac=da(c')、b=db' よってdはacとbの公約数公約数≦最大公約数だからd≦e…△ b=eb"、ac=ef(b"とfは互いに素な整数)です。ここでeとaが互いに素であることを証明します。 eとaが共に1より大きな整数kで割り切れると仮定する。 a=ka'、e=ke'(a'とe'は整数) a=k(a')、b=k(e')b" ですから、aとbが1より大きい公約数kを持つことになり aとbが互いに素であることに反し、不合理よってeとaは互いに素です。…▲ ac=efよりacはeで割り切れますから ▲よりcがeで割り切れます。…■ a=ea"だから、aもeで割り切れます。したがって■より、eはaとcの公約数です。公約数≦最大公約数だからe≦d…▽ △と▽よりd=e よって題意は示されました。

	23892．Re: 代数ですうう
	名前：数学まん日付：10月23日(日) 2時0分
	風あざみさん、e,aは互いに素なのにaもeで割り切れる。っていうのは成り立つの？？

	23895．訂正
	名前：風あざみ日付：10月23日(日) 3時32分
	私の解答の「 ac=efよりacはeで割り切れますから ▲よりcがeで割り切れます。…■ a=ea"だから、aもeで割り切れます。したがって■より、eはaとcの公約数です。」は「 ac=efよりacはeで割り切れますから ▲よりcがeで割り切れます。…■ b=eb"だから、bもeで割り切れます。したがって■より、eはbとcの公約数です。」の誤りです。

	23904．Re: 代数ですうう
	名前：数学まん日付：10月23日(日) 23時55分
	でしょ・・・・まぁありがとうございます

23882．(untitled)

名前：Σ 日付：10月21日(金) 23時43分

新聞の購読状況の移り変わりの問題で、Ｙ紙とＴ紙の２紙だけがあり、
今年の購読者はたがいに５０％。そしてＹ紙の読者の２０％が翌年Ｔ紙に変わり、同時にＴ紙の読者の３０％が翌年Ｙ紙にそれぞれ購読紙を変更しており、今後も同様の変化が続いていくと、８年後にはＹ紙の読者は何％となるか。
という問題で、解答には以下のように書いてありました。
購読家庭全体をＡとすると、今年のＹ紙を　
ａ１＝１/２Ａとして、ｎ年目とｎ＋１年目について考えてみると
ａｎ＋１＝0.5ａｎ＋0.3Ａ・・・①

「ここで、ａｎ＋１＝ａｎ＝ｘとして①から辺々を引くと、　
　　　　ａｎ＋１＝0.5ａｎ＋0.3Ａ
　　－）　ｘ　　＝0.5ｘ　＋0.3Ａ
　　　　ａｎ＋１－ｘ＝0.5（ａｎ－ｘ）となり」・・・
　以下計算が続くのですが、「　」の部分の考え方がまったくわかりません。特に（ａｎ＋１＝ａｎ＝ｘとして①から辺々を引くと・・・）これが何をしようとしているのか解かりません。どうやって解こうとしているのか教えてください。
　　　

	23883．抜けていた部分を補足します
	名前：Σ 日付：10月22日(土) 1時35分
	新聞の購読状況の移り変わりの問題で、Ｙ紙とＴ紙の２紙だけがあり、今年の購読者はたがいに５０％。そしてＹ紙の読者の２０％が翌年Ｔ紙に変わり、同時にＴ紙の読者の３０％が翌年Ｙ紙にそれぞれ購読紙を変更しており、今後も同様の変化が続いていくと、８年後にはＹ紙の読者は何％となるか。という問題で、解答には以下のように書いてありました。購読家庭全体をＡとすると、今年のＹ紙を　ａ１＝１/２Ａとして、ｎ年目とｎ＋１年目について考えてみるとａｎ＋１＝0.5ａｎ＋0.3Ａ・・・① 「ここで、ａｎ＋１＝ａｎ＝ｘとして①から辺々を引くと、　　　　　ａｎ＋１＝0.5ａｎ＋0.3Ａ ⇒ｘ＝３/５Ａ　　－）　ｘ　　＝0.5ｘ　＋0.3Ａ　　　　ａｎ＋１－ｘ＝0.5（ａｎ－ｘ）となり」・・・　以下計算が続くのですが、「　」の部分の考え方がまったくわかりません。特に（ａｎ＋１＝ａｎ＝ｘとして①から辺々を引くと・・・）これが何をしようとしているのか解かりません。どうやって解こうとしているのか教えてください。

	23884．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月22日(土) 3時53分
	私のページの、「覚え書きコーナー」の「漸化式と特性方程式」をご覧下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

23879．宿題なんですけど・・・。

名前：imai 日付：10月21日(金) 21時22分

高校で出た順列の問題なのですがどなたか教えて下さいお願いします。
（１）異なる４個のさいころを１回投げた時目の出かたは何通りあるか。

（2）9個の要素を持つ集合｛a1、a2、……、a9｝の部分集合のうち
　　｛a1、a9｝を含む集合は全部でいくつあるか。

（３）２種類の記号・、ーをいくつか並べて記号を作る時100個の記号を
　　　作るには・、ーを最低限なんこまでならべる必要があるか。

と、言う問題です。本当にお願いいたします。

	23880．Re: 宿題なんですけど・・・。
	名前：imai 日付：10月21日(金) 21時22分
	すいません学年をかき忘れました。高校１年です。

	23894．Re: 宿題なんですけど・・・。
	名前：通りすがり日付：10月23日(日) 2時13分
	この分野は苦手になりやすいので、基本に返って理解しましょう。絶対に自分で解いた方がいいと思うので、方針だけを述べます。 (1) 一つのサイコロの出方は６通り。それぞれのサイコロの区別があるとすれば666*6通り。では、区別がないとすれば？ (2) {a1,a2}を含むことは分かっているので、後はこれに残り7個の要素からどれだけ取ってくるかということ。 0個ならそのままで1通り、1個なら₇C₁通りで、続きは？ (3) ２種類の記号なので、2進数を考えましょうか。 1桁なら2¹で0,1まで、2桁なら2²で0,1,2,3まで、つまり、n桁なら、2ⁿ個の数字をあらわせるから、100個以上欲しい時は？

23874．(untitled)

名前：ふい日付：10月21日(金) 15時15分

arccos(cosx/(1+2cosx))の０からπ/2までの積分が、５π＾２/24になることの証明がわかりません教えてください。

	23893．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：10月23日(日) 2時10分
	まず、逆三角関数を積分しようなんてだいそれたことを考えず、部分積分をしましょう。もちろん、cos^-1は微分される関数です。入子構造なので、置換してから部分積分か、あるいは、部分積分をしたあとで置換をするかのいずれかでしょう。もしも、そこまで分かっていての質問ならば、頭がクリアなときに解いてみますので、少し待ってください。

	23907．Re: (untitled)
	名前：ふい日付：10月24日(月) 16時59分
	いちおう部分積分をして1-t^2/1+t^2で置換して積分区間が０から１になるようにしてからテイラー展開をしその関数を項別に取り出して計算しようとしたのですがどうもうまくいきませんでした。ほかの方法でなければできないのでしょか。

23868．多項定理

名前：はみだし 日付：10月21日(金) 6時54分

（ｘ－１＋（２／ｘ））^10の展開式において、定数項を求めよ。
という問題でつまづいています。解説していただけないでしょうか。
お願いします。

	23869．Re: 多項定理
	名前：ヨッシー日付：10月21日(金) 7時53分
	ａ＝ｘ、ｂ＝－１、ｃ＝２／ｘとおくと、この式は、　(ａ＋ｂ＋ｃ)^10 と書けます。この式からは、　　ａ^10、ａ^8ｂ^2、ａ^6ｂｃ^3 など、いろんな項が出来てきますが、共通して言えるのは、全部１０次だということです。では、ａとｂとｃをあわせて１０個持ってきて、ｘがなくなるような掛け方は、どんな場合があるでしょう？　ｂばっかり１０個→ｂ^10　　これもＯＫですね。　ａ１個とｃ１個とあとはｂ→ａｂ^8ｃ　これでも良いです。他にもありますね。それぞれについて、係数を計算して、合計すれば、答えになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	23871．Re: 多項定理
	名前：はみだし日付：10月21日(金) 8時38分
	すみませんがわからないので、解説の続きお願いできますか。

	23872．Re: 多項定理
	名前：ヨッシー日付：10月21日(金) 13時29分
	まずは、下の方の「順列・組み合わせ」にちなんで、（ａ＋ｂ＋ｃ）^10 を展開したとき、ａｂ^8ｃの係数はいくつですか？次に誘導問題ａ＝ｘ、ｂ＝－１、ｃ＝２／ｘのとき、ａ，ｂ，ｃをいくつかずつ掛けて、(a,b,c についての）１０次の単項式を作ります。ただし、使わない文字があってもいい事にします。それを、ｘの式に直したときに、定数項(ｘの入らない項)になるためにはａ，ｂ，ｃをそれぞれ何個ずつ掛ければいいでしょうか？ひとつは、ｂ^10＝(-1)^10＝１　・・・ａを０個、ｂを10個、ｃを０個さらに、ａｂ^8ｃ＝ｘ・(-1)^8・（２／ｘ）＝２　・・・ａを１個、ｂを８個、ｃを１個さて、他には？　 http://yosshy.sansu.org/

	23876．Re: 多項定理
	名前：はみだし日付：10月21日(金) 20時28分
	考えているのですが、どうやればいいのでしょうか。すみません。

	23877．Re: 多項定理
	名前：通りすがり日付：10月21日(金) 20時30分
	(x-１+(2/x))¹⁰における一般項は、 (10!/(p!q!r!))x^p(-1)^q(2/x)^r　　（p+q+r=10） ⇔(10!/(p!q!r!))(-1)^q2^rx^p-r　　（p+q+r=10）で、xの次数に注目するとp-rですよね。定数項はこれが0の場合ですから、p-r=0になります。よって、p-r=0、p+q+r=10を解いて(p,q,r)=(0,10,0)(1,8,1),(2,6,2),(3,4,3),(4,2,4),(5,0,5)。後は、全部を足せばいいですから、 (10!/10!)+(10!/8!)2+(10!/(2!6!2!))2²+(10!/(3!4!3!))2³+(10!/(4!2!4!))2⁴+(10!/(5!5!))2⁵ （-1が全部偶数乗でしたから、打つのが面倒なので省略してあります。）を計算して97285になりますよね。一見大変そうですが、バッーと約分されるので、たいしたことはありません。もしも、本当に多項定理をやっていないとしたら、ここでぜひ覚えてください。考え方は、二項定理と変わりません。例えば、(a+b+c)⁶でa³b²cの係数を求めることは、 aaabbcの並べ方が何通りあるのかと同じことです。もちろん、答えは6!/(3!2!1!)ですよね。３項ぐらいまでなら、二項定理でも何とかなりますが、４項～になると・・・

	23885．Re: 多項定理
	名前：はみだし日付：10月22日(土) 7時50分
	とても助かりました。もちろん覚えたいので色々なことを聞いてしまいました。ありがとうございます。

23863．恒等式

名前：7777 日付：10月21日(金) 0時3分

定数a b c p q Dに対して、（ｘ^3+ax^2+bx+c)^2=(x^2-1)(x^2+px+q)^2+Dが、全てのｘについて成り立つとき、Ｄの値を求めよ。
どなたかお願いします。

	23864．Re: 恒等式
	名前：通りすがり日付：10月21日(金) 0時51分
	恒等式なのでxに適当な値を代入して連立方程式に持ち込みたいところですが、そうは問屋が卸してくれそうにないので、展開して係数比較でしょうか。 a=0,b=-3/4,c=0,p=0,q=-1/4でD=1/16になります。もしかしたら、うまい変形があるのかもしれません。

	23881．Re: 恒等式
	名前：7777 日付：10月21日(金) 23時24分
	かなりめんどくさい計算を、わざわざやっていただいて、ありがとうございました。やっぱり展開するしかないんでしょうか・・・

23860．(untitled)

名前：unnko 日付：10月20日(木) 23時27分

私は数学英語は得意で社会が苦手な理系の人間です
誰か世界史の勉強方を教えてください。もう高２
なのに　今までの内容何一つ覚えていません
助けて
このままじゃ入試で死ぬ

	23861．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 23時49分
	世界史がなぜ必要かによりますが、とりあえず、センター試験だとしましょう。私の場合をお話しすると（当時は共通一次でしたが）社会は２科目必要だったので、倫理社会（今はないのかな？）と日本史に決めていました。試験日は１／１４，１５でしたが、倫社を始めたのは１２／２５から。７日かけて、ひたすら教科書を読む。教科書を７等分して、一日読んで覚える部分を決めて、読破しました。１／１から日本史に取りかかろうとしたら、あまりにも教科書が厚いので、これは覚え切れんと思い、さっと地理に変えました。まず買ってきたのが問題集。解答が巻末にあるのはダメで、１枚めくったところにあるもの。これを一通りやり、３学期に入ったら、クラスメートが問題を出し合ってるのを横で聞きながら反復し、覚え直す。これで、なんとか間に合いましたね。さて、世界史ですが、重要なのは、傾向と対策です。おそらく、教科書にないのや、あっても欄外に小さく書いてあるようなのが出ることも少なくないので、何を覚えたら、効率的か、半月ほどかけて、研究しましょう。その間も、なにがしか頭に入っていくはずです。あとは、暗記と練習問題。過去問はたぶん、この半月で見てしまうでしょうから、別の問題集が良いでしょう。でも、市販のは、よほど見る目がないと選べませんね。Ｚ会とか、専門の機関の直前問題集なんか、レベルに合わせて、うまくまとまっているのが多いようです。あとは、ざっとでも良いので、横のつながりを頭に入れておくことですかね。ヨーロッパ産業革命の頃、中国ではどうだったなど。まぁ、これも傾向を調べれば、そうせざるを得ないでしょうが。以上、数学屋の所感ですので、話半分に聞いておいてください。　 http://yosshy.sansu.org/

	23865．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：10月21日(金) 5時39分
	ちょっと、そのお名前は品がないですわ

	23866．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月21日(金) 5時53分
	だるまにおんさん、朝早すぎ(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/

23856．行列

名前：甲斐日付：10月20日(木) 19時25分

Ａ＝（１　０　　１）は正則であることを確かめよ。
　　（０　２　－１）
　　（３　１　　３）
よければご教示お願いします。

	23857．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 21時53分
	行列（ＡＢＣ）（ＤＥＦ）（ＧＨＩ）に対して、　ＡＥＩ＋ＢＦＧ＋ＣＤＨ－ＡＦＨ－ＢＤＩ－ＣＥＧをこの行列の行列式と言い、これが０でなければ、正則です。　 http://yosshy.sansu.org/

	23859．Re: 行列
	名前：通りすがり日付：10月20日(木) 22時19分
	正則の定義は「Aをn次正方行列、Eをn次単位行列とするとき、 AX=XA=Eとなるn次正方行列Xがある」こと。このXをAの逆行列というわけですから、要は、逆行列を持つことを言えばいいわけで、 3×6型の行列(A E₃)を簡約化していって、 (E₃ A^-1)に到達できれば正則、そうでなければ正則ではありません。逆行列まで求めるのが丁寧だと思いますが、時間がなければ、 Aの簡約化がE₃になることだけを言っても構いませんし、もちろん、ヨッシーさんのように\|A\|が0でないことを言ってもOKです。

