2007年10月 の投稿ログ


34556.場合の数  
名前:Yoo    日付:10月31日(水) 20時39分
次の2題、どうかよろしくお願いします。

問1 リンゴ3個、柿2個、みかん5個を6人に分ける。(0個の人がいてもよい)

問2 リンゴ3個、柿2個、みかん5個を6人に分ける。(最低1個はどの人にも分ける)

d3の数学質問板へ質問した問題です。



34557.Re: 場合の数
名前:ヨッシー    日付:11月1日(木) 0時33分
問1
りんご3個を6人に分ける方法は、
 ○○○|||||
のような○3つと棒5本を適当に並べて、○をりんご、棒を人と人の間の仕切り
と見なし、たとえば、
 ○|○|||○|
のように並べたときには、1,2,5人目に1個ずつ配る。
 |○||○○||
のように並べたときには、2人目に1個、4人目に2個配る。
 ||○○○|||
のように並べたときには、3人目に3個を配る。のように、○と|の
並べ方と、配り方を対応させます。
りんごについて言えば、6人に配る配り方は
8つあるもののうち、3個を選んで、○にするのと同じなので、
 8C3=56(通り)
柿について言えば、 7C2=21(通り)
みかんについて言えば、10C5=252(通り)
よって、
 56×21×252=296352(通り)

問2
問1の条件(0個の人がいてもよい)で、1,2,3,4,5,6人に配る
配り方をA1,A2,A3,A4,A5,A6とします。
それぞれ計算すると、
 A6=296352
 A5=7C3×6C2×9C5=66150
 A4=6C3×5C2×8C5=11200
 A3=5C3×4C2×7C5=1260
 A2=4C3×3C2×6C5=72
 A1=3C3×2C2×5C5=1
となります。一方、問2の条件で1,2,3,4,5,6人に配る配り方を
B1,B2,B3,B4,B5.B6 とします。
 A6=6C6B6+6C5B5+6C4B4+6C3B3+6C2B2+6C1B1
 A5=5C5B5+5C4B4+5C3B3+5C2B2+5C1B1
 A4=4C4B4+4C3B3+4C2B2+4C1B1
 A3=3C3B3+3C2B2+3C1B1
 A2=2C2B2+2C1B1
 A1=1C1B1
という関係になります。下から順に求めていくと、
 B1=A1=1
 72=B2+2B1 より B2=70
 1260=B3+3B2+3B1 より B3=1047
 11200=B4+4B3+6B2+4B1 より B4=6588
 66150=B5+5B4+10B3+10B2+5B1 より B5=22035
 296352=B6+6B5+15B4+20B3+15B2+6B1
より、B6=43326(通り) ・・・答え
となります。
 

http://yosshy.sansu.org/


34594.Re: 場合の数
名前:Yoo    日付:11月3日(土) 9時29分
ヨッシーさま

解答ありがとうございます。
また質問になってしまうのですが、「リンゴ3個、柿2個、みかん5個」は
誰にどう分けてもよいと考えて、結局「くだもの10個」を6人に分ける
と考えることはできないでしょうか。
そうすると、6H10 の重複組み合わせ、または 6+10-1C10=15C10 の同じものを含む順列として、簡単に答えられると思ったのですが、ヨッシーさんの解答と上の考えの違いや、上の考えのどこが間違っているのかを教えてください。

どうかよろしくお願いします。

34552.図形  
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:10月31日(水) 9時17分
Original Size: 400 x 300, 54KB Original Size: 400 x 300, 43KB Original Size: 300 x 400, 33KB

1cmの方眼用紙を使って、1辺が4cmの立方体ABCD-EFGHをつくった。
時の問題

考えたのですが答えを見ても分かりません
よろしくおねがいします



34553.Re: 図形
名前:らすかる    日付:10月31日(水) 9時28分
断面は正六角形で、1辺の長さが √(2^2+2^2)=2√2 ですから
周の長さは 2√2×6=12√2 ですね。

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34554.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:10月31日(水) 11時44分
(2)
ABを含む面と書いてあるので、EからCに進むのは、
□ABFEと□ABCDをつなげた、長方形CDEF(4×8)に
限られます。
EからCまでの行きかたは、
 横横横横縦縦縦縦縦縦縦縦
の12個の文字の並べ方と同じです。言い換えれば、12個ある文字の
置き場所のうち、4個を選んで、「横」にするやり方です。
よって、12C4 です。
Iを通る方法は、EからI、IからCに分けると、
EからIは、2×4の長方形の対角線の両端の点の間の進み方なので、
 6C2 通り
IからCも同様に、6C2 よって、Iを通り、EからCに行く行きかたは
 6C2 × 6C2
となり、確率は、解答の通りになります。
 

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34608.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月4日(日) 21時12分
(1)の求めかたからよく分かりません

(1)はどのように考えるのですか?


34609.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月4日(日) 21時15分
何度もすみません
どうして6角形みたいな形になるのですか?


34612.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:11月4日(日) 22時27分
6角形みたいではなく、れっきとした6角形、しかも、正6角形です。
辺が6本あるので、6角形には間違いありません。
各面の正方形の同じ位置を切っているので、長さも等しいです。
立方体を向きを変えると、どの2辺のなす角も同じとわかります。
以上より、切り口は正6角形になります。
 

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34621.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月5日(月) 6時36分
JIKを切り取るとLの字のように思えます。
どうして6角形になるのか創造ができません。


34628.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:11月5日(月) 11時44分
JIKを線で結ぶのとは違います。

これのようになるのですが、この図で不明な点はありますか?
 

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34631.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月5日(月) 20時25分
いつも毎度すいません。
回答の図を見てもどうしてこのような6角形になるのか創造できません。


34632.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:11月5日(月) 22時25分
とりあえず、作ってみました。

 

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34633.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月5日(月) 23時3分
ヨッシーさん図形ありがとうございます。
なんとなくヨッシーさんが作成してくれた図形を見て創造できるのですが
まだ自分の中はよく分からないところがあります。
網目の立方体になると分からないです

点iとjとkを結んだ点を考えたのですが六角形にならないです
JIKを切ると考えるんですよね?

理解不足ですいません


34634.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:11月5日(月) 23時20分

>JIKを切ると考えるんですよね?
というところに、引っかかります。
上の図の左のようなものを考えていませんか?
IからJ,Kに向けて包丁を入れて、そのまま奥まで全部切ります。
 

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34635.Re: 図形
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月6日(火) 7時57分
どうもありがとうございます。
一番左を創造していました。
実際に絵を描いたところ六角形になりません。
実際に図を書くさい、どこに点を置けばいいでしょうか?

FGとHGとDHの中点ですか?


34637.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:11月6日(火) 8時34分
>FGとHGとDHの中点ですか?
そうです。
それらと、I,J,K とで六角形になります。
 

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34547.(untitled)  
名前:    日付:10月30日(火) 20時22分
f(x)=x^2-4x+5 aは実数とする
a≦x≦x+1での関数f(x)の最小値をm(x)とする



C:y=f(x)とx=a,x=a+1,y=m(a)-1で囲まれた面積をS(a)とする。
aがすべての実数を動くとき、S(a)の最小値は?

答え:a=3/2のとき最小値13/12


場合分けの仕方が分かりません。
よろしくお願いします。



34548.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 22時40分
a≦x≦a+1
のような気がしますが。
 

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34549.Re: (untitled)
名前:    日付:10月30日(火) 22時57分
すみません。
a≦x≦a+1
の間違いです。


34550.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月31日(水) 8時50分
参考図だけ。

 

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34545.(untitled)  
名前:櫻 井    日付:10月30日(火) 18時32分
Original Size: 1377 x 744, 34KB

図の展開図になるような円すいの表面積を求めなさい。ただし展開図のOAの長さは28cmで、点Bは底面の円の中心です。また、円周率は3.14とします。



34546.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 19時11分
扇形の半径と、円の半径の比は、
 360:135=8:3
扇形の半径と、円の直径の比は、
 8:6=4:3
です。
OA(=28cm)を、4:3 に分けるので、
 16cm・・・扇形の半径
 12cm・・・円の直径(半径は6cm)
以上を踏まえて、面積の計算をすれば良いでしょう。
 

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34542.整数問題  
名前:木山     日付:10月30日(火) 13時33分
Original Size: 384 x 345, 130KB Original Size: 473 x 355, 122KB

(3)の解説「スイッチがONになるときは、
約数の個数(p+1)(q+1)が奇数になるときですので」の所が
よく分りません。

答 1.off 2. on 3. 14個

実は他の質問掲示板でも問い合わせたのですが、
回答が得られず、また試験まで時間がないので
こちらでも再投稿させてもらいました。

ヨッシー様、不適切でしたら削除して下さい。



34543.Re: 整数問題
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 14時2分


約数の個数が(p+1)(q+1)になるということは、理解されましたか?
こちらも参照してください。

たとえば、12番のスイッチは、
1,2,3,4,6,12 回目にスイッチが切り替わります。
つまり、12の約数の個数だけ、切り替わります。
最初にスイッチがOFFであったので、ONになるには、切り替えの
回数が1回か、3回か、5回かといった、奇数回でないといけないのです。
 
 

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34544.Re: 整数問題
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 14時14分
一応解いておきます。
(1) 6の電球のスイッチは、1,2,3,6回目に切り替わり、
7回以降は変化なしです。よって、
 OFF→ON→OFF→ON→OFF と4回切り替わって、
n=10 の後には、OFFになっています。
(2) 9の電球のスイッチは、1,3,9回目の3回切り替わるので、
 ONになっています。
(3) 電球がONになっているということは、切り替えの回数が奇数回で
あったことを意味します。
切り替え回数は、その電球の番号の、約数の数と同じなので、約数が
奇数個のものの数を求めます。
たとえば、12では、
 1という約数が見つかると、12を1で割った12も、12の約数です。
 2という約数が見つかると、12を2で割った6も、12の約数です。
 3という約数が見つかると、12を3で割った2も、12の約数です。
このように、約数は常に2つずつのペアが存在します。
ところが、36の約数のペアは、
 (1,36)(2,18)(3,12)(4,9)(6,6)
の5組ですが、6はダブっているので、約数は1つ少なく
 5×2−1=9(個)
と奇数になります。このように、同じ数どうしがペアになる数は、
約数の個数が奇数になります。そのような数は、200以下では、
 1^2, 2^2, 3^2,・・・14^2
の14個です。
 

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34540.数A:場合の数  
名前:なお 高1    日付:10月30日(火) 11時51分
大中小3個のサイコロを同時に投げるとき、次の問いに答えよ。
質問)まず、サイコロの問題なので区別しますよね?
(1)3個のサイコロの目の和が7になるのは何通りか?
(2)3個のサイコロの目の積が6はになるのは何通りか?
この2つの問題は書いて求めるしかないですよね?
(3)3個のサイコロの目の積が奇数になるのは何通りか?
この問題はどのように求めるのでしょうか?
やはり、書くしかないですか?
(4)中小2個のサイコロの目の積が大のサイコロの目に等しくなるのは何通りか?
(5)中小2個のサイコロの目の積が両方とも大のサイコロの目より小さくなるのは何通りか?
この2つの問題の求め方を教えてください。



34541.Re: 数A:場合の数
名前:らすかる    日付:10月30日(火) 13時15分
>まず、サイコロの問題なので区別しますよね?
そうとは限りません。
この問題は「大中小」と書かれていますので、区別します。

>この2つの問題は書いて求めるしかないですよね?
計算でも求められます。
(1)は7個の○を2本の仕切りで分けると考えれば、6C2=15通りです。
(2)は6がある場合3C1通り、ない場合3!通りなので3C1+3!=9通りです。

(3)は全部のサイコロが奇数の場合ですので、3^3=27通りです。
(4)は大のサイコロの目で場合わけしましょう。
(5)は「サイコロの目の積が両方とも」の部分が意味不明です。

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34565.Re: 数A:場合の数
名前:なお 高1    日付:11月1日(木) 15時45分
ありがとうございます!
すいません。訂正します。
(5)は「サイコロの目が両方とも」です。
ご指摘ありがとうございます。


34570.Re: 数A:場合の数
名前:らすかる    日付:11月1日(木) 22時6分
(5)
大が2のとき1通り
大が3のとき2^2通り
大が4のとき3^2通り
大が5のとき4^2通り
大が6のとき5^2通り
ですので、この和ですね。

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34603.Re: 数A:場合の数
名前:なお 高1    日付:11月4日(日) 16時18分
ありがとうございます!

34536.行列で  
名前:ai    日付:10月30日(火) 0時30分
x=rcosθにおいてδr/δx
っどうなるのでしょうか?つまらない質問ですいません。よろしくお願い居します

34529.数V  
名前:みぉ(高3)    日付:10月29日(月) 23時31分
0<r<1とする。
空間において、点(0,0,0)を中心とする半径rの球と
点(1,0,0)を中心とする半径√(1-r^2) の球との共通部分の体積をV(r)とする。
(1)V(r)を求めよ
(2)rが0<r<1の範囲を動くとき、V(r)を最大にするrの値及びV(r)の最大値を求めよ。

よろしくお願いします!教えてください



34531.Re: 数V
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 23時50分
こちらをご覧ください。
 

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34533.Re: 数V
名前:みぉ(高3)    日付:10月29日(月) 23時55分
同じ問題があったんですね、すいません。ありがとうございます!
数研出版のオリジナルスタンダードの問題だったんです。

34521.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月29日(月) 22時25分
Original Size: 640 x 480, 60KB

またよろしくお願いいたします
問題1)
図の四角形(添付)ABCDは、1辺の長さが12cmのひし形で、
ECの長さは4cmです。次の問いに答えなさい。
@CFの長さを求めなさい
A三角形DEFと三角形AEDの面積の比を求めなさい
B四角形ABCEと三角形DEFの面積比を求めなさい

問題2)
父、母、姉、妹の5年後の年齢の合計は94才になります。
父は母より11才年上で、現在父の年齢は姉の年齢の8倍
です。3年前にはこの家族の年齢の合計は65才でした。
現在の父の年齢は何才ですか

問題3)
パイナップル5個とリンゴ6個を買ったら、代金が2090円
でした。りんご3個の代金はパイナップル2個の代金の8割
より20円高いという。パイナップル、リンゴ1個の代金はそれぞれ
いくらですか

答え)
1)@6cm
  A1:2
  B4:1

2)40才

3)パイナップル 250円
  リンゴ    140円
以上です。よろしくお願いいたします



34523.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 22時34分
問題1)
(1) △ADEと△FCEは、相似で、相似比は、
 DE:EC=8:4=2:1
より、CF=AD÷2=6(cm)
(2) △DEFと△AEDの比は、底辺の比EF:AEと同じであり、
 △FCEと△ADEの相似比より、1:2 です。
(3)
△ECFの面積を1とすると、
 △DEFの面積は、DE:EC=2:1 より、2倍
 △DEAの面積は2×2=4(倍)
 △ABFの面積は3×3=9(倍)
 四角形ABCEの面積は9−1=8(倍)
よって、四角形ABCEと△DEFの面積比は、
 8:2=4:1
 

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34525.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 8時35分
問題2)
5年後の4人の年齢の合計は、3年前には
 94−8×4=62(才)
のはずですが、65才であるということは、妹は3年間は
年齢に含まれていない(生まれていない)ので、妹は今年生まれたことになります。
現在の家族の年齢の合計は
 94−5×4=74(才) そのうち、妹は0才
それを踏まえて、現在の図を描くと、

図の合計は74才ですが、これに11才を足すと、姉の年齢の17個分になります。
 (74+11)÷17=5 ・・・姉の年齢
父は、
 5×8=40(才)
 

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34526.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 22時58分
問題3)
パイナップル1個の値段を(10)とすると、りんご3個の値段は、
 2×(8)+20=(16)+20
となります。よって、りんご6個は、その2倍で、
 (32)+40
となります。パイナップル5個とリンゴ6個では、
 (50)+(32)+40=(82)+40
これが2090円なので、(82) は、2050円。
(1) は、2050÷82=25(円)
パイナップルは(10)で、250円
りんご3個は、(16)+20=420(円)
りんご1個は 420÷3=140(円)
 

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34535.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月30日(火) 0時16分
ヨッシー先生へ
いつもありがとうございます
年齢の問題は問題文の意味が理解できなかったのですが
先生のご回答見させていただきまして理解できました


34539.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 8時49分
問題2の図が付いていなかったので、載せました。
 

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34558.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:11月1日(木) 7時42分
問題文には図はなかったです。
先生に図を描いていただきよくわかり助かりました。

34512.(untitled)  
名前:未来 高三    日付:10月29日(月) 17時21分
pを素数、nを0以上の整数とする。

(1)mは整数で0≦m≦nとする。1から、p^(n+1)までの整数の中で、
 p^mで割り切れ、p^(m+1)で割り切れないものの個数を求めよ。

(2)1からp^(n+1)までの2つの整数x、yに対し、その積xyが
  p^(n+1)で割り切れるような組(x、y)の個数を求めよ。

 よろしくお願いします。



34522.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 22時26分
(1)
たとえば、p=5、n=10、m=3 とすると、
1から、5^11 までの整数の中で、5^3 で割り切れ、5^4 で割り切れないものは、
A=5^3 とすると、
 A, 2A, 3A, 4A, 5A・・・5^8A
までの、5^8個の数のうち、係数が5の倍数でないものです。つまり、
 (4/5)5^8=4・5^7
一般に当てはめると、(p-1)p^(n-m) 個となります。
 

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34511.関数と方程式・不等式  
名前:森 高校三年    日付:10月29日(月) 16時59分
実数x、yが、19x^2+6xy+11y^2=1 を満たしながら動くとき、
x^2+y^2の最大値、最小値、および、それらを与えるx、yを求めよ。

教えてほしいです。よろしくお願いします。



34513.Re: 関数と方程式・不等式
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 17時58分
19x^2+6xy+11y^2=1 を原点周りにθ回転させたものを考えます。
19x^2+6xy+11y^2=1 上の点(x,y) をθ回転させた先の点を(X,Y) とすると、
 x=Xcosθ+Ysinθ
 y=-Xsinθ+Ycosθ
を、19x^2+6xy+11y^2=1 に代入して、
 19(Xcosθ+Ysinθ)^2+6(Xcosθ+Ysinθ)(-Xsinθ+Ycosθ)+11(-Xsinθ+Ycosθ)^2=1
 (左辺)=19(X^2cos^2θ+Y^2sin^2θ+2XYsinθcosθ)+6{(Y^2-X^2)sinθcosθ+XY(cos^2θ-sin^2θ)}+11(X^2sin^2θ+Y^2cos^2θ-2XYsinθcosθ)
  =X^2(19cos^2θ-6sinθcosθ+11sin^2θ)+Y^2(19sin^2θ+6sinθcosθ+11cos^2θ)+XY(16sinθcosθ+6cos^2θ-6sin^2θ)
XYの項を0にすることを考えます。
 16sinθcosθ+6cos^2θ-6sin^2θ=8sin2θ+6cos2θ=10sin(2θ+α)
ただし、cosα=4/5、sinα=3/5
このような角αに対して、θ=-α/2 とすると、

図より、
 sinθ=-sin(α/2)=-1/√10
 cosθ=cos(α/2)=3/√10
よって、
 19cos^2θ-6sinθcosθ+11sin^2θ=(1/10)(171+18+11)=20
 19sin^2θ+6sinθcosθ+11cos^2θ=(1/10)(19−18+99)=10
よって、20X^2+10Y^2=1 となり、19x^2+6xy+11y^2=1 は、
楕円 20X^2+10Y^2=1 を原点周りに α/2 回転したものになります。
原点周りに回転したので、x^2+y^2 の最大最小は、X^2+Y^2 の最大最小でもあります。
最大は、X=0, Y=±1/√10 のときの、1/10
 このとき、x=干1/10、y=±3/10 (複号同順)
最小は、X=±1/√20, Y=0 のときの、1/20
 このとき、x=±3/10√2、y=±1/10√2 (複号同順)

※干 は、± をひっくり返した記号です。
 

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34532.Re: 関数と方程式・不等式
名前:未来 高三    日付:10月29日(月) 23時54分
なるほど。

sinθcosθで考える事が出来るんですね。
ありがとうございました。自分でもやってみます。

34509.定積分  
名前:頑張るぞ*数学*    日付:10月29日(月) 16時55分
s=∫(1〜−2)┃x^2+2ax┃dxについてa≧0とするsをaの関数で表すとo≦a<1のときs=8/3a^3-3a+3,a≧1のときs=5a-7/3となるところまで分かったのですが、(2)sを最小にするaの値とそのときの最小値を求めよというのがわかりません。解答はa=√6/4のとき最小値3-√6/2です。厚かましくはありますが、早くアドバイスを頂けると助かります。どうぞ、よろしくお願いいたします。



34514.Re: 定積分
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 18時10分
0≦a<1のときs=8a^3/3-3a+3
a≧1のときs=5a-7/3
において、

a≧1 の範囲でのsの最小値は、a=1 のときの、s=8/3 です。

0≦a<1のとき
 s=8a^3/3-3a+3
を微分して、
 s'=8a^2-3
であるので、s'=0 となるのは a=±√(3/8) のとき、
a=0 のとき、s=3であり、そこから、a=√(3/8) まで単調減少し、
a=√(3/8) のときの s=3−√(3/2) で、極小となり、
a=1 に近づくにつれ、s=8/3 に近づきます。

以上より、a=√(3/8) のときの s=3−√(3/2) が最小となります。
 

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34517.Re: 定積分
名前:頑張るぞ*数学*    日付:10月29日(月) 21時18分
有難うございました。よくわかりました。

34505.数と式  
名前:ニロ    日付:10月29日(月) 14時3分
aは定数とし、xの方程式2x^2+ax−a=0・・・・@
2x^2+ax−a=(x−1)*(2x+a+2)と因数分解できる。
よって、aが整数のとき、@が正の整数を解にもつならば
a=□、□である

解答(途中まで)
2x^2+ax−a=(x−1)*(2x+a+2)より、@を満たすxは
(x−1)*(2x+a+2)=−2を満たす。
@が正の整数Nを解にもつとすれば
(N−1)*(2N+a+2)=−2
が成り立つ。

どうして右辺が−2になるのでしょうか?
そこがよく理解できなくて先に進めません・・・
解説お願いします!!!



34506.Re: 数と式
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 14時11分
問題文のどこかが、違っているように思えます。
 

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34507.Re: 数と式
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 14時47分
たぶん2行目が、
2x^2+ax−a−2=(x−1)*(2x+a+2)と因数分解できる。
でしょうね。
この式は、普通の因数分解の式です。
2x^2+ax−a=0 を満たすようなxについて、
 2x^2+ax−a−2=0−2
なので、
 (x−1)*(2x+a+2)=−2
と書けます。
 

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34503.図形 高3 数学苦手です  
名前:のり    日付:10月29日(月) 7時17分
Original Size: 640 x 480, 39KB Original Size: 769 x 372, 10KB

辺の長さが6cmの正八面体である。
点Gを辺BCの中点に点Hを辺AB上にAH:BH=1:2となるようにとる。



(3)3点E,H,Gを通る平面でこの立体を切断した。
このとき、切断面の面積を求めなさい。

空間座標の解き方で考えてるのですが
xy座標と違ってx,y,z座標になると混乱してよく分からなくなってしまいます。

答えは
6√10



34504.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 8時49分

添付された図を使うと、
 E:(0, -3√2, 0)
 H:(√2, 0, 2√2)
 G:(3√2/2, 3√2/2, 0)
となります。また、z軸方向から見た図(上図の右)において、EHGが1直線上にあるので、
平面EHGIは、z軸に平行であり、点Iは、点Hと、xy平面に対して
対称な位置にあります。よって、
 I:(√2, 0, -2√2)
と決まります。
△EHGにおいて、
 EH=2√7
 HG=√13
 EG=3√5
より、
 cos∠EHG=(28+13−45)/(2・2√7・√13)=-1/√91
 sin∠EHG=3√10/√91
 △EHG=(1/2)EH・HGsin∠EHG=3√10
△EGIは、△EHGと合同なので、面積も同じく 3√10
よって、切断面の面積は 6√10 となります。
 

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34515.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月29日(月) 19時25分
解説ありがとうございます。
平面EHGIのIがどうして必要なのかよく分かりませんのでおしえてください。

例えば線分BEのどこかにもIのような点があってもよいですか?


34516.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 19時39分
平面EHGIは、平面EHGでも、平面EGIでも、とにかく点が3つ書かれていれば
何でも良いのですが、図にせっかくIが書かれていて、求める断面が
EHGIなので、そう書きました。
 

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34518.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月29日(月) 21時52分
E:(0, -3√2, 0)
 H:(√2, 0, 2√2)
 G:(3√2/2, 3√2/2, 0)
の3点の求めかたが分かりません。
教えてください。

質問ばかりですいません


34520.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 22時21分
A:(0,0,3√2)、B:(3√2,0,0)、C:(0,3√2,0)
は、理解されていますか?

