2005年09月 の投稿ログ


23566．漸化式  
名前：FRUIT    日付：9月30日(金) 17時14分
平面上にｎ個の円があって、それらのどの２つも異なる2点で交わり、
また、どの３つも1点で交わらないとする。これらのｎ個の円が平面をa[ｎ]個の部分に分けるとき、a[ｎ]をｎの式で表せ。

この問題が分かりません。まず平面上にｎ個の円があるということは
1つある場合、2個に分かれると考えればいいのですか？
図を描いたのですが、問題の意味が良く分かりません。

高３


23568．Re: 漸化式
名前：tarame    日付：9月30日(金) 18時44分
＞1つある場合、2個に分かれると考えればいいのですか？
その通りです。１つ円によって平面は２つに分かれます。
よって　a[1]＝2 です。

２つの円が交わるとき、交点は２個です。
ｎ個の円と１つの円が交わると、2ｎ個の交点ができます。
その交点を順に結んで、(2n-1)本の円弧ができます。
その１つの円弧は、円弧で囲まれた部分を２つの部分に分けます。
したがって、(2n-1)個の部分が増えることになります。
よって　a[n+1]＝a[n]＋(2n-1) が成り立ちます。

23570．Re: 漸化式
名前：らすかる    日付：9月30日(金) 19時53分
弧の個数は2n個で、a[n+1]=a[n]+2n ではないでしょうか。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23573．Re: 漸化式
名前：FRUIT    日付：10月1日(土) 10時3分
やっぱりわかりません。ごめんなさい。

平面上にｎ個の円があるということは、長方形の中に１つ円があると
考えていたのですが、そうすると円が２個あるときはどうなるのかよくわかりません。
また、『それらのどの２つも異なる2点で交わり、
また、どの３つも1点で交わらないとする。』は平面と円のことをさしているのですか？それとも円のみのことですか？

23576．Re: 漸化式
名前：のぶなが。    日付：10月1日(土) 16時30分
平面上とは2次元という意味です.
問題は図を書いて考えてみれば分かるでしょう.
ところで、
a[1]=2,a[n+1]=a[n]+2(n-1)ですよね!?

a[n]を求めると、漸化式は階差数列なので
a[n]=2+(n-1)(2+2(n-1))/2=n^2-n+2

23577．Re: 漸化式
名前：らすかる    日付：10月1日(土) 17時40分
＞a[1]=2,a[n+1]=a[n]+2(n-1)ですよね!?

上に書いたことの繰り返しになりますが、
a[n+1]=a[n]+2n だと思います。
もし a[n+1]=a[n]+2(n-1) だとすると、n=1として
a[1+1]=a[1]+2(1-1) から a[2]=a[1]=2
となってしまいます。
答のn^2-n+2は合っていると思いますが。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23579．Re: 漸化式
名前：FRUIT    日付：10月1日(土) 20時19分
図を描いても分からないのでお聞きしました。

平面上にｎ個の円があるということは、長方形の中に１つ円があると
考えていたのですが、そうすると円が２個あるときはどうなるのかよくわかりません。また、『それらのどの２つも異なる2点で交わり、
また、どの３つも1点で交わらないとする。』は平面と円のことをさしているのですか？それとも円のみのことですか？

↑やっぱり問題の意味がきちんと理解できていないので
先に進めません。円が２つあっても平面は２つ、３つあっても平面は２つになる考え方ではいけませんよね？？？？

23580．Re: 漸化式
名前：らすかる    日付：10月1日(土) 20時33分
長方形の中に２つの円が２点で交わるように書いて下さい。
集合のベン図の形です。２つの円をＡ、Ｂとすると、
・Ａの内部で、かつＢの内部である領域
・Ａの内部で、Ｂの内部でない領域
・Ｂの内部で、Ａの内部でない領域
・Ａの内部でなく、Ｂの内部でもない領域
の４つにわかれましたね。
従ってa[2]=4です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23605．Re: 漸化式
名前：tarame    日付：10月3日(月) 19時2分
a[n+1]＝a[n]＋2n でした。
謹んでお詫び申し上げ、訂正いたします。
円だということ、すっかり忘れていました。

23561．もう一問お願いします。同じくサクシード数Ⅲからです。  
名前：あーか    日付：9月30日(金) 14時27分
ａ<1>＝２　ａ<n+1>＝ａ<n>-1/ａ<n>+3で定義される一般項{an}がある。
(1)ｂ<n>＝ａ<n>+1とおくとき数列{ｂｎ}の一般項を求めよ。
です。お願いします！！


23564．Re: もう一問お願いします。同じくサクシード数Ⅲからです。
名前：ヨッシー    日付：9月30日(金) 14時35分
Size: 128 x 184, 1KB

どれ？
　
http://yosshy.sansu.org/


23565．Re: もう一問お願いします。同じくサクシード数Ⅲからです。
名前：あーか    日付：9月30日(金) 14時56分
上から４つめの式です！！

23569．Re: もう一問お願いします。同じくサクシード数Ⅲからです。
名前：tarame    日付：9月30日(金) 18時54分
a<n>＝b<n>－1 として代入して　b<n+1>＝…　の形にしてみる！！

23613．両辺に ＋１
名前：soredeha    日付：10月4日(火) 11時59分
ａ<n+1>＝（ａ<n>-1）/（ａ<n>+3）
ａ<n+1>＋1＝（ａ<n>-1）/（ａ<n>+3）＋1
ａ<n+1>＋1＝（2ａ<n>＋2）/（ａ<n>+3）
ａ<n+1>＋1＝2(ａ<n>＋1）/（ａ<n>＋1＋2）
b<n+1>＝2b<n>/(b<n>＋2)
1/b<n+1>＝(b<n>＋2)/(2b<n>)
1/b<n+1>＝(1/2)＋1/b<n>
c<n+1)＝c<n>＋1/2　　　（ 1/b<n>＝c<n> とすると　1/b<n+1>＝c<n+1> ）
c<1>＝1/b<1>＝1/(a<1>＋1)＝1/(2＋1)＝1/3
等差数列の一般項　c<n>＝1/3＋(n－1)1/2＝{2＋3(n－1)｝/6
＝（3n－1)/6
b<n>＝1/c<n>＝6/(3n－1)
a<n>＝b<n>－1＝6/(3n－1)－1＝｛6－(3n－1)｝/(3n－1)
＝(7－3n)/(3n－1)
.

23560．サクシード数Ⅲの問題です。教えてください！！  
名前：あーか    日付：9月30日(金) 14時24分
ａ<1>＝２　ｎａ<n+1>＝（ｎ+１）ａ<ｎ>+１で定義される数列{ａｎ}がある。
(1)ｂｎ＝ａｎ/nとおくとき、数列{ｂｎ}の一般項をもとめよ。
(2)数列{ａｎ}の一般項と極限を求めよ
この問題がわかりませんでした。。ちなみにａのあとの<>は数列｛ａｎ｝の項番号としてください。お願いします！！


23562．訂正です
名前：あーか    日付：9月30日(金) 14時29分
問題文の(1)のところのａｎ/nはａ<n>/nです。

23563．Re: サクシード数Ⅲの問題です。教えてください！！
名前：ヨッシー    日付：9月30日(金) 14時30分
ｎａ<n+1>＝（ｎ+１）ａ<ｎ>+１
の両辺をn(n+1) で割ってみましょう。
そしてそれを、ｂn で表します。
　
http://yosshy.sansu.org/