	23862．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 23時53分
	ちなみに、逆行列は、（７　１　－２）（－３　０　１）（－６　－１　２）です。　 http://yosshy.sansu.org/

	23867．Re: 行列
	名前：甲斐日付：10月21日(金) 6時45分
	皆様ありがとうございます。これを求めるには順番に計算しなければならないのでしょうか。

	23870．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：10月21日(金) 8時8分
	そうですね。少なくとも、見た目で判断できる代物ではありません。（全部同じ数とかなら別ですが) 　 http://yosshy.sansu.org/

	23873．Re: 行列
	名前：noo 日付：10月21日(金) 15時8分
	a=(1 01) b=(0 2 -1) c=(3 1 3) (a,b,cはベクトル）とすると明らかにこれは１次独立。よってこれは正則である。

	23878．Re: 行列
	名前：通りすがり日付：10月21日(金) 20時38分
	マーク式のテストならパッと暗算で出来ればいいですが、正則であることを示せということなので、恐らくは筆記だと思われます。 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ぐらい明らかでもない限り、少々、飛躍しすぎな気はしなくもないですね。

	23890．Re: 行列
	名前：甲斐日付：10月22日(土) 23時43分
	本当にありがとうございます。ちなみにこれを行列式で直せば３になりますか？

23846．順列・組み合わせ

名前：はみだし 日付：10月20日(木) 10時51分

(a+2b+3c)^6の展開式におけるa^2bc^3の項の係数の求め方を教えてください。
すみませんがお願いします。

	23847．Re: 順列・組み合わせ
	名前：X 日付：10月20日(木) 11時59分
	二項定理を二回使いましょう。 (a+2b+3c)^6=∑[k=0～6](6Ck){(a+2b)^k}(3c)^(6-k) =∑[k=0～6](6Ck)(3c)^(6-k)∑[l=0～k](kCl)(a^l)(2b)^(k-l) =∑[k=0～6]∑[l=0～k](6Ck)(kCl){3^(6-k)}{2^(k-l)}(a^l){b^(k-l)}c^(6-k) 従って求める係数をAと置くと A=(6Ck)(kCl){3^(6-k)}{2^(k-l)} (A) l=3 (B) k-l=1 (C) 6-k=2 (D) (B)(C)(D)からk,lを求めて(A)に代入します。

	23848．Re: 順列・組み合わせ
	名前：X 日付：10月20日(木) 15時29分
	別解）二項定理の基本的な考え方に戻って考えてみましょう。 (a+2b+3c)^6の展開による(a^k){(2b)^l}(3c)^m(但しk+l+m=6)なる各項を {a,2b,3c}なる集合６個から重複を許さずに要素を一個づつ取り出す組み合わせと考えてみます。するとまず2bを1個取り出す方法は6[通り] 残りの集合5個からaを3個取り出す方法は5C3=10[通り] 更に残った集合2個から3cを2個取り出す方法は1[通り] よって(a^3)b(c^2)の項は 6・10・1・(a^3)(2b)(3c)^2 =60・2・9(a^3)bc^2 =… ですから…。

	23849．Re: 順列・組み合わせ
	名前：はみだし日付：10月20日(木) 13時42分
	丁寧に書いてくださりありがとうございます。おかげさまでわかりました。

	23852．Re: 順列・組み合わせ
	名前：通りすがり日付：10月20日(木) 17時46分
	学習指導要領が変わって、多項定理はやらなくなったんでしょうか？ a²bc³の項は、 (6!/(2!1!3!))a²2b(3c)³ です。

	23853．Re: 順列・組み合わせ
	名前：X 日付：10月20日(木) 18時17分
	＞＞通りすがりさん現在はどうか知りませんが、私の時代は多項定理は習いませんでしたよ。

23845．方程式

名前：gauss 日付：10月20日(木) 9時53分

方程式 x^2=2^x の実数解はグラフから３つあることがわかりますが、x=2,4ともう１つの解を代数的に表すことは可能でしょうか。
ニュ-トン法などで近似解はわかるのですが...

	23854．Re: 方程式
	名前：通りすがり日付：10月20日(木) 18時35分
	色々と試してはみましたが、もともと代数方程式ではないので、やはり代数的に解くのは不可能かと。ニュートン法でx=-0.766665などと近似するしかないように思います。

23844．代数学です

名前：たかし（１回） 日付：10月20日(木) 1時7分

ｓｇｎ：Sn→C２は準同型写像であることを示せ。
ただし、C2＝｛１、－１｝：乗法群

なのですが、ご教授お願いします

	23850．Re: 代数学です
	名前：ast 日付：10月20日(木) 15時45分
	置換 σ, τ が偶置換か奇置換かで場合分けしつつ sgn(στ) と sgn(σ)sgn(τ) を比べてください.

23835．(untitled)

名前：こーん 日付：10月19日(水) 20時9分

訂正
解らないんでよ。→解らないんですよ。
スミマセン・・・

23834．弧度法

名前：こーん 日付：10月19日(水) 20時7分

周の長さが一定の値Ｌの扇形で、
面積が最大となるものの中心角と半径の大きさを求めよ。

という問題なんですけど、弧じゃなくて周なんでよく解らないんでよ。
弧度法を使うというのは解るんですけど・・・
よろしかったら教えてください。

	23838．Re: 弧度法
	名前：だるまにおん日付：10月19日(水) 22時0分
	扇形の半径をxとおきますと、 L=x+x+xθ　∴xθ=L-2x 扇形の面積をS(x)とすると、 S(x)=xxθ(1/2)=(x/2)*xθ=(x/2)(L-2x)=-x²+xL/2 S(x)は二次関数なので、平方完成すれば最大値もでます。

	23839．Re: 弧度法
	名前：こーん日付：10月19日(水) 22時37分
	ありがとうございます、バッチリ解けましたよ。二次関数を導くまではできてたんですがここで平方完成とは思いつきませんでした・・・ちなみに中心角＝２というのは具体的に何度なんですかね？中心角なのにπがつかないタイプの解は初めてなもので・・・

	23841．Re: 弧度法
	名前：花パジャ日付：10月20日(木) 0時36分
	L/2=2x+xθ≧√(2x^2θ)=2√S、等号は2x=xθのとき、てな解き方もあったり... >ちなみに中心角＝２というのは具体的に何度なんですかね？ 360/π=114.591559°

23830．導関数

名前：さとみ 日付：10月19日(水) 16時28分

導関数について次の問題を教えてください。宜しくお願いします。
y=(tanx)^(sinx)の導関数を教えてください。

	23831．Re: 導関数
	名前：X 日付：10月19日(水) 17時52分
	指数がある関数になっている関数の微分は、その関数の対数を取るとできる場合があります。 y=(tanx)^(sinx) (A) の両辺の自然対数を取ると logy=(sinx)log(tanx) 両辺を微分すると y'/y=(cosx)log(tanx)+(sinx){(1/(cosx)^2)/tanx} ∴y'/y=(cosx)log(tanx)+1/cosx ∴y'={(cosx)log(tanx)+1/cosx}y これに(A)を代入して y'={(cosx)log(tanx)+1/cosx}(tanx)^(sinx)

	23832．Re: 導関数
	名前：さとみ日付：10月19日(水) 18時4分
	ありがとうございます。この後も何か操作し続けるのでしょうか。

	23842．Re: 導関数
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 0時56分
	これで終わりでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

23827．級数の問題です。

名前：てつこ 日付：10月19日(水) 9時5分

1/√11＋1/√12＋…1/√ｎ＋…
は収束するか発散するか、その理由も述べなさい。

という問題です。
よろしくお願いします。

	23828．Re: 級数の問題です。
	名前：X 日付：10月19日(水) 14時47分
	S[n]=1/√11+1/√12+…+1/√(10+n) と置くと面積比較により S[n]>∫[10→n+10]{1/√x}dx=(1/2)√(n+10)-√10} ∴lim[n→∞]S[n]>lim[n→∞](1/2)√(n+10)-√10} (A) ここで (Aの右辺)=∞ ですから(A)より lim[n→∞]S[n]=∞ よって問題の級数は発散します。

23823．微分記号について。

名前：デザーター 日付：10月19日(水) 2時12分

こんばんは。

(d^3y)/(dx^3)という３回微分の記号がありますが、これは、
(d/dx)^3 * y
と理解して大丈夫でしょうか・・・？

	23825．Re: 微分記号について。
	名前：数学入門者日付：10月19日(水) 2時17分
	おっけい！！ですよね(^_^;)

	23826．Re: 微分記号について。
	名前：デザーター日付：10月19日(水) 3時1分
	返信どうもありがとうございます。あの。「ですよね」ってのがちょっと引っかかるのですが…。すみませんｗ。自分もOK「だよなあ」と思うのですが、確信を持ちたく質問したので、「ですよね？」ってなると、自分と同レベルの回答になってしまい、意味がないと言うか・・・。数学入門者ってのも不安を増徴させるHN・・・笑 OK「です！」とはっきり言って下さい！言ってほしい・・　ｗ

	23840．Re: 微分記号について。
	名前：デザーター日付：10月19日(水) 23時10分
	「おっけい！！ですよね?」と聞いているのに、「おっけい！！ですよね」と言われても・・・

	23843．Re: 微分記号について。
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 1時0分
	(d^3y)/(dx^3) が、　(d/dx)^3 * y に書き換えられたとして、その目的は何でしょう？ http://yosshy.sansu.org/

	23929．Re: 微分記号について。
	名前：デザーター日付：10月25日(火) 22時9分
	ありがとうございます。目的と言いますか、こういうのを少しでも、きちんと理解したいのですけれども・・・＾＾；

23819．算数

名前：カテキョ 日付：10月19日(水) 0時20分

簡単な解き方ありますか？どうかご教授を。

	23821．Re: 算数
	名前：カテキョ日付：10月19日(水) 1時21分
	すいません。私が解いた方法を書いていませんでした。頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろした後、△ＡＢＣの面積はわかっているので、各辺の長さを出して(1：2：√3の直角三角形)、三平方を使いまくって出しました。ちなみに、計算ミスをしていなければ112/5だと・・・

	23822．Re: 算数
	名前：だるまにおん日付：10月19日(水) 11時18分
	一つの頂点がDであるような△ADEでない正三角形(Pとします)の残りの頂点が Aを中心とする正三角形(Qとします)の各辺にあるような図を描くと、 Pの面積＝3△ADE，Qの面積＝3△ABC＝240であることがわかり、また、Pの面積：Qの面積＝19：64であることもわかるので、ゆえに 3△ADE：240＝19：64となり、結局△ADE＝95/4

	23824．Re: 算数
	名前：カテキョ日付：10月19日(水) 2時16分
	あ～ありがとうございます☆お見事ですね(^_^;) しかも、計算ミスしてたようで・・・お恥ずかしい。ありがとうございます！これで、やっと寝れそうです(^。^)

23815．おねがいします・・・

名前：予備校生 日付：10月18日(火) 22時49分

5x+3y=37を満たす整式x yに対して|x-y/x+y|のとる整式の最小値をもとめよ。またそのときのx yを求めよ!!って問題なんですが・・・・・・
> 僕は5x+3y=37の一つの解に(2.9)なので5(x-2)=-3(y-9)としてx-2=X
> y-9=Yとおいて5X=-3Y X=3k Y=-5kとおいて
> x=3k+2 y=-5k+9 を与式に代入して計算すると|4+37/-2k+11|となって
> 整式にならなあかんので-2k+11=1or-1or37or-37にならないと整式にならないのでそれぞれ計算すると-2k+11=-37の時に最小値３となってx y
> にこんときのkの値は２４なので代入すると(x y)=(74.-111)となったんですが実際の答えは最小値は３であってるんですけどx yの値がちがうくて・・・どこがまちがってるんでしょうか???おしえてください!!
> ちなみに答えはX=-3k Y=5kとおいてました・・・でも符号を反対においてもおなじですよね??

	23820．整式？？？
	名前：だるまにおん日付：10月19日(水) 0時57分
	5x+3y=37を満たす整数x,yに対して\|(x-y)/(x+y)\|のとる整数値の最小値を求めよ！ということでしょうか？計算してみましたところ、 ×\|4＋37/(-2k+11)\| ○\|4－37/(-2k+11)\| のような気がします。

23811．数Ⅲ

名前：すばる 日付：10月18日(火) 20時39分

こんにちは。

Q1
曲線C:y=xlogxの概形をかけ。ただしlim[x→+0](xlogx)=0とする。
Q2
曲線C上の点(e,e)におけるCの接線lと曲線Cおよびx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ。

という問題がわかりません…
1番は解法はわかって自分なりに解いてもみたんですが、いまいち自信がありません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

	23812．Re: 数Ⅲ
	名前：すばる日付：10月18日(火) 22時27分
	1番は原点が含まれるのかどうかがよくわかりません。 logだからx>0で原点の部分は含まれない気もするのですが…？

	23813．Re: 数Ⅲ
	名前：だるまにおん日付：10月18日(火) 22時31分
	含まれません。真数条件よりx>0ですからね。グラフ↑

	23814．Re: 数Ⅲ
	名前：すばる日付：10月18日(火) 22時35分
	あーよかった^^ 2番がなんともいえないんですよねぇ～～どうも皆で答えが違って…一体どれがあっているのやら(困) 教えてくださいーー！

	23816．Re: 数Ⅲ
	名前：だるまにおん日付：10月18日(火) 23時10分
	A(e,e),B(e,0),C(e/2,0)としますと、求める面積は ∫₁^exlogxdx-△ABC =1/4

	23817．Re: 数Ⅲ
	名前：すばる日付：10月18日(火) 23時20分
	おーー？なんだか新説のようです… 根本的に求めようとしている領域部分が間違っているのでしょうか？だるまにおんさんのすっきり美しい解答とは程遠いごちゃごちゃしたものになって…あら？？

	23818．Re: 数Ⅲ
	名前：すばる日付：10月18日(火) 23時28分
	ん、とてつもなくくだらない勘違いをしていました。どうもありがとうございました～～～

23808．大小

名前：7777 日付：10月18日(火) 17時53分

a b c dが正数のとき、1/6｛√ab +√ac+√ad+√bc+√bd+√cd｝と1/4｛3√abc+3√abd+3√abd+3√bcd｝の大小を比べたいのですが、どのようにすればいいのでしょうか？相加相乗を使うことは予想がつくのですが・・・。どなたか教えてください。3√は、三乗根のつもりです。

	23809．Re: 大小
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 18時2分
	1/6｛√ab +√ac+√ad+√bc+√bd+√cd｝＝1/12｛(√ab +√ac+√bc)+(√ad+√bd+√ab)+(√cd +√ac+√ad)+(√bc+√bd+√cd)｝＝1/4｛(√ab +√ac+√bc)/3+(√ad+√bd+√ab)/3+(√cd +√ac+√ad)/3+(√bc+√bd+√cd)/3｝ ≧1/4｛3√abc+3√abd+3√acd+3√bcd｝　右辺のabd のひとつは acd に直しました。　 http://yosshy.sansu.org/