Eは、Cの原点に対して対称な点、HはABを2:1に内分する点、
GはBCの中点なので、このようになります。
 

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34524.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月29日(月) 22時38分
A:(0,0,3√2)、B:(3√2,0,0)、C:(0,3√2,0)
の意味がよく分かりません

おばかですいません


34527.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 23時4分
上の図のように、座標軸を取ると、
点Aの座標が(0,0,3√2)、点Bの座標が(3√2,0,0)、点Cの座標が(0,3√2,0)という意味です。
 

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34528.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月29日(月) 23時30分
 I:(√2, 0, -2√2)の求めかたを教えてください


△EHGにおいて、
 EH=2√7
 HG=√13
 EG=3√5
の求めかたも教えてください

何度も質問してごめんなさい


34530.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 23時47分
Iは
>また、z軸方向から見た図(上図の右)において、EHGが1直線上にあるので、
に尽きます。

2点(a,b,c)(d,e,f) 間の長さは
 √{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}
で表されます。
 

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34534.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月30日(火) 0時14分
何度もすみません
HG=√13
 EG=3√5
はどのようにして求めるのですか?


34537.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月30日(火) 6時25分
何度もすみません
xyzの座標の読み方が分かりません。
 A(0,0,3√2),B(3√2,0,0),C(0,3√2,0),D(−3√2,0,0),E(0,−3√2,0),F(0,0,−3√2)

について
点Aはzと分かるのですがBDがx座標ですか?
例えば座標は
B(3√2,0,0),D(−3√2,0,0),ですがB(−3√2,0,0),D(3√2,0,0),でもokですか?


同じようにCEがy座標ですか?

それから、昨日教えて頂いた
2点(a,b,c)(d,e,f) 間の長さは
 √{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}
で表されます。
がよく分かりません。

どのように代入して利用するのですか?


34538.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月30日(火) 8時48分
xy座標が、横(x軸)、縦(y軸) であるのと同じように、
xyz座標では、横(x軸)、縦(y軸)、高さ(z軸) となります。
点Oを原点として、横に0、縦に0、高さ方向に3√2 進んだ点が
 (0,0,3√2)
です。同じように、横に3√2、縦に0、高さ方向に0進んだ点が
 (3√2,0,0)
です。

>点Aはzと分かるのですがBDがx座標ですか?
これを見る限り、「点Aはzと分かるのですが」の部分も理解されていないように見えます。
点Aは、x座標が0、y座標が0、z座標が3√2 です。
点Bは、x座標が3√2、y座標が0、z座標が0 です。
点Dは、x座標が-3√2、y座標が0、z座標が0 です。

>B(3√2,0,0),D(−3√2,0,0),ですがB(−3√2,0,0),D(3√2,0,0),でもokですか?
最初にそのように決める、という意味ではOKですが、そうすると、
点H,点G、点Iの座標も、計算し直さなくてはいけません。

2点(a,b,c)(d,e,f) 間の長さは
 √{(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2}
で表されます。
を、2点E:(0, -3√2, 0)、H:(√2, 0, 2√2) に適用すると、
 EH=√{(0−√2)^2+(-3√2−0)^2+(0−2√2)^2}
  =√(2+18+8)=√28=2√7
で、EH=2√7 となります。
 HG=√13
 EG=3√5
も同様です。
 

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34551.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり    日付:10月31日(水) 8時59分
よっしーさん毎回ありがとうございます。
何度も質問して解説していただけたので流れがわかってきました。
まだ分からない点があるので申し少しお付き合いさせてください。
 H:(√2, 0, 2√2)
 G:(3√2/2, 3√2/2, 0)
の2点の求めかたが分かりません。
教えてください。

Eは、Cの原点に対して対称な点、HはABを2:1に内分する点、
を考えたのですがよく分かりません。
もしご迷惑ではなかったら途中式みたいのを載せていただけないでしょうか?
よろしくおねがいします。
 


34555.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:ヨッシー    日付:10月31日(水) 12時33分
内分点の公式を使います。
2点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)を、m:nに内分する点は、
((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n),(nz1+mz2)/(m+n))
で表される。
特に、中点は、(1:1に内分する点なので)
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2)
で表される。

A:(0,0,3√2)、B:(3√2,0,0)、C:(0,3√2,0)
において、点Hは、ABを1:2に内分する点なので、
((2・0+1・3√2)/(1+2),(2・0+1・0)/(1+2),(2・3√2+1・0)/(1+2))=(√2, 0, 2√2)
点GはBCの中点なので、(中略) (3√2/2, 3√2/2, 0) となります。 

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34607.Re: 図形 高3 数学苦手です
名前:のり 高校3年 数学苦手    日付:11月4日(日) 21時10分
返事が遅くなってごめんなさい
ヨッシーさんのおかげで理解できました
長い間付き合ってくださってどうもありがとうございます

34500.最小値  
名前:ジョン    日付:10月28日(日) 23時53分
放物線y=1-x^2上の第1象限にある点Pにおける接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA,Bとする。原点Oとして、△OABの面積の最小値は?
という問題が解けません。
解法を教えてください。
答えは4√3/9です



34501.最小値
名前:ジョン    日付:10月28日(日) 23時54分
すいません。高2です


34502.Re: 最小値
名前:ヨッシー    日付:10月29日(月) 0時13分

点Pは、第1象限の点なので、点Pの座標は
 (t, 1-t^2) (0<t<1)
と置けます。点Pにおける接線の傾きは、
 y=1−x^2
の微分 y'=−2x より、
-2t なので、接線の式は
 y=-2t(x−t)+1−t^2
と書けます。
Aのx座標は、y=0 とおいて、
 2t(x−t)=1−t^2
 x−t=(1−t^2)/2t
 x=(1+t^2)/2t
Bのy座標は、x=0 とおいて、
 y=2t^2+1−t^2=1+t^2
よって、△OABの面積は
 (1+t^2)/2t×(1+t^2)÷2=(1+t^2)^2/4t
f(t)=(1+t^2)^2/4t とおきます。tで微分して、
f'(t)={4t(1+t^2)・4t−(1+t^2)^2・4}/16t^2
  ={4t^2(1+t^2)−(1+t^2)^2}/4t^2
  =(3t^2−1)(t^2+1)/4t^2
実数の範囲で f'(t)=0 を解いて、
 t=±√3/3
0<t<1 の範囲では、
 0<t<√3/3 で、f'(t)<0 で、単調減少
 √3/3<t<1 で、f'(t)>0 で、単調増加
これより、t=√3/3 のとき、f(t) は最小で、このとき、
 f(√3/3)=(1+1/3)^2/4×√3=4√3/9
 

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34491.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月27日(土) 15時41分
Original Size: 612 x 406, 163KB

またよろしくお願いします。
問題1)
ある中学で願書の受付を始めたとき、すでに行列が出来ていて、
1分間に並んでいる人が2人ずつ増えていきます。はじめ4人
の事務員で受付をする予定でしたが、行列がなくなるまで、
3時間12分もかかってしまう見込みだったので、事務員を
6人に増やしたところ、1時間36分で行列がなくなりました。
事務員は、みな同じペースで受付をするものとして、あとの問い
に答えなさい。
@受付を始めたときに並んでいた人は何人いましたか
A事務員8人で受付をすると、行列がなくなるまで、
 何時間何分かかりますか
Bもし受付を始めるのが1時間遅れたら、事務員6人が受付をして、
 行列がなくなるまで、何時間何分かかりますか

問題2)図を添付してます
20人が3回ずつ図のような的に矢をいって、その合計点を
競うゲームをしました。
Aに当たると3点
Bに当たると2点         とします。
Cに当たると1点
的に当たらなかった場合は0点
20人がそれぞれ3回ずつ矢をいった合計点の結果は
表のとおりです。(イ)は(ア)の2倍よりも1大きい
数です。下の問いに答えなさい。
@(ア)(イ)に当てはまる数を求めなさい
A20人の平均は何点ですか
BAに矢が当たったのは少なくとも何本ありますか

問題3)
A君が今もっている金額で、りんごを4個買うと、40円の
おつりが出ます。また、同じ金額でみかんを5個買うと50円
のおつりが出ます。みかん1個の値段はりんご1個の値段より
20円安いそうです。A君の所持金はいくらですか
(ただし、消費税は考えないものとします)

問題4)
4つの品物A、B、C、Dを次のように箱(a)から箱(f)
に詰めた商品があります。
(a)Aを1個、Bを1個
(b)Cを1個、Dを2個
(c)Bを1個、Cを1個
(d)Aを1個、Dを3個
(e)Cを3個、Dを1個
(f)Aを4個
このとき(a)と(b)、(c)と(d)、(e)と(f)
は価格がそれぞれ同じでした。
Aの価格はDの価格の何倍になりますか
少数を用いて答えなさい

以上です

答え
1)
@384人
A1時間4分
B2時間6分

2)
@(ア)2 (イ)5
A6点
B17本

3)
400円

4)
2.5倍

よろしくお願いいたします



34492.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月27日(土) 18時31分
問題1)
(1)
1人の事務員が1分間に処理する人数を(1)とすると、
4人が3時間12分=192分に処理するのは(4×192)=(768)
6人が1時間36分=96分に処理するのは(6×96)=(576)
この差の(192)は、192−96=96分間に並んだ人なので、
(192)=2×96=192
となり、1人の事務員が1分間に処理する人数は1人です。

4人が192分に処理したのは、768人。
この間に並んだのは 2×192=384(人)
よって、最初の人数は、 768−384=384(人)
(6人で計算しても同じです)

(2)
8人で作業すると、1分間に 8−2=6(人)減るので、
 384÷6=64 ・・・ 1時間4分

(3)
1時間の間に120人増えて、
 384+120=504(人)
になります。6人で作業をすると、1分間に 6−2=4(人)減るので、
 504÷4=126(分) ・・・ 2時間6分

問題2
(ア)と(イ)を足した人数は、何人ですか?
 

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34493.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月27日(土) 18時52分
問題3)

図より、みかん1個の値段は
 20×4+40−50=70(円)
所持金は、
 70×5+50=400(円)
 

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34494.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月27日(土) 20時18分
ヨッシー先生へ
たくさんありがとうございます
問題2
(ア)と(イ)を足した人数は、何人ですか?
についてですが、添付させていただきました図をみますと
20人が‥、とかいてあり、表の(ア)と(イ)を除いた人数は
13人なので、(ア)と(イ)の人数は7人だと思います。


34495.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月27日(土) 22時47分
では、その7人を、(ア)と(イ)に分けるのですが、
いくつといくつに分けたら、(イ)が(ア)の2倍よりも1大きくなりますか?
 

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34496.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月27日(土) 23時8分
ヨッシー先生へ
先生の言われることを読み返してみると、
すごく簡単なことで恥ずかしくなりました
すみませんでした


34497.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月28日(日) 7時32分
問題4)
 AB = CDD ・・・(i)
 BC = ADDD ・・・(ii)
 CCCD = AAAA ・・・(iii)
上の式は天秤だと思ってください。
また、値段を重さと見なしています。
(i)の左の皿に(ii)の右を、(i)の右の皿に(ii)の左を、のせてもつりあいます。
 ABADDD=CDDBC
両方の皿から、同じだけ下ろしてもつりあうので、BDDを下ろします。
 AAD = CC ・・・(iv)
(iii) の左右を2倍ずつにした天秤もつりあいます
 CCCCCCDD = AAAAAAAA ・・・ (v)
(iv) の左右を3倍ずつにした天秤もつりあいます
 AAAAAADDD = CCCCCC ・・・ (vi)
(v)の左の皿に(vi)の左を、(v)の右の皿に(vi)の右を、のせてもつりあいます。
 CCCCCCDDAAAAAADDD = AAAAAAAACCCCCC ・・・ (vii)
両方の皿から、CCCCCCAAAAAA を下ろします。
 DDDDD = AA
となり、D5個で、A2個分の値段なので、A1個は、D2.5個分の値段ということになります。
 

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34498.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月28日(日) 11時35分
問題4の回答もありがとうございました
こういう特別な問題は考えても考えても時間だけ
過ぎていき、結局正解がでないまま、ということが
多いです。ここ最近一問とくだけでも何時間もかかったりで
とければまだいいのですが、かなりショック受けています。
ても先生の丁寧なご説明で途中まで合っていたが
どこかで計算が抜けていたり、気がつかなかったり
が理解できてすごく助かります
ありがとうございます。

34486.(untitled)  
名前:ラディン.ms    日付:10月26日(金) 19時44分
√{17+√(2)x}=y+√(2)zを満たす自然数の組(x,y,z)を求めよ。

よろしくお願いします。



34488.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 23時53分
 √{17+√(2)x}=y+√(2)z
の両辺を2乗して、
 17+(√2)x=y^2+2z^2+2(√2)yz
より、
 17=y^2+2z^2 …(1)
 x=2yz  …(2)
(1) より、(y,z)=(3,2)
このとき、(2)より x=12
 (x,y,z)=(12,3,2)
 

http://yosshy.sansu.org/


34490.Re: (untitled)
名前:ラディン.ms    日付:10月27日(土) 12時19分
ありがとうございます。

34484.階層型の漸化式  
名前:木山     日付:10月26日(金) 18時49分
Original Size: 388 x 604, 136KB Original Size: 399 x 477, 86KB

解説にある設問(3)の部分についてです。
@ 「(A)1枚のとき 残り100*n円なので、以下、
2枚〜(n+1)枚までのすべての場合も含んでa(n)通り」にある
「 (n+1)枚」はどうやって導き出されたのでしょうか。

A 漸化式についてもなぜあのような形に表現出来るのかが
  よく分りません。

よろしくお願い致します。



34485.Re: 階層型の漸化式
名前:らすかる    日付:10月26日(金) 19時33分
(n+1)は、その前の「使用する100円玉の枚数は、0〜(n+1)枚まで
考えられます」の(n+1)です。

a[n+1]
=(100円玉0枚のときの場合の数)+(100円玉1枚のときの場合の数)
 +(100円玉2枚のときの場合の数)+(100円玉3枚のときの場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円玉n枚のときの場合の数)+(100円玉n+1枚のときの場合の数)
であり
(100円玉0枚のときの場合の数)=2n+3
(100円玉1枚のときの場合の数)
 +(100円玉2枚のときの場合の数)+(100円玉3枚のときの場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円玉n枚のときの場合の数)+(100円玉n+1枚のときの場合の数)
 =a[n]
ですから、a[n+1]=a[n]+(2n+3) です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34487.Re: 階層型の漸化式
名前:木山     日付:10月26日(金) 20時29分
らすかる先生、いつもアドバイスをありがとうございます。

「(100円玉1枚のときの場合の数)
 +(100円玉2枚のときの場合の数)+(100円玉3枚のときの場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円玉n枚のときの場合の数)+(100円玉n+1枚のときの場合の数)
 =a[n]」の解説がよく分りませんでした。

漸化式に関しては基礎がまだまだ出来ていないと痛感しております。
もう一度初歩の部分から勉強し直してから、この問題に再チャレンジ
します。


34489.Re: 階層型の漸化式
名前:らすかる    日付:10月27日(土) 5時48分
(100円玉1枚のときの場合の数)=(残り100n円を50円玉と1円玉にする場合の数)
(100円玉2枚のときの場合の数)=(残り100(n-1)円を50円玉と1円玉にする場合の数)
(100円玉3枚のときの場合の数)=(残り100(n-2)円を50円玉と1円玉にする場合の数)
・・・・・・・・・・・・・
(100円玉n枚のときの場合の数)=(残り100円を50円玉と1円玉にする場合の数)
(100円玉n+1枚のときの場合の数)=(残り0円を50円玉と1円玉にする場合の数)
ですね。
ところが
a[n]=(100n円を両替する場合の数)
=(100円玉0枚のときの場合の数)+(100円玉1枚のときの場合の数)
 +(100円玉2枚のときの場合の数)+(100円玉3枚のときの場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円玉(n-1)枚のときの場合の数)+(100円玉n枚のときの場合の数)
=(100n円を50円玉と1円玉にする場合の数)+(100(n-1)円を50円玉と1円玉にする場合の数)
 +(100(n-2)円を50円玉と1円玉にする場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円を50円玉と1円玉にする場合の数)+(0円を50円玉と1円玉にする場合の数)
であり、これは上と同じですので
「(100円玉1枚のときの場合の数)
 +(100円玉2枚のときの場合の数)+(100円玉3枚のときの場合の数)
 +・・・・・・・・・
 +(100円玉n枚のときの場合の数)+(100円玉n+1枚のときの場合の数)
 =a[n]」
となります。

# これは「漸化式の基礎」とはちょっと違うと思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34519.Re: 階層型の漸化式
名前:木山     日付:10月29日(月) 22時6分
らすかる先生

理解することが出来ました。
ありがとうございます。

34482.対数  
名前:森 高校三年    日付:10月26日(金) 17時14分
(1) log(2)3 は無理数である事を証明せよ。

(2) nが正の整数のとき、log(2)nが整数でない有理数となることが
   あるかどうか調べよ。

 教えてください。数学苦手です。logの()の中は、底です。



34483.Re: 対数
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 18時13分
(1) log(2)3が有理数だとすると、互いに素な自然数a,b に対して、
 log(2)3=a/b
と置けます。
 2^(a/b)=3
b乗して、
 2^a=3^b
左辺は2の倍数ですが、右辺は2の倍数でないので、この式は
成り立ちません。
よって、log(2)3 は無理数といえます。

(2)
 log(2)n=a/b aとbは、互いに素な整数で、b≠0、b≠1
とおきます。
 2^a=n^b
となりますが、nは、素因数に2以外の素数を持つことはありません。
よって、n=2^c (cは0以上の整数)と表せ、
 log(2)n=c
より、log(2)nが整数でない有理数となることはないといえます。
 

http://yosshy.sansu.org/


34499.Re: 対数
名前:森 高校三年    日付:10月28日(日) 17時56分
遅くなってしまって申し訳ありません。

本当にありがとうございました

お世話になりました。

34460.訂正します。  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時14分
温度が一定のとき、一定量の気体の体積は圧力に反比例する。圧力が3気圧のとき、1.2㎥の体積をもつ気体では、圧力が2気圧になると、その体積はいくらか



34466.Re: 訂正します。
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時18分
圧力3が圧力2になったとすると、圧力は何倍になりましたか?
 

http://yosshy.sansu.org/


34471.Re: 訂正します。
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時22分
3分の2ですか?


34474.Re: 訂正します。
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時31分
体積は圧力に反比例するとき、圧力が 2/3(3分の2)倍になると、
体積は何倍になりますか?
 

http://yosshy.sansu.org/

34459.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時14分
ダイヤモンドの価格は、その重量の2乗に比例するという。いま、価格100万円のダイヤモンドを、あやまって2つに割ってしまった。両方の重量比は2:3であったが、その損失はどれほどか。



34463.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時16分
重量比2のほうのかけらは、元のダイヤの何倍の重さですか?
重量比3のほうのかけらは、元のダイヤの何倍の重さですか?
 

http://yosshy.sansu.org/


34468.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時20分
0.4倍と、0.6倍では?


34470.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時22分
重量が0.4倍になると、値段は何倍になりますか?
重量が0.6倍になると、値段は何倍になりますか?
ただし、値段は、重量の2乗に比例します。
 

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34476.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時33分
48万円ですかね?


34477.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時36分
合っているので良いですが、
途中を書いてもらうと、もし間違っていたときに
原因が見つけやすくなります。
 

http://yosshy.sansu.org/

34457.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時12分
ダイヤモンドの値段はその重さの2乗に比例する。1カラット(0.2g)80万円のダイヤモンドを1:3の重さに分割すると、それぞれいくらになるか。



34465.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時17分
重量比1のほうのかけらは、元のダイヤの何倍の重さですか?
重量比3のほうのかけらは、元のダイヤの何倍の重さですか?
 

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34455.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時6分
xとyが反比例の関係のとき、xが60%増加するとyは何%減少するか。
また、xとyが比例の関係のとき、xが60%増加するとyは何%増加するか。



34461.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時15分
xが60%増加するというのは、
xが何倍になることですか?
 

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34464.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時17分
1.6倍では?


34467.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時19分
xが1.6倍になるとき、
 xと反比例するyは、何倍になりますか?
 xと比例するyは、何倍になりますか?
%で答えようとせずに、何倍で答えてみてください。
  

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34454.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時4分
yはxに比例する。
xが20%減少すると、yは何%増加するか。



34469.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時21分
比例、減少、増加、の言葉に誤りはありませんか?
なければ、それを前提でお答えします。
 

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34472.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時23分
すみません
反比例です


34475.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時32分
xが20%減少するということは何倍になることですか?
そのとき、yは何倍になりますか?
 

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34453.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 15時2分
xの2乗に比例する量からxに反比例する量をひいたものをyとする。
x=1のとき、y=−1となり、x=3のときy=43である。
yをxの式で表せ。



34478.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時39分
xの2乗に比例する量は、ax^2 と書けます。
xに反比例する量は、b/x と書けます。
よって、
 y=ax^2−b/x
と書けます。あとは、下と同じ解き方です。
 

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34479.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 16時2分
ほかの問題はわかりました。ありがとうございました。
しかし、この問題だけが良くわかりません。
どうでしょうか。


34480.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 16時24分
わかりました
ありがとうございました

34452.中学1年です。すみませんが至急お願いします!!  
名前:Grade7    日付:10月26日(金) 14時59分
zはx+1に比例する量とy−1に反比例する量との和であり、
x=0、y=2のとき、z=1であり、x=−3、y=4のときz=−3である。
x=1、y=−5のとき、zの値を求めよ。



34473.Re: 中学1年です。すみませんが至急お願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 15時30分
x+1に比例する量は、a(x+1) で表せます。
y−1に反比例する量は、b/(y-1) で表せます。
これらの和ですから、
 z=a(x+1)+b/(y-1) …(i)
と書けます。
x=0、y=2のとき、z=1ですから
 a+b=1 …(1)
x=−3、y=4のときz=−3ですから
 −2a+b/3=−3 …(2)
(1)(2)を解いて、a=10/7, b=-3/7
x=1、y=−5のとき
 z=(10/7)(1+1)+(-3/7)/(-5-1)=20/7+1/14=41/14
 
 

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34448.小学六年生 図形  
名前:さとる    日付:10月26日(金) 8時20分
Original Size: 640 x 480, 62KB Original Size: 640 x 480, 59KB Original Size: 640 x 480, 60KB

図形問題は苦手ですみません
またお願いいたします
問題1)
紙を切って図のようなAB=3cm、BC=4cm、CA=5cm
の三角形を作ると、角Bが90度になることが知られています。
この三角形を、頂点Aを通る折線ADで折って、頂点Bが辺CA上
にくるようにします(図2)。
このときBDの長さを求めなさい。

問題2)
一辺の長さが10cmの正方形の紙ABCDがあります。
BCの真ん中の点をEとし、折線AEでこの紙を折ったとき
、点Bが重なる点をFとします。
再び開いたとき、三角形ABFの面積を求めなさい。

問題3)
ある商品を定価800円で売ると、予定していた利益より40%
少なくなるので、定価1200円で売ることにしました。
午前中に仕入れた量の7割が売れました。
午後は定価1200円の2割5分引きで残りの商品を売ったところ、
全部売れて、利益は午前と午後を合わせて61000円となりました。
これは、予定していた利益より、22%多いものでした。このとき、
この商品1個の原価はいくらですか

答え
1)1.5cm
2)40平方cm
3)500円
以上です。お願いいたします。



34449.Re: 小学六年生 図形
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 8時33分

図のように、点Cを通りABに平行な直線と、ADの延長との
交点をEとすると、図で示した3つの●は、同じ大きさで、
△ABDと△ECDは相似、△CAEは、二等辺三角形になります。
CE=5 より、△ABDと△ECDの相似比は、3:5 であり、
 BD:DC=3:5
となります。(以下略)
 

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34450.Re: 小学六年生 図形
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 8時40分
問題2)

BFとAEの交点をGとします。
△ABE、△AGF、△FGEは相似で、
 GE:GF=1:2
 GF:GA=1:2
なので、
 GE:GA=1:4
になります。すると、△AGFと△FGEの面積比は、高さがGFで共通とすると、
 AG:GE=4:1
になります。
 △ABE=△AFE=25cm2
なので、(以下略)
 

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34451.Re: 小学六年生 図形
名前:ヨッシー    日付:10月26日(金) 9時9分

7割を1200円、3割を900円で売ったということは、
 1200×0.7+900×0.3=1110
より、全部を1110円で売ったのと同じです。
このとき、予定の利益より22%多く、
全部を800円で売ると、予定の利益より40%少ないので、
 1110−800=310(円)
は、予定の利益の (22+40=)62% に当たります。
予定の利益は、
 310÷62%=500円
これより、22%多い610円が、1個1110円で売ったときの利益なので、
1個の原価は
 1110−610=500(円)
 

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34481.Re: 小学六年生 図形
名前:さとる    日付:10月26日(金) 16時47分
ヨッシー先生へ
先ほど学校から帰って見させていただきました
すごくわかりやすいご説明で理解できました
ありがとうございます

34447.呼び方の違いについて  
名前:haru    日付:10月25日(木) 20時46分
よろしくお願いします。
以前から気になっていたのですが、三角関数で、アークサインとかサインインバースとか言いますが、群での逆元でもアークエー(a^(−1))とかエーインバースとか呼んでもいいのでしょうか。わかりましたら教えてください。

34439.集合と2次関数  
名前:なお 高1    日付:10月25日(木) 14時29分
10以下の自然数の集合を全体集合Uとし、A={1,2,3,5,7}B={2,3,4,7,8}
C={3,6,9}とするとき、次の集合を求めよ。
(1)(A∩B)∪C
(1)の解き方を教えてください。()は、()の中を先に求めなさい。ということですか?