23567．解説ありがとうございます！
名前：あーか    日付：9月30日(金) 18時14分
n(n+1)で割ってｂｎの式にすると。
ｂ<ｎ+1>＝ｂ<n>+１/n(n+1)になるのですが、ここから等差数列のときかたでいけばよいのでしょうか？

23572．Re: サクシード数Ⅲの問題です。教えてください！！
名前：ヨッシー    日付：10月1日(土) 0時28分
等差数列ではなく、階差数列ですね。
差は一定ではないです。
　
http://yosshy.sansu.org/

23556．数Ⅲで  
名前：初夏    日付：9月29日(木) 22時25分
（１）０＜ｘ＜π　において、次の不等式が成り立つことを示せ
１-ｘ＜e^(-x)cosx＜１-ｘ+1/3x^3
ただし　x＞０の時、不等式sinx＜ｘが成立することは証明せずに利用してよい。
（１）ｘ＝０．１のときe^(-x)cosxの値を小数第４位を四捨五入し小数第３位までもとめよ。
という問題なのですが、移行して微分しても上手くできません。宜しくお願いします


23558．Re: 数Ⅲで
名前：のぼりん    日付：9月30日(金) 4時40分
ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ－（１－ｘ）ｅ＾ｘとおくと、０＜ｘ＜πではｆ’（ｘ）＝ｘｅ＾ｘ－ｓｉｎｘ＞ｘ－ｓｉｎｘ＞０だから、ｆ（ｘ）は狭義単調増加で、ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０です。よって、１－ｘ＜ｅ＾（－ｘ）ｃｏｓｘです。

ｇ（ｘ）＝（１－ｘ＋ｘ＾３／３）ｅ＾ｘ－ｃｏｓｘとおくと、ｇ’（ｘ）＝（－ｘ＋ｘ＾２＋ｘ＾３／３）ｅ＾ｘ＋ｓｉｎｘ、で、０＜ｘ＜πのときｇ”（ｘ）＝（ｘ＋２ｘ＾２＋ｘ＾３／３）ｅ＾ｘ＋ｃｏｓｘ＞０です。ｇ（０）＝ｇ’（０）＝０だから、０＜ｘ＜πのときｇ’（ｘ）＞０、ｇ（ｘ）＞０です。よって、ｅ＾（－ｘ）ｃｏｓｘ＜１－ｘ＋ｘ＾３／３です。

ｘ＝０．１のとき、上で得た不等式より０．９＝１－ｘ＜ｅ＾（－ｘ）ｃｏｓｘ＜１－ｘ＋ｘ＾３／３＝０．９００３３３３…だから、ｅ＾（－ｘ）ｃｏｓｘ＝０．９００と評価できます。

23581．Re: 数Ⅲで
名前：初夏    日付：10月1日(土) 21時34分
e^(x)をかければいいのですね。ありがとうございました。

23552．微分  
名前：IGA(高２）    日付：9月28日(水) 22時55分
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=23439

の問題で完全に理解しきっていなかったので、もう一度質問させていただきます。

x=-1/3 y=-88/27の点をとおりかつ傾き２／３の線ということですよね？
よくわかりません・・・
接線の存在意義が・・・。別に接線がなくてもグラフがかけるとおもうのです。
x=-1/3が変曲点だとわかっていれば・・・。
というですか・・
f'(x)=3(x+1/3)^2+2/3 でx=-1/3を代入すれば傾きが小さくなるとありますが・・・f'(x)は傾きを表すのですか?f'(x)は正か負かでｆ（ｘ）が増加するか減少するかを示すだけではないのですか？
また傾きが小さくなることと変曲点であることの関係がよくわかりません。

教えてください。
お願いします。


23554．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：9月29日(木) 0時18分
＞f'(x)は傾きを表すのですか?
ｙ＝f'(x) は、ｙ＝f(x) 上の各点における接線の傾きを表します。
＞f'(x)は正か負かでｆ（ｘ）が増加するか減少するかを示す
それは、あまりにも微分を使い切れていません。
f'(x) がマイナスで絶対値が大きいときは、f(x) は急激に減少し、
f'(x) がマイナスでも、０に近いときは、ゆるやかに減少し、
f'(x) が０より少し大きい正のときには、ゆるやかに増加し、
f'(x) がプラスで大きい値のときは、急激に増加します。

f'(x) は、f(x) の変化の割合を表し、そのごく一部が、
　f'(x)＞０　なら　f(x) は増加、
　f'(x)＜０　なら　f(x) は減少
ということです。


　y=(x-1)(x^2+2x+3)
のグラフの、x=-1/3 付近の図です。点線が x=-1/3 です。
定規をこのグラフの接線になるようにあてて、左から右に、
常に接線になるように、動かしてみましょう。
　x=-1/3 より左の部分では、定規がだんだん寝てくるでしょう。
つまり、傾きが減少していっていることが分かり、
この部分では、上に凸なグラフです。
　x=-1/3 を過ぎて右に行くと、定規はだんだん立ってくるでしょう。
つまり、x=-1/3 のところで、定規の傾きは最小になり、これを過ぎると、
傾きは増加、グラフは下に凸になります。

f'(x) は、f(x) の増減を調べるだけでなく、
f'(x) の変化の様子を調べることにより、f(x) の曲がり方も分かるのです。

もう少し、単元が進めば、f'(x) の変化の様子を調べるために、
f'(x) をさらに微分したf"(x) というものを使います。
　
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23571．Re: 微分
名前：IGA(高２）    日付：9月30日(金) 23時52分
基礎がまったくできてませんでした・・・・。
有り難うございました。

23544．きごうのことで・・・  
名前：ふーたん    日付：9月28日(水) 18時12分
証明の終わりに小さい塗りつぶした長方形を書くと証明終わりの意味になると先生に聞いたのですが、それは正式のでしょうか?


23545．Re: きごうのことで・・・
名前：ヨッシー    日付：9月28日(水) 19時32分
何を以て「正式」というか？
誰が見てもそれと分かる、ということなら、全然満たしていません。
Q.E.D.なら、まだ救いはありますが、
日本人なら、日本語で「証明終わり」と書くことをお勧めします。
　
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23540．中線定理  
名前：ＹＵＵ    日付：9月27日(火) 22時46分
中線定理の証明は、いろいろあるらしいのですが、いったい全部でいくつくらいあるのでしょうか？僕は2・3個しか知らないのですが・・・・。色々な証明方法を教えてください。

23537．数列  
名前：華    日付：9月27日(火) 21時29分
次の数列の初項から第ｎ項までの和Ｓｎを求めよ。


１／１，　１／１＋２，１／１＋２＋３，１／１＋２＋３＋４，・・・

という問題が解けません。よろしくお願いします。


23538．Re: 数列
名前：花パジャ    日付：9月27日(火) 21時49分
１＋２＋３＋４＋…＋ｎ＝？　は解けますか?

23555．Re: 数列
名前：華　　    日付：9月29日(木) 18時52分
返事が遅れてすみません。
はい、解けます。

23557．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：9月29日(木) 22時43分
いや、それでは話が進まないのであって、
花パジャさんが、なぜ「解けますか？」と聞かれたかということですね。
　
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23559．Re: 数列
名前：花パジャ    日付：9月30日(金) 11時34分
...あはは...

...先に進めますか...