	23810．Re: 大小
	名前：7777 日付：10月18日(火) 18時44分
	abdが二つあるのは打ちﾐｽですね。すいません。それと、回答ありがとうございます。おかげで理解できました。

23807．２項係数

名前：gauss 日付：10月18日(火) 14時34分

c(n,r)を2項係数とする。
このとき、c(n+i,i)*c(m-i,r-i)のiを0からrまで動かしたときの和が、c(n+m+1,r)となることの証明ができません。
教えてください。

	23851．Re: ２項係数
	名前：ヨッシー日付：10月20日(木) 16時44分
	この問題、面白いんですけど、難しいですね。だれか＞＞＞　 http://yosshy.sansu.org/

	23855．Re: ２項係数
	名前：noo 日付：10月20日(木) 19時6分
	(1+x+....+x^r)^（n＋１）=c(n,0)+c(n+1,1)x+...+c(n+r,r)x^r+f(x) (f(x)はr次以上の整式）よって、 (1+x+...+x^r)^(n+m-r+2)/x^r =(1+x+...+x^r)^(n+1)(1+x+...+x^r)^(m-r+1)/x^r =(c(n,0)+c(n+1,1)x+...+c(n+r,r)x^r+f(x)) (c(m-r,0)/x^r+c(m-r+1,1)/x^(r-1)+...+c(m,r)+g(x)) (g(x)は整式で定数項は０）　これは恒等式より左辺の定数項と右辺の定数項を比べると（左辺）＝c(n+m-r+2-1+r,r)=c(n+m+1,r) (右辺）＝(c(n+i,i)*c(m-i,r-i)のi=0からrまでの和）証明終了

	23858．Re: ２項係数
	名前：忍日付：10月20日(木) 22時1分
	座標平面の点(0,0)から(m+n+1-r,r)まで格子に沿った最短経路の数はC(m+n+1,r)。一方、(n,i)と(n+1,i)を結ぶ線分をL_i (i=0,1,...,r)とおけば最短経路はL_iのうちただ1つを通り、L_iを通るものの数は C(n+i,i)*C(m-i,r-i)だから。

	23875．Re: ２項係数
	名前：gauss 日付：10月21日(金) 16時34分
	すばらしい！感動しました。本当にありがとうございました。

23798．(untitled)

名前：Σ（１５才） 日付：10月18日(火) 1時52分

完全に解かりました。すごく論理的な説明でした。ありがとうございました。

	23802．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 5時31分
	これは、等比数列の和の公式を導く際には、必ず使う方法です。教科書にも載っているはずです。公式は忘れても構いませんが、この手順は忘れてはいけません。　 http://yosshy.sansu.org/

	23804．要読
	名前：のぶなが。日付：10月18日(火) 7時29分
	＞Σ（１５才）さんへ　下記投稿要読↓ --------------------------------------------------------------- 23800．Re: (untitled) 名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 5時28分一連の記事には、各記事の右上にある「返信」を押してから返答を書くようにしてくださいね。　 http://yosshy.sansu.org/

23797．(untitled)

名前：Σ（１５才） 日付：10月18日(火) 1時39分

あ、わかりました。理由がＳｎがＴｎにかわったのはいみがあるのですか。

別にＳｎのままでもかまいませんよね。

	23801．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 5時29分
	はい。ですから「置かなくても解ける」と書いてあります。解答を見ると、最後には a(1-r) をくくり出さないといけないようだったので、先にくくっておきました。　 http://yosshy.sansu.org/

23795．(untitled)

名前：Σ（１５才） 日付：10月18日(火) 1時27分

考えてみたのですが
Ｓn＝a(1+r)n＋a(1+r)n-1・・・a(1+r)
　　＝a(1+r){(1+r)n-1＋(1+r)n-2＋・・・＋１}
なぜ二つが＝になるのか解かりません。
{(1+r)n-1＋(1+r)n-2＋・・・＋１}にａ(1+r)かけることで
どうしてa(1+r)n＋a(1+r)n-1・・・a(1+r)
と同じになるのかが解からないのです。

	23800．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 5時28分
	一連の記事には、各記事の右上にある「返信」を押してから返答を書くようにしてくださいね。　 http://yosshy.sansu.org/

23793．積立預金の公式

名前：Σ（１５） 日付：10月18日(火) 0時38分

積立預金の問題で、「期首払い」だったので、以下のように式を考えました。
Ｓｎ＝ａ（１＋ｒ）＾ｎ＋ａ（１＋ｒ）＾ｎ（ｎ－１）・・・ａ（１＋ｒ）
として
ａ（１＋ｒ）＋ａ（１＋ｒ）＾ｎ*ｎ/２
で答えを求めました。（ｒとｒ＾ｎの数値が問題にあったので。）
しかし答えの公式を見てみると、
ａ（１＋ｒ）｛（１＋ｒ）＾ｎ－１｝/ｒになっていましたが、
なぜこんな公式になるのか理屈がわかりません。どういった考え方でどういった論理でこうなるのか、考え方の流れを教えてください。

	23794．Re: 積立預金の公式
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 0時58分
	Ｓ_n＝a(1+r)ⁿ＋a(1+r)^n-1・・・a(1+r) 　　＝a(1+r){(1+r)^n-1＋(1+r)^n-2＋・・・＋１} と書けますから、　Ｔ_n＝(1+r)^n-1＋(1+r)^n-2＋・・・＋１　・・・（１）と置きます（別に置かなくても解けます）。（１）の両辺を（１＋ｒ）倍して、　(1+r)Ｔ_n＝(1+r)ⁿ＋(1+r)^n-1＋・・・＋(1+r)　・・・（２）（２）から（１）を引く(左辺は左辺同士、右辺は右辺同士引く)と、　ｒＴ_n＝(1+r)ⁿ－１両辺ｒで割って、　Ｔ_n＝{(1+r)ⁿ－１}／ｒこれに、a(1+r) を掛ければ、Ｓ_nになります。ところで、　{ａ（１＋ｒ）＋ａ（１＋ｒ）＾ｎ}*ｎ/２　は、等差数列の和の公式ですので、お間違えなく。答えも、違ってたはず。　 http://yosshy.sansu.org/

23788．誰か教えて下さい。

名前：数学だーい好き（30才） 日付：10月17日(月) 20時57分

つい最近，以下の問題がふと頭をよぎったのですが，答えが未だ解決できません。
『一般項がAn＝1/nと表されているとき，この数列の和SｎのLim(n→∞）Sｎを求めよ。』
自分では，その答えが収束すると思うのですが，発散するかもしれません。いずれにしても，手も足も出ません。よろしくお願いします。

	23789．はっつぁん！！
	名前：だるまにおん日付：10月17日(月) 22時0分
	もし収束するとしてその値をαとおいてみましょう。 α＝1/1+1/2+1/3+1/4+・・・・・・ところで、このαの値はあきらかに次の値よりも大きいはずです。 1/2+1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+・・・・(A_2n-1の値をA_2nに置き換えた和) つまり、 α＝1/1+1/2+1/3+1/4+・・・・・＞1/2+1/2+1/4+1/4+1/6+1/6+1/8+1/8+・・・＝(1/2+1/2)+(1/4+1/4)+(1/6+1/6)+(1/8+1/8)+・・・・＝1/1+1/2+1/3+1/4+・・・・・＝α 矛盾が起こったので収束しないことがわかります。

	23790．Re: 誰か教えて下さい。
	名前：黒蟻日付：10月17日(月) 22時22分
	S(2n)－S(n)＝1/(n＋1)＋1/(n＋2)＋…＋1/(2n)≧1/(2n)＋1/(2n)＋…＋1/(2n)＝n/(2n)＝1/2となるので、A(n)＝S(2^n) (n≧0)とおけば A(n＋1)－A(n)＝S(2^(n＋1))－S(2^n)≧1/2　よって、A(n)≧n/2＋A(0)＝n/2＋1 すなわちS(2^n)≧n/2＋1 となるので発散します。何だか不思議な感じがしますが、具体的に計算してみると納得できるかもしれません。 S(2^0)＝S(1)＝1≧0/2＋1 S(2^1)＝S(2)＝1.5≧1/2＋1 S(2^2)＝S(4)＝2.0833…≧2/2＋1 S(2^3)＝S(8)＝2.7178…≧3/2＋1 S(2^4)＝S(16)＝3.380…≧4/2＋1

	23791．Re: 誰か教えて下さい。
	名前：通りすがり日付：10月17日(月) 22時58分
	どうこう言うよりも、見た方が早いと思うので、 H（Harmonic number）とlogのグラフです。ちなみに、limit[n→∞]（(Σ[k=1,n](1/k))-log(n)）はオイラー定数の定義そのものですよね。

	23803．Re
	名前：soredeha 日付：10月18日(火) 5時47分
	1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋・・・＋1/16＋・・・＋1/2＾m ＝ 1＋1/2＋（1/3＋1/4）＋（1/5＋1/6＋1/7＋1/8）＋（1/9＋・・＋1/16）＋・・・＋1/｛2＾(m-1)+1｝＋・・＋1/2＾m ≧1＋1/2＋（1/4＋1/4）＋（1/8＋1/8＋1/8＋1/8）＋（1/16＋・・＋1/16）＋・・＋｛1/2＾m＋・・＋1/2＾m｝＝1＋1/2＋2/4＋4/8＋8/16＋・・＋2＾(m-1)/2＾m ＝1＋1/2＋1/2＋1/2＋1/2＋・・＋1/2＝1＋m/2　→　∞ .

	23829．Re: 誰か教えて下さい。
	名前：数学だーい好き（30才）日付：10月19日(水) 16時25分
	興味深く読ませていただきました。どれも分かりやすく，理解できました。有難うございます。ところで，この数列の和S(n)ってnの式で表すことができるのでしょうか。

	23837．Re: 誰か教えて下さい。
	名前：だるまにおん日付：10月19日(水) 21時3分
	無理です

23783．ﾅｾﾞでしょう?

名前：kaori 日付：10月17日(月) 18時27分

(x+1)^2>x^2+(x-1)^2 と言う問題なんですが、答えが0<x<4なんです。
けれど私は、
(x+1)^2>x^2+(x-1)^2を展開して
x^2+2x+1>x^2+x^2-2x+1
-x^2+4>0
x^2-4<0　となってしまいます。
何処がおかしいのか教えて下さい。

	23784．Re: ﾅｾﾞでしょう?
	名前：ヨッシー日付：10月17日(月) 18時58分
	展開したとき、4x の x が落ちてます。　 http://yosshy.sansu.org/

	23785．すいません
	名前：kaori 日付：10月17日(月) 19時5分
	すいません･･･書き間違えです。 -x^2+4x>0 x^2-4x<0　までは出来ています。その後0<x<4になるのが、わかりません。

	23786．Re: ﾅｾﾞでしょう?
	名前：ヨッシー日付：10月17日(月) 19時43分
	逆に聞きますが、　x^2-4x<0 の解は、どうなるとお考えですか？　 http://yosshy.sansu.org/

	23787．Re: ﾅｾﾞでしょう?
	名前：kaori 日付：10月17日(月) 20時8分
	そこから答えが出ないんです。参考書は答えしか書いていないので･･･。

	23792．Re: ﾅｾﾞでしょう?
	名前：ヨッシー日付：10月18日(火) 0時4分
	x^2-4x<0 の左辺を因数分解すると、　x(x-4)<0 となります。つまり、ｘとｘ－４の掛け算です。ｘは、当然ｘ＜０のときに負、ｘ＞０のときに正です。ｘ－４は、ｘ＜４のとき負、ｘ＞４のとき正です。では、ｘとｘ－４を掛けて負になるのは、ｘがどんな範囲にあるときでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

23775．文章の意味が...

名前：初夏日付：10月16日(日) 23時57分

空間内に、一辺の長さが１の正方形Qが固定されている。半径１の球面Pが、Qの内部と共有店をもち、かつ、Qの周と共有点をもたないとき、Pの中心の存在する部分の体積を求めよ。
という問題の意味がよく分かりません。どこの部分の体積のことを言っているのですか？？

	23778．Re: 文章の意味が...
	名前：ヨッシー日付：10月17日(月) 6時22分
	平面内に、長さが１の線分Ｑが固定されている。半径１の円Ｐが、Ｑの内部と共有点をもち、かつ、Ｑの両端と共有点をもたないとき、Ｐの中心の存在する部分の面積を求めよ。という問題で考えると、図のような面積が考えられます。これを空間で考えたのが、上の問題です。　 http://yosshy.sansu.org/

	23799．Re: 文章の意味が...
	名前：初夏日付：10月18日(火) 2時20分
	わざわざ図ありがとうございました。問題といてみます

23774．解析

名前：たかし（１回） 日付：10月16日(日) 23時35分

a<b<c K≠0 のとき、１/x-a＋１/x-b＋１/x-c=Kが相異なる３個の実数解を持つことを示せ。という問題なのですが、教えてください。お願いします

	23779．Re: 解析
	名前：ヨッシー日付：10月17日(月) 11時41分
	y=１/(x-a) 　y=１/(x-b) 　y=１/(x-c) の３つのグラフを、重ね合わせてもわかるのですが、ｘ→－∞　のとき　ｙ→－０ｘ→ａ－０　のとき　ｙ→－∞ ｘ→ａ＋０　のとき　ｙ→＋∞ ｘ→ｂ－０　のとき　ｙ→－∞ ｘ→ｂ＋０　のとき　ｙ→＋∞ ｘ→ｃ－０　のとき　ｙ→－∞ ｘ→ｃ＋０　のとき　ｙ→＋∞ ｘ→＋∞　のとき　ｙ→＋０のような変化になり、(グラフは省略) Ｋ≠０のとき、ｙ＝Ｋのグラフと、必ず３点で交わります。　 http://yosshy.sansu.org/

	23780．Re: 解析
	名前：tarame 日付：10月17日(月) 14時23分
	f(x)＝1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c) とおくと f’(x)＝-1/(x-a)^2-1/(x-b)^2-1/(x-c)^2 x≠a,b,c のとき、f’(x)＜0 だから y＝f(x)は、x＜a, a＜x＜b,b＜x＜c,c＜x で単調に減少 x→-∞ のとき、f(x)→-0 x→+∞ のとき、f(x)→+0 x→a-0,b-0,c-0 のとき　f(x)→-∞ x→a+0,b+0,c+0 のとき　f(x)→+∞ 以上のことから、k≠0 のとき y＝f(x)とy＝k のグラフは、異なる３つの点で交わる

	23796．Re: 解析
	名前：たかし（１回）日付：10月18日(火) 1時30分
	ありがとうございます

23770．お願いします

名前：ああ日付：10月16日(日) 18時57分

0<a<1/4とする
(1)xの方程式cosx=cos(ax)の2π≦x≦4πにおける解を求めよ。
(2)2π≦x≦4πにおいて、2つの不等式cosx≦y,y≦cos(ax)を同時に満たすxy平面の領域をDaとする
Daの面積S(a)を求めよ。