「2次関数」
文章問題で、例えば長さ20pの針金を折り曲げて長方形をつくるとき、長方形の面積の最大値を求めよ。
という問題があったならば、最大値を求めよ。だから、2次関数を使うのでしょうか?



34440.Re: 集合と2次関数
名前:ヨッシー    日付:10月25日(木) 14時51分
()は、()の中を先に求めなさい。ということです。
 (A∩B)∪C
のいきなり、括弧の途中をもぎ取って、B∪C を求めるのは不自然でしょう。
 A∩B は、AとBの両方に含まれる要素の集合ですから、
 A∩B={2,3,7}
これと、Cとの結び(どちらかに含まれる要素)をとって、
 (A∩B)∪C={2,3,6,7,9}
です。

最大値を求めよ。だから、2次関数を使うのでしょうか?
結果は同じですが、由来は逆です。
たとえば、1辺の長さをxとおき、長方形の面積をxで表すと
xの2次関数になるのです。
ついでに言うと、この2次関数の最大値が、xの取りうる範囲(0<x<10)に、
存在するので、このような問題が成立するのです。
 

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34441.Re: 集合と2次関数
名前:なお 高1    日付:10月25日(木) 16時35分
ありがとうございます!
この問題で最大値を求めるための別の方法はありますか?


34443.Re: 集合と2次関数
名前:ヨッシー    日付:10月25日(木) 16時50分
縦をx、横をyとおくと、x+y+10であり、
x、yともに正なので、
相加・相乗平均より
 xy≦{(x+y)/2}^2=25
等号はx=y=5 のとき。
 

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34444.Re: 集合と2次関数
名前:なお 高1    日付:10月25日(木) 17時12分
ありがとうございます!
相加・相乗平均は高2や高3になればわかることですよね?

すいません。また質問させていただきます。
さっきの問題なんですが・・
10以下の自然数の集合を全体集合Uとし、A={1,2,3,5,7}B={2,3,4,7,8}
C={3,6,9}とするとき、次の集合を求めよ。
_
(4)(A∪B)∩C
の解き方を教えてください。


34445.Re: 集合と2次関数
名前:なお 高1    日付:10月25日(木) 17時13分
(A∪B)∩CのBは、Bの補集合です。


34446.Re: 集合と2次関数
名前:ヨッシー    日付:10月25日(木) 18時10分
Bの補集合の要素を
 {1,2,3,4}
のように、並べ立てられますか?
 

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34438.お願いします。  
名前:大1です。    日付:10月25日(木) 13時42分
数学の質問です。

問題 R内の次の部分集合は部分空間であるか。
(1) A={x=t(x1,x2,x3…xn)|Σxi=0}
(2) A={x=t(x1,x2,x3…xn)|xi≧0,i=1,2,3…n}

部分集合・部分空間の違いすらよくわかりません。
問題における『次の部分集合』とは、Aのことなのでしょうか?

34434.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月25日(木) 0時58分
またわからないところがありましたのでお願いしたいのですが
問題1)
A、B二つの容器があり、Aには食塩水が、Bには水がそれぞれ
500gずつ入っています。いまAからBに100g移し、
よく混ぜて、BからAに100g移したところ、Aは5%の食塩水になりました。最初Aは何%の食塩水でしたか

問題2)
Aの容器には12%の食塩水が500g、Bの容器には8%の
食塩水が500g入っています。Aには1分間に10gずつ水を入れ
、同時にBには1分間に10gずつ15%の食塩水を入れます。
次の問いに答えなさい。
@Aの食塩水は10分後には何%の食塩水になりますか
ABの食塩水の濃度が10%になるのは何分後ですか
BAとBの食塩水が同じ濃度になるのは何分何秒後ですか

問題3)
原価150円の品物をA店とB店が、ともに30個ずつ
仕入れました。A店では2割、B店では1割の利益を見込んで
定価をつけました。B店では全て定価で売れましたが、
A店ではあまり売れなかったので、途中から定価の1割引きに
したところ、全て売れました。このときA店とB店の売り上げ
の合計金額は同じでした。A店が定価で売ったのは何個ですか

答え
1)6%
2)@10%
  A20分後
  B13分20秒後
3)5個

以上です。お願いいたします。



34435.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月25日(木) 8時52分
問題1)
食塩の動きだけ考えると、
Aにあった食塩の1/5がBに行き、そのうちの1/6がAに戻った
ことになります。
結果、最初Aに入っていた食塩の 1/6 がBに残るので、
Aの食塩は最初の 5/6 倍になっています。
それが5%になっているので、最初の濃度は
 5÷(5/6)=6(%)

問題2)
(1)10分間に100gの水が入るので、
 500×0.12=60(g) Aの中の食塩の量
 60÷(500+100)=10% ・・・10分後のAの濃度

(2) 天秤算で解きます。

図のように、目盛りの付いた天秤の、8%のところに500gのおもりをつるし
15%のところに何gかのおもりをつるし、10%のところで、つり合わせようと
すると、15%のところには、
 500×2÷5=200(g)
のおもりをつるせばいいことになります。
よって、200gの15%食塩水が必要であり、20分後です。

(3)全体の量は、AもBも同じです。
Aの容器の食塩の量は変わらない(ずっと60g)ので
Bの容器の食塩が60gになれば、濃度が同じになります。
 500×0.08=40(g) ・・・最初のBの中の食塩の量
 10×0.15=1.5(g) ・・・ 1分間に増える食塩の量
 (60-40)÷1.5=40/3(分) 答え 13分20秒
 

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34436.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月25日(木) 9時17分
問題3)
 150×1.2=180 ・・・Aの定価
 180×0.9=162 ・・・Aの値下げ後の価格
 150×1.1=165 ・・・Bの定価
 165×30=4950 ・・・Bの売り上げ

鶴亀算による方法
 すべて 162円で売ると、
 162×30=4860
 4950−4860=90 ・・・これだけ、Bの売り上げに足りない
 180−162=18 ・・・1個定価で売ると、18円売り上げが増える
 90÷18=5  ・・・ 5個売れば、Bの売り上げと同じになる

天秤算による方法

162円と180円のものを混ぜて、全体を165円で売ったのと同じにするには、
それぞれ15:3=5;1 の比率で分ければよいので、
定価(180円)で売るのは、全体の1/6
 30×(1/6)=5(個)
 

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34442.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月25日(木) 16時39分
ヨッシー先生へ
今学校から帰ってきました
丁寧に図を書いて説明していただきましてありがとうございます
天秤法は学校で習ったことなくまだ理解できないのですが、
先生の説明を読ませて頂いて理解してみようと思います

34428.ベクトル関係で...  
名前:ベクトル    日付:10月24日(水) 17時31分
ベクトル関係で雨宮の定理(定理というよりは考え方?)というのはあるのでしょうか?

34427.平面図形  
名前:木山     日付:10月24日(水) 16時49分
Original Size: 554 x 748, 144KB

解説にある「点Pは線分ACの中点より」の部分についてです。
どうして点Pは線分ACの中点といえるのでしょうか。

よろしくお願い致します。



34429.Re: 平面図形
名前:ちゃー    日付:10月24日(水) 18時7分
定義です。
中心から弦に垂線を引くと弦を2等分します

△AOPと△COPで
AO=CO (半径)
∠APO=∠CPO=90°(垂線)
OP共通

直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれひとしいので
合同になり
AP=CP つまりACの中点がPになる


34431.Re: 平面図形
名前:木山     日付:10月24日(水) 20時3分
ちゃー先生

詳細な解説ありがとうございます。

基礎的な知識が欠落していました。

34425.明日までの宿題なので、余裕のある方お願いします!!  
名前:健一    日付:10月24日(水) 1時5分
2次方程式x^2−2mx+m+6=0…@について
(1)@の解が2つとも1より大きいとき、定数mの値の範囲を求めよ
f(1)=左辺しにてからが分かりません。
(2)@の2つの解の差が2√6となるように定数mの値を求めよ
解と係数の関係を使うことは分かりますが、1が分からないので分かりません。
この二つお願いします。理解するのに、できれば途中式書いてもらえれば助かります。答えまで誘導してください。



34433.Re: 明日までの宿題なので、余裕のある方お願いします!!
名前:教得手 学    日付:10月24日(水) 23時33分
(1)[解法1]
f(x)=x^2−2mx+m+6 のグラフがx軸と2点で交わり、その2点ともx座標が1より大きければよいのです。
f(x)=(x−m)^2−m^2+m+6 となるから、放物線の頂点の座標は (m,−m^2+m+6) 、軸は x=m だから
 (イ)x軸と2点で交わるためには、−m^2+m+6<0・・・・A
 (ロ)交点のx座標がともに1より大きいためには、軸がx=1 より右
 にあり(すなわち m>1)、しかも f(1)>0 でなければならない。

(イ)(ロ)の条件をともにみたすmの範囲を求めれば答えとなります。

[解法2]
解法1の(ロ)の部分を次のように替えても出来ます。
 2つの交点のx座標をα,β(α>β)とすると
 α+β=2m ,αβ=m+6・・・・・・・B
「α,βともに1より大きい」⇔「(α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1)(β-1)>0・・・C」だから
Cの式にBを代入すれば、mの条件式が出来ます。

(2) α−β=2√6になるには
(2√6)^2=(α−β)^2=α^2−2αβ+β^2=(α+β)^2−4αβ
この式に Bを代入すればmについての方程式が出来るのでそれを解けばよいことになります。(Aを満たす範囲内にあるかを確認してください)

34418.(untitled)  
名前:さとる    日付:10月23日(火) 22時35分
マー坊さんへ
解き方がわかりましたので、正五角形の一辺の長さを足していって
求まるかやってみます。
有難うございました。

34414.また三角比の問題です。  
名前:マー坊    日付:10月23日(火) 21時45分
今日学校の方で宿題が出たんですが、その問題を解いてみるとどうもおかしくてその問題というのが、
円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2、BC=3、BD=4、AD=3である。CD及び円の半径を求めよ。
CD=xとおけ。というものなんです。こんな四角形は存在するのでしょうか?



34419.Re: また三角比の問題です。
名前:gaku    日付:10月23日(火) 22時42分
> 円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2、BC=3、BD=4、AD=3である。CD及び円の半径を求めよ。
> こんな四角形は存在するのでしょうか?

AB=2,BC=3,BD=・・・
と来ているから四角形にうまくならないという意味でしょうか。
ひとつだけ,辺の長さでない条件(対角線)が挟まっているだけです。

CDを求めるには余弦定理を使います。
cos∠A=-cos∠Cだという性質を使えばでます。

円の半径は正弦定理


34420.Re: また三角比の問題です。
名前:教得手 学    日付:10月23日(火) 22時42分
存在するでしょう。
△ABDにおいて余弦定理より、4+9−12cosA=16
ゆえに、cosA=−1/4
cosC=cos(π−A)=−cosA=1/4
CD=xとおくと
△BCDにおいて余弦定理より、
16=x^2+3−6xcosC=x^2+3−6x/4
∴2x^2−3x−14=0
これを解くと、X>0より CD=x=7/2

sinA=√(1-cos^2A)=√15/4
三角形の外接円の半径は、R=a/(2sinA) だから 
R=4/(2√15/4)=8√15/15
となります。


34421.Re: また三角比の問題です。
名前:教得手 学    日付:10月23日(火) 23時22分
gaku さん、かぶってしまってすみません。
(秒単位の差だったみたい)


34432.Re: また三角比の問題です。
名前:マー坊    日付:10月24日(水) 20時33分
gakuさん、教得手 学さんお二方とも本当に有り難うございました。
親切に教えていただいたお陰で宿題が解けそうです。

34413.小学六年生 図形  
名前:さとる    日付:10月23日(火) 19時51分
Original Size: 640 x 480, 59KB Original Size: 640 x 480, 63KB

またお願いいたします
これまで図形問題で図形がかけなかったので、
写真に取り込んでみました
問題1)
図のAB=5cm、BC=10cm、BE=2cm、
EF:FD=3:1です。
GHの長さは何cmですか
写真番号 DSC01608

問題2)
図は1辺5cmの正五角形のまわりに扇形を5つ書いたものです。
弧AB、BC、CD、DE、FFの長さの和は何cmですか
写真番号 DSC01608

答え)
1)1.6cm
2)94.2cm

以上です。お願いいたします。



34417.Re: 小学六年生 図形
名前:マー坊    日付:10月23日(火) 22時22分
二番目ならすぐにできましたので二番目からお教えします。
まず正五角形がありますよね。それを使いたいと思います。
五角形の隣の一番小さい扇型は正五角形の一辺と接してるので5センチになります。それを直径×3.14×角度を解くと9.42になります。
二番目に大きい扇型に先ほど出した9.42+5をしてその後にさっきと同じ方法を使います。
これを続けることにより正解を出すことができます。


34423.Re: 小学六年生 図形
名前:みと    日付:10月24日(水) 0時7分
問題1)
相似は習っていると思いますので、
@相似を使って、CH:EH:HGを考えます
  △ABCと△GHCを比べて(相似)
   CB:BA=10:5=2:1=CH:HG
  △DEFと△GEHを比べて(相似)
   EF:FD=3:1=EH:EG
  まとめると
   CH:EH:HG=2:3:1

ACE=CH+EH=8を使ってCH,EH,GHの長さを考えます
  CH:EH=2:3 とCE=CH+EH=8から
   CH=8÷(2+3)×2=3.2
   EH=8÷(2+3)×3=4.8
  CH:EH:HG=2:3:1から、
   GH=3.2÷2×1=4.8÷3×1=1.6


34426.Re: 小学六年生 図形
名前:さとる    日付:10月24日(水) 8時6分
みとさんへ
ありがとうございました
昨晩はそのまま寝てお礼が遅くなりました
今から学校へ行くので帰ってから見させていただき
わからないところありましたらまた質問させていただくかも
知れませんがお願いいたします

34410.わかりやすくお願いします。  
名前:aaaa    日付:10月23日(火) 19時33分
У=2χ2 (−2≦χ≦3)のときの傾き



34412.Re: わかりやすくお願いします。
名前:らすかる    日付:10月23日(火) 19時40分
傾きの範囲ですか?
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34408.角度  
名前:ラディン.ms    日付:10月23日(火) 16時49分
△ABCの内部に点Dがあり,∠ABD=18°,∠CBD=54°,∠BCD=42°,∠ACD=30°である。∠CADの大きさを求めよ。

宜しくお願いします。



34409.Re: 角度
名前:らすかる    日付:10月23日(火) 19時39分
正五角形AEBCFを描いて内側に正三角形AGFを描くとGとDは一致するので24°です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34411.Re: 角度
名前:ラディン.ms    日付:10月23日(火) 19時40分
ありがとうございます。このような方法思いつきもしませんでした……。

34406.2次関数と場合の数  
名前:なお 高1    日付:10月23日(火) 15時37分
≪問題≫次の関数において、yのとりうる値の範囲を求めよ。
1.y=3x-1(2≦x≦6)
これはただ代入すればいいだけですよね?
2.y=-2x5(-3≦x<2)
-3を代入したとき11、2を代入したとき1となります。
もちろん11≦x<1ではおかしいですから1≦x<11となるわけですが
xが-3に対してyが11になるはずなのになぜ、反対になるのでしょうか?
3.y=4x^2(-2<x<2)
これは16<y<16になるのですが・・
↑この場合はy=16と答えるべきですか?
≪問題≫赤白2個のサイコロを同時に投げるとき、2個のサイコロの目の和が7になるのは何通りか?
質問)こういう問題ではよく区別をするしないがあると思うのですがこの場合はどこでそれを見分けるのでしょうか?
教えてください。



34415.Re: 2次関数と場合の数
名前:なお 高1    日付:10月23日(火) 21時52分
すいません。少し訂正します。
2.y=-2x5(-3≦x<2)
y=-2x5(-3≦x<2)→y=-2x-5(-3≦x<2)
   誤         正


34416.Re: 2次関数と場合の数
名前:なお 高1    日付:10月23日(火) 21時56分
誠に申し訳ありません。もう1度だけ訂正させていただきます。
2.y=-2x-5→y=-2x+5です。


34430.Re: 2次関数と場合の数
名前:ちゃー    日付:10月24日(水) 18時9分
別の掲示板(DS掲示板)でお答えしておきました。
マルチはいけませんよ。

34404.三角関数 正接の変換  
名前:W.S.(高4)    日付:10月23日(火) 12時30分
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (A+B+C=π)
の証明の模範解答の途中に出てきたのですが…。

tanA+tanB=(tan-tan^2AtanB+tanB-tanAtan^2B)/(1-tanAtanB)
この左辺から右辺への導き方が私にはできません。

途中経過を示していただけませんか。


あと調べているうちに見つけたのですが

A+B+C=πより,C=π-(A+B)
tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
(1-tanAtanB)tanC=-tanA-tanB
tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

この解法は正しいのでしょうか?等式証明の仕方は
1.片方の辺から他辺を導く(A=・・・=・・・=・・・=B)
2.両辺を変形して等しいことを示す(A=・・・=C, B=・・・=C)
3.両辺の差が0であることを示す(A-B=・・・=0)
の3つだと習いました。上記の解法はダメですよね?

上の2点について、よろしければ回答お願いします。



34405.Re: 三角関数 正接の変換
名前:ヨッシー    日付:10月23日(火) 15時24分
tanA+tanB を分母が1の分数に見立てて
 (tanA+tanB)/1
とし、分子分母に 1−tanAtanB を掛けただけの変形です。
なぜ、1−tanAtanB をかけるとうまくいくかは、前後の計算を見てみないとなんともいえません。

下の解法は、ダメではないです。
 A=B
を示すのに、
 A−2=B−2
を示したようなものです。
正しい式変形の繰り返しで求める式を導く。
のであれば、問題ありません。
(1-tanAtanB) が分母にきているところも、詳しく調べれば、
分母が0にならないので、問題ありません。
 

http://yosshy.sansu.org/


34407.Re: 三角関数 正接の変換
名前:W.S.(高4)    日付:10月23日(火) 16時20分
ああ!!
tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
と置き、それを用いtanA+tanB+tanCを足すために、ただ分母をそろえていただけでしたね……。言われてやっと気づきました。
回答ありがとうございました。

2点目について、ダメではないのですね。ですがまだ抵抗があります。
同じような質問になってしまうのですが自分の頭の中をスッキリさせるために確認させてください。
この点を質問したとき、
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/toshiki/toshiki.htm
の、例題1にある「答案1」と同じようなことをしていると私は考えていたんです。
しかし、この正接の証明の場合は、条件(A+B+C=π)から式変形をして等式を導いているから問題が無い ということですね?


34422.Re: 三角関数 正接の変換
名前:ヨッシー    日付:10月23日(火) 23時52分
示されたページのものは、等しいかどうかを示したい式に対して、
最初から、示した意識をあたかも、等しいことが当然のように
使っているところに、違和感があります。
最終的に 0=0 のような式になって、「だから?」と聞きたくなります。

ところが、この問題は、
tanC から始まって、いわば、
 tanC⇒tan(π-(A+B))⇒・・・
のように、式変形が進んでいるので、上のような違和感はありません。
 

http://yosshy.sansu.org/


34424.Re: 三角関数 正接の変換
名前:W.S.(高4)    日付:10月24日(水) 0時29分
あぁ・・・理解しました。誤った答案では最終的にA=Aとなっているけど、当たり前ですものね。
おかげで、きちんと区別がつくようになりました。

ありがとうございました!

34402.(untitled)  
名前:やすし    日付:10月22日(月) 22時18分
27a^3+8b^3の因数分解のしかたを教えてください

(a+b)(a^2-ab+b^2)でどうやってとくのですか?

よろしくおねがいします



34403.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 22時32分
(a+b)(a^2-ab+b^2) を展開するとどうなりますか?
それは、27a^3+8b^3 と似ていませんか?
 

http://yosshy.sansu.org/

34401.(untitled)  
名前:涼子    日付:10月22日(月) 20時41分
ずっと下の方の質問で答えて頂いた高3の涼子です。
お礼を書いても次のページに行って見にくくなりそうでしたのでこちらへ。
らすかるさん、わかりやすい解答を本当にありがとうございました!
おかげで理解できました。

34396.場合の数  
名前:なお 高1    日付:10月22日(月) 18時33分
また質問します。
≪問題≫サンドイッチが8種類、飲み物が7種類、サラダが4種類ある。
サンドイッチを1つ、飲み物を1つ、サラダを2つ選ぶとき、その選び方は何通りか?
答えは8×7×6=336通りです。
8×7はわかるのですがサラダを2つ選ぶときの選ぶ方は6通りですが+6としないのはなぜでしょうか?



34397.Re: 場合の数
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 19時40分
サンドイッチと飲み物の選び方が56通り。
その56通り、1つ1つについてサラダの選び方が6通りずつあるので、
 56×6=336(通り)
です。
 

http://yosshy.sansu.org/


34400.Re: 場合の数
名前:なお 高1    日付:10月22日(月) 20時38分
あ〜そうですね!ありがとうございます★

34391.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月22日(月) 16時10分
またお願いいたします
問題)
三角形ABCは辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形で
その周囲の長さは29cmです。この三角形の中心に、頂点A
、B、Cをそれぞれ中心にして、円に一部(扇形)を書きました。
そのとき、APの長さは6cm、PQの長さは3cmになりました。
BQの長さは何cmですか

答え)
2cm

図は描けませんが、描いてある図は、
ABの間にP、Qがあって、APが6cm、PQが3cm、
BとQの長さが問題文です。
よろしくお願いいたします



34392.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 17時4分
これは、さすがにわかりませんね。

こんな図を思い浮かべましたが、さらに、半径とか、何かの
条件があれば、加えてください。

また、「この三角形の中心に」というのも、意味が良くわかりません。
 

http://yosshy.sansu.org/


34394.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月22日(月) 17時59分
半径とかは書いてありません
ヨッシー先生の書かれた図をみますと
ほとんど書いてある図と同じなのですが
BQ、APの扇形は同じですが、
APの扇形のACに接するところを仮にZとして、
BQの扇形のBCに接するところを仮にYとすると
ZとYとCが扇形になっている図です。
これでイメージできますでしょうか
お手数おかけします


34398.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 19時57分

こうですね?
図には、わかっている部分の長さと、等しい部分の長さを
数字と●と○で、書き込んであります。
長さのわかっている部分の合計は、
 6+6+3=15(cm)
ですから、残りは
 29−15=14(cm)
です。これが、●●○○に当たります。
BCの長さはちょうどその半分の●○ですから、
 BC=14÷2=7(cm)
であり、
 AB=AC=(29−7)÷2=11(cm)
です。
すると、○が11−6=5(cm)、●が11−6−3=2(cm)
で、BQは2cmとなります。
 

http://yosshy.sansu.org/


34399.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月22日(月) 20時19分
ヨッシー先生へ
先生の書かれた図のとおりです
僕の間違いは、周囲の長さ(29)から、
6+6+3=15を引くところを、
まず3つの扇型の弧の長さを
直径×円周率×中心角/360で求めて
そこからBQの長さが求まるのかと思い、
先生の書かれたような計算式が思い浮かびませんでした
先生の式を理解できました
ありがとうございます

34386.三角関数   高校3年生  
名前:花実    日付:10月22日(月) 7時48分
sinθ+cosθ−1/sinθ−cos2θ+1=cosθ/sinθ+1

上記を証明せよという問題なんですが、明日テストなのに公式を
入れなおしても出来ません。

助けてください。よろしくお願いします。



34387.Re: 三角関数   高校3年生
名前:花実    日付:10月22日(月) 7時53分
sinθ+cosθ−1/sinθ−cosθ+1=cosθ/sinθ+1 です。

よろしくお願い致します。


34388.Re: 三角関数   高校3年生
名前:らすかる    日付:10月22日(月) 8時7分
sinθ+cosθ−1/sinθ−cosθ+1=cosθ/sinθ+1 と書くと
(sinθ)+(cosθ)−(1/sinθ)−(cosθ)+(1)=(cosθ/sinθ)+(1)
という意味になりますが、こう解釈すると成り立ちません。

もし (sinθ+cosθ-1)/(sinθ-cosθ+1)=cosθ/(sinθ+1) なら、
(左辺)-(右辺)
=(sinθ+cosθ-1)/(sinθ-cosθ+1)-cosθ/(sinθ+1)
={(sinθ+cosθ-1)(sinθ+1)-cosθ(sinθ-cosθ+1)}/{(sinθ-cosθ+1)(sinθ+1)}
={(sinθ)^2+sinθcosθ-sinθ+sinθ+cosθ-1-sinθcosθ+(cosθ)^2-cosθ}
  /{(sinθ-cosθ+1)(sinθ+1)}
={(sinθ)^2+(cosθ)^2-1}/{(sinθ-cosθ+1)(sinθ+1)}
=0
∴(左辺)=(右辺)

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34382.軌跡  高校2年  
名前:わみ    日付:10月21日(日) 22時16分
座標平面上に4点O(0,0),P(1,0),R(0,1)を頂点とする正方形をDとする。また、放物線C:y=x2乗+ax+bの頂点をAとする。
(1)点Aの座標をa,bを用いて表せ。
(2) 点A賀正方形Dの周および内部にあるとき、点(a,b)の存在する範   囲を求め、図示せよ。
(3) b=1とし、点A賀正方形Dの周および内部にあるとする。放物線C  と正方形Dとで囲まれる部分のうちで、点Dを含まない方の面積S   を、aを用いて表せ。



34385.Re: 軌跡  高校2年
名前:わみ    日付:10月21日(日) 23時4分
追伸 (書くの忘れてしまいました。)

すいません。軌跡は大の苦手です。
よろしくお願いいたします。


34389.Re: 軌跡  高校2年
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 8時28分
点Dとは何ですか?
 

http://yosshy.sansu.org/


34393.Re: 軌跡  高校2年
名前:ヨッシー    日付:10月22日(月) 17時55分
(1)
 y=x^2+ax+b
を変形して
 y=(x+a/2)^2+b-a^2/4
より、点Aの座標は(-a/2, b-a^2/4)

(2)
条件より
 0≦−a/2≦1 かつ 0≦b-a^2/4≦1
より、 b≧a^2/4 かつ b≦1+a^2/4 かつ −2≦a≦0

 
 

http://yosshy.sansu.org/


34395.Re: 軌跡  高校2年
名前:わみ    日付:10月22日(月) 18時27分
すいません。点Oのまちがいでした。

34381.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月21日(日) 21時34分
またまたお願いいたします
問題)
容器の中に40%の濃さの食塩水250gがあります。
このとき、食塩水を50g捨てて、かわりに水を50g
入れるという作業を繰り返します。
@この作業を1回行ったとき、容器の中の食塩は何gになっているでしょうか
Aこの作業を2回行ったとき、容器の中の食塩は何gになっているでしょうか
B食塩水の濃さが15%以下になるのは、この作業を何回行ったときでしょうか

回答)
@80g
A64g
B5回目
以上です。お願いいたします。



34383.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 22時29分
40% の食塩水250g の中の食塩の量は
 250×0.4=100(g)   塩ってこんなに溶けるのか?