1/(n(n+1))=1/n - 1/(n+1)
を使います

23533．難しいです  
名前：すすか（中３）    日付：9月27日(火) 20時28分
２次方程式をつかった文章にまだ慣れません。

（１）２次方程式６ｘ＾2＋ｐｘ＋ｑ＝０の解がｘ＝２分の１,３分の１　　　であるとき、２次方程式ｑｘ＾2＋ｐｘ＋４＝０の解を求めなさ　　　い

（２）連続する３つの負の整数があり、それぞれの２乗の和は１４９で　　　ある。これらの３つの整数を求めなさい。

よろしくお願いします。


23534．Re: 難しいです
名前：すすか（中３）    日付：9月27日(火) 20時29分
すいません。文章構成がおかしくなってしまいました。
ごめんなさい。

23536．Re: 難しいです
名前：だるまにおん    日付：9月27日(火) 20時49分
(1)解と係数の関係より、1/2+1/3=-p/6、1/2×1/3=q/6となります。
(2)連続する負の整数の真ん中の数をnとおきます。すると、条件より(n-1)2+n2+(n+1)2=149

23542．Re: 難しいです
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月27日(火) 23時21分
だるまにおんさんへ

解と係数の関係は数Bの範囲になるので中３の2次方程式の範囲では好ましくないものと思われます。

この場合、この方程式にｘの値を代入してｐとqに関する連立方程式を解くことによってpとqの値を求めて、さらに次の2次方程式を解くという問題でしょう。

23543．Re: 難しいです
名前：だるまにおん    日付：9月28日(水) 16時52分
あぁ、ごめんなさい。高校生の範囲か。
＞すすかさん
HGさんのやり方で解けると思うので、がんばってください。

23526．三角関数  
名前：みさき　高3    日付：9月27日(火) 17時54分
初めまして、みさきと申します。

cos2θ+4cosθ＝0のときcosθ=(ｱｲ)/(ｴ)＋√(ｳ)/(ｴ)となる。
cosθ=－2/2±√6/2になるところまでは分かるんですが、
なぜcosθ=－2/2＋√6/2だけになるのか分かりません。
教えてください。


23527．cosθの範囲に要注意
名前：だるまにおん    日付：9月27日(火) 18時53分
-1≦cosθ≦1です

23528．Re: 三角関数
名前：みさき　高3    日付：9月27日(火) 19時13分
だるまにおんさんお答え頂きありがとうございました。
すっかりcosθに範囲があることを忘れていました･･･
本当に助かりました。

23529．Re: 三角関数
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月27日(火) 19時18分
まさかノウドミミサキ???

23509．教材探してます。  
名前：てつこ    日付：9月26日(月) 17時12分
こんにちは。てつこと申します。
今、教育実習で、中学校にて、数学を指導している者です。
突然ですが、今度、二次関数の導入部分を授業することになりまして、いい導入を考えている途中ですが、なかなか難しく行き詰っています。
今、自分が考えているのは、ボールを落下させて、実際に落下時間を測定し、表を書いて、落下時間と落下距離の関係から、二次関数を発見しよう…というものです。
が、どうも、数学ではなく物理チックになってきています…。
何か、よい導入案がある方、アドバイスをお願いします。


23512．Re: 教材探してます。
名前：ヨッシー    日付：9月26日(月) 17時46分
本当の導入、つまり、２次関数なんか見たこともないような生徒なら、
正方形の１辺の長さと面積程度が無難ではないでしょうか？
あと、パチンコ玉を三角に並べる、正方形に並べる、正六角形に並べる
など（玉がたくさんいりますが)

ボールの落下は、思いのほか難しいかもしれません。
第一、落下時間が高さの２乗に比例するのではなく、高さが時間の２乗に
比例するので、高さが等間隔では、なかなか２次関数が見つけられにくいのでは？
　
http://yosshy.sansu.org/

23518．Re: 教材探してます。
名前：てつこ    日付：9月26日(月) 18時47分
ヨッシーさん、アドバイスをありがとうございます。
まだまだ教材研究が足りないとヒシヒシ感じてきます。
どの教科書でもボールの落下が取り扱われているため、これしかないと決め込んでいたんですが、ヨッシーさんのおっしゃる通り、そこから二次関数へと繋げていくのは少々難しい気がしてきました。

ここで、さらに、質問です。
自分が実習している学校は、大半の生徒は塾通いで、授業より先取りして学習しているという状況です。
さらに、一年次の『一次式』の学習において、マッチ棒を並べて正方形を作る…という作業をしているということもあって、正方形の面積やパチンコ玉を並べる…という授業でも満足してくれるか…きちんと飽きずに付いてきてくれるか…という点が不安になってきます。
指導者である自分の指導能力も問われてくるのですが、パッと見て子ども達の目を魅くような教材が何か無いだろうか…と悩んでいます。
このような自分の悩みは、単なる贅沢に過ぎないのでしょうか…。

23491．(untitled)  
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月26日(月) 0時38分
図形と方程式でお尋ねしたものですが、できませんil||li ＿|￣|● il||li
さすらう人さん・・・全て教えてほしいです・・・


23500．ピンク見にくっ！！
名前：だるまにおん    日付：9月26日(月) 7時45分
横からごめんなさい。
ヤスさんのやりかたで、rは出たことと思います。
よって、R=S/Vも出るでしょう。
ここからが、難関大学突破用問題たる所以です。
Rはy/x=tとでもおくと、1変数の関数にすることができます。
あとは微分でもなんでもして、最大値を出せばいいですね。

23502．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：9月26日(月) 8時33分
だるまにおんさんの返信で解けるかと思いますが
(y/x=t...の事は私も23399で書いてたのですが...)
蛇足を1つ、微分しなくても平方完成で解けます

23505．必要なものは全て出揃っていたのですね。。。。。
名前：だるまにおん    日付：9月26日(月) 8時52分
おぉ、見逃しておりました。差し出がましいまねをしてしまいました。申し訳ないです。

23507．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：9月26日(月) 11時7分
いや、私のは、(相似などから考えて)計算前に置く、というやつで、
こんな式出て来たけど、どうしようか、てのとはちょっと趣が違いますし、
流れからいっても、また書いたのが親切かと

23514．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月26日(月) 18時12分
どうして1次変数なのに最大値だせるんですか？
まだ微分しなれていなくて使えないです・・・
1次変数におくことが難関なのであれば本当に有難うございます！

23517．あきらめないで
名前：だるまにおん    日付：9月26日(月) 18時27分
難関といってもたいした代物ではありません。
1次変数ではなく、1変数、変数が一つしかない、ってことです。
例えば、-x2+2x-3は1変数ですが、最大値を出すことができます。
そして、微分でなくても解けると花パジャさんはおっしゃってます！

23519．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月26日(月) 19時7分
マイナスの係数ないなーと思いまして・・・

23521．平方完成でOK
名前：だるまにおん    日付：9月26日(月) 20時58分
－の係数ありますよ。どのような計算をなさったか書き込んでいただけないでしょうか？

23523．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月27日(火) 0時16分
Original Size: 437 x 711, 28KB

ご指名を頂きましたので解答例です。
変数２つでの計算は面倒くさいので、一つは固定しました。
R=S/Vですから、相似ならば値は変わりませんよね。
（言ったことと、やってることが違って申し訳ない。）

スペースの関係上、
途中計算や図などは大幅に省略したので、あしからず。


23524．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月27日(火) 5時6分
皆さん有難うございます！
さすらう人さん態々すみませんでした！
しかし、結局なぜ正方形の1辺を1に定めえて良いのか
理解できませんil||li ＿|￣|● il||li
色々長さを変える→相似なのですか?