	23771．(untitled)
	名前：ああ日付：10月16日(日) 18時59分
	打ち忘れました。高校３年です問題しかなく解答も無いため理解できません

	23777．Re: お願いします
	名前：だるまにおん日付：10月17日(月) 1時53分
	(1)cosx-cosax=0⇒-2sin{(1-a)x/2}sin{(1+a)x/2}=0 よって整数mを用いてx=2mπ/(1-a)，2mπ/(1+a)となり、 2π≦x≦4πにあるものは、x=2π/(1-a)，4π/(1+a)となります。 (2)∫[2π/(1-a)→4π/(1+a)](cosax-cosx)dxですね。

23768．教えてください！

名前：あや（高3） 日付：10月16日(日) 15時31分

直線ｙ＝ｘ+2・・・①、
放物線ｙ＝ｘ＾2+ｋｘ+3・・・②　において
②が①によって切り取られる線分の長さが8のとき、ｋの値を求めよ。
いまいち答えが導き出せません。
2点間の距離の公式を使って出すのかと思って考えてみたのですが・・・。教えてください。
ちなみに答えはｋ＝7、-5になるはずです。

	23769．Re: 教えてください！
	名前：キューダ日付：10月16日(日) 16時20分
	長さが８→ｘ座標の差が４√２（∵直線の傾き＝１） x^2+kx+3=x+2の解をα、βとすると、（４√２）＾２＝３２＝（βーα）＾２＝（α＋β）＾２－４αβ＝（ｋ－１）＾２－４から求まります。（そのｋが題意を満たすことのチェックも必要です）

23767．わからん・・

名前：しょう 日付：10月16日(日) 13時47分

	23772．(1)
	名前：風あざみ日付：10月16日(日) 21時53分
	「abがpで割り切れるとき、aまたはbがpで割り切れる。」のヴェイユによる証明だそうです。自然数の集合SをS={nは自然数\|nbがpで割り切れる}とおきます。ここで次のことが成立します。「Sの中で最小の元をeと置きます。Sの任意の元はeで割り切れる」…※ ※の証明 Sにeで割り切れない元mが存在すると仮定する。 m=eq+r、0＜r＜e rb=(m-eq)b=mb-(eb)q=p(u-vq)となるので、rもSの元である。よって、rはeより小さなSの元となって、eがSの元の中で最小であることに反する。 ※の証明終 pbとabはpで割り切れますので、aとpはSの元です。 ※よりaとpはeで割り切れる。 eはpを割り切るので、e=1あるいはpである。 (∵pは素数だからpの正の約数は1とpのみである。) e=1のとき、pv=1b=bとなって、bがpで割り切れることになる。 e=pのとき、pk=e*k=aより、aがpで割り切れることがわかる。よって、abがpで割り切れるとき、aまたはbがpで割り切れることが示されました。

	23773．(2)
	名前：風あざみ日付：10月16日(日) 22時5分
	nに関する帰納法で示す。 n=2のとき (1)よりa₁またはa₂が素数pで割り切れることが分かりました。よってn=2のとき、(2)の命題は正しい。 n=kのとき(2)の命題が正しいと仮定する。…※ n=k+1のときも正しいことを言う。 a₁…a_k+1=(a₁…a_k)a_k+1がpで割り切れる。 (1)よりa₁…a_kまたはa_k+1がpで割り切れることが分かる。 a₁…a_kがpで割り切れるとき。 ※の仮定より、a₁,…,a_kのどれかがpで割り切れます。 a_k+1がpで割り切れるとき a_k+1がpで割り切れます。よって、 a₁…a_k+1=(a₁…a_k)a_k+1がpで割り切れるとき、a₁,…,a_k,a_k+1のどれかがpで割り切れます。よってn=k+1のときも、(2)の命題が正しいことがわかります。よって任意の2以上の自然数nに対して、(2)の命題は正しいことが示された。

23763．単位ベクトル

名前：大学１年 日付：10月15日(土) 22時51分

原点を中心とした半径ｒの円の点（ｘ，ｙ）＝（ｒ・sinθ，ｒ・cosθ）での接線方向の単位ベクトルを求めよ。
答え（-y/r,x/r）＝（-sinθ,cosθ）
となっているのですが、どうやって求めればいいのかわかりません。どなたか解かる方いましたら教えてください。お願いします。

	23765．Re: 単位ベクトル
	名前：通りすがり日付：10月16日(日) 0時35分
	私ばかり答えると何ですが、誰も見てらっしゃらないようなので。問題か答えを写し間違えてませんか？＜＜「（ｘ，ｙ）＝（ｒ・sinθ，ｒ・cosθ）」が正しいとした場合＞＞まず、点(x,y)への単位ベクトルは(sinθ,cosθ)です。で、円における接線はこれと90°の角をなすわけですから、 (sin(θ-π/2),cos(θ-π/2))=(-cosθ,sinθ)になります。＜＜「（-y/r,x/r）＝（-sinθ,cosθ）」が正しいとした場合＞＞同様に、点(x,y)への単位ベクトルは(cosθ,sinθ)で、さっきとは回転方向が逆なので、そこに注意を払って、 (cos(θ+π/2),sin(θ+π/2))=(-sinθ,cosθ)になります。

	23776．すみません　間違えてました
	名前：大学１年日付：10月17日(月) 0時15分
	原点を中心とした半径ｒの円の点（ｘ，ｙ）＝（ｒ・cosθ，ｒ・sinθ）での接線方向の単位ベクトルを求めよ。が正しい問題でした。どうもすみません

23762．教えてください！！

名前：ポンキチ 日付：10月15日(土) 20時59分

三角関数の質問なんですが、
なぜ　cosα＋cos3α＋cos5α＝cosα＋2cos4αcosα　になるのでようか？

高1　男子

	23764．Re: 教えてください！！
	名前：通りすがり日付：10月15日(土) 22時55分
	加法定理は知っていますか？加法定理を組み合わせて、和→積、積→和の公式が与えられます。今回の場合は、cosの和積で、 cosα＋cosβ＝2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) を使います。計算するときは、3αと5αの順番に気をつけましょう。角度が－になると面倒ですからね。

	23766．Re: 教えてください！！
	名前：ポンキチ日付：10月16日(日) 12時9分
	わかりました！！ありがとうございます！！

23758．素数

名前：アカギ 日付：10月15日(土) 12時45分

素数が無限にあるのは有名な話ですが…
数全体における素数の割合ってどのくらいなのでしょうか？
１０までには４つ、１００までには２０くらい…というように下がっていくことはわかるのですが、ある値に収束するのでしょうか？
合成数が多すぎて０になってしまうのでしょうか？
どなたか何かご存知ないでしょうか、よろしくお願いします。。

	23759．Re: 素数
	名前：花パジャ日付：10月15日(土) 12時57分
	こちらによると >n以下の素数の個数は「 n / log n 」でおおむね表されることが知られている。だそうです。

	23761．Re: 素数
	名前：らすかる日付：10月15日(土) 13時29分
	n以下の素数の個数は、t=log(n)/5, p=[t], q=t-p とすると、 π(n)≒n×〔Σ[i=0～p]{i!/log(n)^(i+1)} + q(p+1)!/log(n)^(p+2)〕がかなり良い近似を与えます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	23781．Re: 素数
	名前：アカギ日付：10月17日(月) 15時32分
	レスありがとうございます。事実として、素数に関する事柄は聞いたことはあるのですがたとえば素数定理のようなものの証明ってどこかにありませんか？難しくて素人には理解できないようなものだから載ってないのでしょうか？もしあれば紹介してほしいです。よろしくお願いします。

	23782．Re: 素数
	名前：らすかる日付：10月17日(月) 16時40分
	「素数定理の証明」で検索すると出てきますよ。例えば、↓こちら http://www.math.tohoku.ac.jp/~atsushi/Jarticle/pnt_asap.pdf

23755．教えてください(＞＜;

名前：mami 日付：10月15日(土) 2時0分

等差数列の問題がわかりません。

等差数列の一般項がAn＝４n+1と表されているとき、この等差数列の和
Ｓｎを求めよ。という問題なのですがちんぷんかんぷんです(涙

宜しくお願いします。

	23756．Re: 教えてください(＞＜;
	名前：ヨッシー日付：10月15日(土) 3時51分
	公式をちゃんと知っていれば、それを使えばいいですが、忘れてしまったり、ただ覚えているだけの人は、以下のようにしましょう。今求めようとしているのは、　Ｓn＝５＋９＋１３＋・・・＋（４ｎ－３）＋（４ｎ＋１）　・・・（１）です。これは、足す順を逆にしても同じです。つまり　Ｓn＝（４ｎ＋１）＋（４ｎ－３）＋・・・＋１３＋９＋５　・・・（２）この２式を足すと、Ｓn が求められ、　２Ｓn＝(４ｎ＋６)＋(４ｎ＋６)＋・・・＋(４ｎ＋６)＋(４ｎ＋６) となり、(４ｎ＋６) がｎ個足されたものになります。つまり、　２Ｓn＝ｎ×(４ｎ＋６) よって、Ｓn は２で割って、　Ｓn＝ｎ(２ｎ＋３) となります。そして、上のような計算の成り立ちを理解すると、　(等差数列の和)＝（初項＋末項）×項数÷２という公式が、自然と見つけられます。　 http://yosshy.sansu.org/

23745．ベクトルです

名前：ｎ日付：10月13日(木) 17時43分

3次元座標系に4点A,B,C,rがある。それぞれの位置ベクトルをA,B,C,rとする。
もしも、点ｒが△ABCで構成される平面内にあるならば、
max(|A|,|B|,|C|)>=|r|
かつ
min(|A|,|B|,|C|)<=|r|
である。

以上のことを検証したいのですが、大学生なのに頭が堅いためかよくわかりません。
すごく簡単なことだったら申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

	23747．Re: ベクトルです
	名前：通りすがり日付：10月13日(木) 23時46分
	直感的に「かつ」にはならない感じがしますが、手頃なところで、A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)のx+y+z=1の平面で、 rを動かして実際に計算してみてはいかがですか。 \|A\|=\|B\|=\|C\|=1ですから、どれが最大(最小)かなんて考えなくて済みます。

	23748．Re: ベクトルです
	名前：n 日付：10月14日(金) 1時53分
	返答ありがとうございます．何点かｒをとって計算してみました．結果としては，ｒの大きさのほうが小さいです．何か，証明問題のような感じでやるのかと思ってなやんでいましたが，具体的な数字を当てはめれば良いんですね．本当にありがとうございました．

	23749．Re: ベクトルです
	名前：通りすがり日付：10月14日(金) 3時5分
	すいません。「かつ」になるときがありますね。原点をOとして、三角錐OABCを考えます。これを、平面ABCと平行な面へ正射影します。 Oが⊿ABCの外にあるとき「かつ」になります。

	23751．Re: ベクトルです
	名前：n 日付：10月14日(金) 14時9分
	返答ありがとうございます．原点Oを△ABCと平行な面へ正射影するということでしょうか．あと，点rの位置について，説明不足でしたが，△ABCの構成する平面上ならどこでもということではなく，△ABCの内側にあるという意味です．それでも，「かつ」になりますでしょうか．よろしくお願いします．

	23753．Re: ベクトルです
	名前：通りすがり日付：10月14日(金) 18時38分
	点rの位置は⊿ABCの内側だと思っていましたから、問題はないです。そうでなくては成り立ちませんから。あえて三角錐と言ったのは、その方がイメージしやすいと思ったからです。さらに砕けた説明をすると、底面の上に頂点Oがあるときは、 Oから底面に引いた直線の長さは、min(\|A\|,\|B\|,\|C\|)をこえませんよね。逆に、底面の上に頂点Oがないときは、 min(\|A\|,\|B\|,\|C\|)をこえ、max(\|A\|,\|B\|,\|C\|)をこえません。どうでしょうか？

	23805．Re: ベクトルです
	名前：n 日付：10月18日(火) 8時6分
	何度も返答ありがとうございます．うーん，いまいちまだ理解できないでいます…申し訳ないです．

23739．因数定理の問題

名前：まこと　高１ 日付：10月13日(木) 0時50分

多項式Ｐ(x)は(x-1)の2乗で割ると2x-3余り、x-2で割り切れる。
Ｐ(x)を(x-1)(x-1)(x-2)で割った時の余りを求めよ。

という問題なんですが、
Ｐ(x)＝(x-1)(x-1)(x-2)Ｑ(x)+ax②+bx+cと置いてみたんですが
Ｐ(1)＝a+b+c＝-1
Ｐ(2)＝4a+2b+c＝0
とa,b,cが求められずに行き詰ってしまいました。
どなたか教えて下さい。

	23742．このやりかたで・・・
	名前：だるまにおん日付：10月13日(木) 3時36分
	P(x)=(x-1)²Q₁(x)+2x-3 Q₁(x)を(x-2)で割ったあまりをaとおくと、 P(x)=(x-1)²{(x-2)Q₂(x)+a}+2x-3 =(x-1)²(x-2)Q₂(x)+a(x-1)²+2x-3 ここでおもむろに、xに2を代入するとaが求められるはずです。まことさんの方法で完遂できるやり方は微分くらいしか私には思いつきません・・・

	23743．Re: 因数定理の問題
	名前：まこと　高１日付：10月13日(木) 7時23分
	やっと分りました。とても助かりました。ありがとうございました！

23737．円錐

名前：7777 日付：10月12日(水) 23時27分

底辺の半径1、高さ√3の円錐の容器に、頂点を下にして、水を満たす。中心の軸を、30°傾けたとき、容器からこぼれた水の体積はいくらになるか？
よろしくお願いします。

	23746．Re: 円錐
	名前：通りすがり日付：10月13日(木) 23時44分
	同様の、円柱や半球の問題なら見たことありますが、円錐とは初めて見ました。色々と考えてみましたが、切り方はそんなにありませんよね。円柱の中心軸に対して垂直に切ると、円をベースにした面積関数。平行に切ると、双曲線をベースにした面積関数。斜め30°に切ると、放物線をベースにした面積関数。あるいは、私が気付かないだけで、もっと簡単な切り方があるんでしょうか。いずれにしろ、二次曲線が出現することは必至ですから、一番簡単なのは、円をベースにした面積関数ではないでしょうか。高さと円の半径の関係、円の半径と欠ける面積の関係を出せばいいわけです。前者はすぐに出ますが、後者がくせものですね。どこかでポカミスしてる可能性がありますが、とりあえず、電卓叩きつつ計算したら、(1/576)(-260+219√3)πになりました。円錐の体積が約1.81、求めた体積が約0.65ですから、あってる気もしなくはないですし、違ってる気もしなくはないです。

	23750．Re: 円錐
	名前：花パジャ日付：10月14日(金) 10時20分
	切口は楕円(長軸√3,短軸√2)では? で、高さ1から、体積がπ/(2√6)=0.641274915...