250gのうち、50g を捨てるので、全体の1/5 を捨てています。
食塩も1/5に当たる、20g が捨てられ、4/5 に当たる 80g が残ります。
これに水を加えても、食塩は増えませんから、1回の操作で食塩は
4/5 倍になると考えられます。
最初100g で、1回目
 100×4/5=80(g)
2回目
 80×4/5=64(g)
15%と言うことは、食塩の量は、
 250×0.15=37.5(g)
なので、
3回目:64×4/5=51.2
4回目:51.2×4/5=40.96
5回目:40.96×4/5=32.768
より、5回目で、37.5g を下回ります。
 

http://yosshy.sansu.org/


34384.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月21日(日) 22時47分
ヨッシー先生へ
いつもありがとうございます
解決しました
解けなかった理由は、
3回目:64×4/5=51.2
4回目:51.2×4/5=40.96
5回目:40.96×4/5=32.768
32.768のここの値が15%以下になるまで5回目以降ずっと計算していたので迷走してしまいました。

34377.整数  
名前:プププ    日付:10月21日(日) 17時21分
n^2が8の倍数であることは、nが4の倍数であるための必要十分条件である。
なぜ必要十分条件なんでしょうか??
分かりません。
解答おねがいします!!



34378.Re: 整数
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 18時0分
nが4の倍数である → n^2が8の倍数である
は、自明ですね?

n^2が8の倍数である → nが4の倍数である
を証明するために、その対偶
nが4の倍数でない → n^2が8の倍数でない
を証明します。
n=4m+r (rは、1,2,3のいずれか)
とおきます。
 n^2=(4m+r)^2=16m^2+8mr+r^2
   =8(2m^2+mr)+r^2
であり、r^2 は、1,4,9 のいずれかであるので、
n^2 は8の倍数になりません。

以上より、
n^2が8の倍数である → nが4の倍数である
は証明され、
n^2が8の倍数であることは、nが4の倍数であるための必要十分条件である
と言えます。
 

http://yosshy.sansu.org/


34390.整数
名前:プププ    日付:10月22日(月) 11時54分
ヨッシーさん解答ありがとうございます!!!
早速やってみます♪

34374.解析学の問題  
名前:キリヒト    日付:10月21日(日) 15時17分
Original Size: 1786 x 352, 136KB

大学1年です。
図の問題ですが、自明ではないかと思ってしまうのです。
示すのであれば何か公式等あるのでしょうか。

よろしくお願いします。


34373.内接三角形  
名前:ぐるる    日付:10月21日(日) 15時13分
半径が7/√3である円に内接する鋭角三角形ABCがある。
AB=5、BC=x、CA=x+1とする。
(1)sinCの値
(2)xの値
(3)頂点A、B、CからBC,CA,ABに引いた垂線と、各辺との交点をD,E,Fとした時の、△DEFの面積

この手の問題はどうも苦手なのでよろしくお願いします。



34376.Re: 内接三角形
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 16時52分
(1)
正弦定理
 AB/sinC=2R (Rは外接円の半径)
より、
 sinC=AB/2R=5√3/14

(2)
 C<90° より
 cosC=√(1−sin^2C)=11/14
余弦定理
 AB^2=BC^2+CA^2−2BC・CAcosC
より、
 25=x^2+(x+1)^2−11x(x+1)/7
7を掛けて
 175=7(2x^2+2x+1)−11(x^2+x)
括弧をはずして
 3x^2+3x−168=0
3で割って
 x^2+x−56=0
因数分解して
 (x−7)(x+8)=0
x>0 より
 x=7

(3)

 cosC=11/14
より、
 CE=7×11/14=11/2
よって、
 AE=5/2
これより
 cosA=AE/AB=1/2
 AF=ACcosA=4
よって
 BF=1
また、
 CD=ACcosC=44/7
よって
 BD=5/7

以上より、
 △AEFは△ABCの面積の4/5×5/16=1/4(倍)
 △BFDは△ABCの面積の1/5×5/49=1/49(倍)
 △CDEは△ABCの面積の11/16×44/49=121/196(倍)
よって、
 △DEFは△ABCの面積の22/196=11/98(倍)
△ABCの面積は、
 (1/2)AC・BCsinC=(1/2)8・7・(5√3/14)=10√3
よって、
 △DEF=10√3×11/98=55√3/49
  

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34367.三角比  
名前:マー坊    日付:10月21日(日) 12時30分
こんにちは。高1です。
(問題)0度≦θ180度で、sinθ−cosθ=3分の1のときのsinθcosθの値を求めよ。
という問題なんですが、どうやって解けばいいかが分かりません。
解き方を教えてもらえませんでしょうか?



34369.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 12時34分
とりあえず、
 sinθ−cosθ=1/3
を、2乗してみましょう。
 

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34370.Re: 三角比
名前:マー坊    日付:10月21日(日) 12時37分
分かりました。やってみます。


34371.Re: 三角比
名前:マー坊    日付:10月21日(日) 12時39分
解けました。
ありがとうございました。

34364.円順列とじゅず順列  
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 10時24分
こんにちは☆先程お世話になった中3です!
(問題)立方体6つの面に、異なる6色を塗ることにすると、
    塗り方は全部で何通りあるか。
解いてみたところ2分の(6-1)!=60(通り)になったんです。
(解説の説明)
1面をある1色で塗る。この向かいの面の塗り方は5通り。
その各々に対して、残りの4面の塗り方は(4-1)!通りあるので、
5×(4-1)!=120(通り) 
この意味も分かることは分かるのですが、↑(私の)やり方がなぜ間違っているのかが分かりません。(ノД`)
どなたか教えていただけないでしょうか??



34365.Re: 円順列とじゅず順列
名前:らすかる    日付:10月21日(日) 10時55分
>↑(私の)やり方がなぜ間違っているのかが分かりません

その「やり方」を書いてもらわないことには、なぜ間違っているかは
誰にもわかりません。

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34366.Re: 円順列とじゅず順列
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 11時3分
分かりにくくてすみません。
>解いてみたところ2分の(6-1)!=60(通り)になったんです。
この部分です。


34368.Re: 円順列とじゅず順列
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 12時32分
なぜ
 (6-1)!/2=60(通り)
と考えたか?ということですね。
なぜ2で割ればいいと考えましたか?
 

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34372.Re: 円順列とじゅず順列
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 13時35分
6面に色を塗ったとき(上:青 底面:水色 正面:赤 正面の向かい側:黄
右側面:ピンク 左側面:緑)の立方体をひっくり返すと
(上:青 底面:水色 正面:黄色 正面の向かい側:赤 右側面:水色
左側面:ピンク)になり、
ひっくり返す前と同じものだと思ったので、じゅず順列の
式にはめてみました。
どこか間違っているとは思うのですが・・・どうでしょうか?


34375.Re: 円順列とじゅず順列
名前:らすかる    日付:10月21日(日) 15時59分
正面が赤だったのが黄色に変わっていますから
「ひっくり返す前と同じ」ではないですね。
それに、「ひっくり返す」といっても方向がいろいろありますので、
数珠順列の公式には当てはめられません。

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34357.順列  
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 1時51分
こんにちわ!(w^∀^w)中3で、
いま個数の処理を学校で習っています!!数学は好きです☆
でも、
nPr=(n−1)×(n−2)・・{n−(r−1)}でなぜr−1にしなければならないのかがわかりません。
また(n-2)!の計算方法も永遠に続いてしまいます。参考書をみても載っていないので答えも見つからないんです(p><。)
本当困ってしまって・・・。
基本的なことなんですがどなたか教えていただけないでしょうか?
お願いします!!



34359.Re: 順列
名前:みっちぃ    日付:10月21日(日) 4時4分
nPr=n*(n-1)*(n-2)…*{n-(r-1)}ですね。

nPrは,『r個の異なるものを並べる順列』なので『r個の数の積』として表せますが,
1番目:n-0
2番目:n-1
3番目:n-2
…という風に考えると
r番目:n-(r-1)ですね。

>(n-2)!の計算方法も永遠に続いてしまいます。
これはどういう意味ですか??


34361.Re: 順列
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 7時52分
みっちぃさんありがとうございます!!
nPrが『r個の異なるものを並べる順列』なので『r個の数の積』として表すことが理解できましたぁ☆
列がすごく分かりやすかったです(^∀^)♪

あと(n-2)!の計算方法についてなんですが、
これを私が解いてみると、
(n-2)!=(n-2)×(n-3)×(n-4)・・・×1
で、『・・・』がでてきてしまって、答え方が分からないんです。汗


34362.Re: 順列
名前:ヨッシー    日付:10月21日(日) 8時39分
nPr=n*(n-1)*(n-2)…*{n-(r-1)} も、… があって、
数字では表せませんね。ですから、nPr という記号を使って表します。

(n-2)! や n! なども、n がいくつかわからないので、
 (n-2)(n-3)・・・2・1
としか書けませんが、これを!という記号を使って (n-2)! のように
表しているのです。
具体的に計算できるものではありません。

たいてい、nやrが出てくるのは、公式の説明のときだけで、
実際の計算には、10個のものから5つ取って、などと具体的な数字が
示されるので、そのときに、ちゃんと計算すればいいのです。
 

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34363.Re: 順列
名前:ひろこ☆    日付:10月21日(日) 8時58分
そうだったんですね!(pq^∀^)
ありがとうございました☆

34351.漸化式  
名前:木山     日付:10月20日(土) 17時1分
Original Size: 368 x 254, 81KB Original Size: 389 x 692, 108KB Original Size: 455 x 268, 41KB

(1)の答 7回

(1)の設問は解けました。解説の最後の部分が分りません。
@どうして数列{a(n)+1}は等比数列といえるのでしょうか。
A初項 a(1)+1=2はどのようにして導かれるのでしょうか。

よろしくお願い致します。



34352.Re: 漸化式
名前:らすかる    日付:10月20日(土) 17時48分
b[n]=a[n]+1 とおくと
a[n+1]+1=2(a[n]+1) は
b[n+1]=2b[n] となります。
そして a[1]=1 ですから b[1]=a[1]+1=2 です。
よってb[n]は公比2、初項2の等比数列となります。
解説はこれをb[n]に置き換えずにa[n]+1のまま書いているものです。

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34354.Re: 漸化式
名前:木山     日付:10月20日(土) 20時0分
らすかる先生

いつもお世話になっております。

a[1]=1はどのようにして求めればいいのでしょうか。


34358.Re: 漸化式
名前:らすかる    日付:10月21日(日) 3時59分
a[1]とは「1枚の円盤を他の棒に始めと同じ状態になるように
移動する最小移動回数」という意味です。
1枚の円盤を他の棒に移すのは1回でできますね。

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34379.Re: 漸化式
名前:木山     日付:10月21日(日) 20時26分
らすかる先生

返信ありがとうございます。

初歩的な部分が理解出来ていませんでしたが、
解決しました。

34350.整数  
名前:涼子    日付:10月20日(土) 14時22分
こんにちは,高3です。以下の問題に対して、わたしなりの解答を書いてみたのですが、よくわかりません。多分間違っているような気もします。どなたか見て頂けないでしょうか。

素数pに対してpx^2+xが整数となるような有理数xを全て求めよ。

x=t/s(s,tは互いに素な整数でs>0)とする。
pt^2/s^2+t/s=m(mは整数)とおく。
両辺にs(≠0)をかけて
pt^2/s=sm-t
右辺は整数。∴左辺も整数。
s≠±1とすると、t^2とsは互いに素(∵tとsは互いに素だから)
だから、pがsの倍数とすると、pが素数であることに矛盾。
∴s=±1のみ。
この時x=±tとなり、有理数xは整数全体である。

稚拙な文章で恐縮ですが、どうかどなたかよろしくお願い致します。



34353.Re: 整数
名前:らすかる    日付:10月20日(土) 17時55分
まず、最初で s>0 とおいていますので、
「s≠±1とすると」の部分は「s≠1とすると」とすべきです。
また、その次の「pがsの倍数とすると」は「pがsの倍数となり」ですね。
しかし、「pがsの倍数」だけでは「pが素数であることに矛盾」しません。
例えば、p=2,s=2 の場合、pはsの倍数ですが、pは素数ですね。

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34355.Re:
名前:涼子    日付:10月20日(土) 20時35分
らすかるさん,きちんと指摘してくださってありがとうございます.
そうか、p=s=2なら矛盾しませんね...
ええっと,それではどうすればよろしいのでしょうか.


34360.Re: 整数
名前:らすかる    日付:10月21日(日) 4時13分
xが整数の場合はpx^2+xが整数になるのは明らかですので、
最初にこれを分けてしまった方が良いと思います。

xが整数のとき、明らかにpx^2+xは整数になる。
xが整数でないとき、x=t/s(s,tは互いに素な整数でs>1)、
p(t/s)^2+t/s=m(mは整数)とおく。
これより pt^2/s=sm-t
tとsは互いに素でs>1なので、pがsで割り切れなければならないが、
pは素数でs>1なのでs=p。
これを p(t/s)^2+t/s=m に代入して整理すると t(t+1)=mp
よって t=p または t+1=p でなければならない。
しかし、t=p は s=p と互いに素でないので、t+1=p。
よってxが整数でないときは t/s=(p-1)/p となるので、
px^2+xが整数となるような有理数xは、整数または(p-1)/p。

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34347.内角の和について  
名前:三森久平    日付:10月20日(土) 5時52分
三角形の内角の和は180° 5角形の内角の和は540°
角度が変わった場合の内角の和の求め方を教えてください。
具体的にもし4角形の内角の和は360°だと思いますが
では6角形、7角形、8角形の内角の和の求め方を教えてください。
静岡県磐田市川袋1051−6
三森久平 59歳



34348.Re: 内角の和について
名前:らすかる    日付:10月20日(土) 6時5分
n角形の内角の和は 180(n-2)° ですから、
三角形 → 180×(3-2)=180°
四角形 → 180×(4-2)=360°
五角形 → 180×(5-2)=540°
六角形 → 180×(6-2)=720°
七角形 → 180×(7-2)=900°
八角形 → 180×(8-2)=1080°
のように180°ずつ増えていきます。

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34349.Re: 内角の和について
名前:ヨッシー    日付:10月20日(土) 8時51分
法則はらすかるさんの書かれたとおりです。

図のように、n角形を三角形に分けると、n−2個の三角形が出来ます。
それらの三角形の内角の和がn角形の内角の和になります。
三角形1つの内角は180°ですから、
 180(n-2)°
になります。
 

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34345.角度の内角  
名前:三森久平    日付:10月20日(土) 5時43分
三角形の内角の和は180°
5角形の内角の和は540°
そして分からないのは4角形、とか6角形とか角度が増える場合
内角の和の求め方を教えてください。
静岡県磐田市川袋1051−6
三森久平  59歳



34346.Re: 角度の内角
名前:らすかる    日付:10月20日(土) 5時52分
n角形の内角の和は 180(n-2)° です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34342.累乗と方程式  
名前:なお 高1    日付:10月19日(金) 23時28分
1.4√2×r×1/2+5×r×1/2+7×r×1/2=14
r=という形にもっていきたいのですが・・
2√2+5/2r+7/2r=14
(4√2+5+7)r/2=14←Q.ここで分数がうっとおしいので、両辺に2             をかけて分母をなくす。ということはでき             ますか?
(12+4√2)r/2=14←Q.ここで約分することはできますか?
            それから、この問題の場合は約分すると分母            がなくなりますか?
(12+4√2)r=28←両辺に2をかけたのですがいいのですか?
ここから先は12+4√2を両辺でわって有理化するというかんじでいいのでしょうか?
教えてください。
2.101の0乗は1ですよね?なぜ1なんでしょうか?



34344.Re: 累乗と方程式
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 23時39分
2√2+5/2r+7/2r=14 は、
2√2r+5r/2+7r/2=14 と書いたほうがいいでしょう。
上のほうの式だと、rが分母にあるように見えます。
さて、その下の3つの式ですが、いずれも正しいです。
ただ、
 2√2r+5r/2+7r/2=14
のあと、
 (2√2+5/2+7/2)r=14
 (2√2+6)r=14
とすれば、分数がなくなりますし、さらに、両辺2で割って、
 (√2+3)r=7
としてから、√2+3 で割って、有利化するのが、簡単で良いです。

101 でなくても、正の数は0乗すると、1になります。
 2^4=16
 2^3=8
 2^2=4 指数を1減らすと1/2倍になる。この規則でいくと
 2^1=2
 2^0=1
 2^(-1)=1/2
 2^(-2)=1/4
のようになります。
こちらもご覧ください。
 

http://yosshy.sansu.org/

34339.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月19日(金) 23時10分
またお願いいたします
問題)
周の長さが18cmの円周上を2点P、Qが同時に点Oを
出発し、点Pは毎秒1cm、点Qは毎秒2cmの速さで
左回りに回り続けます。
このとき△OPQが3回目の正三角形になるのは
何秒後ですか

答え)24秒後

です。よろしくお願いいたします。



34341.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 23時24分
P,Qが、点Oから、6cm および 12cm 進んだ位置に来ると、
正三角形が出来ます。その時刻は、
P:6, (12), 24, (30), 42, (48)
Q:3, (6), 12, (15), 21, (24)
() が付いている時刻は、Oから12cmの位置にいる時刻、その他が 6cmの位置の時刻です。
表より、正三角形になるのは、6,12,24 秒後で、3回目は24秒後です。
 

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34343.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月19日(金) 23時28分
ヨッシー先生
早々にありがとうございます
それとこの前は図の説明なしに出題してすみませんでした
以後気をつけます

34338.シグマ  
名前:マリオ    日付:10月19日(金) 22時17分
lim(n→∞)Σ(k=0〜n-1)(π/2n)sin (2k+1)π/2n

一体どのように計算したらいいでしょうか。ちなみに(π/2n)sin (2k+1)π/2nはすべてシグマの中に入っています。表記でわからないところがあればいってください。



34340.Re: シグマ
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 23時18分
たとえば、n=10 とすると、この式は、
 (π/20)(sinπ/20+sin3π/20+sin5π/20+…+sin19π/20)
となります。これをグラフで表すと、図の、斜線を引いた部分の面積になります。

この分割数を増やすと、y=sinxのグラフのx=0〜π の部分の
半分になります。よって、
(与式)=(1/2)∫[x=0〜π]sinxdx=(-1/2)[cosx][x=0〜π]=1
 

http://yosshy.sansu.org/


34356.Re: シグマ
名前:マリオ    日付:10月20日(土) 22時21分
これは、問題の途中の計算式で出てきたのですが、解答として書くならばどのように書けばいいでしょうか。

34335.三角関数  
名前:三角関数ニガテ 高校3年    日付:10月19日(金) 18時40分
△ABCはAB=AC=1,∠BAC=2θ の二等辺三角形で,
△BCDは,∠CBD=θ,∠BDC=π/2の直角三角形である。
このときBC=(ア)sinθであることから、
BD=sin(イ)θ,CD=(ウ)−cos(エ)θと表される。
r=BD+CDとすると,
r=√(オ)sin( (カ)θ−π/(キ) )+(ク)
と変形できる。
ここで,θのとりうる値の範囲は 0<θ<(ケ)π/(コ) であるから,
θ=(サ)π/(シ) のとき,rは最大値(ス)+√(セ)をとる。

水曜日の授業で黒板に解答を書かないといけないんです。
だけどどうやって考えたらいいのかまったくわからないのでヨッシーさんおねがいします。



34336.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 19時18分

△ABMにおいて、BM=ABsinθ=sinθ
BC=2BM=2sinθ ・・・(ア)

△ABDにおいて、
 BD=ABsin∠BAD=sin2θ ・・・(イ)
 AD=ABcos∠BAD=cos2θ
 CD=AC−AD=1−cos2θ ・・・(ウ)(エ)

r=BD+CD=sin2θ−cos2θ+1
  =√2(sin2θcosπ/4−cos2θsinπ/4)+1
  =√2sin(2θ−π/4)+1 ・・・(オ)(カ)(キ)(ク)

もし、図の右のような三角形の場合、
△ABDにおいて、
 BD=ABsin(π−∠BAD)=sin(π−2θ)=sin2θ ・・・(イ)
 AD=ABcos(π−∠BAD)=cos(π−2θ)=−cos2θ
 CD=AC+AD=1−cos2θ ・・・(ウ)(エ)

なので、θのとりうる値の範囲は 0<θ<π/2 ・・・(ケ)(コ)
 −π/4<2θ−π/4<3π/4
より、2θ−π/4=π/2 のとき、つまり、
 θ=3π/8
のとき、rの最大値1+√2 をとる。・・・(ス)(セ)
 

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34337.Re: 三角関数
名前:三角関数ニガテ 高校3年    日付:10月19日(金) 21時32分
ありがとぉございました。
三角関数だけはどぉ〜してもできなくて・・・。
公式だけは暗記してるんですけどね。
すっごいたすかりました。

34331.10個の数字を使って出来る最大の数  
名前:MH@中学教員    日付:10月19日(金) 10時56分
自分が学生だった頃に目にした問題です。
『0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 の10個の数字を
 1回ずつ使って出来る最大の数はいくらか。』
当時、問題だけで解答は見なかったのですが、現在教えている中学校で
この問題を出すならば、答えはいくらになるのでしょうか。
使用可能な記号・関数の範囲によって、答えも変わってくると思いますが
「中学生までで学習している範囲」という条件でお願いします。
2^3^4^5^6^7^8^9^10 というのを当時考えたのですが‥‥。



34333.Re: 10個の数字を使って出来る最大の数
名前:らすかる    日付:10月19日(金) 14時25分
他板にも回答しましたが、例えば
34567890/(√√√…√√2-1) のようにすれば
√の個数を増やすことによっていくらでも大きい数が作れます。
また、中学生までで学習している範囲の記号を全て使ってよいことに
してしまうと、円周率を表す“記号”「π」を使えば
1234567890^π^π^π^…^π^π^π
のようにも出来てしまいます。
使える記号の種類や個数をきちんと決めないと、上限は決まらないですね。