23525．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月27日(火) 12時45分
では、こう考えてはいかがでしょうか。

底面の正方形の一辺の長さをx、
側面の二等辺三角形の高さをyとします。
ここで、四角錘の全ての辺の長さをxで割り、
さらに、X=y/xと置いたと。

つまりは、比の計算のような感じです。
2:3=5*2:5*3=a*2:a*3ですよね。
同じようにR=S/Vの値は、
四角錘の全ての辺の長さを定数倍しても変わりませんから、
自分が計算しやすいように求めれば、
それで全てのケースが網羅されていることになります。

23530．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月27日(火) 19時30分
f(x)の微分が分かりません。il||li ＿|￣|● il||li
分数の微分は累乗が増えるんですか？

23531．そこで平方完成ですよ
名前：だるまにおん    日付：9月27日(火) 19時38分
il||li ＿|￣|● il||li
どうやら平方完成の出番のようでございます。
f(x)＝π(2x-1)/(2x+1)2において、
1/(2x+1)＝kとおくと、二次関数になります。

23532．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月27日(火) 19時56分
Original Size: 734 x 89, 4KB

この程度の微積分は、たとえ文系であったとしても、
受験で使うのならばマスターすべきです。


23539．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月27日(火) 22時10分
とうとう明日この問題の説明があります・・・
さすらう人さん・・・
自分が計算しやすいように求めれば
それで全てのケースが網羅されていることになっているということ
を自分で発言する自信がありませんil||li ＿|￣|● il||li
底面の一辺と側面の高さ、Rはいったいどんな関係なんですか？
イメージができなくて・・・
微分の式は有難うございました！

23541．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月27日(火) 22時59分
まぁ、いびり好きな先生（講師？）でない限り、
そこまでは突っ込まないとは思うんですがね。
明らかですから。


「同じようにR=S/Vの値は、
四角錘の全ての辺の長さを定数倍しても変わりませんから」

という所が重要なんですよ。
図形の大きさがc倍になると、面積は何倍になるんでしたか？
中学でやりましたよね。
思い出せなければ、三角形でも四角形でも、円でも、
実際に計算してみてください。
R=S/Vならば、SとVがC倍になったところで、
結局、約分されて値は一定です。


「底面の正方形の一辺の長さを１,
側面の二等辺三角形の高さをx」

と置けば、xを変化させることですべての形が作れます。
あとは定数倍すれば、いかなるケースも網羅さていることになりませんか？
もちろん、上記の理由により、Rの値は変わりません。

23546．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月28日(水) 20時36分
僕だけ正解でしたよー(´▽｀*)ｱﾊﾊ （ｱﾀﾘﾏｴｶﾅ
さすらう人さん・・・だるまにおんさん花パジャさん
本当に有難うございました！助かりましたよ！
皆さんの言うとおりの解説でした！
さすらう人さんの一辺を1が2ってなってるだけでした！
それとこの問題は・・・・東大の問題でした(ﾟДﾟ)
皆さん今後もご協力お願いなどしていただけますか？
ここは見にくいので自分と協力者だけの掲示板を作ろうと思うんです

23547．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月28日(水) 20時56分
おーよかったですねー。
掲示板を作るんですか？楽しそうです。是非遊びにいかせてください。

でも、「ここは見にくい」なんて言ったらヨッシーさんに怒られちゃいますよ

23550．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月28日(水) 22時42分
クラスで一人ですか。
まぁ、解けなくても、自分の最善を尽くすのが一番ですよね。

例えば、高校に入って一番最初に習う因数分解でも、
x4+64なんかは定石として暗記してしまう人が多いです。
確かに暗記も大事です。しかし、「なぜ因数分解できるのか」の方が
私は遙かに大事だと思います。今回の問題も然りです。
「なぜ解けるのか」を大切にしてください。さもないと、
見たことある問題は解けるが、見たことない問題は手も足も出なくなります。
マーク式でない限り、部分点がもらえることを忘れずに。

言いたいことは、それだけです。私は、またしばらく消えます。

23551．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月28日(水) 22時45分
あっ！(ﾟДﾟ)
すみませんヨッシーさんil||li ＿|￣|● il||li
さすらう人さんは賛成してくれないのですか↓？
あとそれよりも・・・だるまにおさん花パジャさん・・そしてさすらう人さん・・・貴方方はいったい何者なんですか？(ﾟДﾟ)

23553．Re: (untitled)
名前：さすらう人    日付：9月29日(木) 0時17分
反対という意味ではありませんよ。
ただ、私的な事情で１０月から忙しくなるだけです。

また、「何者なんですか？(ﾟДﾟ)」が東大の問題だからという理由ならば、
それは単に思い込みに過ぎません。少なくとも私は高校生ではないので。
（中学生が小学生の問題をやるような感覚ですよ。）
もっとも、東大は最近、解ける問題ばかりを出していますがね。
確か、はじめて合格者と不合格者の点差が１０点以上ひらいたというのは、
つい数年前ではなかったでしょうか。昔は、１問でも解ければ合格でした。

私の専攻は情報システムでしたから、基礎科目で線形代数や微積なんかはしましたが、
まともにやったのはネットワーキング等に使う離散数学ぐらいです。
この掲示板には、私よりも数学ができる方々がいらっしゃいますので、
私がいなくても、山口拓郎さんが困ることはないかと思います。

では今度こそ、これで。

23578．Re: (untitled)
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：10月1日(土) 20時8分
本当に有難うございました。
頑張るしかありあせンね

23489．無題  
名前：数学できない人（高3）    日付：9月25日(日) 23時56分
aを|a|＜1をみたす実数の定数とする,4次方程式
x^4-2ax^2＋1＝0…①
について,次の各問いに答えよ｡
(1)x＋1/x＝t　とするとき,tのみたす関係式を求めよ｡ただし,最高次の係数を1とする｡
(2)①は4個の虚数解をもつことを示し,解をaの式で表せ｡
(3)①の解をz1,z2,z3,z4とするとき
(z1＋z2)(z3＋z4)＝1
が成り立つようなaの値をもとめよ｡


23490．Re: 無題
名前：数学できない人（高3）    日付：9月25日(日) 23時56分
全く分かりません｡おねがいします

23492．Re: 無題
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月26日(月) 1時2分
相反方程式というものを勉強してみましょう。

ヒント…最初の方程式をx^2で両辺で割りましょう。もちろんx=0ではないことを確認して。

23513．Re: 無題
名前：ヨッシー    日付：9月26日(月) 17時48分
もひとつヒント。
ｔ^2（ｔの２乗) を計算しましょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

23486．三角関数  
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 21時12分
0≦θ＜π/2　のとき
y=(cosx)^2 -4cosxsinx -3(sinx)^2 の最大値、最小値を求めよ。という問題が分りません。

文字をsinだけにするようにしてみたのですがうまくいきません。宜しくお願いします。


23487．Re: 三角関数
名前：はくｘ    日付：9月25日(日) 21時44分
y=(cosx)^2 -4cosxsinx -3(sinx)^2
=(1+cos2x)/2-2sin2x-3(1-cos2x)/2
=2(cos2x-sin2x)-1
=2√2sin(2x+3/4π)-1

23479．三角関数  
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 19時51分
sin^2(2π/3)はどうすれば変形できるのでしょうか？
宜しくお願いします。


23480．Re: 三角関数
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 19時55分
sin(2π/3)=√3/2

23481．Re: 三角関数
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 20時0分
ということは

sin(2π/3)=√3/2より

sin^2(2π/3)=(√3/2)^2ということでしょうか？

23482．Re: 三角関数
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 20時2分
おそらく、そうでしょう。

23483．Re: 三角関数
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 20時9分
もう一つ質問なのですが

sin(3π/2 + θ)というのは-cosθ

であっているのでしょうか？

23484．Re: 三角関数
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 20時30分
あってます