	23752．Re: 円錐
	名前：通りすがり日付：10月14日(金) 18時24分
	私は、「積分で解くんだ」と思いこんでいました。ん～、これぞ、発想の転換ってやつですか。

	23754．Re: 円錐
	名前：7777 日付：10月15日(土) 0時0分
	ありがとうございます。意外と簡単に出るんですね。

23736．方程式

名前：ビンゴ 日付：10月12日(水) 23時25分

（１）ｃ：実数としｆ（x）＝x^2+cとおく。　
条件ｆ（a）＝b,ｆ（b）＝a　ただしa＜b
を満たす実数a、bが存在するcの範囲を求めてください。
（２）ｇ（x）＝ｆ（ｆ（x））とおく。このとき条件を満たすaにたいしてさらに｜g'（a）|＜１となるｃの範囲を求めてください。
平均値の定理にも見えるきがするんですが何をしていいのか分かりませんでした。どなたかお願いします。

	23744．Re: 方程式
	名前：花パジャ日付：10月13日(木) 10時47分
	(1) f(a)=b,f(b)=aから、aとbとの関係を求め、aとcとの関係を求める。　　aが実数になる条件からcの範囲を求める (2) g'(a)をaとcとの関係式を用いて変形するとcだけの式になる

	23806．Re: 方程式
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月18日(火) 12時21分
	(1) について a^2 + c = b・・・(1) b^2 + c = a・・・(2) (1) - (2) を a - b (≠0) で割って、 a + b = -1, a = -b - 1, b = -a - 1. これを (1), (2) に代入して、 a^2 + a + c + 1 = 0, b^2 + b + c + 1 = 0. 即ち a, b は x^2 + x + c + 1 = 0. の異なる実数解となるので、 c ＜ -3/4 逆にこのとき条件を満たす a, b が存在する。(詳細略)

23733．接線の問題

名前：こう日付：10月12日(水) 21時43分

2つの円x^2+y^2=1と(x-2)^2+y^2=1/4の共通接線の方程式を求めよ。
どなたか教えて下さい。

	23738．Re: 接線の問題
	名前：通りすがり日付：10月12日(水) 23時57分
	まぁ、幾何学的に共通外接線と共通内接線の長さが求まりますから、それを手がかりに解くのが一つ。後は係数比較とかもあるでしょうが、私なら、微分に持ち込んでしまいますかね。緑と黄、赤と青、緑と青、赤と黄それぞれから共通接線が出ますよね。

	23740．Re: 接線の問題
	名前：通りすがり日付：10月13日(木) 1時2分
	あー、わざわざ四つを求めなくても、緑と黄、緑と青だけを求めれば、対称性から後の二つは出て来ますね。

	23741．Re: 接線の問題
	名前：らすかる日付：10月13日(木) 1時58分
	2つの円が同じ側になる接線を2本引くと、その2本はx軸上で交わり、それぞれの円の中心を通りy軸に平行な直線を引くとその直線を底辺とする相似な二等辺三角形が出来ます。相似比は2：1ですから、2接線の交点は(4,0)となり、 y切片は±4/√15ですので y=±(x-4)/√15 と求まります。また、2つの円が反対側になる接線を2本引くと、その2本は x軸上で交わり、それぞれの円の中心を通りy軸に平行な直線を引くと、その直線を底辺とする相似な二等辺三角形が出来ます。相似比は2：1ですから、2直線の交点は(4/3,0)となり、 y切片は±4/√7ですので y=±3(x-4/3)/√7 と求まります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23730．教えてください！

名前：ぺこ日付：10月12日(水) 21時9分

初項70の等差数列{a[n]}の第10項から第20項までの和が0であるとする。
(1)第何項から負の数となるか。
(2)初項から第何項までの和が最大となるか。また、その最大値を求めよ。

お願いします！

	23731．Re: 教えてください！
	名前：HG　（ハードゲイ）日付：10月12日(水) 21時26分
	公差をdとする。10～20までの和＝1～20までの和ー1から9までの和 Sn=n(2*70+d(n-1))/2より 20（140+d(20-1))/2-9(140+d(9-1))/2=10(140+19d)-9(70+4d)=0 1400+190d-630-36d=0 -154d=770 d=-5

	23732．Re: 教えてください！
	名前：HG　（ハードゲイ）日付：10月12日(水) 21時31分
	(1) 70-5(n-1)<0 -5n+75<0 5n>75 n>15 16項目 (2)S(n)=n(70-5(n-1))/2=(75n-5n^2)/2　あとは平方完成だけ

	23734．ありがとうございます！！
	名前：ぺこ日付：10月12日(水) 22時16分
	ありがとうございます！レスも早くて、本当に助かりました！しかも分かりやすく解答してくださって、やっと分かることができました！

23724．接する問題・・・？　

名前：イチカワ(高３ 日付：10月12日(水) 17時26分

よく分からないので教えてください。

Ａ：y=log(x^2+1)について、
Ａの第一象限の変曲点においてＡに接し、中心がy軸上である円Ｂを求めよ。(ＢはＡ以上)

という問題なんですが、変曲点は（1,log2）だと思うのですが、
円Ｂの求め方が分かりません。
円Ｂを、x^2+(y-s)^2=r^2　（s=Ｂの中心のy座標，r=Bの半径）と置こうと思ったのですが、よくわからなくなってしまいました。

宜しくお願いします。

	23726．Re: 接する問題・・・？
	名前：ヨッシー日付：10月12日(水) 18時30分
	接するということは、この点での接線がＡもＢも同じということです。接点から、接線に対し垂直に引いた線上のどこかに円Ｂの中心はあります。　 http://yosshy.sansu.org/

	23735．Re: 接する問題・・・？
	名前：イチカワ(高３日付：10月12日(水) 22時36分
	あぁ!!!!!!! ありがとうございます!!

23721．極座標

名前：けいた 日付：10月12日(水) 1時4分

こんばんは。ふと思ったんですが

ｘ＝ｒcosΘ、ｙ＝ｒsinΘとして∂r/∂ｘを求めるとき

１、ｒ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)だから∂r/∂ｘ＝ｘ/√(ｘ^2＋ｙ^2)＝ｘ/ｒ
２、ｘ＝ｒcosΘだから∂ｘ/∂ｒ＝cosΘとなり、
　　∂r/∂ｘ＝1/cosΘ＝ｒ/ｘ
３、ｘ＝ｒcosΘだからｒ＝ｘ/cosΘとして
　　∂r/∂ｘ＝1/cosΘ＝ｒ/ｘ
などいろいろできて答えも違ってきます。正しいのは１だと思いますが、２、３はどうして分子分母が逆なのでしょうか。教えてください。よろしくお願いします。マルチですが返信がないのでお許しください。

	23723．Re: 極座標
	名前：花パジャ日付：10月12日(水) 11時35分
	あらら、すれ違い.....中川さんの所に回答を書きました

23713．めっちゃ基本

名前：通りすがり 日付：10月11日(火) 20時53分

円の円周上に在る一点を通る接線は一本に定まることはどう証明したらいいですか？ほんとにめっちゃ基本ですいません。数学あほなんで・・

	23718．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月11日(火) 22時38分
	x²+y²=r²上の点(a,b)における接線が、 ax+by=r²になることを示せばいいのではないですか。つまりは、公式の証明のような感じですね。ベクトルなどを使って、円の中心が原点でない場合の公式を証明するのも楽しいとは思いますが、上の式を平行移動しても同じなので、純粋にやるのがいいかと思います。

	23719．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月11日(火) 23時23分
	すいません。ぼく中二でベクトルとかそういう難しいことは分からないです。中二のぼくでも分かる証明はないですか。ちなみに私立に行っているので、中産までの数学なら分かります。（確立以外）

	23720．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月11日(火) 23時27分
	すいません。字間違ってます。中産→中三。通りすがりさんの返信の、はじめの方の式も分かりません。よろしくおねがいします。

	23722．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月12日(水) 1時15分
	では、図形的に考えてみましょう。円の中心をＯ、円周上のある点をＡとします。接線とは、直線ＯＡと垂直に交わり、円と点Ａただ一点を共有する直線ですよね。そこで、直線ＯＡと垂直な直線をlとでもおいて、 lをＡ側の円の外から近づけてきて、点Ａと交わる時に接線になることを言えばいいです。 P.S.最初の書き込みの式は、xy平面における、円の中心が(0,0),半径rの円の式です。また学習指導要項が新しくなりましたが、おそらく高校に行ったら習うはずです。

	23727．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月12日(水) 19時37分
	返信が遅れてすいません。ふと思ったのですが、「接線とは、直線OAと垂直に交わり、円とただ一点を共有する直線」というのは、円の円周上の一点を通る直線が一本に定まることを証明してからの定理ではないのですか？

	23728．Re: めっちゃ基本
	名前：通りすがり日付：10月12日(水) 20時6分
	「円周と直線がただ一つの共通点を持つとき、その直線を円の接線といい、共通点を接点という。接点を通り、接線に垂直な直線を法線という。」というのが元々の定義です。この前提なくして、問題は成立しません。「接線」が何なのかも分からなければ、接線の引きようはありませんよね。

23712．教えてください！！

名前：瑞貴日付：10月11日(火) 19時57分

速さの求め方が分からないので教えてください！！
６ｋｍを、４分間で走る電車の時速を求めましょうと、言う問題なのですが。出来れば今すぐに・・・。

	23716．Re: 教えてください！！
	名前：X 日付：10月11日(火) 21時27分
	４[分]は４/６０[時間]ですから電車の速さは６÷４/６０＝６×６０/４＝９０により、時速９０ｋｍです。

23705．対角線のない図形の名前を教えてください

名前：西山亮 日付：10月10日(月) 18時57分

対角線のない図形の名前がどうしてもわからないので
教えてください。

	23706．Re: 対角線のない図形の名前を教えてください
	名前：ヨッシー日付：10月10日(月) 21時9分
	ん？三角形？円？　 http://yosshy.sansu.org/

23704．等積変形

名前：りん日付：10月10日(月) 17時43分

現在中学校で教育実習をしております。等積変形を社会（日常生活）で活用されている問題として扱えと言われたのですが、そのような例が全く見つかりません。もしあれば教えていただけないでしょうか？

	23709．Re: 等積変形
	名前：ヨッシー日付：10月11日(火) 7時36分
	ざっと見渡したところ、そういう事例はありません。そもそも、誰に言われたのでしょうか？生徒の要求？まさか、教育関係者じゃないですよね？もし仮に、ある特殊なケースとして、等積変形を使っている場面があったとして、それでもって、「数学は社会で応用できる！｣と裏付けるつもりなのでしょうか？数学を勉強する目的はそういうところにはないことは、ご承知ですよね？　 http://yosshy.sansu.org/

23703．(untitled)

名前：タカヒデ 日付：10月10日(月) 16時11分

整式
Ｘ*3－１３Ｘ+Ｋ＝０
を満たす
Ｋの値、またその解を全て求めよ。

	23710．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：10月11日(火) 18時1分
	「Ｘ3」が「Ｘ³」にしろ、「3Ｘ」だったにしろ、グラフを考えれば、どうあがいてもx軸を横切りますから。 ∀Ｋ∃Ｘ[Ｘ3－１３Ｘ+Ｋ＝０]（∃Ｘ∀Ｋ[Ｘ*3－１３Ｘ+Ｋ＝０]）すなわち、Ｋは実数全体ということになります。「その解を全て求めよ」なんて、正気の沙汰ではありません。「これが二つの解を持つように」とか、「ＸとＫを整数とする」とかなら、まだかわいげがあるんですが。。

	23711．Re: (untitled)
	名前：タカヒデ日付：10月11日(火) 18時54分
	すいませんとても間違えていました。 Kは整数であり、3次方程式Ｘ３乗-13Ｘ+K＝0 は3つの異なる整数解をもつ。Kとこれらの整数解を全て求めよ。

	23715．Re: (untitled)
	名前：キューダ日付：10月11日(火) 21時17分
	解をα、β、γとすると、解と係数の関係から（中略）、 α＋β＝－γ、αβ＝γ＾２－１３、 α、βはｔの二次方程式ｔ＾２＋γｔ＋γ＾２－１３＝０の解判別式Ｄ＝５２－３γ＾２なのでγ＝±１，±３、±４が候補。以下略

	23717．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：10月11日(火) 22時24分
	k=-12のとき、x=-3,-1,4と、 k=12のとき、x=-4,1,3が答えですね。 k=-18,-17,-16,...,18になりますが、さすがに全部を代入してみるのは大変なので、キューダさんのように見当をつけるのがいいかと思います。

	23725．Re: (untitled)
	名前：タカヒデ日付：10月12日(水) 17時55分
	素晴らしい。お見事です。これは東大の１９８０年代の問題でした。

	23729．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：10月12日(水) 20時41分
	？？2005年度の一橋大学の問題では？？

23701．数学B「平面ベクトル」

名前：博美日付：10月10日(月) 14時15分

こんにちは。高２生の博美です。考えてるうちによくわからなくなったことがあるんですがよろしかったら教えていただけませんか。

ベクトルa（以下、→a）≠０、ベクトルb（以下、→b）≠０とします。
このとき、│→a│^２・│→b│^２を考えます。これは、
（→a・→b）^２と等しくはないんですか？
（→a・→b）^２＝（→a）・（→a）・（→b）・（→b）
＝│→a│^２・│→b│^２じゃないのかなあと思ったんですが...
違うとしたら、どこがどう違うんでしょうか。
ちなみにベクトルはあんまり得意じゃないです。
なんか基本的なことだったら申し訳ありません、でも
どうしても疑問に思ったので。
どなたかお願いします。

	23707．Re: 数学B「平面ベクトル」
	名前：ヨッシー日付：10月10日(月) 23時41分
	ａとｂのなす角をθとすると、　ａ・ｂ＝\|ａ\|\|ｂ\|cosθ よって、　(ａ・ｂ)²＝\|ａ\|²\|ｂ\|²cos²θ≠\|ａ\|²\|ｂ\|² で、cos²θ＝１のとき以外は、等しくありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	23714．Re:
	名前：博美日付：10月11日(火) 21時12分
	ヨッシーさん、ありがとうございます。納得いたしました。

23700．範囲

名前：たかし 日付：10月10日(月) 11時13分

すみません、教えてください。
120人の学生を対象に、簿記３級と、英検３級の取得率を調査したところ
両方取得している学生は、どちらも取得してない学生の丁度２倍。
また、簿記３級を取得してる学生は、英検３級を取得してる学生の数
以上だったが、英検３級を取得している学生の数の２倍以下だった。
このとき、
（問題１）簿記３級を取得している学生の数は
　　何人以上何人以下か。
（問題２）英検３級を取得している学生の数は
　　何人以上何人以下か。

すみません、どのように考えていったらいいのか
わかりません。よろしくお願いいたします。

	23708．Re: 範囲
	名前：ヨッシー日付：10月11日(火) 7時25分
	たとえば、無取得者(簿記も英検も取得していない人)が０とすると、両取得者も０で、　簿記８０：英検４０　簿記６０：英検６０がその範囲になります。無取得者が１とすると、両取得者は２で、　簿記８０：英検４１　簿記６１：英検６０が範囲になります。この場合、無取得者を除き、両取得者を２重に数えた　１２０－１＋２＝１２１　人を、２：１～１：１　に分けることになります。続けると、無取得者ｎ人のとき、両取得者２ｎ人　簿記８０＋２ｎ／３：英検４０＋ｎ／３　簿記６０＋ｎ／２：英検６０＋ｎ／２の範囲となります(端数は、適宜調整) となると、無取得者が多いほど、簿記、英検とも多くなるのですが、両取得者が、それぞれの取得者を上回ることはあり得ません。そこで、　４０＋ｎ／３＝２ｎ　より、ｎ＝２４このとき、両取得者４８人　簿記９６：英検４８　６０＋ｎ／２＝２ｎ　より、ｎ＝４０このとき、両取得者８０人　簿記８０:英検８０以上より　簿記６０人以上９６人以下、英検４０人以上８０人以下　となります。　 http://yosshy.sansu.org/