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34334.Re: 10個の数字を使って出来る最大の数
名前:MH@中学教員    日付:10月19日(金) 14時38分
らすかる様

回答ありがとうございました。らすかる様の回答の通りだと思います。
πやeなど、10個の数字以外の”数を表す”記号は使わないと、これまで解釈していました。
(確か当時の問題には、使える記号の種類や個数についての記述は一切なかったと思います。)
しかし、√√√‥‥√2−1で割るという発想は、これまで出てきませんでした。
確かにこちらの方が、2^3^4^5^6^7^8^9^10 よりも間違いなく大きくなりますね。
実は、20年くらい前に問題を見てから、ずっと頭の片隅に引っかかっていた問題でしたので
今回のらすかる様の回答で非常にすっきりしました。本当に有り難うございました。
中学生向けに、使える記号の個数や上限を決めると、面白い問題になりうるのか?考えてみたいと思います。


34329.全くわかりません  
名前:AZUKI    日付:10月19日(金) 10時47分
(1+])の二乗=10
]の正の数のみ答えなさい。

(2+y)の4乗=30
yの正の数のみ答えなさい。

どうか救済してください。。



34332.Re: 全くわかりません
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 11時31分
(1)
 (1+x)^2=10
の解は
 1+x=±√10
より、
 x=±√10−1
ですが、正であるのは、x=√10−1 の方です。

(2)
 (2+y)^4=30
の解は、
 2+y=±30^(1/4)、±30^(1/4)i
より、
 y=−2±30^(1/4)、−2±30^(1/4)i
ですが、正であるのは、
 y=−2+30^(1/4)
です。30^(1/4) は 4√30 とも書きます。(4は小さい数字)
 

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34327.よろしくお願いします!!  
名前:りか 高2    日付:10月19日(金) 8時24分
y=2(xー2)2乗+1について答えよ。

@頂点を求めよ。



34328.Re: よろしくお願いします!!
名前:ヨッシー    日付:10月19日(金) 8時41分
一般に2次関数の式が
 y=a(x−p)^2+q
の形に書けたら、(p,q) が頂点です。

 y=2(x−2)^2+1
と見比べてみると・・・
 

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34315.三角比  
名前:なお 高1    日付:10月18日(木) 13時13分
1.四角形ABCDにおいてAB=2√2、BC=√6+√2、CD=2、∠ABC=60°、BCD=75°のとき次の問いに答えよ。
(1)ACの長さと∠ACBの大きさを求めよ。
まず、∠ACBの大きさを求めよ。とは角度のことですか?(50°みたいな)
それとも、比というか値ですか?(√2/2みたいな)
(1)を自分なりに解いてみました。
解答)2√3/sin60°=2√2/sinθ
 2√3)/(√3/2)=2√2/sinθ
         4=2√2/sinθ
     sinθ×4=2√2
     sinθ=√2/2
A.AC=2√3、∠ACB=√2/2
こんなかんじでいいのでしょうか?
2.池をはさんで2地点A,Bに立つ2本の木の距離を測ろうとして、他の地点PからA,Bを測ったところPA=40m、PB=24m、∠APB=120°であった。
2地点AB間の距離を求めよ。
これも自分なりに解いてみました。
解答)△APBを書く。PBを延長する。そして、Aから垂線を下ろしてPBと交わった部分をOとする。すると、△AOPができ、∠AOP=90°、∠APO=60°になるので、1:2:√3の三角形であることがわかる。
APが40mなので、AO=20√3m、OP=20mとなる。
求めたいのはABなので△AOBにおいて三平方の定理を使う。
AB^2=(20√3)^2+(44)^2
AB=12√19
となりましたが不安です。
これであっているのでしょうか?
3.目の高さが170cmの人が、ある木の高さhを測るために仰角を測ったら、地点Aでは仰角が30°であった。この地点から、木に向かってまっすぐ10m歩いた地点Bでは仰角が45°であった。
この木の高さhを求めよ。
この問題の図を載せてもらえませんか?
できれば、求めたい木の高さhも書いてくださるとうれしいです。
1と2は自分なりに解いてみたのですが他に簡単な解き方があれば教えてください。



34316.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 15時50分
(1)の解答は、ACの長さが求まった、その直後からということですね。
いきなり sinθ は良くありません。
読む人いわく「θって何?」。で、それ以上読んでもらえません。
 θ=∠ACB とおく
を入れましょう。いきなり
 2√3/sin60°=2√2/sinθ
もどうでしょう?
△ABCにおける正弦定理より
を入れましょう。解答の多くは、
 日本語の説明
  式
 日本語の説明
  式
 よって、答え・・・
という形で、いきなり式を書き出すというのは、滅多にありません。
そして、∠ACBは、角の大きさです。この場合は、∠ACB=45° です。
 

http://yosshy.sansu.org/


34318.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 15時58分
(2)
AB^2=(20√3)^2+(44)^2
までは良いです。そのあとはたぶん計算ミスでしょう。
 (20√3)^2=800
ではありませんよ。
また、△ABPにおける余弦定理
 AB^2=AP^2+BP^2−2AP・BPcos∠APB
で求めることも出来ます。
 

http://yosshy.sansu.org/


34319.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 16時11分

図だけにしておきます。

手順は、正弦定理によりBCを求める。
自然と、CDが求まる。
DE(背の高さ)を足す。
です。
 

http://yosshy.sansu.org/


34320.Re: 三角比
名前:なお 高1    日付:10月18日(木) 16時13分
ありがとうございます!
(1)の続きの問題です。
1.四角形ABCDにおいてAB=2√2、BC=√6+√2、CD=2、∠ABC=60°、BCD=75°のとき次の問いに答えよ。
(1)ACの長さと∠ACBの大きさを求めよ。
(2)四角形ABCDの面積を求めよ。
(2)の解き方のヒントをください。
2.の問題で余弦定理を使ってみたのですがどうもうまくいきません。
AB^2=24^2+40^2−2×24×40×cos120°
   =576+1600ー1920×(-1/2)
=2176-960
   =1216
となってしまうのですがどこが間違っているのかわかりません。
教えてくれませんか?


34322.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 16時30分
1.の(2)
四角形ABCDを、△ABCと△ACDに分けます。
三角形の面積は、2つの辺とそれをはさむ角度がわかれば求められますので、
△ABC:BC=√6+√2、AC=2√3、∠ACB=45°
△ACD:AC=2√3、CD=2、∠ACD=30°
がわかっていますので、それぞれ面積を求めることが出来ます。

2.
AB^2=24^2+40^2−2×24×40×cos120°
   =576+1600ー1920×(-1/2)
までは合っています。
 

http://yosshy.sansu.org/


34324.Re: 三角比
名前:なお 高1    日付:10月18日(木) 17時31分
あ〜なるほど!三角形の面積の公式をすっかり忘れていました。
ありがとうございます!
問題が解けました☆

34311.教えてください  
名前:サンタのママ    日付:10月18日(木) 8時42分
小学生の問題ですが、算数で解くにはどうしたらいいでしょうか?
すみません、宜しくお願いします。

ある書類をP・Q2台のプリンターを使って印刷すると、P1台で印刷するより
32分早く終わり、Q1台で印刷するより50分早く終わる。
この書類をP2台で印刷すると何分かかるか。    



34312.Re: 教えてください
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 12時45分
たとえば、
Pの印刷の速さが、Qの2倍だとしましょう。
Pが1分に印刷する枚数を2、Qが1分に印刷する枚数を1とします。
2台でやって、1分かかる印刷の枚数は、
 2+1=3
です。これを
P1台でやると、3÷2=1.5 1/2分多くかかります。
Q1台でやると、3÷1=3  2分多くかかります。
PとQで印刷したときに比べて、余計にかかる時間は、
Qだけのときは、Pだけのときの4倍です。

Pの印刷の速さが、Qの3倍だとしましょう。
Pが1分に印刷する枚数を3、Qが1分に印刷する枚数を1とします。
2台でやって、1分かかる印刷の枚数は、
 3+1=4
です。これを
P1台でやると、4÷3=4/3 1/3分多くかかります。
Q1台でやると、4÷1=4  3分多くかかります。
PとQで印刷したときに比べて、余計にかかる時間は、
Qだけのときは、Pだけのときの9倍です。

このように、P1台でやって多くかかる時間と、Q1台でやって多くかかる時間の比は、
 1:(PがQの何倍の速さで印刷するかの数)×(PがQの何倍の速さで印刷するかの数)
の関係があります。

この問題では、
 32:50=1:25/16=1:(5/4×5/4)
なので、PはQの5/4倍の速さで印刷をすることになります。

Pが32分でする印刷を、Qは 32×5/4=40分 で行います。
同じく、Qが50分でする印刷を、やはりPは 50×4/5=40分 で行います。

Pが1分に印刷する量を5、Qが1分に印刷する量を4とすると、
2台で40分かかる印刷量は
 40×(5+4)=360
これをP2台で印刷すると、
 360÷(5+5)=36(分)

2乗に比例するところを、説明するのが苦しいですね。
  

http://yosshy.sansu.org/


34313.Re: 教えてください
名前:らすかる    日付:10月18日(木) 12時55分
Size: 232 x 219, 4KB

一応小学生的な解答ですが、小学生の範囲内かどうかわかりません。

図は、縦の長さがプリンターの処理能力、横の長さが時間を表しています。

赤枠の四角形ACFDがP,Q2台で印刷した場合で、ABの長さがPの処理能力、
BCの長さがQの処理能力、AD=BE=CFがかかった時間です。
四角形ACFDのうち、四角形ABED(黄色)がPが印刷した部分、
四角形BCFE(水色)がQが印刷した部分です。

P1台で印刷すると、処理能力はABの長さで、時間がBHかかります。
全体の処理量は同じですから、四角形ACFDの面積と四角形ABHGの面積は同じです。
条件から、DG=EHが32分となります。

また、Q1台で印刷すると、処理能力はBCの長さで、時間がBIかかります。
四角形ACFDの面積と四角形BCJIの面積は同じで、EI=FJ=50分です。

四角形DEHGの面積と四角形BCFEの面積が等しいので、
EH:BE = 四角形DEHG:四角形ABED = 四角形BCFE:四角形ABED = BC:AB です。
同様に、四角形ABEDと四角形EFJIの面積が等しいので
BE:EI = 四角形BCFE:四角形EFJI = 四角形BCFE:四角形ABED = BC:AB です。
よって EH:BE = BC:AB = BE:EI ですが、
EH=32分、EI=50分ですから 32:BE = BE:50 となり、BE=40 とわかります。
従って、P1台ではBE+EH=40+32=72分ですから、2台では72分÷2=36分となります。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp



34321.Re: 教えてください
名前:サンタのママ    日付:10月18日(木) 16時16分
どうもありがとうございます。
すごく助かる掲示板で勉強になりますし、助かります。
これからも時々お邪魔するかもしれませんが、宜しくお願いします。

34308.整数の問題です。  
名前:木山 高校3年生    日付:10月18日(木) 6時54分
(問題文)
1番から300番までのゼッケンをつけた300人の人が一列に
並んで座っています。今、1から6までの目があるサイコロを
1個降り、出た目の倍数のゼッケンをつけている人は立ってもらいます。2回目以降は、サイコロの目の倍数のゼッケンをつけている人は、
座っている時は立ち、立っているときは座ってもらいます。
例えば、1回目が2、2回目が3だと、2番と3番の人は立っていますが、
6番の人は座っています。1が出たときは、
すべての人が座っているときは立ち、
立っているときは座ることになります。

@サイコロを2回振った後、サイコロの目に関係なく、
必ず立っている人がいます。その人のゼッケンの番号を
すべて書き出しなさい。

答え 60、120、180、240、300

Aサイコロを6回振ったとき、1は一度も出ませんでした。
このとき、6回振った後に必ず座っていることが分っている人は
何人いますか。

答え 85人
(解説部分から一部抜粋)
1以外のサイコロの目には関係ないため座っていることがわかっている
人たちのゼッケンは、2、3、5の倍数以外の数であればよいことが
分ります。そこでまず1から30までの中で、2、3、5の倍数以外の
整数の個数を調べてみます。
1、7、11、13、17、19、23、29
以上より、8個あります。


問題@は解けました。
Aが分りません。「2、3、5の倍数以外の数で
あればよいことが分ります」の考え方が分りません。

よろしくお願い致します。



34309.Re: 整数の問題です。
名前:らすかる    日付:10月18日(木) 7時33分
問題文か1番の問題か1番の答えのうちどれかがおかしいです。
例えば、2回連続1が出た場合、
1回目で全員立ち、2回目で全員座りますから、
「サイコロを2回振った後、サイコロの目に関係なく必ず立っている人」
はいません。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34310.Re: 整数の問題です。
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 8時40分
まぁ、答えが誤っているとは考えにくいので、
問題文が「300人の人が一列に並んで立っています。」の誤りか
(1)の問題が「サイコロの目に関係なく、必ず座っている人がいます。」の誤りか、
さらに(1)の問題の回数が2回ではなく奇数回かのいずれかでしょう。

(2)ですが、
たとえば、5の倍数の人は、5が出れば立ちます。もう1度5が出れば座ります。
5が何回出るかはわからないので、6回振った後に立っているか座っているかは
わからない人がいます。
2の倍数、3の倍数の人も同様です。
ところが(1以外の)2,3,4,5,6のいずれの目が出ても、動きのない人がいます。
それが、1,7,11 など、2,3,5のいずれの倍数でもない人です。
そういう人の人数は、
 300×(1/2)×(2/3)×(4/5)=80人
これに、60,120,180,240,300 ・・・これらは毎回立つ、座るを行い、6回目に座っている人
を足して、85人となります。
 

http://yosshy.sansu.org/


34317.Re: 整数の問題です。
名前:木山 高校3年生    日付:10月18日(木) 15時57分
返信ありがとうございます。

らすかるさん
>>「問題文か1番の問題か1番の答えのうちどれかがおかしいです。」
数学検定試験2級 試験問題集 p27の問題なんです。

麻雀のページ拝読させてもらいました。
数式で表せるなんてすごいですね。

ヨッシーさん
丁寧な解説ありがとうございます。
立つ・座るの関係、その考え方がよく分りました。


34323.Re: 整数の問題です。
名前:らすかる    日付:10月18日(木) 17時4分
>数学検定試験2級 試験問題集 p27の問題なんです。

そう言われても、私は問題集を持っていないのでわかりません。
どこか写し間違えていませんか?
(例えば、サイコロを振る回数は「2回」で合っていますか?)

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34325.Re: 整数の問題です。
名前:木山 高校3年生    日付:10月18日(木) 22時16分
すみません、@の問題文は間違っていました。
正しくは下記の通りです。

「サイコロを2回振ったとき、1回目が4、2回目が6でした。
何人の人が立っているでしょうか。」


34326.Re: 整数の問題です。
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 22時39分
では、@とAの間に、
 答え 60、120、180、240、300
となる問題があるのですね?
それは、どういう問題ですか?
 

http://yosshy.sansu.org/


34330.Re: 整数の問題です。
名前:木山 高校3年生    日付:10月19日(金) 10時54分
>>@とAの間に、答え 60、120、180、240、300
となる問題があるのですね?

はい、実はあります。解けた設問も記載すべきだったと
反省しております。
これからはちゃんとチェックした上で投稿させて頂きますので、
今後ともよろしくお願い致します。


【問題文】
サイコロを7回振った後、サイコロの目に関係なく、
必ず立っている人がいます。その人のゼッケンの番号を
すべて書き出しなさい。

34301.ベクトル  
名前:ナルミ    日付:10月17日(水) 20時53分
こんばんは。高校3年生です。
ベクトルの問題なのですが、どなたか教えてください。

平面上の四角形ABCDの内角はどれも180°より小とする。
AB・BC=BC・CD=CD・DA=DA・ABが成立するとき、四角形ABCDは長方形であることを示せ。

問題集にはヒントとして、
AB・BC=BC・CD=CD・DA=DA・AB=kとおくと、k>0、k<0、k=0のいずれかが成り立つ。k>0、k<0が成り立たないことを示す。
と書いてあります。

よろしくお願いします。



34304.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:10月18日(木) 0時15分
k>0 ということは、四角形ABCDの4つの角すべて鋭角ということです。
k<0 ということは、四角形ABCDの4つの角すべて鈍角ということです。
いずれも、ありえませんね。
 

http://yosshy.sansu.org/


34305.Re: ベクトル
名前:ナルミ    日付:10月18日(木) 0時23分
そういうことだったんですね!
おかげで解決できました。
ありがとうございます。

34294.小学六年生 図形  
名前:さとる    日付:10月17日(水) 17時57分
またお願いしたいのですが
問題1)
長方形ABCDがあります。点Pは頂点Aから2cmだけ
頂点Dよりの点を出発し、毎秒4cmの速さで頂点Dに
向かいます。点Qは頂点Cから4cmだけ頂点Bよりの点を
出発し、毎秒3cmの速さで頂点Bに向かいます。
2点P、Qは同時に出発するものとし、次の問いに答えなさい。
@出発して5秒後の台形ABQPの面積を求めなさい。
A四角形ABQPが長方形になるのは出発してか何秒後ですか

問題2)
たて26cm、横22cmの長方形ABCDの辺上を、点Pは
毎秒7cmの速さでA→B→C→D→A→B‥の順に動き続け、
点Qは毎秒3cmの速さでA→D→C→B→A→D→‥
の順に動き続けます。いま、点P、Qが同時に点Aを出発したとき、
次の問いに答えなさい。
@点Qが返上AD上にあって、PQを結ぶ線が初めて辺A、Bに平行に
 なるのは、点P、Qが点Aを出発してから何秒後ですか
A点Qが返上DC上にあって、PQを結ぶ線が初めて長方形ABCD
 の面積を2等分するのは、点P、Qが点Aを出発してから
 何秒後ですか
B点Qが返上DC上にあって、PQを結ぶ線が初めて辺ABに垂直に
 なるのは、点P、Qが点Aを出発してから何秒後ですか

答え
問題1)@930平方cm
    A12秒後
問題2)@6.5秒後
    A14.4秒後
    B42.5秒後
です。問題の図がかけないでわかりにくいかもしれませんが
お願いしたいのですが



34295.Re: 小学六年生 図形
名前:ヨッシー    日付:10月17日(水) 18時52分
問題1)
(1)長方形のサイズが載っていませんが、答えから推測すると、
AD=90cm、AB=20cm でしょう。

5秒後には、
 AP=2+4×5=22cm、
 CQ=4+3×5=19cm
になるので、BQ=90−19=71cm
です。台形ABQPの面積は、(公式は知っているものとします)
 (22+71)×20÷2=930(cm^2)
(2)四角形ABQPが長方形になるのは、PQがABと平行になるときです。
ABの長さが0と考えると、PとQは
 90−2−4=84(cm)
離れた直線上を、秒速4cm, 3cm で進み、何秒後に出会うでしょう?
という問題と同じです。
 84÷(4+3)=12(秒後)

問題2)
これも、ABとADのどちらが縦なのかわかりませんが、
やはり、答えから推測すると、ABが縦ですね。
(こういう苦労を回答者にさせるのは良くありませんよ。図のない分
文章で正確に知らせましょう)
(1)
PQがABに平行になるのは、
AQの長さと、BPの長さが同じときで、このとき、Pは、ABの長さ
26cmだけ、余分に進んでいます。
Pは1秒に4cmだけ、Qより多く進むので、26cm多く進むには、
 26÷4=6.5(秒)
かかっています。
(2)PQが長方形ABCDを2等分するとき、PはAB上にあって、
DQ=BP となっています。このとき
 QがAD+DQ だけ進み
 PはAB+BC+CD+DA+AP だけ進みます。
DQ+AP=ABなので、PとQは合わせて、
 22+26+26+22+26+22=144(cm)
進んでいます。それにかかる時間は、
 144÷(3+7)=14.4(秒)
となります。
(3)
これは、計算だけでは難しいので、グラフを描きます。

図の、青がP、赤がQですが、QはDからA→B→C→D の順に回り、
AB上で、Pに追い抜かれるところを、見つけることにします。
グラフより、Pが3周とちょっと、Qが1周とDAとちょっと進んだところで、
PとQは重なります。Pのちょっとと、Qのちょっとは同じ距離です。
進んだ距離の差は、1周96cmなので、
 96×3−(96+22)=170
1秒に、Pは4cm多く進むので、170cm余分に進むには、
 170÷4=42.5(秒)
かかります。
 

http://yosshy.sansu.org/


34300.Re: 小学六年生 図形
名前:さとる    日付:10月17日(水) 20時39分
ヨッシー先生
いつもありがとうございます。
サイズは図に出ていましたが、ここに描けないので
飛ばしていました
先生が言われるとおりのサイズです
お手数おかけしてすみませんでした

34291.3けたのかけ算  
名前:絢音    日付:10月17日(水) 16時14分
問題 500×100×150=7500000



34293.Re: 3けたのかけ算
名前:ヨッシー    日付:10月17日(水) 16時51分
いかにも。
 

http://yosshy.sansu.org/


34307.Re: 3けたのかけ算
名前:Kurdt    日付:10月18日(木) 2時33分
こんばんは。

0をたくさんふくむかけ算は次のようにします。
まずは、0を取って5×1×15として計算します。
そして、それをもとに500×100×150を計算します。
     5 ×   1 × 15 = 75
100倍↓ 100倍↓ 10倍↓   ↓100×100×10=100000倍
 500 × 100 × 150= 7500000
0の個数に注目して計算することもできます。
   5 ×  1  × 15 = 75
2個↓ 2個↓ 1個↓   ↓2+2+1=5個
 500 × 100 × 150= 7500000
ひっ算を使うばあいも、同じように0だけ分けて計算します。



5×1×15をもとに、0をあとからつけくわえて計算してますね。

このページの「■1 大きな数」に入って、「すすむ」を何回か押すと、
せつめいや問題などがおいてあります。
やくに立つかもしれないので、それも見てみるといいかもしれません(´∇`*

http://fairytale.holy.jp/

34290.式の計算  
名前:なお 高1    日付:10月17日(水) 16時2分
1.1+2+3+・・・+198+199+200(1から200までの和)
を計算せよ。
解き方のヒントをくれませんか?
2.500÷0を計算せよ。という問題なんですが0で割ることはできないですよね?
3.(3x^2y^2)+(6x^3y^2)を因数分解せよ。
=3x^2y^2(2x)でいいのでしょうか?
もしくは、3x^2y^2(1+2x)になるのでしょうか?
4.a×b÷cを×、÷の記号を使わないで表せ。
 =ab/cとなると思うのですがこの場合abにカッコはいらないですよね?
5.(a-b)×(a-b)×2÷cを×、÷の記号を使わないで表せ。
={2(a^2-ab-ab+b^2)}/c
={2(a^2-2ab+b^2)}/c
=2a^2-4ab+2b^2/c
これでいいのでしょうか?
それから、この場合カッコの中を計算しないほうがいいんでしょうか?
多くて誠に申し訳ありません。
お願いします。



34292.Re: 式の計算
名前:ヨッシー    日付:10月17日(水) 16時49分
1.は、
こちらが参考になるでしょう。
 
2.
0では割れません。こういう式を書くこと自体禁止です。

3.
3x^2y^2(2x)
3x^2y^2(1+2x)
まで絞られているなら、今度はカッコをはずしてみて、
元の式になる方が正解です。

4.いりません。

5.
2(a-b)^2/c
が、簡潔で良いと思います。(分数で書いているとして)
2a^2-4ab+2b^2/c
でも良いです。(同じく、分数で書いているとして)
 

http://yosshy.sansu.org/


34298.Re: 式の計算
名前:なお 高1    日付:10月17日(水) 19時46分
ありがとうございます!
また質問します。
1.なぜ0で割ることができないのですか?
0を割ることはできるのに不思議だな・・と思って・・
2.2a^2+7a+4を因数分解せよ。
 =(2a-1)(a+4)としか思いつかないのですが
これだと2a^2+7a-4となってしまうので・・
どう解いたらいいのでしょうか?
教えてください!


34303.Re: 式の計算
名前:ヨッシー    日付:10月17日(水) 23時34分
6÷2 という割り算は、「2に何を掛けたら6になるか」を求める式と言えます。
2に3を掛けたら6であることと、
 6÷2=3
であることが対応しています。では、
 500÷0
において、「0に何を掛けたら500になるか」を考えるとき、
適当な答えが見つかるでしょうか?
 0÷5
は、「5に何を掛けたら0になるか」→「0を掛ければよい」
より、
 0÷5=0
と、答えが決まります。

2a^2+7a+4
因数分解の最終手段は解の公式です。
 2a^2+7a+4=0
を解の公式により解くと、a=(−7±√17)/4 と求められるので、
実数までの因数分解を許すなら、
 {a−(−7−√17)/4}{a−(−7+√17)/4}
と因数分解できます。
 

http://yosshy.sansu.org/


34314.Re: 式の計算
名前:なお 高1    日付:10月18日(木) 13時13分
なるほど!そういうことですか。
ありがとうございます!