23472．高二です  
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 18時54分
1+1/tan^2θ=1/cos^2θ　を証明せよ

という問題が分りません。どのように左辺を変形すればよいのでしょうか？


23473．Re: 高二です
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 19時4分
成り立ちません。
θ＝60°の時、
左辺=1+1/3=4/3
右辺=1/(1/4)=4
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23475．Re: 高二です
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 19時20分
1+1/tan^2θ＝sin^2θでした

すみません。ですがやはり変形できません。宜しくお願いします。

23476．Re: 高二です
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 19時26分
成り立ちません。
θ＝60°の時、
左辺=1+1/3=4/3
右辺=3/4
です。

もし
1+1/(tanθ)^2＝1/(sinθ)^2
の間違いなら、
1+1/(tanθ)^2
=1+1/(sinθ/cosθ)^2
=1+(cosθ)^2/(sinθ)^2
={(sinθ)^2+(cosθ)^2}/(sinθ)^2
=1/(sinθ)^2
となります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23477．Re: 高二です
名前：yokoi    日付：9月25日(日) 19時31分
1+1/(tanθ)^2＝1/(sinθ)^2の間違おうやｋいでした。すみません。おかげで無事解くことが出来ました。ありがとうございました。

23471．(untitled)  
名前：メイリ(高３)    日付：9月25日(日) 16時58分
またわかりません＞＜教えてください！

教科書の解法の書き方と、授業でやった解法の書き方が違って混乱しています。

[授業]
問：0<a<bのとき、log[b]-log[a]<(b-a)/aを平均値の定理を用いて証明せよ。
答：与式⇔(log[b]-log[a])/1/aを示せばよい
f(x)=log[x]とするとf'(x)=1/x
0<a<bに対して平均値の定理を用いると、
(log[b]-log[a])/b-a={f(b)-f(a)}/b-a=f'(c)
(0<a<c<b)となるcが存在する
したがって
(log[b]-log[a])=1/c=f'(c)<1/a
∴(log[b]-log[a])/b-a<1/a
log[b]-log[a]<(b-a)/a　　　　　　
Q.E.D

[教科書]
問：a>0のとき、a<e^a-1<ae^aを平均値の定理を用いて証明せよ。
答：関数f(x)=e^xは実数全体で微分可能であり、
f'(x)=e^xであるから、平均値の定理より
(e^a-e^0)/a-0=e^a-1/a=e^c,0<c<a
を満たすcが存在する
また、f'(x)=e^xは増加関数で、
0<c<aより、1<e^c<e^a
したがって1<(e^a-1)/a<e^a
a>0より、a<e^a-1<ae^a
証明終了

私はこの教科書の問題も上の授業のような解法でやりたいのですが、
①不等号が２つになってていまいちどう書いていいのかわかりません。どうしたらいいんでしょう…？
②微分可能とか、増加関数とかは書かなければいけないのでしょうか？


23508．Re: (untitled)
名前：X    日付：9月26日(月) 11時36分
＞＞②微分可能とか、増加関数とかは書かなければいけないのでしょうか？

質問を分けて説明します。
まず微分可能であることの説明ですが、書いたほうが望ましいと思います。
次に増加関数であることについて。
このことを言わないと
＞＞1<e^c<e^a
は使えません。必ず書く必要があります。

23467．３次関数  
名前：IGA(高２）    日付：9月25日(日) 15時33分
Original Size: 512 x 384, 11KB

３次関数y=ax^3+bx^2+cx+dのグラフが右図のようになるとき次の式の正負をいえ。

a,b,c


解説によると
f'(x)=3a(x-α)(x-β)
ただし 3a>0

のようにやるらしいのですが、なぜ3a>0となるのかがわかりません。


23468．Re: ３次関数
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月25日(日) 15時51分
a>0です。なぜかというとxが無限大に近づくにつれてｙの値が正の値に発散しているからです。

23549．Re: ３次関数
名前：IGA(高２）    日付：9月28日(水) 22時39分
なるほど！理解できました。
有り難うございました。

23465．2次関数　わかりません(T_T)  
名前：ちびたん    日付：9月25日(日) 14時46分
1.　2次関数 y=ax2+bx+c は、y<0 となる の範囲が -1/2<x<7/2 で、
最小値が －16 である。
　 この時､次の各問に答えよ。

　①　この関数のグラフの対称軸の式を求めよ。
　②　この関数のグラフのy軸との交点のy座標を求めよ。
　③　の変域を－1≦x≦2とするときのyの値域を求めよ。
　④　この関数のグラフの、x軸に平行な接線の式を求めよ。

23457．平行線と比の定理  
名前：　あみ    日付：9月25日(日) 10時59分
ああっとちなみにＪ２(中２)です

23454．平行線と比の定理  
名前：　あみ    日付：9月25日(日) 10時50分
わかりましぇん…教えて下さい証明を。

23453．1+1=？  
名前：百地　あみ花    日付：9月25日(日) 10時47分
1+1=2…これが一般論ですね。漢字でも考えてみて下さい。
どうぞっ！！

23448．教えてください。  
名前：華　    日付：9月25日(日) 9時38分
ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，２ｘ＾2＋ｙｚ＝０が成り立つとき、ｘはｙに等しいか、あるいはｘはｚに等しいことを示せ。
という問題が解けません。

宣しくお願い致します。


23449．Re: 教えてください。
名前：豆    日付：9月25日(日) 9時54分
y+z=-x
yz=-2x^2ですから、
解と係数の関係から、y,zはtに関する二次方程式
t^2+xt-2x^2=0の解になりますね。

23450．Re: 教えてください。
名前：華　    日付：9月25日(日) 10時17分
回答してくださってありがとうございます。

ｔ＝ｘ、ｔ＝－２ｘとなったのですがその後どうすればよいのでしょうか・・・

23451．Re: 教えてください。
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月25日(日) 10時35分
答えはすぐそこです。
この方程式の解はｙ、ｚなので、t=y or z (x=y,or -2x=z)(z=x,y=-2x) よって題意は成り立つ。

23452．Re: 教えてください。
名前：華　    日付：9月25日(日) 10時47分
わかりました！！
豆さん、ＨＧ（ハードゲイ）さんのおかげで助かりました。
どうもありがとうございました。

23458．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 10時59分
(x-y)(x-z)=x^2-x(y+z)+yz
=(2x^2+yz)-x(x+y+z)=0
∴x=yまたはx=z
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23439．関数の増減と極大・極小  
名前：IGA(高２）    日付：9月25日(日) 0時13分
次の関数のグラフとｘ軸との交点の表、数値などを調べ、グラフをかけ。

f(x)=(x-1)(x^2+2x+3)

f'(x)=3(x+1/3)^2+2/3
ここで接線の傾きを考えるときx=-1/3における接線について考えていますが何故x=-1/3にしたのでしょうか。
別に他の値でもかまわないと思うのですが・・・
教えてください。


23441．Re: 関数の増減と極大・極小
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 0時16分
その前に何故この問題で接線を考える必要があるのか分かりません。

23442．Re: 関数の増減と極大・極小
名前：ヨッシー    日付：9月25日(日) 0時23分
接線はともかく、変曲点ということでは　x=-1/3 は意味がありますね。
f'(x) をさらに微分して f"(x) を出すようなことは、習ってますか？
　
http://yosshy.sansu.org/

23444．Re: 関数の増減と極大・極小
名前：soredeha    日付：9月25日(日) 2時35分
x=-1/3 　で接線の傾きが最小になるから。
.