23692．チャレンジ問題の宿題です

名前：akitoshi　高１ 日付：10月9日(日) 21時16分

定数ｐ、ｑ、ｒはｐ＞ｑ＞ｒをみたしているとする。また、３次方程式ｘ3＋ｐｘ2＋ｑｘ＋ｒ＝０の解は、連続する３つの整数n-1、n、n+1であるとする。このとき、ｎの値とｐ、ｑ、ｒの値を求めよ。03年大阪大学の問題みたいですが、どこにも問題がなく宜しくお願いします。

	23693．解と係数の関係
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 21時24分
	チャレンジ問題というからには、自分で挑戦するのがよろしいかと思われますので、ヒント：解と係数の関係より、p=-3n、q=3n²-1、r=n-n³かつp>q>rなので・・・

	23694．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：akitoshi　高１日付：10月9日(日) 21時44分
	だるまにおんさんありがとうございます。少し光りが見えて来ました。自分でもう少しやってみます！

	23695．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：akitoshi　高１日付：10月9日(日) 23時1分
	解答できました。全てを書けませんが値は、ｎ＝－１、ｐ＝６、ｑ＝２、ｒ＝０となりましたが、これで正解でしょうか？ご回答宜しくおねがいします。

	23696．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 23時3分
	pがなんか、ほら・・・あれですよ。

	23697．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：akitoshi　高１日付：10月9日(日) 23時7分
	とけて浮かれてました！ｐ＝３ですよね！？これで正解でしょうか！？

	23698．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 23時8分
	正解！！

	23699．Re: チャレンジ問題の宿題です
	名前：akitoshi　高１日付：10月9日(日) 23時14分
	ありがとうございます。最初のヒントで３乗の方程式の解と係数の関係を思い出しました。今後もヒントを宜しくお願い致します。

23680．二次方程式の応用について教えてください。

名前：えり　中３ 日付：10月8日(土) 18時25分

初めまして、質問させてください。
問題↓
右の図（参照より※自作です）の直線ｌ、ｍはそれぞれ関数
y＝3x,y＝－x＋12のグラフであり、点Ａで交わっています。直線ｍとｘ軸との交点をＢとするとき、次の問いに答えなさい。

(1)点Ａの座標を求めなさい。

…これは分かりました＾＾ｍとｌの式を連立方程式にすればいいんですよね？答えは(3.9）

(2)線分ＡＢ上の点Ｐを通り、y軸に平行な直線x軸との交点をＱとします。△ＰＱＢの面積が△ＡＯＢの面積の三分の一になるとき、点Ｐのx座標を求めなさい。

…これが分かりませんでした。
解説が答えにかいてあるんですけど、全然分からなくて・・・どうか回答宜しくお願いします。式を見ても意味がサッパリで・・・特に左辺と右辺が何を表しているのかがよく分からずに・・・・。

ちなみに答えは

点Pのx座標をtとおくと
1/2(12-t)2乗＝1/2×12×9×1/3

t2乗－24t＋108＝0

(t－6)(t－18)＝0

t＝6.18

点Ｐは線分AB上にあるから、
3≦t≦12

t＝6

です。

	23681．Re: 二次方程式の応用について教えてください。
	名前：某大学生日付：10月8日(土) 19時14分
	解答の解説をしていきます。 1/2(12-t)2乗＝1/2×12×9×1/3 は、三角形の面積で式を立てていますね。 △PQBの面積がイコールの左側になっています。点Pのx座標をtとおくと、点Pの座標が(t、-t+12)ってなっているのが分りますか？(y=-x+12より) 点Pのｙ座標が、△PQBの高さになっていることに気が付きます。高さ=-t+12=12-t 底辺はQBになっています。 Bの座標が(12、0)となっていて、Qの座標が(t、0)になっています。 Bのｘ座標から、Qのｘ座標を引いたものが底辺の長さになるので底辺=12-t ですね。三角形の面積は　底辺×高さ×1/2　なので △PQB=(12-t)×(12-t)×1/2=1/2(12-t)^2　となります、(^2は２乗を表します) 次は、イコールの右側なのですが、これは△AOBの面積に1/3をかけたものになっています。(問題文より) 高さが、Aのｙ座標になっていて高さ=9 底辺が、線分OBになっているので、Bのｘ座標(12)がそのまま、底辺になります。底辺=12 △AOB=12×9×1/2 つまり、1/2(12-t)2乗＝1/2×12×9×1/3　は △PQB=△AOB×1/3　となっています。このあたりは問題文と比較すると分ると思います。あとは、2次方程式を解けば、答えがでます。 t　は点Pのｘ座標になっていて、線分AB上にあると問題文で言っていることから t=18　にしてしまうと、点Pが点Bを越えてしまいますよね。(点Bのｘ座標は12なので）なので、答えが　t=6　となるわけです。

	23682．Re: 二次方程式の応用について教えてください。
	名前：えり　中３日付：10月8日(土) 20時3分
	某大学生さん、詳しい解説本当にありがとうございます！！プリントの解説で分からなかった所がどんどん解けていきました！（感動）休日で先生にも聞きにいけなくて困っていた矢先にこんな掲示板を見つけまして、書き込ませていただいたら、すぐにレスがきて分かりやすい解説！本当に感謝感謝です！！これでもし、この問題がテストに出ても解けそうで安心です＾＾本当に本当に、ありがとうございました！

23677．単位をそろえる？

名前：ともとも 日付：10月8日(土) 12時59分

『時速ｘ㎞で走る電車が、ブレーキをかけてから止まるまでに進む制動距離をｙmとすると、ｙはｘの２乗に比例する。時速40㎞で走るときの制動距離が100mであるとき、ｙをｘの式で表しなさい。』
という問題で、時速の方では㎞、制動距離の方ではmと単位が違うので、ｙ＝aｘ² に　ｘ＝40、ｙ＝0.1　を代入して a を求めたのですが、解答は　ｙ＝100　で計算してありました。
単位をそろえなくていいのでしょうか？？？
　

	23679．Re: 単位をそろえる？
	名前：X 日付：10月8日(土) 15時34分
	単位を揃えてはいけませんよ。この問題は「xに[km/h]の単位での値を代入すると、yとして[m]の単位での値が求められる」等式を作るのが目的ですので。

23672．ベクトルの問題です

名前：ニーナ 日付：10月7日(金) 19時4分

→ａ、→ｂが零ベクトルでなく、|→ａ｜＝|→ｂ｜＝｜→a+→b｜が成り立つとき、｜３→a+２→ｂ｜は｜a｜の何倍になるか。

という問題で、
｜→a+→b｜^2＝｜→a｜^2+2→a・→ｂ＋｜→ｂ｜＾２

　　条件より→a・→ｂ＝－１/2｜→a｜^2

｜3→a+2→b｜^2＝9｜→a｜^2+12→a・→ｂ＋４｜→ｂ｜＾２

＝７｜→a｜^2

と解答なっているのですが、どうして７｜→a｜^2になるのか分かりません。教えてください。よろしくお願いします。

	23673．Re: ベクトルの問題です
	名前：だるまにおん日付：10月7日(金) 19時42分
	9\|a^→\|²＋12a^→・b^→＋4\|b^→\|² ＝9\|a^→\|²＋12(－\|a²\|/2)＋4\|a^→\|² ＝7\|a^→\|²

23670．友達に聞かれたのですが・・・

名前：しゅう 日付：10月7日(金) 18時44分

弧度法のメリットってなんですか？

	23671．Re: 友達に聞かれたのですが・・・
	名前：通りすがり日付：10月7日(金) 18時50分
	三角関数などで微分・積分ができる。

23663．教えてください

名前：至眞日付：10月7日(金) 13時18分

オリジナルスタンダード数学演習Ⅲ・Cの159の03奈良県医大の問題です。

(1)　mを自然数とするとき

　　∫cos^(2m-1)xdx=Σ[k=1,n]a[k]sin^kx+C　(Cは積分定数)

　を満たす自然数nおよび実数a[k](k=1,2,・・・,n)を求めよ。

(2)　f(t)を多項式とする。

　　∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dx=g(sinx)+C　(Cは積分定数）

　を満たす多項式g(t)が存在することを示せ。

	23666．奇妙奇天烈摩訶不思議
	名前：だるまにおん日付：10月7日(金) 17時51分
	(1)∫cos^2m-1xdx =∫cosx(1-sin²x)^m-1dxと考えれば置換積分の出番です。 a_kは偶数、奇数で場合分けになることにご注意を。自然数nは一つに決まりませんので、それにも注意。

	23667．(2)は安直な問です
	名前：だるまにおん日付：10月7日(金) 20時1分
	∫f(cosx)dx-∫f(-cosx)dxをすると、 f(x)の偶数次の項は消え去るので、(1)より即決、という按配です。

	23674．Re: 教えてください
	名前：至眞日付：10月7日(金) 21時2分
	(1)でa[k]が奇数の場合はわかったのですが、偶数の場合がいまいち分かりません。そこのとこ詳しくお願いします。

	23675．Re: 教えてください
	名前：だるまにおん日付：10月8日(土) 6時59分
	積分したときに偶数次の項は出ないので偶数の場合は０だと思います。別にa_kは数列ということではありませんから、あまりこだわる必要はありませんね。

	23678．Re: 教えてください
	名前：至眞日付：10月8日(土) 14時51分
	ありがとうございました。(1)はわかりました。しかし(2)がようわかりません。出来れば詳しく教えてください。

	23683．医科大の問題って、ちょっと・・・・
	名前：だるまにおん日付：10月8日(土) 20時38分
	具体例で考えてみましょう。 f(x)=x³+2x²+3x+4としてみます。すると、 f(cosx)-f(-cosx) =cos³x+2cos²x+3cosx+4-(-cos³x+2cos²x-3cosx+4) =2cos³x+6cosx ∴∫{f(cosx)-f(-cosx)}dx=∫(2cos³x+6cosx)dx=2∫cos³xdx+6∫cosxdx (1)より、∫cos³xdx、∫cosxdxはsinxの多項式で表せますので、当然2∫cos³xdx+6∫cosxdxだって、sinxの多項式で表せるはずです。よって、∫{f(cosx)-f(-cosx)}dxもsinxの多項式で表せます。これはf(x)が何次の場合でも同じですね。

	23685．
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 14時26分
	具体的にf(t)を置くとしたら、 f(t)=c_ntⁿ+c_n-1t^n-1+・・・+c₂t²+c₁t¹+c₀ とでもしてみてはいかがでしょう。置かなくても解けますけどね。

	23686．Re: 教えてください
	名前：至眞日付：10月9日(日) 12時50分
	そんな方法あるんですか。それは減点とかにならずに出来ますか。

	23687．Re: 教えてください
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 13時5分
	あくまで、f(t)=t³+2t²+3t+4は具体例ですよ。・f(cosx)-f(-cosx)はcosxの奇数次しかない多項式となること。・(1)より、cosxの奇数乗の積分はsinxの多項式になること。この2点をきちんと答案に書けば、減点なんて絶対にありえません。

	23688．Re: 教えてください
	名前：至眞日付：10月9日(日) 13時19分
	しかしf(cosx)-f(-cos)が奇数次の項しか出ないことをいうためには、f(t)を何かに置かなければいえないんじゃないでしょうか。

	23689．Re: 教えてください
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 13時27分
	f(cosx)-f(-cos)が奇数次の項しか出ないのは、至極当然のことです。ですから、f(t)を置かなくても大丈夫です。でも、もし心配ならNo.23685のように置かれてみては如何でしょう。置かなくても減点の心配はありませんがね。

	23690．この問題の感想。
	名前：だるまにおん日付：10月9日(日) 13時57分
	最初解いた時から、(1)を解いた時から、適当な問題だなぁって思ってました。 (1)でnを求めよ、ってありますよね。n=2m-1が出題者の答えなんでしょうけど、 n=2mの何がいけないんだぁぁぁ！！って思いませんでした？ようするに、適当なつくりの問題なのです。 (2)も安直すぎますよね。ですから、あんまり真剣になって解く問題ではないかもしれません。志望校、というなら別ですけど、やはり、もっといい問題に時間を費やしたほうが良いですね。あ、ちょっと私的な感想を述べただけですので、気分を害されたらごめんなさいね。

	23691．感謝
	名前：至眞日付：10月9日(日) 14時4分
	いや、実を言うと、ここ授業で当たっとって、黒板に書かないかんのですよ。まだ先ですけど。それでちゃんとした解答がほしっかったんです。けどもう大丈夫です。助かりました。長いこと付き合ってくださってありがとうございました。

23661．近似式

名前：デザーター 日付：10月7日(金) 0時18分

こんばんは。

近似式
f(a+h)≒f(a)+f'(a)hから
f(x)≒f(0)+f'(0)xという式の導き方を教えてください。

	23662．Re: 近似式
	名前：通りすがり日付：10月7日(金) 0時33分
	上の式のa+hをxと置いて、aを0にすれば下の式になりますよね。本来は上の式、f(x)≒f(a)+f'(a)(x-a)ですから。

23658．１次不等式なんですが・・・

名前：えみ（高１） 日付：10月6日(木) 22時30分

不等式５（x－１）＜２（２x十a)を満たすxのうちで、最大の整数が６であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。よくわかんないんです・・。教えてください！！！

	23659．Re: １次不等式なんですが・・・
	名前：通りすがり日付：10月6日(木) 23時8分
	5(x-1)＜2(2x+a) 5x-5＜4x+2a x＜5+2a ここでx<7より, 7≦5+2a ∴1≦a.