34288.untitled  
名前:涼子    日付:10月17日(水) 0時55分
こんばんは。高3です。
次の整数問題についてどなたかご指導いただけませんか。

(1)7x+5y=1を満たす整数x,yの組を全て求めよ。
(2)x,yは自然数とする。36以上の全ての整数は7x+5yの形で表されることを示せ。

(1)は、ごく普通の不定不等式として解いて、kを整数として
(x,y)=(3-5k,7k-4)となったのですが、これでいいんでしょうか。
(2)について。(1)をいかにも利用という雰囲気がありありなんですが、実際利用の仕方がわからなくて、
36=7×3+5×3...@
37=7×1+5×6
38=7×4+5×2
39=7×2+5×5
40=7×5+5×1
として、それぞれの式で、5にかけてある整数をその整数以上のものに1ずつ増やしていけば、例えば@だったら
36、41、46...という整数が得られ、
その次の式では37、42、47...という整数が得られ...
というように、36以上の全ての整数が得られる。
としてはいけないのでしょうか。
どうかどなたかご指導ください。



34289.Re: untitled
名前:みっちぃ    日付:10月17日(水) 3時1分
その解答でばっちりです☆


34306.Re:
名前:涼子    日付:10月18日(木) 1時15分
みっちぃさん、返信ありがとうございます。
確認していただけて、すごく助かりました。

34284.(untitled)  
名前:    日付:10月16日(火) 21時22分
xについての方程式9^x+2a・3^x+2a^2+a-6=0
について正の解と負の解を1つずつもつ。
このときの定数aのとりうる値の
範囲を求めよ。


よろしくお願いします



34285.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月16日(火) 22時6分
X=3^x とおくと 9^x=X^2 であり、
 9^x+2a・3^x+2a^2+a-6=0
は、
 X^2+2aX+2a^2+a-6=0
と書け、xが正の解と負の解を1つずつもつということは、
 0<X<1、1<X
の範囲に、Xの解が1つずつあるということです。
 f(X)=X^2+2aX+2a^2+a-6
とおくと、y=f(X) のグラフは下に凸なので、
 f(0)>0 かつ f(1)<0
であればいいことになります。
 f(0)=2a^2+a-6>0 …(1)
 f(1)=2a^2+3a-5<0 …(2)
(1) より、a<−2 または 3/2<a
(2) より、-5/2<a<1
以上より、
 -5/2<a<−2
 

http://yosshy.sansu.org/


34296.Re: (untitled)
名前:    日付:10月17日(水) 18時53分
解決できました!
ご丁寧にありがとうございました。

34281.たいかくせんのもとめかた  
名前:isamu    日付:10月16日(火) 17時59分
長方形のたいかくせんの出し方を教えてください。小学3年生です。



34282.Re: たいかくせんのもとめかた
名前:Kurdt    日付:10月16日(火) 18時35分
こんばんは。

「たいかくせんの長さのもとめかた」ということかな?
だとすると、これをならうのは中学3年生になります。
小学生の算数では計算できないんですね。

ただ、次の長方形のたいかくせんの長さはよく知られています。

たて3cm、よこ4cm → たいかくせん5cm
(たて4cm、よこ3cmのときも同じ)
たて5cm、よこ12cm → たいかくせん13cm
(たて12cm、よこ5cmのときも同じ)

************************

でも、どうしてもたいかくせんの長さを知りたいというときは、
でんたくを使って次の計算をしてみてください。

(1) まず (たての長さ)×(たての長さ) を計算する
(2) 次に (よこの長さ)×(よこの長さ) を計算する
(3) (1)と(2)のけっかをたす
(4) さいごに √ とかかれたボタンを押す

そのれいも書いておきます。
「たて4cm、よこ5cmの長方形のたいかくせんの長さをもとめる」
(1) (たての長さ)×(たての長さ) は 16
(2) (よこの長さ)×(よこの長さ) は 25
(3) (1)と(2)をたすと 16+25=41
(4) √ のボタンを押すと 6.403124…

この 6.403124… がたいかくせんの長さになります。

http://fairytale.holy.jp/


34297.Re: たいかくせんのもとめかた
名前:isamu    日付:10月17日(水) 19時10分
ありがとうございました。

34280.整式の最大公約数・最小公倍数  
名前:INI    日付:10月16日(火) 16時49分
次の各組の整式の最大公約数と最小公倍数を互除法で求めよ。

(1) x^3+3x^2+5x+6,x^3+5x^2+7x+6
(2) x^4-2x^3+6x-9,x^3-x+6

どのような流れで解いたら良いか解説お願いします!



34286.Re: 整式の最大公約数・最小公倍数
名前:ヨッシー    日付:10月16日(火) 22時22分
(2)
A=x^4-2x^3+6x-9
B=x^3-x+6
と置きます。
A=(x-2)B+x^2-2x+3

A=x^3-x+6
B=x^2-2x+3
と置き直します。
A=(x+2)B

ここで、割り切れるので、
最大公約数は x^2-2x+3
最小公倍数は、
 x^4-2x^3+6x-9=(x^2-2x+3)(x^2-3)
 x^3-x+6=(x^2-2x+3)(x+2)
より、最小公倍数は、
 (x^2-2x+3)(x^2-3)(x+2)=x^5-4x^3+6x^2+3x-18
 
のような感じです。
 

http://yosshy.sansu.org/


34287.Re: 整式の最大公約数・最小公倍数
名前:INI    日付:10月16日(火) 23時15分
解説ありがとうございますww
とてもよくわかりました!

34276.Cの  
名前:ラディン.ms    日付:10月16日(火) 11時36分
納k=1~n]k・nCkを教えてください。よろしくお願いします。



34277.Re: Cの
名前:らすかる    日付:10月16日(火) 14時34分
nCk=nC(n-k) なので
Σ[k=0〜n]k・nCk=Σ[k=0〜n](n-k)・nCk
また
Σ[k=0〜n]k・nCk+Σ[k=0〜n](n-k)・nCk=Σ[k=0〜n]n・nCk
よって
Σ[k=1〜n]k・nCk
=Σ[k=0〜n]k・nCk
=(1/2)Σ[k=0〜n]n・nCk
=(n/2)Σ[k=0〜n]nCk
=(n/2)・2^n
=n・2^(n-1)

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34278.Re: Cの
名前:ast    日付:10月16日(火) 14時42分
微分を使ってもよいならば, 二項展開 (x + 1)^n = Σ_[k=0,...,n] nCk x^k 1^(n-k) を両辺 x について微分して
  Σ_[k=1,...,n] k nCk x^(k-1) = n(x + 1)^(n-1)
を得るので, x = 1 と置くと, らすかるさんと同様の結果を得ます.


34279.Re: Cの
名前:ラディン.ms    日付:10月16日(火) 15時5分
詳しい説明ありがとうございました。

34274.整数問題  
名前:    日付:10月16日(火) 0時50分
(3+√5)^n=α+β√5(α、βは自然数)のとき、
(3+√5)^nを越えない最大の自然数mをα、βの式で求めよ。
解答お願いします。



34275.Re: 整数問題
名前:らすかる    日付:10月16日(火) 4時41分
a[n]=(3+√5)^n, b[n]=(3-√5)^n とおくと
a[n]=α+β√5, b[n]=α-β√5
a[n]+b[n]=2α
a[n]=2α-b[n]
0<3-√5<1 から 0<b[n]<1 なので
a[n]を超えない最大の自然数mは 2α-1

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34283.Re: 整数問題
名前:    日付:10月16日(火) 20時21分
ありがとうございましたww

34271.整数  
名前:クッキー    日付:10月15日(月) 22時34分
2以上の整数a、bが18a+b−3ab=136・・・@を満たしている。
@より(3a−1)*(6−b)=130となるので、@を満たすa、bの値はa=イロ、b=ハ  である。
イロ、ハ  を求めよ。

解答お願いします



34272.Re: 整数
名前:ぱんだ    日付:10月15日(月) 22時55分
a,bは2以上の整数なので、3a−1≧5
ここで(3a−1)*(6−b)>0なので
6−bは正の整数
よって1≦6−b≦4
6−bの値としては1、2,3,4の4つの候補があるわけです。
あとはご自分でどうぞ。


34299.(untitled)
名前:クッキー    日付:10月17日(水) 19時50分
ぱんださんありがとうございます!!!
早速やってみます♪

34264.大学一年です。  
名前:物理ですが・・・ 慣性モーメントについてです。    日付:10月14日(日) 18時30分
剛体振子で慣性モーメントについての実験を行ったのですが、慣性モーメントIの
理論値の求め方がわかりません。
使用した剛体は、金属の定規で、1.5m×4cm×2.1mm です。実験では、
回転軸の位置を650mm,550mm,450mm(金尺は上が0m)と変えて周期を調べたのですが、Iは1つの値で出るのでしょうか?
わかりにくい文章ですいません。



34268.Re: 大学一年です。
名前:    日付:10月15日(月) 10時7分
設定がよく分かりませんが、 ↓ こんなこと?
https://cyclo.shi.co.jp/technical/pdf2/inv440.pdf


34269.Re: 大学一年です。
名前:haru    日付:10月15日(月) 11時8分
自分で計算してみたのですが、まずこの金尺の質量W=1500×40×2.1×w(g/mm^3)とします。平行軸の定理から、Ia=Ig+Wd^2を求めます。ここで、金尺の重心の位置は、上から1500/2=750のところにあります。そして、金尺の長さ方向にZ軸をとれば、長さ方向に任意の微小幅dZの直方体の質量dWを求めると、dW=40×2.1×dZ×wとなります。よって、Ig=I(750)=∫[−750〜750]40×2.1×w×Z^2×dZ=2.3625×10^10wとなります。なので、I(650)=Ig+W×(750−650)^2となります。計算したところ、I(650)=2.4885×10^10wとなりました。他も同様に計算します。
I(550)=Ig+W×(750−550)^2,I(450)=Ig+W×(750−450)^2となって、測る地点によって、Iの値は違ってくるはずです。


34437.Re: 大学一年です。
名前:aa    日付:10月25日(木) 13時36分
ありがとうございます!
助かりました。

34260.テイラー展開についてです  
名前:大学1年    日付:10月13日(土) 23時31分
f:R→Rを次数Nの多項式関数とする。f(x)のx=aでのテイラー展開は、f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)/2!・(x-a)^2 + … +f(N回微分)(a)/N!・(x-a)^Nで与えられることの証明です。
まずf(x)=c_0+c_1(c-1)+…+c_N(c-N)^Nとおいて、数学的帰納法を用いて証明せよ。です。
よろしくお願いします



34270.Re: テイラー展開についてです
名前:    日付:10月15日(月) 21時50分
f(x)=c_0+c_1(x-1)+…+c_N(x-N)^N でした。

34255.(untitled)  
名前:もとき    日付:10月13日(土) 18時7分
点Aを中心とする半径2の円Oと点Bを中心とする半径3の円O´が点Cで外接している。点Dは円O上に、また点Eは円O´上にあり、直線DEは二つの円の共通接線となっている。点Cにおける二つの円の共通接線と直線DEとの交点をFとする。三角形の相似に注目すると、
CD:CE=2:x

であることがわかるのでCD=y

xとyの値を求めよ
解答お願いします



34257.Re: (untitled)
名前:moto    日付:10月13日(土) 20時1分
x=√6,y=(4/5)√15

@共通接線の長さDE=2√6 を求めて、
  FD=FC=FE から、FE=√6
 △ACD∽△FCE で、AD=2 より
  CD:CE=2:√6

A直角三角形DCE で、{DE=2√6,CD:CE=2:√6}より
  CD=(4/5)√15

34254.(untitled)  
名前:サトル    日付:10月13日(土) 17時57分
底面の半径が2、母線の長さが6の円錐がある。
この円錐の体積をV1、表面積をS1とする。
この円錐に内接する球の体積をV2、表面積をS2とする。

V2/V1とS2/S1をもとめよ。
解説お願いします



34258.Re: (untitled)
名前:moto    日付:10月13日(土) 20時33分
底面の円の半径2,高さ4√2 から、V1=(16/3)√2π
底面の円の半径2,母線6 から、S1=16π

球の半径√2 から、S2=8π
球の半径√2 から、V2=(8/3)√2π

V2/V1=1/2
S2/S1=1/2

球の半径
 円錐の頂点を通り、底面に垂直な平面で切ったときにできる断面で考える
  ●等辺6,底辺4である二等辺三角形に内接する円ができる
 二等辺三角形の面積を2通りで考えることによって、内接円の半径(球の半径)を求める。
  底辺*高さ*(1/2)=4*4√2*(1/2)
  各辺の和*内接円の半径*(1/2)=16*r*(1/2)

34248.二項定理  
名前:ミチコ    日付:10月13日(土) 15時5分
{x+(1/x)}^10を展開したとき、定数項をもとめよ。

解答では  10C5・x^5・(1/x)^5=252
      よって定数項は252

となっています。なぜ10C5のときなんでしょうか?
10C2や10C3のときでは駄目なのは何故ですか??
解説お願いします



34251.Re: 二項定理
名前:    日付:10月13日(土) 15時43分
nCrはC[n,r]と書くこととします。
(1+(1/x))^10の一般項は
C[10,r]・x^r・(1/x)^(10-r)=C[10,r]・x^(2r-10)です。
設問は定数項ですからxが入ってはだめです。
つまりxの指数2r-10=0でないと定数項になりません。
r=5なので定数項はC[10,5]となります。
ちなみに、r=2だと、C[10,2]・x^(-6) と定数項にならないですね。


34256.二項定理
名前:ミチコ    日付:10月13日(土) 18時10分
豆さんわかりやすい解説ありがとうございます!!!
理解できました。

34247.(untitled)  
名前:さとる    日付:10月13日(土) 14時7分
もう一問あります。
(問題)
ある学校の全校生徒について、通学方法を調べたら、電車通学・バス通学・自転車通学・徒歩通学の4種類でした。
それぞれの人数の割合は、全体の87%が電車、12%がバス、
バスの1/6が自転車、自転車の1.5倍が徒歩です。
また、複数の方法で通学しているのは、バスと電車の両方を
利用する60人だけでした。
このとき、全校生徒は何人ですか

(回答)
1500人

考え方の方よろしくお願いいたします



34249.Re: (untitled)
名前:たらめ    日付:10月13日(土) 15時15分
電車87%、バス12%、自転車2%、徒歩3%ですよね。
全部足すと 87+12+2+3=104%
100%をこえてしまいました。なぜでしょう?
バスと電車の両方を利用している人を2回数えているからです。


34252.Re: (untitled)
名前:さとる    日付:10月13日(土) 16時19分
たらめさんへ

60人は4%(104−100)
1%を求めるには、60÷4=15人だから、
87×15=1305人
12×15=180人
180÷6=30人
30×1.5=45人
だから
1305+180+30+45=1560
1560−60=1500
1500人でいいのでしょうか?


34273.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:10月15日(月) 23時54分
60人が4%とわかったら、100%は60×25=1500人ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

34245.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月13日(土) 12時39分
また考え方をよろしくお願いいたします

(問題)
正三角形の各辺の真ん中の点を結んで出来る正三角形の面積は
、もとの正三角形の面積の1/4です。
では、正方形の各辺の真ん中の点を結んで正方形を作り、
これをもう一度繰り返して出来る正方形の面積は、
もとの正方形の面積の何分のいくつですか?
さらに正六角についても同じ操作をします。
正六角形の各辺の真ん中の点を結んで正六角形を作り
、これをもう一度繰り返してできる正六角形の面積は
、もとの正六角形の面積の何分のいくつですか?

(答え)
1/4倍、9/16倍です。

※問題には図形が添付されて出題されていますが、
ここに描けないので文章だけですが、よろしくお願いします。



34250.Re: 小学六年生
名前:たらめ    日付:10月13日(土) 15時18分
図を描いて、同じ面積の三角形を数えましょう。


34253.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月13日(土) 16時23分
たらめさんへ

面積が同じやつがあるか、図を描いてみたけど
物差しで計っても同じ面積のものはなかったです。
どうしてもわかりません


34259.Re: 小学六年生
名前:gaku    日付:10月13日(土) 23時12分
たらめさんが言っている図は
漢字の田の字のように書くとよいですよ。


34261.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月14日(日) 11時31分
gakuさんへ
ありがとうございます。
田の字のようにという意味がイメージできないのですが‥
すみませんがもう少しヒントを教えていただけないでしょうか


34263.Re: 小学六年生
名前:gaku    日付:10月14日(日) 16時46分
正方形のとき,
田の中にある十字が外の四角と交わる4点はちょうど真ん中
の点ですからそれらを結ぶと新しい正方形ができます。
そうした図を描けば直角三角形が8個できますね。
その直角三角形はみな同じ面積です。


34265.Re: 小学六年生
名前:    日付:10月14日(日) 18時46分
Original Size: 266 x 266, 43KB Original Size: 281 x 246, 62KB

正方形の場合1回の操作でもとの正方形の1/2になりますから
2回目にはさらにその1/2
1/2×1/2=1/4
正六角形の場合1回の操作でもとの3/4になりますから
2回目にはさらにその3/4
3/4×3/4=9/16
になります。



34266.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月14日(日) 22時10分
七さんへ
ご面倒おかけしてすみませんでした
この図を見まして理解できました
ありがとうございます


34267.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月14日(日) 22時35分
gaku さんへ
何度もお手数おかけしてすみませんでした

34244.平面幾何 三角形の面積比  
名前:木山 高校3年生    日付:10月13日(土) 12時7分
連続投稿失礼いたします。

△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点 M 、N を
AM:MB =3:2、AN:NC=4:3となるようにとり、
線分MN 上に点PをMP:PN=1:2となるように
とるとき、次の面積比を求めなさい。

@△PAB:△NAB
A△PAB:△ABC
B△PCA:△ABC 
C△PBC:△ABC

答え 
@1:3 A4:21 B2:5 C43:105

@は分るのですがA以降が解けません。
(数検の完全対策1〜3級 p65の19) 



34246.Re: 平面幾何 三角形の面積比
名前:コッチェビ    日付:10月13日(土) 13時17分
A
ABを底辺として見ると
AN:NC=4:3より僊BNと僊BCの高さの比が4:(4:3)=4:7になります。
なので僊BN:僊BC=4:7になります。
つまり僊BC=(7/4)僊BN
@より僊BN=3僊BPなので
僊BC=(7/4)*3僊BP=(21/4)僊BP
よって4:21

B
ACを底辺として見て、@Aのように同じように考えます。

C
僊BCに対する儕AB、儕ACの面積比が出たので残りを計算すれば
僊BCに対する儕BCの面積比が出ます。


34262.Re: 平面幾何 三角形の面積比
名前:木山 高校3年生    日付:10月14日(日) 11時45分
コッチェビさん

丁寧な解説、本当にありがとうございました。
最後まであきらめずにがんばります。

34241.場合の数についてです。  
名前:木山 高校3年生    日付:10月12日(金) 21時31分
ヨッシー様

初めて書き込みをさせてもらいます。

「10人の中から、委員長、書記、会計係の3人の委員を選ぶ方法は
何通りありますか。」

問題集の解答は、「順列 10P3=10*9*8=720」でした。
私の考えは、「組み合わせ 10C2=120」だと思うのですが、
どこが間違っているのかが分りません。


もしよろしければ教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。



34242.Re: 場合の数についてです。
名前:コッチェビ    日付:10月12日(金) 22時45分
樹形図を書いてみてはいかがでしょうか?
10×9×8
つまり10P3になります。
10C3では3人組を作る総数しか求めていません。
それぞれの3人組の中でジャンケンか何かをして係りを決めますよね?
決め方は3!通りですね。
10C3×3!=10P3


34243.Re: 場合の数についてです。
名前:木山 高校3年生    日付:10月13日(土) 9時22分
コッチェビさん

解説ありがとうございます。

やっと理解出来ました。
「(10C3*3)*3!」という考え方もあるのですね。
勉強になります。

34240.積分  
名前:りく 高校三年    日付:10月12日(金) 17時23分
曲線y=(e^x+e^-x)/2について、

y≦5 の部分の長さを求めよ。
ただし、e は自然対数の底である。

また、曲線y=f(x) (a≦x≦b) の長さは、
f(x)の導関数f´(x)を用いて、

定積分 ∫[a〜b]√{1+(f´(x))^2}dxで表される。

すみません。またお願いします。

34237.お願いします☆  
名前:りか    日付:10月12日(金) 13時27分
次の関数をy=a(xーp)2乗+qの形に変形しなさい。

@y=x2乗ー10x

Ay=x2乗+8x+10



34238.Re: お願いします☆
名前:ヨッシー    日付:10月12日(金) 14時23分
(1)
(x-5)^2=x^2-10x+25
であることを利用して、
 y=x^2-10x=x^2-10x+25-25=(x-5)^2-25

(2)
(x+4)^2=x^2+8x+16
であることを利用して、
 y=x^2+8x+10=… (以下略)
 

http://yosshy.sansu.org/

34234.(untitled)  
名前:minami    日付:10月11日(木) 22時27分
x≧0,y≧0とし、不等式C(x+y)≧2√(xy)……@
を考える。ただし、Cは正の定数。
(1)C≧1のとき@は常に成り立つことを示せ。
(2)@が常に成り立てばC≧1であることを示せ。
(3)√x+√y≦k√(x+y)が常に成り立つような正の定数kのうちで最小なものはいくらか。
(1)(2)はできたんですけど(3)でk=√y/xとおいてグラフでとくにはどうすればよいですか?



34235.Re: (untitled)
名前:gaku    日付:10月11日(木) 23時20分
k√(x+y)≧√x+√y
kは正だから,
k^2(x+y)≧x+2√xy+y
(k^2-1)(x+y)≧2√xy
(2)より,k^2-1≧1

34232.小6  
名前:櫻 井    日付:10月11日(木) 19時40分
K中学校では入学願書受付開始前から行列ができ始め、願書受付開始時には375人の行列ができていました。受付開始後も毎分同じ割合で行列に加わる人がいました。受付窓口がひとつのときは2時間30分でなくなり、受付窓口を2つにすると50分で行列がなくなります。1つの受付窓口で1分間に受け付けることができる人数はどの場合も同じとして、次の問いに答えなさい。

(1)1つの窓口では毎分何人の割合で受け付けることができますか?

(2)はじめ2つの窓口で受付をし、途中から窓口を1つにして一時間で行列がなくなるようにします。このとき、窓口を2つにしている時間は何分ですか?



34233.Re: 小6
名前:ヨッシー    日付:10月11日(木) 20時21分


図の上は、1人で150分処理した場合、
下は、2人で50分処理した場合の図で、上と下の□(実線)の比は、
 150:(2×50)=3:2
よって、375人が、150分に列に加わった人と一致します。
 375÷150=2.5 ・・・1分に2.5人列に加わる

上の図より、1人が150分に750人処理する
 →1分に5人処理する

1時間=60分の間に150人並ぶので、
あわせて、375+150=525(人)処理する
1人で60分処理すると
 5×60=300(人)
1分間2人にすると、5人処理する人数が増える
 525−300=225(人)
処理する人数を増やすには、
 225÷5=45(分)
2人で処理すればよい。

※窓口1つを1人と表現しています。
 

http://yosshy.sansu.org/

34229.確率!!  
名前:りか    日付:10月11日(木) 17時25分
100円硬貨を6回投げて3回表が出る確率を求めよ。



34231.Re: 確率!!
名前:ヨッシー    日付:10月11日(木) 19時39分
1回目から6回目までのどの3回が表になるかの選び方は
 6C3=20(通り)
1通りにつき、そのパターンが出る確率は
 (1/2)^6=1/64
よって、求める確率は、
 20/64=5/16
 

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34227.2次関数  
名前:オレ    日付:10月10日(水) 23時35分
次の2次関数の値が、すべてのxの値について正となるような定数aの値の範囲を求めよ。
(1)y=xA−2ax+3a
 
(2)y=xA−ax+2

 Aは二乗です。

マジで分かりません><お願いします。



34228.Re: 2次関数
名前:成瀬    日付:10月11日(木) 20時9分
(1)
y = (x - a)2 - a2 + 3a と平方完成出来るので,
- a2 + 3a > 0 であれば y > 0 が全ての x で成り立ちます.

(2)
(1) と同様です.

あと,一般的に「x の2乗」は x^2 と書きます.
@などは環境依存文字なので使われない方が良いと思います.