23447．Re: 関数の増減と極大・極小
名前：IGA(高２）    日付：9月25日(日) 8時40分
>f'(x) をさらに微分して f"(x) を出すようなことは、習ってますか？
まだ習ってないと思います。

いや接線を考えるというのは、このf(x)は単調増加ですよね、それで途中で曲がるようなのです。
そのまがるところが傾き2/3に接すると解答から見えるのですが・・。

お願いします。

23464．そういうことか！！！！！！
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 13時54分
ご質問の意味がよく分からなくて、申し訳ないことをしてしまいました。
ごめんなさい。

グラフの折れ曲がるところをお知りになりたかったのですね。
f(x)の接線の傾きはずっと正ですが、
soredehaさんがおっしゃるように、x=-1/3で傾きは最小になることが分かりますよね。
x=-1/3を境に接線の傾きは減少から増加に転じることはお分かりでしょうか。

23548．Re: 関数の増減と極大・極小
名前：IGA(高２）    日付：9月28日(水) 22時37分
わかりました。
有り難うございました。

23435．関数  
名前：つかさ    日付：9月24日(土) 23時28分
関数f(x)=e^(1/x)について
(1)lim［x→+0］f(x), lim［x→-0］f(x)をそれぞれ求めよ。
(2)y=f(x)のグラフが変曲点を持つか調べ、持つときはxの座標を求めよ
(3)y=f(x)のグラフを描け

申し訳ありませんが、グラフまでわかると幸いです。
宜しくお願いいたします。


23437．Re: 関数
名前：だるまにおん    日付：9月24日(土) 23時46分
ご質問の意図には反しますが、
http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
こちらのグラフ描画ソフトgrapesを使ってみては如何でしょう。
フリーソフトですし、なかなかの優れものです。
f(x)=e1/xもすぐに描けますよ。

23460．Re: 関数
名前：つかさ    日付：9月25日(日) 11時34分
ダウンロードボタンを押せは簡単にダウンロードできるのでしようか。
どれをダウンロードするのかよくわからないのですが。

また、(1)(2)もわかる方がいましたら宜しくおねがいします。

23461．Re: 関数
名前：soredeha    日付：9月25日(日) 12時7分
関数f(x)=e^(1/x)について
(1)lim［x→+0］f(x), lim［x→-0］f(x)をそれぞれ求めよ。
lim［x→ + 0］f(x)＝lim［x→+0］e^(1/x)＝e^(1/+0)＝e^(+∞)＝+∞
lim［x→ - 0］f(x)＝lim［x→ - 0］e^(1/x)＝e^(1/- 0)＝e^(-∞)＝0

23463．Re: 関数
名前：だるまにおん    日付：9月25日(日) 13時42分
http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/resource/bin/grps643.exe
これをダウンロードすればいいかと思います。

23485．Re: 関数
名前：soredeha    日付：9月25日(日) 21時2分
(2)
f(x)＝e^(1/x)
f '(x)＝- (1/x＾2)e^(1/x)
f ''(x)＝(2/x＾3)e^(1/x)＋(1/x＾2)(1/x＾2)e^(1/x)
＝｛(2x＋1)/x＾4)｝e^(1/x)
2x＋1＝0　より　　x＝-1/2　
この前後で　f ''(x)　の符号が変わるので、変曲点です。
.

23522．Re: 関数
名前：つかさ    日付：9月26日(月) 23時7分
soredehaさまありがとうございます。

23434．最難関大学受験　数学問題  
名前：教えてください。    日付：9月24日(土) 21時32分
1辺1kmの正方形ABCDがある。CD,DAの中点をそれぞれM,Nとする。
しかし実線はAM、MB、BN、NC、のみとする。
今甲、乙は同時刻にそれぞれA,Bを出発し、同じ一定の速さで歩くものとする。甲は実線AMB上を進み、乙は実線BNC上を進み、30分後に甲はBに、乙はCに到着した。甲、乙が最も近づいたのは出発後何分後か。
また、そのときの両者の間の距離はいくらか。


23459．Re: 最難関大学受験　数学問題
名前：花パジャ    日付：9月25日(日) 11時2分
前半の15分間
甲の位置をP、乙の位置をQとする。
PのABへの射影をP1,PのADへの射影をP2,
QのBAへの射影をQ1,QのBCへの射影をQ2とすると
AP1:AP2:BQ1:BQ2=1:2:2:1なので
AP1=BQ2=xとおけば、PQ^2=(2x-x)^2+(1-x-2x)^2
...

23470．Re: 最難関大学受験　数学問題
名前：教えてください。    日付：9月25日(日) 16時36分
射影とはなんですか？汗

23501．Re: 最難関大学受験　数学問題
名前：花パジャ    日付：9月26日(月) 8時15分
> PのABへの射影をP1
= PからABに下ろした垂線の足をP1

23506．余談
名前：らすかる    日付：9月26日(月) 10時0分
最近は「垂線の足」という言葉も習わないらしいですね。
まあ、文脈からわかるとは思いますが。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23415．三角形面積  
名前：かず    日付：9月24日(土) 0時27分
三角形の辺が、A=13　B=14　C=15のときの面積をヘロンの公式で求めた時の式を教えてもらえませんか？
他に単純な考え方があれば教えてもらいたいです、出来れば上記の質問とも詳しくご説明願います。初歩的な質問で申し訳ありません。宜しくお願いします。


23417．Re: 三角形面積
名前：だるまにおん    日付：9月24日(土) 4時51分
三辺がa,b,cの三角形の面積は、a+b+c=2sとおくと、
√s(s-a)(s-b)(s-c)である、というのが、ヘロンの公式ですね。
いま、a=13,b=14,c=15とおくと、s=21になるので、
面積は√21(21-13)(21-14)(21-15)となります。

公式を使うだけで、答えが出るのですから、このやり方が一番単純かも知れません。

23423．Re: 三角形面積
名前：花パジャ    日付：9月24日(土) 11時54分
考え方は単純か不明だが面積は単純に計算できるのは
　A^2=13^2=12^2+5^2
　C^2=15^2=12^2+9^2
　　　　　　　　5+9=14=B
に気付く、てのがあります

23431．Re: 三角形面積
名前：かず    日付：9月24日(土) 18時16分
ご返答有難う御座います。
≫だるまにおんさん
わかりました、有難う御座います。

≫花パジャさん
すいません、式の意味がいまいち解らないのでもう少し解りやすくお願いできないでしょうか？申し訳ありません…。

23432．Re: 三角形面積
名前：花パジャ    日付：9月24日(土) 19時6分
二つの直角三角形に分離できる、という意味です

23414．教えてください。  
名前：hide    日付：9月24日(土) 0時19分
内分点と外分点の公式を教えてください。
高２です。


23418．Re: 教えてください。
名前：だるまにおん    日付：9月24日(土) 4時59分
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten01.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten02.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten03.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten04.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/bunten05.htm
こちらのページが参考になればいいのですが・・・
ちなみに、3つ目のやつは、外分の解説です。

23411．(untitled)  
名前：FRUIT    日付：9月23日(金) 22時22分
次の条件によって定められる数列{an}、{bn}について、ｂ1と{ｂｎ}の漸化式が[　　]内のようになることをあらわせ。また、{an}、{ｂｎ}の一般項を求めよ。

a1＝1、a（ｎ+1）＝２a（n）+ｎ－１、bn＝a(n+1)-a（n）

[ｂ1＝1、ｂ（ｎ+1）＝２ｂ（ｎ）+1　]