23648．２次関数です

名前：あや（高3） 日付：10月6日(木) 18時32分

x＾2+2ｙ＾2＝8のとき次に答えよ。ただし、ｘ、ｙは実数とする。
①ｙの範囲を求めよ
・・・これは解けたので、-2≦ｙ≦2とでました。
・・・が、問題は②です。
②Ｔ＝ｘ＾2+4ｙの最大値と最小値との積を求めよ。
この解き方がわかりません。。。
先生は①の範囲を使って解く、って言ってたのですが・・・

解き方教えてください！

	23649．いらないものは捨てましょう
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 18時39分
	x²+2y²=8より、x²=8-2y² よって、T=x²+4y=8-2y²+4yです。

	23650．Re: ２次関数です
	名前：あや（高3）日付：10月6日(木) 18時54分
	このまま方程式にして因数分解すればいいのですか？

	23651．平方完成
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 18時57分
	平方完成したほうがよいでしょう。その際に-2≦ｙ≦2この範囲に気をつけましょう。

	23652．Re: ２次関数です
	名前：あや（高3）日付：10月6日(木) 19時8分
	平方完成はできました。Ｔ＝2（ｙ-1）＾2-10となりましたが、この場合だと、ｙ＝1のとき最小値が-10ってことですよね？

	23653．－はいずこへ
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 19時14分
	－をお忘れです。T＝-2(y-1)²+10ですね。

	23654．Re: ２次関数です
	名前：あや（高3）日付：10月6日(木) 19時23分
	あっ・・・、ケアレスミスですね。ん・・・？最大値ってだうやって出せばいいんですか！？（＞＿＜）

	23655．グラフを描くべし
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 19時41分
	最大値はy=1のときの10です。最小値はy=-2のときの-8です。グラフを描くと一目瞭然です。

	23656．Re: ２次関数です
	名前：あや（高3）日付：10月6日(木) 19時49分
	わかりました！ありがとうございます。

23643．三乗

名前：へ（高一） 日付：10月6日(木) 7時48分

自然数を三乗し
｢1^3=1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216・・・・｣出てきた数字を一桁になるまで足す(例、125→1+2+5=8、64→6+4=10→1+0=1)と１^3から順に1 8 9 1 8 9 1 8 9・・・・・というふうになるのはどうしてですか？

	23644．Re: 三乗
	名前：花パジャ日付：10月6日(木) 9時54分
	(3n+m)^3=9(3n^3+3n^2m+nm^2)+m^3 9の倍数は各桁の和も9の倍数。

	23645．Re: 三乗
	名前：ヨッシー日付：10月6日(木) 10時0分
	ある数と、その数の各位の数を足したものとは、９で割ったあまりが同じです。つまり、「各位の数を足す」操作を繰り返しても、９で割ったあまりは変わりません。そして、やがてそれは、１～９のいずれかの数になります。（特別に９で割り切れる場合はあまり９と解釈します) 元の数が3n+1 のとき、　(3n+1)^3＝27n^3 + 27n^2 + 9n + 1 = 9(3n^3 + 3n^2 + n) + 1 　→操作の結果は１元の数が3n+2 のとき、　(3n+2)^3＝27n^3 + 54n^2 + 36n + 8 = 9(3n^3 + 6n^2 +; 4n) + 8 　→操作の結果は８元の数が 3n のとき　(3n)^3＝27n^3 = 9(3n^3) 　→操作の結果は９よって、３つごとに、1,8,9 が繰り返されることになります。試験の解答には、「９で割ったあまりは変わりません。」の部分はちゃんと証明しないといけませんが、ここでは省略します。　 http://yosshy.sansu.org/

23636．微分

名前：IGA(高２） 日付：10月5日(水) 22時10分

３次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=1で極小値-2をとり、f(0)=3である。このとき、定数a,b,cの値を求めよ。

この問題はa,b,cの値を求めた後、代入して増減表をかいて確かめなくてはいけません。

何故確かめなくてはいけないのでしょうか。
必要十分条件にするためですか？

なぜこの問題に限って代入してたしかめるようなことをやるのでしょう。今まで解いてきた、定数を求める問題ではこのように確かめるようなことをした覚えがありません。
また確かめないことで何かあるのでしょうか。
お願いします。

	23638．Re: 微分
	名前：通りすがり日付：10月5日(水) 23時23分
	例えば、最大・最小問題で相加・相乗平均を使ったときは、「等号成立条件を示せ」と口を酸っぱくして言われますよね。でも、微分を使ったときは言われません。何故でしょう？それを踏まえて、本問は・・・考えてみて下さい。

	23642．Re: 微分
	名前：キューダ日付：10月6日(木) 3時16分
	f'(1)=0,f(1)-2,f(0)=3の３条件から、a,b,cを求めたと仮定しての、アドバイスですが、もし、問題が、「３次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=1で極大値-2をとり、f(0)=3である。このとき、定数a,b,cの値を求めよ。」だったら、どうしますか？

	23757．Re: 微分
	名前：IGA(高２）日付：10月15日(土) 7時37分
	遅れてすいません・・・考えてみます。有り難うございました。

23631．行列の問題

名前：たく日付：10月5日(水) 18時32分

AとBは二次の正方行列でA+B＝－５E，AB＝６Eを満たす。
１．(A+E)(A+pE)＝ｑEを満たすｐ，ｑを求めよ。
２．A+E,　B+Eが逆行列を持つことを示せ。
３．X=(A+E)＾(－１)，X=(B+E)＾(－１)がともにX^2+rX+sE=Oを満たすｒ，ｓを求めよ。
の３題です。よろしくお願いします。

	23634．Re: 行列の問題
	名前：忍日付：10月5日(水) 21時4分
	学コン

	23635．Re: 行列の問題
	名前：tk 日付：10月5日(水) 21時39分
	＜＜この問題には絶対解答しないで下さい＞＞これは雑誌『大学への数学』今月号(9/25発売)の学力コンテストの問題です。学力コンテストとは、読者が問題を解きそれを編集部に送り添削してもらう、というものです。翌々月号に解答と成績優秀者の名前が掲載されます。今月号の締切は10/15です。そのため、この問題に解答しないで下さい。果たしてどういうつもりで、「たく」さんはこの問題を投稿したのですか？こんなことをしてまで、名前を載せたいんですか？私にはまったくわかりません。解答が知りたいなら、友達に聞くか１２月号がでるまでまつべきでしょう。まぁこの問題をここで聞くくらいの実力なら到底名前は載せられないでしょうけどね。

	23637．Re: 行列の問題
	名前：通りすがり日付：10月5日(水) 23時23分
	tkさんへ：どんな真意があったかも分からない状況では、皮肉だと誤解を招くような書き込みは避けるべきだと思います。たくさんへ：私は『大学への数学』という雑誌を読んだことはありませんが、そのようなコンテストがあるのなら、ここでの解答はできません。ただ、難問と呼ばれる問題のほとんどは“特殊性の発見”がキーです。それさえ見つけられれば、後はいつものルーチンワークに持ち込めます。高校で学ぶ行列の技法はそう多くありませんし、問題は解けるように作ってあります。よ～く式を睨んでみてください。分からなければ、思いつく限りの方法を試すのも手です。考えすぎで頭が痛くなるぐらいに悩んだ問題ほど、解けたときに嬉しいもの。ぜひ、自分の力で頑張ってみてください。

	23639．自慢
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 3時10分
	そういえば、この前、学コン満点とったんですよ。あ、関係ないか。いえね、学校の友達が誰も気づいてくれなくて・・・(泣²) ところで、ヨッシーさんがいくら優しいからといって、コンテストの問題を締め切り前に質問するのはよくないですね。

23630．教えてください

名前：ジダン 日付：10月5日(水) 17時51分

①ａ　円周角と中心角の間には、どのような関係があるか予想せよ。
　ｂ　ａの予想が正しいことを証明せよ。

②ａ　ｎ個の異なる要素から成る集合の部分集合を予想せよ。
　ｂ　ａの予想が正しいことを証明せよ。

以上の４問です。
完全解答で宜しくお願いします。

	23632．Re: 教えてください
	名前：顔なし日付：10月5日(水) 18時39分
	一応基本的なところは押さえてもらおうかな？円周角･中心角って何? 要素･部分集合って何？教科書に書いてあるので調べてください。

	23640．完全解答はできまへんでした・・・・・
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 3時18分
	壱のa、円周角：中心角＝1：2 弐のa、2ⁿ－1 ところで、部分集合って、空集合もありなんですか？だとしたら、弐のaは2ⁿかも知れません。

23626．デザルグの定理

名前：7777 日付：10月5日(水) 0時21分

題名のとおり、デザルグの定理の証明をおしえてください。立体的な見方をするときいたのですが、具体的にどうすればいいのか教えてください。よろしくお願いします。

	23647．Re: デザルグの定理
	名前：ヨッシー日付：10月6日(木) 12時56分
	「射影平面の幾何学」という本に載ってたのを、立ち読みした覚えがありますが、詳細は覚えていません。だるまにおんさんなら、ご存知では？　 http://yosshy.sansu.org/

	23657．Re: デザルグの定理
	名前：通りすがり日付：10月6日(木) 19時54分
	三角形が同一平面上にある時の証明は、確かメラネウスの定理を使ったと思います。これなら、中学・高校生レベル。 7777さんが大学生以上なら、もっと一般的に、第n次元の射影空間でどうのこうのという証明もあった記憶があります。ご希望でしたら、明日か土曜の夜ぐらいまでには調べられます。まぁ、だるまにおんさんがご存じなら、聞いた方が早いですが。

	23660．Re: デザルグの定理
	名前：7777 日付：10月6日(木) 23時32分
	高３ですので、高校範囲で理解できるやり方を教えてくださるとありがたいです。

	23665．図、描いちゃいました。
	名前：だるまにおん日付：10月7日(金) 17時30分
	ようするに、こういうことなんです。ヨッシーさんの文章をお借りすると、デザルグの定理　２つの三角形 ABC と A'B'C' があり対応する頂点を結ぶ直線 AA' 、BB' 、CC' が1点で交わり対応する辺 BC と B'C' 、CA と C'A' 、AB と A'B' またはその延長が交わるとき、それらの交点が１直線上にあるこの図の赤い三角形をABC、緑色の三角形をA'B'C'としてみてください。三角形ABCが宙に浮いてると想像してみてください。 ♯全く関係ないことで恐縮ですが、ヨッシーさんの以前勤めていらした某H学園って、あの、「常在戦場」のあそこですか？

	23668．Re: デザルグの定理
	名前：ヨッシー日付：10月7日(金) 18時17分
	＞♯全く関係ないことで恐縮ですが、ヨッシーさんの以前勤めていらした＞某H学園って、あの、「常在戦場」のあそこですか？そこですね。最近、名古屋にも出来たらしい。　 http://yosshy.sansu.org/

	23669．Re: デザルグの定理
	名前：通りすがり日付：10月7日(金) 18時34分
	おそらく、7777さんが聞きたかったのは、だるまにおんさんの書き込みのことだったのですね。まぁ、これは参考程度に。高校生とのことなので、デザルグの定理「同一平面上にある二つの三角形ABC,A'B'C'において, 直線AA',BB',CC'が一点で交わるときは, BCとB'C'との交点をL,CAとC'A'との交点をM,ABとA'B'との交点をNとすれば, L,M,Nは一直線上にある。また,その逆も成り立つ。」を証明します。 [証明] AA',BB',CC'の交点をOとし,△OBCを直線LC'B'できったと考えれば,メネラウスの定理より (LB/LC)(C'C/C'O)(B'O/B'B)=1 同様に,△OCAを直線MC'A'できり, △OABを直線NA'B'できったと考えれば (MC/MA)(A'A/A'O)(C'O/C'C)=1 (NA/NB)(B'B/B'O)(A'O/A'A)=1 これらの三つの等式を掛けて,共通因子を除けば (LB/LC)(MC/MA)(NA/NB)=1 L,M,Nは△ABCの辺の延長線上の点で,上の関係が成り立つから, メネラウスの定理より,この三点は一直線上にある。 (証明終わり) [逆の証明] 略

	23676．全く関係ないことですみません
	名前：だるまにおん日付：10月8日(土) 6時55分
	＞最近、名古屋にも出来たらしい。羽振りいいんですね・・・それにしても、なかなかユニークな職場にいらしたんですね。

	23684．Re: デザルグの定理
	名前：7777 日付：10月9日(日) 12時13分
	回答ありがとうございます。よくわかりましたｗ

	23833．Re: デザルグの定理
	名前：だるまにおん日付：10月19日(水) 19時4分

23624．ベクトル

名前：SF　高２ 日付：10月4日(火) 22時27分

ベクトル→ａ，→ｂのなす角を60゜とする。｜→ａ｜＝3、|→ｂ｜＝5、であるとき→ａ・→ｂ＝（ア）、|→ａ＋→ｂ｜＝（イ）である。また→a，→a+→ｂのなす角をθとするとき，ｃｏｓθ＝（ウ）をもとめよ。
ア，イは分かったのですがウが分かりません。
どなたかお願いします

	23625．Re: ベクトル
	名前：だるまにおん日付：10月4日(火) 23時7分
	a^→・(a^→+b^→) =\|a^→\|\|a^→+b^→\|cosθ 一方、 a^→・(a^→+b^→) =\|a^→\|²+a^→・b^→

	23627．Re: ベクトル
	名前：SF　高２日付：10月5日(水) 1時18分
	＞a→・(a→+b→) 　=\|a→\|2+a→・b→ 展開するということですね。分かりました。ありがとうございます。

23615．等比数列の問題

名前：タロー 日付：10月4日(火) 17時4分

初項から第８項までの和が２、第１６項までの和が８のとき、第２４項までの和を求めよ。
どなたか教えてください。明日テストなので今日中にお願いします。

	23618．Re: 等比数列の問題であることを題名だけでなく問題文中にも書いてほしい
	名前：だるまにおん日付：10月4日(火) 18時1分
	初項をa、公比をrとします。条件より、 a(1-r⁸)/(1-r)=2・・・<愛> a(1-r¹⁶)/(1-r)=8・・・<憎> <憎>の式の分子を因数分解することにより、 a(1-r⁸)(1+r⁸)/(1-r)=8となります。ここで、これに<愛>の式を用いることにより、 1+r⁸=4となっていることが分かります。

	23619．Re: 等比数列の問題
	名前：タロー日付：10月4日(火) 18時5分
	ありがとうございます。多重投稿については思いのほか答えが早く返って来ることが分かったのでもうしません。ところで/はどういう意味ですか？

	23620．それは私が暇人だからですよ・・・
	名前：だるまにおん日付：10月4日(火) 18時9分
	分数の意味です。ネット上では、たとえば4分の3は3/4と表すことになってます。

	23633．Re: 等比数列の問題
	名前：タロー日付：10月5日(水) 19時54分
	返信遅れましたが今日のテストでこれと同型問題出ました。でも計算ミスで間違えました。

23611．もう1問不等式の問題をお願いします。

名前：papiky 日付：10月4日(火) 10時28分

a,b,cが｜abc｜＝１を満たすとき、a^2+b^2+c^2≧a+b+cを証明せよ。
そうか相乗平均を使ってみたのですが、うまくまとまりませんでした。お願い致します。

	23612．Re: もう1問不等式の問題をお願いします。
	名前：papiky 日付：10月4日(火) 10時30分
	相加相乗平均です。漢字変換がおかしくなりました。すみません。

	23623．有名不等式の宴
	名前：だるまにおん日付：10月5日(水) 16時7分
	a²+b²+c² ≧(\|a\|+\|b\|+\|c\|)²/3　(コーシーシュワルツの不等式) ≧(³√\|abc\|)(\|a\|+\|b\|+\|c\|)　(相加相乗の不等式) ≧\|a+b+c\|　(三角不等式) ≧a+b+c

	23628．Re: もう1問不等式の問題をお願いします。
	名前：papiky 日付：10月5日(水) 9時33分
	返事が遅くなってすみません。コーシーシュワルツの不等式を思い浮かびませんでした。ありがとうございました。