34230.Re: 2次関数
名前:教得手 学    日付:10月11日(木) 18時28分
[別解](注)xの2乗をx^2 で表します。
y=x^2−2ax+3a のグラフは、x^2 の係数が正なので上開きの放物線です。
だからx軸と交わらなければ,常にyは正となります。
すなわち、x^2−2ax+3a=0 が実数解を持たなければよいことになります。

よって、判別式D<0 をみたすaの範囲を求めればよいのですね。
(結果的には、平方完成のときと同値な不等式になりますが、式をたてるのが機械的に出来る
ので少し楽かな)

(2) も同様です。

34224.体積 積分  
名前:りく 高校三年    日付:10月10日(水) 16時15分
0<r<1 とする。
空間において、
点(0,0,0)を中心とする半径rの球と
点(1,0,0)を中心とする半径√(1−r^2)の球との共通部分の
体積をX(r)とする。

(1) X(r)を求めよ。

(2) rが 0<r<1 の範囲を動くとき、X(r)を最大にするrの値

   および、X(r)の最大値を求めよ。

 すみません。お願いします。

答えは、(1) X(r)=π{2/3(1−r^2)^3/2−r^4+2/3r^3+r^2−2/3}

    (2) r=√(2)/2のとき最大値{4√(2)−5}π/12



34225.Re: 体積 積分
名前:ヨッシー    日付:10月10日(水) 18時32分


(1)
図はzx平面で切った図で、OA方向がx軸です。
△OBAが直角三角形なので、CをBからx軸に下ろした垂線の足とすると、
 OC:CA=OB^2:BA^2=r^2:1−r^2
よって、Cのx座標はr^2。
以上より、求める体積は、
半径rの球の、中心からr^2 の距離の平面で切った外側V1 と、
半径√(1−r^2) の球の、中心から1−r^2の距離の平面で切った外側V2
の和になります。

 V1=π∫[r^2〜r](r^2−x^2)dx
  =π[r^2x−x^3/3][r^2〜r]
  =π{(r^3−r^3/3)−(r^4−r^6/3)}
  =π(r^6/3−r^4+2r^3/3)
ここで、rを√(1−r^2) に置き換えれば、V2 になるので、
 V2=π{(1−r^2)^3/3−(1−r^2)^2+2(1−r^2)^3/2/3}
  =π{(1−3r^2+3r^4−r^6)/3−(r^4−2r^2+1)+(2/3)(1−r^2)^3/2}
  =π{−r^6/3+r^2−2/3+(2/3)(1−r^2)^3/2}
よって、
 V(r)=V1+V2=π{(2/3)(1−r^2)^3/2−r^4+2r^3/3+r^2−2/3}
 

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34239.Re: 体積 積分
名前:りく 高校三年    日付:10月12日(金) 17時12分
いつもありがとうございます。

お世話になりました!!!

(2)は微分して、増減表書いたら出来ますよね。

本当にありがとうございました

34220.ベクトル  
名前:ダウン5    日付:10月9日(火) 22時53分
△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC、辺ABの中点をMとする。また、↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。
このとき直線CMと直線OBの交点をDとする。↑OD=k↑bとおくとき、実数kの値を求めよ。

お願いします!



34221.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:10月9日(火) 23時12分


CD=tCM とおきます。
 CMOMOC
  =()/2−(3/4)
  =/2−/4
よって、
 CD=t/2−t/4 ・・・(1)

一方、
 CDODOC
  =k−(3/4) ・・・(2)

(1)(2) において、 は平行でないので、係数を比較して、
 t/2=k、t/4=3/4
以上より
 t=3、k=3/2・・・答え

メネラウスの定理を使えば、
 (OC/CA)(AM/MB)(BD/DO)=1
より、
 BD/DO=1/3
より、
 OB:OD=2:3
はすぐ出ます。
 

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34217.積分  
名前:もふえ    日付:10月8日(月) 23時30分
p,qを0または正の整数とし、I_(p,q)=∫[0,1]t^p(1−t)^qdtと置く。
(1) I_(p,0)を求めよ。
(2)q≧1のとき、漸化式I_(p,q)={q/(p+1)} I_(p+1,q-1)が成り立つことを証明せよ。
(3)等式I_(p,q)=p!q!/(p+q+1)!を証明せよ。
わからないので教えてください。



34218.Re: 積分
名前:教得手 学    日付:10月9日(火) 19時10分
I_(p,q)=∫[0,1]t^p(1−t)^qdt

(1) I_(p,0)=∫[0,1]t^p(1−t)^0dt =I_(p,q)=∫[0,1]t^pdt
     =[t^(p+1)/(p+1)](0〜1)=1/(p+1)

(2) 次のように部分積分をします。
I_(p,q)=∫[0,1]{t^(p+1)/(p+1)}'(1−t)^qdt
=[t^(p+1)/(p+1)}(1−t)^q](0〜1)−∫[0,1]{t^(p+1)/(p+1)}
   *(-q)(1−t)^(q-1)dt
=0+q/(p+1)∫[0,1]{t^(p+1)}*(1−t)^(q-1)dt
=q/(p+1)*I_(p+1,q-1)

(3) (2)を繰り返し使います。
I_(p,q)=q/(p+1)*I_(p+1,q-1)
    =q/(p+1)*{(q-1)/(p+2)}*I_(p+2,q-2)
=q/(p+1)*{(q-1)/(p+2)}*{(q-2)/(p+3)}*I_(p+3,q-3)
={q(q-1)(q-2)・・*2*1}/{(p+1)(p+2)・・・(p+q)}*I_(p+q,0)

(1)の結果より、I_(p+q,0)=1/(p+q+1) だから
I_(p,q)={q(q-1)(q-2)・・*2*1}/{(p+1)(p+2)・・・(p+q)(p+q+1)}
=p!q!/(p+q+1)! 
・・・・・・・以上のようになりました・・・・・・


34222.Re: 積分
名前:もふえ    日付:10月9日(火) 23時30分
わかりました。ありがとうございました。

34216.(untitled)  
名前:    日付:10月8日(月) 23時16分
θ=2/7π

(1) cos3θ=cos4θを証明

(2) cosθ、cos2θ、cos3θが解となるような、係数がすべて整数の
   Iの3次方程式を求めよ。


 特に(2)が分かりません。。ヒントだけでもいいので
 よろしくお願いします(>_<)



34219.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:10月9日(火) 20時28分
(1) 7θ=2π なので、
 cos3θ=cos(2π−4π)=cos(-4π)=cos4π

(2)
 cosθ=x
とおくと、3倍角、4倍角の公式より、
 4x^3−3x=8x^4−8x^2+1
移項して
 8x^4−4x^3−8x^2+3x+1=0
x=1 を代入すると成り立つが、これは cosθ とは違う解である。
よって、x−1 で割って、
 8x^3+4x^2−4x−1=0
これの解の一つが、cosθ である。

一方、
 cos6θ=cos(2π−θ)=cosθ
 cos8θ=cos(2π+θ)=cosθ より、cos6θ=cos8θ
 cos9θ=cos(2π+θ)=cos2θ
 cos12θ=cos(4π−2θ)=cos2θ より、cos9θ=cos12θ
つまり、φ=2θ、ψ=3θ とすると、
 cos3φ=cos4φ
 cos3ψ=cos4ψ
となり、これらからやはり、方程式
 8x^3+4x^2−4x−1=0
が得られ、この式は、cosθ、cos2θ、cos3θ を解に持つことになる。
 

http://yosshy.sansu.org/


34226.Re: (untitled)
名前:    日付:10月10日(水) 22時8分
ご丁寧にありがとうございました☆

 

34212.教えてください  
名前:ゆり    日付:10月8日(月) 20時29分
私は文系の人間で、理数系のことがわかりません。どうか皆様の力を貸してください!
0・0145の3分の2乗(0.66)
の近似値でいいので教えてください。明日までに必要なんです。。
20代女性会社員



34213.Re: 教えてください
名前:Kurdt    日付:10月8日(月) 20時37分
まぁ、近似値でよければ・・・。

0.0145^(2/3)
= 0.059462797…

http://fairytale.holy.jp/


34214.Re: 教えてください
名前:ゆり    日付:10月8日(月) 21時13分
ありがとうございました!助かりましたー(^^)

34205.三角比  
名前:なお 高1    日付:10月8日(月) 13時31分
≪問題≫100m離れた2地点A,Bから、向こう岸の地点Cを測量したところ、∠BAC=36°、∠ABC=58°であった。
点Cから直線上に垂線CHを下ろしたとき、CHの距離を求めよ。
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugaku1/2006/study32/images/32-3.jpg←一応図を載せています。

cos36°=AB/AC
   =0.8090×100
   =80.9
sin36°=CH/AC
    =CH/80.9
  CH=sin36°×80.9
    =0.5878×80.9
    =47.55302≒48(m)A.48m
自分なりに解いてみたのですがあっているのか不安です。
解説をお願いします。



34211.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:10月8日(月) 18時33分
図が見えるようにしておきます。

 

http://yosshy.sansu.org/

34203.小6です。。。  
名前:aaa    日付:10月8日(月) 13時7分
A,B,Cの3人の所持金をあわせると159万円ありました。それぞれの所持金のうち、Aは92%、Bは90%、Cは88%の買い物をしたら、残金の比がこの順に2:3:4になりました。はじめのAの所持金は□万円です。
わかりません。。教えてください。。。。



34204.Re: 小6です。。。
名前:ヨッシー    日付:10月8日(月) 13時21分
思い切って、残金が2万、3万、4万としてみましょう。
Aの最初の所持金:2万÷0.08=25万
Bの最初の所持金:3万÷0.1=30万
Cの最初の所持金:4万÷0.12=100/3万
(分数がいやなら、6万、9万、12万とおけばいいでしょう)
の、あわせて
 25+30+100/3=265/3(万)
ところが実際は、159万あったので、残金は、2万、3万、4万の
 159÷(265/3)=9/5 (倍)
であったと考えられます。最初の所持金も同様です。
よって、Aの最初の所持金は、
 25万×9/5=45万(円)
ちなみに、Bは54万、Cは60万 のあわせて159万です。
 

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34207.Re: 小6です。。。
名前:aaa    日付:10月8日(月) 14時18分
よくわかりました!!!!!!!!有難うございます!!!!!!!!!!!!


34208.Re: 小6です。。。
名前:aaa    日付:10月8日(月) 14時24分
すいません!!!!!!!!!後1問おねがいします!!!
A君とB君がそれぞれみかんを持っています。
 A君が持っているみかんの個数の半分をB君にわたし、その後B君のみかんの個数の3分の1をA君にもどします。
 この操作を2回くりかえしたところ、A君、B君のみかんの個数はそれぞれ26個、28個になりました。はじめにA君、B君は何個ずつみかんを持っていましたか。


34209.Re: 小6です。。。
名前:ヨッシー    日付:10月8日(月) 14時46分
これは、3つ下の 34191 番の質問と似ていますね。
変化の逆をたどっていきます。

1.Bの1/3 をAに移したら、26個、28個 になった。
 →Bは移す前は、28÷(2/3)=42個
  14個移したので、Aはもらう前は12個
2.Aの1/2をBに移したら、12個、42個になった。
 →Aは移す前は、24個だった。
  12個移したので、Bはもらう前は30個
3.・・・
という具合です。
 

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34210.Re: 小6です。。。
名前:aaa    日付:10月8日(月) 16時10分
ありがとうございます!

34200.小学生の立体  
名前:ましゅまろ     日付:10月8日(月) 10時36分
すみません。子供に聞かれ…教えてください。
立体の頂点・辺・面についての考察なのですが、円柱には頂点は0ですよね。面は3面ですよね。辺は…あるのでしょうか??



34201.Re: 小学生の立体
名前:ヨッシー    日付:10月8日(月) 11時35分
いくつかの平面で出来ている立体を多面体といい、
面と面の境目を辺、辺と辺の交点を頂点といいますが、
円柱は多面体ではないので、これらは、定義されていないのではないでしょうか?

イメージ的には、辺は無いということになりますが、それ以前に
辺とは?という部分を明らかにしないと、こういう問題は、
あてずっぽうだけの答えになってしまいます。
 

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34302.なるほど…
名前:ましゅまろ     日付:10月17日(水) 21時43分
円柱は多面体ではないので定義されていないのですね。なるほど。
確かに「辺とは?何か?」をしっかりと明らかにしないとダメですね。辺は「面と面との境目」ということなのですが、平面の場合はどういう定義になっているのでしょうか?「ここが辺」というように指すことはできるのですが…「辺とは?」と聞かれると…困ります。

簡単なことが分かってなくてすみません。

34196.数I:三角比  
名前:なお 高1    日付:10月8日(月) 0時28分
初歩的な質問をしますがよろしいでしょうか?
中学のときの参考書がなくて・・
1.二等辺三角形だと2つの角度が等しいのでしょうか?
2http://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugaku1/2006/study30/images/30-11.jpg←一応図を載せてみたのですが見れるかわからないので・・
《問題》Oを中心とする半径5の円の周上に点A,Bがある。
∠AOB=100°のとき、弦ABの長さを、小数第一位まで求めよ。
という問題です。
点Oから弦ABに垂線をおろしその交点をMとすると、もちろん
∠OAMは90°になりますが、∠AOMは∠AOBの半分50°になるのでしょうか?
3.弦ABの長さを、小数第一位まで求めよ。
自分なりに解いてみたのですが・・
sin50°=OM/5
  OM=sin50°×5
  OM=0.7660×5
    =3.8300
    ≒3.8
とここまではいいのですがOMは求めたい弦ABの半分なので2倍するわけですが、3.8×2=7.6としてもよいのでしょうか?
それとも、この≒3.8と出す前の=3.8300で3.8300×2=7.66≒7.7とするのでyそうか?答えが違ってきますのでどちらにしたらよいのか教えてください!

多くて誠に申し訳ないのですがお願いします。



34197.Re: 数I:三角比
名前:らすかる    日付:10月8日(月) 0時50分

頂角の二等分線を引いて出来た二つの三角形は
二辺挟角相等により合同ですから、2底角は等しくなります。


1のように頂角の二等分線を引くと二つの三角形は合同になり、
これによって二つの三角形は直角三角形であることがわかります。
よって「頂角の二等分線」=「底辺の垂直二等分線」ですから
∠AOMは100°/2=50°です。


途中で四捨五入が出てこないように、
AB=2OM=10sin50°≒10×0.7660≒7.7
とすれば良いと思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34202.Re: 数I:三角比
名前:なお 高1    日付:10月8日(月) 12時51分
ありがとうございます!

34191.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月7日(日) 22時32分
またまたすみません。考え方のほうお願いしたいのですが
図がかければわかるのでしょうが、
その図が書けなくて‥
すみません
問題)
ある金額を太郎君と次郎君と三郎君で分けるのに、
太郎君は全体の3/8より500円多くもらい、
次郎君は残りの3/5より300円少なくもらい
三郎君はその残りの5/7より700円多くもらうと
残りは400円でした。
全体の金額はいくらでしたか

答え)
15000円



34192.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月7日(日) 22時42分
図を描けばなお良いですが、とりあえず、言葉で説明します。

三郎君はその残りの5/7より700円多くもらうと残りは400円でした。
 →残りの2/7 は700+400=1100である
 残りは 1100÷(2/7)=3850

次郎君は残りの3/5より300円少なくもらい(残ったのは3850円)
 →残りの2/5 は3850−300=3550である
 残りは 3550÷(2/5)=8875

太郎君は全体の3/8より500円多くもらい(残ったのは8875円)
 →全体の5/8 は8875+500=9375
 全体は 9375÷(5/8)=15000(円)

図は時間があれば、後ほど。 
 

http://yosshy.sansu.org/


34193.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月7日(日) 22時48分
はやくにお答えいただいて助かります
有難うございました
できましたら図のほうも時間あるときで結構ですのでいただければ助かります


34194.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月7日(日) 23時2分


こうなります。
この図のしたから順々に残り金額を確定していきます。
 

http://yosshy.sansu.org/


34195.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月7日(日) 23時4分
お忙しいのにすみませんでした
わかりやすい図です
また文章でのご説明でも理解できました
いろいろとすみませんでした

34181.すいません(私立中で進度が速いので)  
名前:中3    日付:10月7日(日) 14時50分
4x+2y+z=15を満たす自然数x、y、z、の値をすべて求めよ。 という問題です 解き方すら見当がつきません



34183.Re: すいません(私立中で進度が速いので)
名前:ラディン.ms    日付:10月7日(日) 15時17分
@) x=1のとき 2y+z=11
よって (y,z)=(1,9),(2,7),(3,5),(4,3),(5,1)
A) x=2のとき 2y+z=7
よって (y,z)=(1,5),(2,3),(3,1)
B) x=3のとき 2y+z=3
よって (y,z)=(1,1)
C) x≧4のとき 2y+z≦-1 これを満たす自然数y,zは存在しない

@),A),B),C) より(x,y,z)=(1,1,9),(1,2,7),(1,3,5),(1,4,3),(1,5,1),
(2,1,5),(2,2,3),(2,3,1),
(3,1,1)


34184.Re: すいません(私立中で進度が速いので)
名前:中3    日付:10月7日(日) 15時21分
ラディンさんありがとうございます。

34180.円順列  
名前:ラディン.ms    日付:10月7日(日) 9時51分
a6個,b6個,計12個の文字を円形に並べる方法は何通りあるか。

よろしくお願いします。



34185.Re: 円順列
名前:教得手 学    日付:10月7日(日) 17時28分
aを6個円形に並べて、b6個いくつかの塊に分けたものを、aの隙間に差し込んでいきます。
(1箇所の隙間を決めて、そこにbの1番大きな塊を差し込んで、残りの隙間に他の塊を入れる場合の数を調べます)

(1) b6個を分けない場合・・・・・・・・1(通り)
(2) bbbbb−b に分けた場合・・・・・bの入れ方は 5(通り)
(3) bbbb−bb に分けた場合・・・・・bbの入れ方は 5(通り)
(4) bbbb−b−b に分けた場合・・・2つのbの入れ方は 5C2=10(通り)
(5) bbb−bbb に分けた場合・・・2つのbの塊の配置は、3(通り)
         (隣の隙間、1つとび、向かい)
(6) bbb−bb−b にに分けた場合・・・bb とbの入れ方は 5P2=10(通り)
(7) bbb−b−b−b に分けた場合・・・3つのbの入れ方は 5C3=10(通り)
(8) bb−bb−bb に分けた場合・・3つのbの塊の配置は、4通り
(9) bb−bb−b−b に分けた場合
2つのbbが隣のとき、4C2=6(通り)
   2つのbbが1つとびのとき、4C2=6(通り)
   2つのbbが向かいのとき、2つのbの配置は4(通り)
(10) bb−b−b−b−b に分けた場合・・・4つのbの塊の配置は5(通り)
(11)b-b-b-b-b-b に分けた場合・・・・1(通り)

よって、1+5+5+10+3+10+10+4+16+5+1=70(通り)が答え。 
もっとスマートな解法があるかもしれないが、とりあえず上記のように解いてみました。


34186.Re: 円順列
名前:ラディン.ms    日付:10月7日(日) 18時21分
ありがとうございます。じっくり考えてみます。

> (6) bbb−bb−b にに分けた場合・・・bb とbの入れ方は 5P2=10(通り)
PじゃなくてCじゃないんですか?


34187.Re: 円順列
名前:らすかる    日付:10月7日(日) 19時18分
a6個、b6個を一列に並べる方法は12C6=924通りです。
これを周期によって分類します。
周期2のもの
abababababab と babababababa の2個
周期3のもの
a,bが4で割り切れないのでありません。
周期4のもの
a2個,b2個の計4個を並べるのを3回繰り返します。
a2個,b2個の並べ方は4C2通りですが、そのうち2通りは
「周期2のもの」に含まれる「abab」と「baba」ですので
周期が4になるのは4C2-2=4通りです。具体的には
aabb,abba,baab,bbaa の4個。
周期6のもの
a3個,b3個の計6個を並べるのを2回繰り返します。
a3個,b3個の並べ方は6C3通りですが、そのうち2通りは
「周期2のもの」に含まれる「ababab」と「bababa」ですので、
周期が6になるのは6C3-2=18通りです。

上記以外は周期12です。
12C6の中で、円形に並べた場合は周期nのものはn個含まれて
いますので、答は
2/2+4/4+18/6+(924-2-4-18)/12=80通り
となります。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34188.Re: 円順列
名前:教得手 学    日付:10月7日(日) 20時39分
ラディン.msさんの疑問のあった、私のレスにおける
>(6) bbb−bb−b にに分けた場合・・・bb とbの入れ方は 5P2=10(通り)

の部分ですが、bbとbは違ったものですから、入れ替わっているものは別の並び方になるのでやはり、5P2です。

ただ、打ち込む段にうっかり 5P2=10 としてしまったのですが
5P2=5×4=20 ですね。
だから、合計も70通りでなく,80通りです。(失礼しました。訂正します)
したがって、らすかるさんの答えとも一致しますね。(メデタシ メデタシ)


34190.Re: 円順列
名前:ラディン.ms    日付:10月7日(日) 21時41分
>> らすかる様
スマートな解法ありがとうございました。
>> 教得手 学様
5P2だったのですね。

34178.中学の内容(3年まで)  
名前:K・Y     日付:10月7日(日) 1時49分
△ABCの内部に、点Pを取り、A,B,Cと結びます。
すると、AB=AC,BC=10,△PBC=10,∠PAB=∠PBC=∠PCA,PC>PB
となりました。このとき、APの長さを求めてください。
ちなみに答えは√10です。
初めてですが、全く分からないので、詳しい解説お願いします。



34179.中学の内容(3年まで):追加
名前:K・Y     日付:10月7日(日) 9時23分
Original Size: 376 x 238, 263KB

問題図が出来たので、送ります。参考にしてください。



34198.Re: 中学の内容(3年まで)
名前:らすかる    日付:10月8日(月) 1時21分
Original Size: 290 x 165, 5KB

たまたま答を見つけたので解答図は作れるのですが、難しいですね。
出典はどちらですか?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp



34199.Re: 中学の内容(3年まで)
名前:らすかる    日付:10月8日(月) 10時34分
とりあえず解けましたが、途中で6次方程式が出てきて
中学範囲をはるかに超えます。

∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCA=∠BCP なので、△PAB∽△PBCです。
PからBCに垂線PDを下ろすと、△PBC=10,BC=10 から PD=2
PからABに垂線PEを下ろすと、△PAB∽△PBC から AB/PE=BC/PD=5
BCの中点をHとし、AHをhとします。
AB=√(h^2+25)=cとおきます。PE=AB/5=c/5です。
△ABH=5h/2 なので、HからABまでの距離は5h/cです。
Pを通りABに平行な直線とAH,BCとの交点をそれぞれF,Gとします。
Hから直線FGまでの距離は5h/c-c/5ですから、
△ABHと△FGHの相似比は 5h/c:5h/c-c/5 = 25h:25h-c^2 です。
FH=h・(25h-c^2)/25h=h-c^2/25=h-h^2/25-1
PからAHに垂線PQを下ろします。
FH:FQ=FH:(FQ-PD)=h-h^2/25-1:h-h^2/25-1-2=25h-h^2-25:25h-h^2-75
GH=5・(25h-c^2)/25h=5-c^2/5h=(25h-h^2-25)/5h
PQ=(25h-h^2-25)/5h・(25h-h^2-75)/(25h-h^2-25)=(25h-h^2-75)/5h
BD=BH-PQ=5-(25h-h^2-75)/5h=(h^2+75)/5h
DC=HC+PQ=5+(25h-h^2-75)/5h=(50h-h^2-75)/5h
△PABと△PBCの相似比はAB:BC=AP:BP=BP:PCなので
AB^2:BC^2=BP^2:PC^2
h^2+25:100={(h^2+75)/5h}^2+4:{(50h-h^2-75)/5h}^2+4
整理して (h-5)(h-45)(h^2+25)(h^2-50h-75)=0
このうちhが正の実数でPQが正になるのは h=5のみ。
h=5のとき、BD=4, BP=√(BD^2+4)=2√5, AB=5√2 なので
AP=(AB/BC)BP=√10

# 中学範囲で解く場合も、△PAB∽△PBCがポイントかと思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


34206.Re: 中学の内容(3年まで)
名前:K・Y     日付:10月8日(月) 13時55分
あの、ありがとうございます。
これは学校の友達から出されて問題です。解答をもらったので書きます。

作図により、A,B,Cからの距離が等しい点をとり、A,B,Cを通る円を書きます。
CPを延長してABとの交点をE、円との交点をFとして、Fと、A,Bを結びます。
∠PAB=∠PCA=∠ABF,∠ABP=∠BCP=∠FAB より、錯角が等しいので、AF//PB,AP//BF。
よって、AFBPは平行四辺形。そのため、AE=BE。
底辺と高さが等しいため、△ECA=△EBC,△PAE=△PBE。
よって、△PCA=△ECA-△PAE=△EBC-△PBE=△PBC=10。

Aを通るBCの垂線とBCの交点をGとして、AG=xとおきます。
BG=CG=5 より、AB=√(x^2+5^2)。△PAB∽△PBC,BC=10なので、面積比は、
(√(x^2+25))^2:10^2=x^2+25:100。△PBC=10より、△PAB=10・(x^2+25)/100=(x^2+25)/10
ここで、△ABC=△PAB+△PBC+△PCA=(x^2+25)/10+10+10=10・x/2 を解くと、
(x^2+25)/10+20-5x=0, x^2+25+200-50x=0, x^2-50x+225=0, (x-5)(x-45)=0
x=5,45。PC>PBより、x=5。