を教えてください。　（　）内のｎは数列で使う小さなｎのことです。
わかりにくくてごめんなさい。


23413．Re: (untitled)
名前：ユウダイ    日付：9月24日(土) 0時19分
普通のタイプの漸化式にnの一次式が加わったのだから
a[n+1]=2a[n]+n-1　...(1)を
a[n+1]-{α(n+1)+β}=2{a[n]-(αn+β)}　...(2)
と変形すればよいことがわかります。
(1)と(2)を係数比較してα=-1,β=0 となります。
代入すればa[n+1]+n+1=2(a[n]+n) となって c[n]=a[n]+n とおけば
a[n]が求まります。後はできるでしょう。

ちなみに例えばa[n+1]=2a[n]+n^2-2n+1 のような二次式の場合は同様に
a[n+1]-{α(n+1)^2+β(n+1)+γ}=2{a[n]-(αn^2+βn+γ)}として係数比較すればいいのです。

23510．Re: (untitled)
名前：FRUIT    日付：9月26日(月) 17時29分
ありがとうございました！！！

23410．計算  
名前：FRUIT    日付：9月23日(金) 22時12分
1/9{10＾(k+1)-1+9*10＾（ｋ+1）}

の計算の解き方を教えて下さい。


23419．Re: 計算
名前：だるまにおん    日付：9月24日(土) 5時3分
10k+1-1+9・10k+1
=10k+1+9・10k+1-1
=10k+2-1
ですので、1/9{10k+1-1+9・10k+1}=1/9(10k+2-1)というのでどうでしょう。

23427．Re: 計算
名前：FRUIT    日付：9月24日(土) 16時25分
=10^(k+2)-1
の前までは理解できるのですがなぜこのようになるのですか？？

23429．Re: 計算
名前：だるまにおん    日付：9月24日(土) 16時30分
10k+1+9・10k+1を10k+1でくくると
10k+1(1+9)=10k+1・10=10k+2

23511．Re: 計算
名前：FRUIT    日付：9月26日(月) 17時30分
すみません。じっくり考えたらできました！
ありがとうございます◎

23407．多変数関数？  
名前：ヤス    日付：9月23日(金) 19時51分
s[1],s[2],...,s[2004]は負でない実数とし、
s[1]+s[2]+....+s[2004]=2 ,
s[1]s[2]+s[2]s[3]+....+s[2003]s[2004]+s[2004]s[1]=1　
を満たすとする。
　このとき、s[1]^2+s[2]^2+....+s[2004]^2 のとりうる値の範囲を求めよ。

　変数が多すぎてどう扱っていいかわかりません。教えてください。


23421．Re: 多変数関数？
名前：忍    日付：9月24日(土) 10時56分
s[1]+s[2]+....+s[2004]=2 ,
s[1]s[2]+s[2]s[3]+....+s[2003]s[2004]+s[2004]s[1]=1　
をともに満たす実数s[1],s[2],...,s[2004]は
存在しない気がする

23422．Re: 多変数関数？
名前：らすかる    日付：9月24日(土) 11時27分
s[1]=s[2]=1, s[3]～s[2004]=0 は題意を満たすと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23424．Re: 多変数関数？
名前：ヤス    日付：9月24日(土) 14時24分
原文はこうですがそれでも題意を満たす実数s[1],s[2],....,s[2004]は存在しないのでしょうか？

The sum of the non-negative real numbers s[1], s[2],..., s[2004] is 2 and s[1]s[2]+s[2]s[3]+ ...+ s[2003] s[2004]+ s[2004]s[1]=1. Find the largest and smallest possible values of S=s[1]^2+s[2]^2+...+s[2004]^2

23430．Re: 多変数関数？
名前：忍    日付：9月24日(土) 17時2分
失礼しました。

23433．Re: 多変数関数？
名前：はくｘ    日付：9月24日(土) 20時40分
最大値は、

s[1]+s[2]+....+s[2004]=2
両辺2乗して両辺から
s[1]s[2]+s[2]s[3]+....+s[2003]s[2004]+s[2004]s[1]
の2倍を引いたものはs[1]^2+s[2]^2+....+s[2004]^2
以上の値かつ２なので、s[1]=s[2]=1, s[3]～s[2004]=0
のとき

the largest possible values = 2

23443．Re: 多変数関数？
名前：黒蟻    日付：9月25日(日) 0時36分
Sの下界の1つを。

S＝s[1]^2＋…＋[2004]^2＝(1/2){(s[1]－s[2])^2＋…＋(s[2004]ーs[1])^2＋2(s[1]s[2]＋…＋s[2004]s[1])}＝(1/2){(s[1]－s[2])^2＋…＋(s[2004]ーs[1])^2＋2}≧2　(要するに相加相乗の不等式)
等号はs[1]＝…＝s[2004]のとき。しかし、このようなs[1]～s[2004]は存在しない。よって等号は成り立たず、S＞1となる。

最小値って存在するのかな…

23462．最小値は3/2
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 12時37分
s[1]s[2]+s[2]s[3]+....+s[2003]s[2004]+s[2004]s[1]=1 により、
どこか2つの連続した変数が2つとも0より大きい値です。
s[2]≠0 かつ s[3]≠0 としても一般性は失われませんので、
そのように仮定します。

(s[1]+s[2]+…+s[2004])^2
=s[1]^2+s[2]^2+…+s[2004]^2
　+2(s[1]s[2]+s[2]s[3]+…+s[2004]s[1])
　+2(添え字の差が2以上の変数同士の積の和)　…(1)

※「添え字の差が2」にはs[2003]とs[1]の
　ような組合せも含みます。以下同様。

(1)を整理して

s[1]^2+s[2]^2+…+s[2004]^2
=2-2(添え字の差が2以上の変数同士の積の和)

右辺のカッコ内から添え字が奇数同士、偶数同士の積を
左辺に移項して整理すると

(s[1]+s[3]+…+s[2003])^2+(s[2]+s[4]+…+s[2004])^2
=2-2(添え字の差が3以上かつ奇数と偶数の変数同士の積の和)

s[1]+s[3]+…+s[2003]=t とおくと
s[2]+s[4]+…+s[2004]=2-t ですから、
(左辺)=t^2+(2-t)^2=2(t-1)^2+2≧2 となり、
右辺のカッコ内は0でなければなりません。
右辺のカッコ内には s[2]s[5], s[2]s[7], …, s[2]s[2003],
s[3]s[6], s[3]s[8], …, s[3]s[2004] が含まれており、
これらが全て0ですので、s[2]≠0, s[3]≠0 の仮定により
s[5]～s[2004] は全て0となります。
また、右辺のカッコ内にあるs[1]s[4]も0ですから、
s[1]=0 または s[4]=0 であり、s[4]=0としても
一般性は失われませんので、そう仮定します。
これでs[4]～s[2004]は全て0と仮定して良いことがわかりました。

0でないものがs[1]～s[3]に絞れれば、後は簡単です。
s[1]s[2]+s[2]s[3]
=s[1]s[2]+s[2](2-s[1]-s[2])
=2s[2]-s[2]^2
=-(s[2]-1)^2+1=1
より s[2]=1 と決まります。すると
s[1]^2+s[2]^2+s[3]^2
=s[1]^2+1+(1-s[1])^2
=2s[1]^2-2s[1]+2
=2(s[1]-1/2)^2+3/2
となりますので、s[1]=1/2, s[2]=1, s[3]=1/2 のとき
最小値3/2をとることになります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23469．Re: 多変数関数？
名前：ヤス    日付：9月25日(日) 16時26分
ありがとうございます。
ほとんどの変数が0だと、どうやって見抜いたのですか？
実質的にはs[1],s[2],s[3]≧0,s[1]+s[2]+s[3]=2,s[1]s[2]+s[2]s[3]=1
のときs[1]^2+s[2]^2+s[3]^2の値の範囲を求めよ。という２変数関数の問題なのですね。文字数を多くして巧妙に難しくしていることがわかりました。