23606．お願いします。

名前：papiky 日付：10月3日(月) 20時1分

x^2/a^2+y^2/b^2=1（x,y:実数、a,b：正数）のとき次の式を証明せよ。
x^2y^2/(a^4y^2+b^4x^2)≦1/(a+b)^2

コーシー・シュワルツの不等式の公式を使うらしいのですが、手が出ません。
皆さんお願い致します。

	23607．Re: お願いします。
	名前：のぼりん日付：10月4日(火) 0時28分
	条件 x²/a²+y²/b²=1 から、x=acosθ､y=bsinθ（0≦θ＜2π）と書けるので、　　　(a⁴y²+b⁴x²)–x²y²(a+b)² 　　　=a⁴b²sin²θ+a²b⁴cos²θ–a²b²(a²+2ab+b²)sin²θcos²θ 　　　=a⁴b²sin⁴θ–2a³b³sin²θcos²θ+a²b⁴cos⁴θ 　　　=(a²bsin²θ–ab²cos²θ)²≧0 としてはどうでしょう。

	23610．Re: お願いします。
	名前：papiky 日付：10月4日(火) 8時20分
	ありがとうございました。

	23629．Re: お願いします。
	名前：sp@rk 日付：10月5日(水) 11時56分
	コーシー・シュワルツの不等式を使うのであれば、以下のようにするとよいです。x=y=0の場合は明らかに成り立つので、 x≠0,y≠0の場合を示します。 A=a^2/x, B=b^2/y, X=x/a, Y= y/b とおくと、 (a+b)^2＝(AX+BY)^2 ≦(A^2+B^2)(X^2+Y^2) となり、X^2+Y^2=x^2/a^2+y^2/b^2=1より、 (a+b)^2≦A^2+B^2＝a^4/x^2+b^4/y^2=(a^4y^2+b^4x^2)/(x^2y^2) 両辺の逆数をとって、 x^2y^2/(a^4y^2+b^4x^2)≦1/(a+b)^2 となります。等号成立条件は、A:B＝X:Yから、b^3x^2=a^3y^2の場合となります。

23589．三角関数についてもう一問教えてください。

名前：みさき　高3 日付：10月2日(日) 15時49分

以前教えていただいた問題の続きなんですが、
cosθ＝(－2＋√6)/2のとき
sin^4θ+3sin^2θ+1/4=(ｵ)となる。
cosθをsin^2θに計算して代入し解いたんですが、
式が複雑になってしまうんです。
簡単な計算の仕方はありますか、教えてください。

	23591．Re: 三角関数についてもう一問教えてください。
	名前：だるまにおん日付：10月2日(日) 16時11分
	sin⁴θ+3sin²θ =(1-cosθ)(1+cosθ)(2-cosθ)(2+cosθ) と変形して、おもむろにcosθに代入してみてはどうでしょう。計算が簡単になるかどうかは分かりませんが・・・

	23593．Re: 三角関数についてもう一問教えてください。
	名前：だるまにおん日付：10月2日(日) 16時49分
	cosθ=tとおくと、sin⁴θ+3sin²θ=t⁴-5t²+4 また、2t=-2+√6⇔2(t+1)=√6⇒4(t+1)²=6⇒4t²+8t-2=0なので、 t⁴-5t²+4を4t²+8t-2で割ったあまりを求めて・・・云々とやっていってもできそうです。

	23597．私が好きな解き方
	名前：らすかる日付：10月2日(日) 17時32分
	cosθ=(-2+√6)/2 2cosθ+2=√6 (2cosθ+2)^2=6 2(cosθ)^2+4cosθ-1=0 2{1-(sinθ)^2}+4cosθ-1=0 2-2(sinθ)^2+4cosθ-1=0 (sinθ)^2=2cosθ+1/2 (sinθ)^4+3(sinθ)^2+1/4 =(2cosθ+1/2)^2+3(2cosθ+1/2)+1/4 =4(cosθ)^2+2cosθ+1/4+6cosθ+3/2+1/4 =4{1-(sinθ)^2}+8cosθ+2 =-4(sinθ)^2+8cosθ+6 =-4(2cosθ+1/2)+8cosθ+6 =-8cosθ-2+8cosθ+6 =4 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	23601．Re: 三角関数についてもう一問教えてください。
	名前：みさき　高3 日付：10月2日(日) 18時28分
	ありがとうございます。解いてみます。

23588．三角関数について

名前：みさき　高3 日付：10月2日(日) 15時40分

関数ｙ＝２cos３x　の周期のうち正で最小のものは　(ア)π/(イ)　である。
０≦x≦２πのとき、関数ｙ＝２cos３xにおいて、ｙ＝２となるｘは　(ウ)　個、ｙ＝－２となるｘは　(エ)　個である。
　また、ｙ＝sinｘとｙ＝２cos３ｘのグラフより、方程式sinｘ＝２cos３ｘは０≦ｘ≦２πのとき　(オ)　個の解を持つことがわかる。

周期のうち正で最小とゆうのは、ｙ＝cosＫθの周期は２π/Ｋ　を使えばいいのでしょうか？
後の問題は全く分かりません。教えてください。

	23595．Re: 三角関数について
	名前：ヨッシー日付：10月2日(日) 16時59分
	周期をαとすると、任意のｘにおいて、　sin(ｘ＋α)＝sinｘが成り立てばいいわけですから、ｙ＝sinｘの周期は、２π、４π、６πいずれも、当てはまります。また、マイナスの周期もあり得ます。通常はこのうち正で最小のものを「周期」と呼んでいます。　 http://yosshy.sansu.org/

	23596．Re: 三角関数について
	名前：ヨッシー日付：10月2日(日) 17時0分
	（ウ）（エ）（オ）ともに、グラフを正確に書いていけば、解けるでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	23600．Re: 三角関数について
	名前：みさき　高3 日付：10月2日(日) 18時27分
	ありがとうございました。グラフを書いてみると解りました。

23587．(untitled)

名前：阪大　問２ 日付：10月2日(日) 13時13分

ｘｙ平面上に曲線ｙ＝ｘ^2上の３点ｗｐ、ｘ座標の小さいものから順にＡＢＣとする。ＡとＢとのｘ座標の差はa(aは正の定数）、ＢとＣとのｘ座標の差は１、という関係を保ちながら、３点ＡＢＣが動く。
角ＣＡＢが最大になるときの、点Ａのｘ座標をaで表せ。また、角ＣＡＢが最大になるときに、角ＡＢＣが直角になるようなaの値を求めよ。

	23602．Re: (untitled)
	名前：阪大　問２日付：10月2日(日) 23時27分
	下の問題ともにもっと詳しくわかるかたいらっしゃいませんか？

	23603．Re: (untitled)
	名前：ケロ＠前座日付：10月2日(日) 23時52分
	B = (p, p^2) と置きベクトルAＢ↑AＣ↑の内積からcos θの値を考へるといふのはどうでせうか？前座ですので鼻血半分に聞いてください。

	23646．Re: (untitled)
	名前：花パジャ日付：10月6日(木) 10時33分
	A(p-a,(p-a)^2),B(p,p^2),C(p+1,(p+1)^2) AB=(a,a(2p-a))、AC=(1+a,(1+a)(2p-a+1)) 今、z=2p-aと置いて AB=(a,az)、AC=(1+a,(1+a)(z+1)) AB・AC=a(1+a)(z^2+z+1) AB^2=a^2(z^2+1)、AC^2=(1+a)^2(z^2+2z+2) ∠CAB=θと置くとcosθ=(z^2+z+1)/√((z^2+1)(z^2+2z+2)) ここで、z^2+z+1=(z+1/2)^2+3/4>0 なので、θ最大の時、cos^2θ最小で1/cos^2θ最大今、(z^2+z+1)^2=z^4+2z^3+3z^2+2z+1、(z^2+1)(z^2+2z+2)=z^4+2z^3+3z^2+2z+2 より　(z^2+1)(z^2+2z+2)=(z^2+z+1)^2+1 であり　1/cos^2θ=1+1/(z^2+z+1)^2=1+1/((z+1/2)^2+3/4)^2 θが最大になるのは、z=-1/2、2p-a=-1/2、p=a/2-1/4 0=BA・BC =BA・(AC-AB)=AB^2-AB・AC =a^2(z^2+1)-a(1+a)(z^2+z+1)=-a(z^2+z+1+az) =-a(-1/2a+3/4) (θ最大) a>0よりa=3/2

23586．(untitled)

名前：　　　　　　　　　　　　阪大日付：10月2日(日) 13時8分

４点ＡＢＣＤを頂点とする四面体Ｔにおいて、各辺の長さが
ＡＢ＝Ｘ、ＡＣ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＤ＝５、ＣＤ＝４であるとき、
Ｔの体積Ｖを求めよ。またこのような四面体が存在するような
Ｘの範囲を求めよ。またこの範囲でＸを動かしたときの体積Ｖの最大値を求めよ。

	23594．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：10月2日(日) 16時50分
	CDの中点をMとすると、V=△ABM×CD×1/3になります。

	23609．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：10月4日(火) 5時25分
	△ABM={x√(84-x²)}/4(ヘロンの公式)

	23641．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：10月6日(木) 1時53分
	変な問題ですよねぇ・・・・別にxの式にしなくても最大値はすぐにわかってしまう・・・

23584．cosの和

名前：ＹＵＵ 日付：10月2日(日) 10時48分

cos0.7°+cos1.4°+・・・・・+cos0.7N°がはじめて0になるＮを求めよ。どなたか教えてください。

	23599．Re: cosの和
	名前：キューダ日付：10月2日(日) 18時3分
	触媒関数としてSin0.7°をかけて整理するのもいいし、与式=Re{exp(i0.7°)+...+exp(iN*0.7°)}とみても、まとめることができますよ。

	23614．Re: cosの和
	名前：soredeha 日付：10月4日(火) 13時1分
	S＝cos0.7°+cos1.4°+・・・・・+cos0.7N°　　　　　とおいて 2Ssin0.7°＝2cos0.7°sin0.7°+2cos1.4°sin0.7°+・・・・・+2cos0.7N°sin0.7° ＝Σ[k：1、N] 2cos(0.7°k) sin0.7° ＝Σ[k：1、N]｛ sin（0.7°k＋0.7°）－sin（0.7°k－0.7°）｝＝Σ[k：1、N]｛ sin0.7°（k＋1）－sin0.7°（k－1）｝＝Σ[k：1、N] sin0.7°（k＋1）－Σ[k：1、N] sin0.7°（k－1）＝Σ[k：2、N+1] sin (0.7°k)－Σ[k：0、N-1] sin (0.7°k) ＝sin (0.7°N)＋sin 0.7°（N+1)－sin (0.7°・0)－sin (0.7° ・1) ＝sin (x－y)＋sin （x＋y)－sin 0.7° ｛ 0.7°N＝x－y　　、0.7°（N+1)＝x＋y ｝＝2 sin x cos y－sin 0.7° ＝2 sin｛0.7°N＋0.7°（N＋1)｝/2 cos｛0.7°（N＋1)－0.7°N｝/2 －sin 0.7° ＝2 sin（0.7°N＋0.35° ）cos0.35° －2sin 0.35°cos 0.35° ＝2cos0.35°｛sin（0.7°N＋0.35° ）－sin 0.35°｝ S＝0　とおくと sin（0.7°N＋0.35° ）＝sin 0.35° 0.7°N＋0.35°≧0.7°・1＋0.35°だから 0.7°N＋0.35° ＝180°k－0.35°（k＝1、3、5、・・・）　のとき 0.7°N＋0.7° ＝180°k 7(N＋1) ＝1800 k　　　　N＋1＝1800 k/7 1800　は　素数 7 の倍数ではないので　k が　7 の倍数。 k＝7　のとき　　N＋1＝1800　　N＝1799 0.7°N＋0.35° ＝0.35° ＋360° ・k　　　（　k＝1、2、3、・・・）　のとき 7N＝3600 ・k　　　N＝3600 ・k/7　　3600　は　素数 7 の倍数ではないので k＝7　　のとき　　　N＝3600 .

23583．確率

名前：ふみや 日付：10月2日(日) 9時30分

確率の公理を用いて任意のA、B∈Fに対してP(B)=P(A∩B)＋P（A＾c∩B)
を示せ。

宜しくお願いします。

	23598．Re: 確率
	名前：のぼりん日付：10月2日(日) 17時56分
	Ｂ＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ＾ｃ∩Ｂ）、（Ａ∩Ｂ）∩（Ａ＾ｃ∩Ｂ）＝Ø に、ある公理を当て嵌めれば、与式が言える筈です。ふみやさんの拠って立つ公理系が不明なので、どの公理をどう当て嵌めるべきかはお任せします。

	23604．Re: 確率
	名前：ふみや日付：10月3日(月) 10時12分
	P(B)=P(B∩A)+P(B∩A^c) = P((B∩A)∪(B∩A^c)) =P(B∩(A∪A^c)) =P(B∩Ω) =P(B) としたらA∩B=Ø→P(A∪B)=P(A)+P(B)を用いているのでA∩B=Øに対する条件の成立を確認してくださいといわれました。よくわかりません。宜しくお願いします。

	23608．Re: 確率
	名前：のぼりん日付：10月4日(火) 0時44分
	繰り返しになりますが、（Ａ∩Ｂ）∩（Ａ＾ｃ∩Ｂ）＝Øを使えば良いでしょう。

23582．(untitled)

名前：初夏日付：10月1日(土) 21時39分

x,y平面上の曲線y=sinxに沿って、原点から左から右へ進む動点ｐがある。ｐの速さが一定値V（V＞０）である時、ｐの加速度ベクトルαの大きさの最大値を求めよ。
宜しくお願いします

	23585．Re: (untitled)
	名前：花パジャ日付：10月2日(日) 12時19分
	時間をt、df/dt=f'、d(f')/dt=f"と表記する v=x'とおくと、y'=vcosx V^2=(x')^2+(y')^2=v^2(1+cos^2x) 両辺を微分して 0=2vv'(1+cos^2x)-2v^3sinxcosx=2v(v'(1+cos^2x)-v^2sinxcosx) a=v'=x"とおくと、a(1+cos^2x)=v^2sinxcosx ここでy"=(y')'=acosx-v^2sinxなので \|α\|^2=(x")^2+(y")^2=a^2+(acosx-v^2sinx)^2 　=a^2(1+cos^2x)-2av^2sinxcosx+v^4sin^2x 　=-av^2sinxcosx+v^4sin^2x 　=v^4sin^2x(1-cos^2x/(1+cos^2x)) 　=v^4sin^2x/(1+cos^2x) 　=V^4sin^2x/(1+cos^2x)^3 　=V^4(1-cos^2x)/(1+cos^2x)^3 　=V^4(2/(1+cos^2x)^3-1/(1+cos^2x)^2) 今、s=1/(1+cos^2x)とおくと1/2≦s≦1 また、f(s)=\|α\|^2=V^4(2s^3-s^2)として f'(s)=V^4(6s^2-2s)=2V^4s(3s-1)からf'>0(1/2≦s≦1)なので \|α\|^2の最大値はV^4、\|α\|の最大値はV^2 別解進行方向に等速の点の加速度は向心加速度のみで、曲率半径をRとすると \|α\|=V^2/R ここで R^2=(1+(dy/dx)^2)^3/((d^2y/dx^2)^2)=(1+cos^2x)^3/sin^2x なので \|α\|^2=V^4sin^2x/(1+cos^2x)^3

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