AG=BG=CG,∠AGB=∠AGC=90°より、△ABGと△CAGが、直角二等辺三角形になるため、
△ABCも直角二等辺三角形になる。よって、AB:BC=1:√2。
そのため、△PABと△PBCの相似比は1;√2。なので、AP:BP:CP=1:√2:2。
∠PAB+∠PAC=90°,∠PAB=∠PCAより、∠PCA+∠PAC=90°。よって∠APC=90°。
AP・CP/2=△PCA より、AP・2AP/2=10, AP^2=10。AP>0 なので、AP=√10。

34176.三角関数  
名前:まや 高2    日付:10月7日(日) 1時6分
sin7/6π=sin(π/6+π)=−sinπ/6=−1/2
が何故こうなるのか分かりません。
分かり易く解説して頂けませんか?
sin7/6πのπに180を代入するだけでは駄目なんでしようか?
教えて下さい。お願いします。



34177.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:10月7日(日) 1時18分
180°を入れて、sin210°として、単位円などで、そのsin を求める方法でも、
一向に構いません。

ただ、7π/6 と210°は、同じ角度であり、π を180°に置き換えることは、
代入とは言いません。
 

http://yosshy.sansu.org/


34236.Re: 三角関数
名前:まや 高2    日付:10月12日(金) 13時25分
ありがとうございました!
助かりました(^ω^)/★

34168.積分(面積)  
名前:頑張るぞ*数学*    日付:10月6日(土) 1時28分
原点0を中心とする半径aの円に糸がまきつけられていて、糸の端は点A
(a,0)にあり、半時計回りにほどける。いま、糸はたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をRとし、<AOR=θ(0≦θ≦2π)とする。更に、ほどかれた糸の端の座標をp(x,y)とする。(1)xとyをθの関数で表せ。(2)第一象限にあるpの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ。です。(1)はx=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ) (2)π^3a^2/48が答えです。 解説おねがいします。



34170.Re: 積分(面積)
名前:みっちぃ    日付:10月6日(土) 5時32分
Original Size: 960 x 720, 33KB

(1) ベクトル的な見方で解いていきます。
ちなみに,「OPベクトル」を「OP~」と表記します。

「Rの座標」つまりOR~=(acosθ,asinθ)です。

今求めるのは,「Pの座標」つまりOP~=OR~+RP~なので,RP~の成分を求めましょう。

図を参考に次の2性質を確認してください。
・|RP~|=RP=aθ (=孤AR)です。
・RP~はOR~を-π/2だけ回転させた向きにある。
従って,RP~=aθ*(cos(θ-π/2),sin(θ-π/2))=(aθsinθ,-aθcosθ)なので,
OP~=(a(cosθ+θsinθ),a(sinθ-θcosθ))

(2)まずは,軌跡がどういう形になるかを見て,大まかな図を書きましょう。
・dx/dθ =aθcosθ より,0<θ<π/2 の範囲ではxは増加,π/2<θの範囲ではxは減少する
・dy/dθ =aθsinθ より,0<θ<πの範囲でyは増加する。
・θ=π/2のときのPを点Qと名付けると,Qの座標は(aπ/2,a)である。

↑のことより,大まかには図のような軌跡を描く。従って,求める面積は,
「長方形OBQC」-「おうぎ形OAB」-「ACとPの軌跡で囲まれた面積I」
=πa^2/2 -πa^2/4 -I

I=∫[x:a→πa/2] y dx (ただし,x,yはPの軌跡上の点)

ここで,y =a(sinθ-θcosθ),およびx =a(cosθ+θsinθ) ⇔dx =aθcosθで置換すると,
x:a→πa/2 ⇔θ:0→π/2 なので
I=∫[θ:0→π/2] a(sinθ-θcosθ)*aθcosθ dθ

あとは必死に計算あるのみ!!



34171.Re: 積分(面積)
名前:ヨッシー    日付:10月6日(土) 9時37分


角度θの位置での、微小な角変化dθによって出来る面積は、
半径aθ、中心角dθ の扇形と考えられるので、面積は、
 (aθ)^2dθ/2
これを、0からπ/2 まで積分すると、
 (a^2/2)∫[0〜π/2]θ^2dθ
 =(a^2/2)[θ^3/3][0〜π/2]
 =a^2π^3/48
が得られます。

http://yosshy.sansu.org/


34223.Re: 積分(面積)
名前:頑張るぞ*数学*    日付:10月10日(水) 15時51分
返信遅くなってすみません。助かりました。有難うございます。

34166.小学六年生  
名前:さとる    日付:10月6日(土) 0時17分
いつも丁寧なご説明ありがとうございます
また質問がありますので考え方のほうお願いしたいのですか
問題)
たつおさんの家から学校までの道のりは495mです。
これはみちこさんの家から学校までの道のりの1と4/7倍です。
また、ひろしさんの家から学校までの道のりは、みちこさん
の家から学校までの道のりの4/5です。
(1)ひろしさんの家から学校までの道のりは何mですか
(2)さちこさんの家から学校までの道のりは810mです。
   みちこさんの家から学校までの道のりは、さちこさんの家から
   学校までの道のりの何倍ですか。
答え)
(1)252m
(2)7/18倍
以上です。



34167.Re: 小学六年生
名前:ヨッシー    日付:10月6日(土) 0時41分
みちこさんの家から学校までの距離の11/7倍が495mなので、
みちこさんの家から学校までの距離は、
 495÷(11/7)=315
ひろしさんの家から学校までの距離は、これの4/5倍なので、
 315×(4/5)=252(m) ・・・(1)の答え

315mは810mの何倍かという問題なので、
 315÷810=7/18(倍)
 

http://yosshy.sansu.org/


34172.Re: 小学六年生
名前:さとる    日付:10月6日(土) 9時42分
ヨッシー先生、いつもご説明有難うございます
送信したあと寝てしまいまして、お礼遅くなってすみませんでした

34164.また質問します。  
名前:なお 高1    日付:10月5日(金) 22時37分
次の方程式を解け。
(1)|2x-1|=3(2)|x-4|=3x
(1) は|2x-1|=3
    2x-1=±3
   2x=4 または 2x=-2
x=2,-1
となりますが
(2)x-4=±3x
  2x=-4または-4x=-4
x=-2,1
ではなぜいけないのでしょうか?
教えてください!



34165.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月5日(金) 23時57分
(1) 2x-1=±3
は、2x-1=3 でも、 2x-1=-3 でも、2x-1 に絶対値をつければ、
 |2x-1}=3
になりますが、

(2) x-4=±3x
は、x-4 に絶対値をつけても、3x が正でない限り
 |x-4|=3x になりません。よって、x=-2 はこの式を満たしません。
そもそも、絶対値のはずし方で手を抜きすぎです。
絶対値のはずし方は
 |x|=x (x≧0 のとき)
 |x|=-x (x<0 のとき)
ですから、この場合も、
 |x-4|=3x
x≧4 のとき x−4=3x より、x=−2
 これは x>4 を満たさないので不適
x<4 のとき 4−x=3x より、x=1
 これは x<4 を満たす。
以上より、x=1
とすべきです。
  

http://yosshy.sansu.org/


34173.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月6日(土) 19時58分
わかりました。ありがとうございます!
また質問します。
「順列」の総数
n個からr個とる順列…nPrで表す。と教科書に書いてあるのですが
なぜ、nPrで表すことができるのでしょうか?
それから、なぜ、nPr=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)とも書いてあるのですが
n(n-1)(n-2)…(n-r+1)こんなふうに掛けるのでしょか?


34174.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月6日(土) 20時46分
ABCD 4つの文字から2つ取って、並べる時、何通りの並べ方があるか?
1つ目の文字は、A,B,C,D の4通り。
2つ目の文字は、1つ目で選ばなかった3つの文字の3通り。
あわせて 4×3=12 (通り) です。

この考えを、いろんな数について当てはめると、
n個の文字からr個を取って並べる方法は
 n×(n−1)×(n−2)×・・・×(n−r+1)
となります。

これを、nPr と書くと決めたので、なぜと言われても答えようがありません。
2を3個足したものを、2×3と書く。
なぜ、2×3と書けるのですか?
というのと同じです。
 

http://yosshy.sansu.org/


34189.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月7日(日) 21時29分
なるほど☆ありがとうございます!
いつも丁寧な回答をありがとうございます。

34161.一時関数教えてください 中2  
名前:とろろ    日付:10月5日(金) 17時19分
Original Size: 1024 x 768, 60KB

図で、点B,C,Dの座標はそれぞれ(4,5)、(0,3)、(0,6)、直線Lは点Bを通り傾きがー1である。また、点Pは直線L上の点で三角形APDと四角形APBCの面積は等しい。このときの、点Pの座標を求めよ。ただし、点PのX座標は4より大きいものとする。

って問題です。ちなみに答えは(8,1)です。解き方がわかりません。。。よろしくお願いします。。。



34162.Re: 一時関数教えてください 中2
名前:ヨッシー    日付:10月5日(金) 17時43分
BCとDPの交点をE、点(0,9)をFとすると、
△APDと四角形APBCが等しいと言うことは、
△BPEと△CDEが等しいと言うことで、さらには、
△FCBと△FDPが等しいと言うことです。
△FCBを基準にして考えると、△FDPは、
△FCBの(FD/FC)倍の(FP/FB)倍です。
FD/FC=3/6=1/2 であるので、
FPはFBの2倍となります。
x座標だけで比較すると、
y軸からBまでが4なので、Pまでは8です。
 

http://yosshy.sansu.org/


34163.Re: 一時関数教えてください 中2
名前:とろろ    日付:10月5日(金) 22時11分
ありがとうございました。解決しました!!!
また何かありましたら、よろしくお願いします。

34160.どなたか解いてもらえませんか?  
名前:カナリア    日付:10月5日(金) 8時31分
ある硬貨を8回投げたところ、表が7回、裏が1回出た。この硬貨について「表が出る確率が1/2である」という仮説を有意水準5%で検定せよ。

どなたか、教えてください。

34159.二年 数列です  
名前:たんぽぽ    日付:10月5日(金) 0時54分
漸化式で
An+1=r*An+S/p*An+qの特性方程式の解をα、β
とすると、
An+1-α/An+1-β=An-α/An-β
になる証明が分かりません。



34169.Re: 二年 数列です
名前:    日付:10月6日(土) 2時24分
他の方法もあるかも知れません。
an+1=(ran+s)/(pan+q) (p≠0)
分母を払って整理すると
pan+1an+qan+1−ran−s=0 … (1)

これを bn=(an−α)/(an−β) とおいたとき
bn+1=kbn (kは定数) の形にできないか?
と考えた方が早いと思います。

bn+1=kbn つまり,
(an+1−α)/(an+1−β)=k(an−α)/(an−β)
分母を払って
(an+1−α)(an−β)=k(an−α)(an+1−β)

anan+1−βan+1−αan+αβ
=k(anan+1−βan−αan+1+αβ)

(k−1)an+1an−(kα−β)an+1−(kβ−α)an+(k−1)αβ=0 … (2)

(1)と(2)が同じ式になればよいから

p=k−1 … (a),
q=−kα+β … (b),
−r=−kβ+α … (c),
−s=(k−1)αβ … (d)
(a) より
k=p+1,また k−1=p≠0
(b)+(c) より
q−r=−(k−1)(α+β)
したがって α+β=−(q−r)/(k−1)=−(q−r)/p
(d) より αβ=−s/(k−1)=−s/p
よって α,β は x についての2次方程式
px2+(q−r)x−s=0 の解である。
そしてこの方程式は(1)の等式で
an+1=an=x とおいた方程式,つまり特性方程式。


34175.Re: 二年 数列です
名前:たんぽぽ    日付:10月6日(土) 22時40分
ありがとうございました。

34156.解答、お願いします  
名前:ケンタ    日付:10月4日(木) 22時43分
1;10.1^6の少数第1位の数字を求めよ。


2;x+y+z/3=√(xyz)になるための証明



34158.Re: 解答、お願いします
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 23時28分
2ページほど前の 34038 番に同じような質問があります。

x+y+z/3=√(xyz) は、x+y+z/3≧3√(xyz)
ではないでしょうか?
 

http://yosshy.sansu.org/

34155.微分?  
名前:tiri    日付:10月4日(木) 21時36分
わからないのでどなたか解説お願いします。
点A(0,1)から出発して曲線y={e^x+e^(-x))/2の上
(ただし、x≧0)を毎秒1の速さで動く点Pのt秒後の位置を
(x,y)とする。
(1)dt/dxをxで表せ。
(2)t秒後の点Pのx座標をtで表せ。
(3)点Pからx軸にひいた垂線とx軸との交点Qの動く早さをtで表せ。



34157.Re: 微分?
名前:ウルトラマン    日付:10月4日(木) 23時7分
tiriさん,こんばんわ。

(1)
dy/dt = dy/dx・dx/dt = {(e^{x}-e^{-x})/2}・(du/dt)……A
であるから,仮定より
(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}=1
⇔(dx/dt)^{2}+{(e^{x}-e^{-x})/2}^{2}(dx/dt)^{2}=1
⇔(dx/dt)^{2}+{(e^{2x}-2+e^{-2x})/4}・(dx/dt)^{2}=1
⇔(dx/dt)^{2}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}/4=1
⇔dx/dt = 2/(e^{x}+e^{-x})……B(答)

(2)
Bの微分方程式を解いて,
(e^{x}+e^{-x})dx = 2dt
∫(0〜x)(e^{x}+e^{-x})dx = ∫(0〜t)2dt
⇔[e^{x}-e^{-x}]_(0〜x) = 2t
⇔e^{x}-e^{-x} = 2t
⇔e^{2x}-2t・e^{x}-1=0
⇔e^{x}=t+√(t^{2}+1)
⇔x = log{t+√(t^{2}+1)}……(答)

(3)
Q(X,0)とおくと,(2)より
X = log{t+√(t^{2}+1)}
であるから,Qの速度は
dX/dt
=1/{t+√(t^{2}+1)}・(1+2t/2√{t^{2}+1})
=1/{t+√(t^{2}+1)}・{t+√(t^{2}+1)}/√{t^{2}+1}
=1/√{t^{2}+1}……(答)

34143.また質問します。  
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 12時2分
1.(6+2√3)/(4√3+4)=2/(2√3)と約してしまっていいのでしょうか?
あと、2√3(√3+1)/(4(√3+1))=と教えてくださったのですが(6+2√3)/(4√3+4)=から2√3(√3+1)/(4(√3+1))=になる計算順序を教えてください。

2.3辺の長さが3,4,5である三角形の内接円の半径を求めなさい。という問題なんですが3辺の長さが3,4,5である三角形は3:4:5である直角三角形と考えていいのでしょうか?
お願いします。



34144.Re: また質問します。訂正しました。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 12時16分
1.(6+2√3)/(4√3+4)=2/(2√3)と約してしまっていいのでしょうか。
2.3辺の長さが3,4,5である三角形の内接円の半径を求めなさい。という問題なんですが3辺の長さが3,4,5である三角形は3:4:5である直角三角形と考えていいのでしょうか?
お願いします。
すいません。間違えました。


34145.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 13時10分
(1)
(6+2√3)/(4√3+4)=2√3(√3+1)/4(√3+1)=√3/2
ですね。(√3+1) をくくりだす方法が、思いつかなければ、
分母の有利化をすればいいでしょう。

(2)
>3辺の長さが3,4,5である三角形は3:4:5である直角三角形と考えていいのでしょうか?
そう考えたなら、どんどん解いていきましょう。
直角三角形で合ってますから、自信を持って。
 

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34147.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 14時37分
ありがとうございます!おかげで解決しました☆
またまた質問します。
△ABCにおいて、AB=7,BC=(4√2),CA=5とする。このとき次のものを求めよ。という問題です。
(1)cosA(2)sinA(3)△ABCの面積S(4)外接円の半径R(5)内接円の半径r
解答)自分なりに解いてみました。
(1)cosA=5^2+7^2-(4√2)^2/2×5×7
     =28/70
     =2/5
(2)sin^2A+cos^2A=1この公式を使って
   sin^2A+(2/5)^2=1
sin^2A=±√(21/25)
   sinA>0より
   sinA=(√21)/5
(3)S=1/2×5×7×(√21)/5
    =(7√21)/2
(4)a/sina=2Rの公式を使って
   (4√2)/(√21)/5=2R
   (20√2)/(√21)=2R
(10√2) /(√21)=R
   (10√42)/21=R
(5)4√2×r×1/2+5×r×1/2+7×r×1/2=(7√42)/2
   r/2(4√2+5+7)=(7√42)/2
(12+4√2)r/2=(7√21)/2
         r=(7+√21)/(12+4√2)             となったのですがこれでいいのでしょうか?
数がぴたっとこないので不安です。教えてください。
 


34148.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 14時53分
(1)cosA=5^2+7^2-(4√2)^2/2×5×7
までは正しいです。そのあとが計算間違いです。
解き方は良いようです。
 

http://yosshy.sansu.org/


34149.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 16時10分
ありがとうございます!
計算ミスでした。。
また質問してもいいですか?
訂正しました。見てください!
(1)cosA=5^2+7^2-(4√2)^2/2×5×7
     =42/70
     =3/5
(2)sin^2A+cos^2A=1この公式を使って
   sin^2A+(3/5)^2=1
sin^2A=±√(16/25)
   sinA>0より
   sinA=4/5
(3)S=1/2×5×7×4/5
    =14
(4)a/sina=2Rの公式を使って
   (4√2)/4/5=2R
       5√2=2R
       5√2/2=R
(5)4√2×r×1/2+5×r×1/2+7×r×1/2=14
             r/2(4√2+5+7)=14
(12+4√2)r/2=14
2で割っていいのでしょうか? →6+2√2r=14
r=7/(6√2)
                    =(7√2)/12
となったのですがこれでいいのでしょうか?


34150.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 16時28分
(1)(2)(3)(4) はOKです。

>(5)4√2×r×1/2+5×r×1/2+7×r×1/2=14
>             r/2(4√2+5+7)=14
>(12+4√2)r/2=14
>2で割っていいのでしょうか? →6+2√2r=14
ここまではOK、というか正しくは
 (6+2√2)r=14
です。
これからrを求めるわけですが、分母または分子が(普通は分母を有利化するので分子が)
+や−を含んだ式になります。
 

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34151.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 16時55分
ありがとうございます!
>これからrを求めるわけですが、分母または分子が(普通は分母を有利化するので分子が)+や−を含んだ式になります。
なぜ、+や−を含んだ式になるのでしょうか?
また、内接円の半径rなので+になるということでしょうか?


34152.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 17時8分
すいません。もう1ついいですか?
いつもありがとうございます☆
さっきの(6+2√3)/(4√3+4)=2/(2√3)この問題で有理化ではできたのですがもしよければ、(√3+1) をくくりだす方法を教えていただけませんか?


34153.Re: また質問します。
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 17時36分
>なぜ、+や−を含んだ式になるのでしょうか?
それは、(6+2√2)r=14 の答えを予測していっているので、
なぜも何もありません。結果がそうなるといっているだけで、
その上の r=(7√2)/12 のように、単純な形にはなりませんよ
と言っているだけです。

(6+2√3)/(4√3+4)
分母は4でくくって 4(√3+1) です。
分子は2でくくって、2(3+√3) です。ここで、もうひとにらみして
3=√3×√3 から、2√3(√3+1) まで行けるかは、センスの問題ですね。
分母で、(√3+1) が明らかになっているので、約分するにはこれを
くくり出すしかないわけで、それに向けて、邁進できるか、別の道を行くかですね。
 

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34154.Re: また質問します。
名前:なお 高1    日付:10月4日(木) 17時48分
わかりました!ありがとうございます!

34140.積分  
名前:美柚    日付:10月4日(木) 0時16分
(1)連続関数f(x)および定数aについて
∫[a,0]f(x)dx=∫[a/2,0]{f(x)+f(a−x)}dxが成り立つことを証明せよ。
(2)∫[π/2,0]{cosx/sinx+cosx}dxを求めよ。

わからないので解説お願いします。



34141.Re: 積分
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 8時53分
∫[a,0]f(x)dx は、原則どおり、a が下で、0 が上とします。
∫[a,0]f(x)dx=∫[a,a/2]f(x)dx+∫[a/2,0]f(x)dx
 ∫[a,a/2]f(x)dx において、y=a−x とおくと、dx=-dy より、
 ∫[a,a/2]f(x)dx=-∫[0,a/2]f(a-y)dy=∫[a/2,0]f(a-y)dy 
yをxに変えて ∫[a/2,0]f(a-x)dx
以上より、
 ∫[a,0]f(x)dx=∫[a/2,0]f(x)dx+∫[a/2,0]f(a-x)dx
となります。

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34142.Re: 積分
名前:ヨッシー    日付:10月4日(木) 9時24分
∫[π/2,0]{cosx/sinx+cosx}dx これも、π/2 が下、0が上とします。
また、原則どおり∫[π/2,0]{(cosx/sinx)+cosx}dx とします。
 ∫[π/2,0]{cosx/sinx+cosx}dx=∫[π/2,0]cosx/sinxdx+∫[π/2,0]cosxdx
 ∫[π/2,0]cosx/sinxdx=[|log(sinx)|][π/2,0]
ですが、解けませんね。

では、拡大解釈して ∫[π/2,0]{cosx/(sinx+cosx)}dx とします。
 ∫[π/2,0]{cosx/(sinx+cosx)}dx=∫[π/2,0]{cosx/√2sin(x+π/4)}dx
であるので、
 y=x+π/4 とおきます。このとき、
x=y−π/4、0≦x≦π/2 は π/4≦y≦3π/4 に対応し、
 cosx=cos(y−π/4)=(√2/2)(cosy+siny)
より、
 ∫[π/2,0]{cosx/(sinx+cosx)}dx=∫[3π/4,π/4]{(cosy+siny)/2siny}dx
  =(1/2)∫[3π/4,π/4](cosy/siny+1)dx
  =(1/2)[|log(siny)|+y][3π/4,π/4]
  =(1/2)(π/4−3π/4)=−π/4
 

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34146.Re: 積分
名前:    日付:10月4日(木) 13時23分
拡大解釈として、(1)を使う。 (本当は積分区間上下逆と思いますが)
f(x)= {cosx/(sinx+cosx)  a=π/2を代入すると、
与式=∫[π/4,0]( cosx/(sinx+cosx)+ cos(π/2-x)/(sin(π/2-x)+cos(π/2-x))dx
=∫[π/4,0]( cosx/(sinx+cosx)+ sinx/(cosx+sinx)dx
=∫[π/4,0]dx
=-π/4

34118.(untitled)  
名前:R(高2)    日付:10月1日(月) 21時26分
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/ConvexFunction.htm#ThrmConvexAndDerivative

の下の方に相加相乗の項目があるんですけど、凸関数f(x)=-logx に凸不等式を適用して・・・
とあるのですが凸不等式とはどういうものなのでしょうか?

教えて下さい。



34119.Re: (untitled)
名前:トマホーク    日付:10月1日(月) 21時50分
凸函数とは
適当な実数の区間Iで定義された函数が
その区間の任意の実数a,b,t(0<t<1)に対して
f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)
が成り立つことをいいます。
また、この性質は帰納的に
f(杯[i]x[i])≦杯[i]f(x[i]) (狽ヘi=1からi=n,杯[i]=1)
が言えます。
f(x)=-logxはf"(x)=1/x^2>0なのでこの性質を満たすので
凸函数です。
よって、上の式のt[1]=t[2]=…=t[n]=1/nとすることによって、
nこの場合の相加相乗平均の不等式が求まります。


34120.Re: (untitled)
名前:R(高2)    日付:10月1日(月) 21時55分
>また、この性質は帰納的に
f(杯[i]x[i])≦杯[i]f(x[i]) (狽ヘi=1からi=n,杯[i]=1)
が言えます。

↑が良く分からないのでもう少し説明をお願いします。


34121.Re: (untitled)
名前:トマホーク    日付:10月1日(月) 21時58分
数学的帰納法です


34122.Re: (untitled)
名前:R(高2)    日付:10月1日(月) 22時8分
f(ta+(1-t)b)≦tf(a)+(1-t)f(b)

↑が言えればt=1/2を代入すれば相加相乗の形に持ち込めるのは分かるのですが
f(杯[i]x[i])≦杯[i]f(x[i]) は数学的帰納法での証明で使う式ということですか?

物分りが悪くて申し訳ないです・・・。


34125.Re: (untitled)
名前:トマホーク    日付:10月1日(月) 22時59分
数学的帰納法で示される不等式です


34130.Re: (untitled)
名前:    日付:10月2日(火) 11時34分
横からですが、例えば↓などご覧になったらいかがでしょう。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch04/node11.html


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