23474．Re: 多変数関数？
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 19時8分
実際に適当に数を当てはめて条件を満たそうとすると、
3つなら満たせるのですが、4つを0でない数にすると
どうしても満たせない(合計を2にすると隣数の積の和が
1より小さくなってしまう)ので、怪しいと思いました。
ただ、怪しいというのは結構早く思ったのですが、
それを示す方法を見つける方が大変でした。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23403．個数の処理について  
名前：湯馬（大学生）    日付：9月23日(金) 18時31分
平面上に、どの３本も同じ点で交わらない１０本の直線がある。１０本中２本だけが平行であるとき、それら１０本の直線によってできる交点の個数および三角形の個数を求めよ。
答えは交点の個数が４４こ
三角形の個数が１１２こです。
求め方の9Ｃ3＋8Ｃ2＝112この8Ｃ2がよくわかりません。


23404．Re: 個数の処理について
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 18時43分
平行な直線のうちの1本を無視し、残りの9本で出来る三角形が9C3個で、
無視した1本を辺に使って出来る三角形は、平行な1本を除く8本から
2本選べば出来ますので、8C2個になります。
10C3-8 という式でも出来ますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23406．Re: 個数の処理について
名前：ヨッシー    日付：9月23日(金) 18時46分
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊの１０本の直線があり、ＩとＪが
平行とします。

まず、Ａ～Ｉの９本から３本選ぶと、必ず３角形が出来るので、9Ｃ3。
次に、Ｊは必ず使うとして、Ａ～Ｈの８本から２本選ぶ場合が、8Ｃ2。
です。
　
http://yosshy.sansu.org/

23382．(untitled)  
名前：あーか    日付：9月23日(金) 11時54分
すみません！！したの問題のｋ－１とｉ＝１は∑の上と下にあると考えてください！！

23381．高校２年生　  
名前：あーか    日付：9月23日(金) 11時53分
数研出版サクシード数Ｂより
１２２
１，２、・・・・、ｎの番号札が箱Ｘには番号と同じ枚数ずつ、箱Ｙにはそれぞれｎ枚、ｎ－１枚、・・・・、１枚ずつ入っている。ＡはＸから、ＢはＹから１枚ずつ札をとりだし、番号の大きい方を勝ちとする。Ａの勝つ確率を求めよ

という問題なのですが解答で一番初めにＡが数字ｋで勝つことにして、
　　　　　　　　　　　　　　　　　k-1
ｋ/n(n+1)/2（二分のn(n+1)分のk）×∑(n-i+1)/n(n+1)/2となっていて
i=1
　　　　k-1
どうして∑(n-i+1)/n(n+1)/2の式をたてるのかがわかりません。教えて
i=1
ください！！　　　　　　　　　　　　　　　　


23384．Re: 高校２年生　
名前：ヨッシー    日付：9月23日(金) 13時34分
Ａがｋ(２≦ｋ≦ｎ)で勝つ確率は、
(Ａがｋを引く確率)　×　(Ｂがｋより小さい数を引く確率)
です。
ＡもＢも札の引き方はいずれも、
　１＋２＋・・・＋ｎ＝n(n+1)/2
通りです。
箱Ｘには、ｋはｋ枚入っているので、
　(Ａがｋを引く確率)＝ｋ/{n(n+1)/2}
箱Ｙには、
　１がｎ－１＋１枚、
　２がｎ－２＋１枚、
　３がｎ－３＋１枚、
　・・・
　ｍがｎ－ｍ＋１枚、
　・・・
　ｋ－１がｎ－(k-1)＋１枚　入っています
(Ｂがｋより小さい数を引く場合の数)はこれらの和で
　Σi=1～k-1(n-i+1)
確率は、これを　n(n+1)/2 で割ったものになります。
　
http://yosshy.sansu.org/

23389．ありがとうござます☆
名前：あーか    日付：9月23日(金) 14時31分
ありがとうございました！！わかりました！！付属の解説だけじゃわからなくてやっとわかりました☆ほんまにありがとうございました。

23380．図形と方程式　教えてください。  
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月23日(金) 11時21分
正四角錐の表面積をV　その中の球の表面積をS
Vをいろいろ変える時
R＝S/V
のとりうる最大の値を求めよ。
問題に訂正はありません。
分かる方、どうか教えてください。
これは難関大学突破用の問題です。


23385．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 13時36分
変数をどこに取るかがポイントですね。
まずは、底面の正方形の一辺をの長さをxと置かなければ始まりません。
あと一つ、正四角錐の高さでもいいのですが、
側面の二等辺三角形の高さをyと置くのが楽だと思います。
これだけ役者が揃えば、後は計算のみです。

Ｖはすぐに求まりますね。
立体をどこかで割ると球の半径が求まりますから、
これでＳが求まります。

実際にやっていないので、答えを出すのに
計算のテクニックがいるのかどうか分かりませんが、
そこら辺は楽しみながらやってください。

23391．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月23日(金) 14時44分
正四角錐＝正方形１個と、正三角形４個で出来る四角錐
　　　　＝正八面体の半分

の意味と思っていいですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

23399．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：花パジャ    日付：9月23日(金) 17時24分
底面の正方形の一辺の長さを 2 とかに固定する、とか、
底面の正方形の一辺の長さを 2x とし、y=zx とするとかすると
すっきりした形で解けるかと。

23400．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月23日(金) 17時33分
さすらう人さん有難うございます。
前者の方は試みています。
しかし図形を何処で割けば良いのかひらめきません。
そこを教えていただきたいのです･･･。

23401．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月23日(金) 17時37分
ヨッシーさんへ
正四角錐ですのでそうだと思います。
Vを色々変えてというのは長さを変えながら正四角錐を保つはずです。

23402．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月23日(金) 17時53分
ヨッシーさんへ
訂正
正四角錐の定義は底面が正方形とのことなので
側面の三角形が正三角形とは限りません。
連レスすみません。

23408．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：花パジャ    日付：9月23日(金) 20時6分
＞図形を何処で割けば良いのかひらめきません。
球が側面とどこで接するかを考えるとひらめくかもしれません

23412．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月24日(土) 0時10分
>しかし図形を何処で割けば良いのかひらめきません。
もうひらめいたでしょうか？
底面の正方形が２つの長方形になるように、
正四角錐を真っ二つに割ればいいですよね。

23420．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月24日(土) 10時19分
すいみません。計算がわかりませんil||li ＿|￣|● il||li

23425．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：ヤス    日付：9月24日(土) 15時12分
図形を何処で割けばいいかがわかったとして、話を進めます。

底面の正方形の一辺をの長さをx、側面の二等辺三角形の高さをyと置いたほうが計算が楽でしたから、この方法でいきます。

底面の正方形が２つの長方形になるように、正四角錐を真っ二つに割れば二等辺三角形に球が接するので、その二等辺三角形の面積は (球の半径をrとすると) r(x+2y)/2とあらわせます。また三平方の定理から、
x√(y^2-x^2/4)/2ともあらわせるのでこれで半径rが求まります。
S=4πr^2 ,V=x(x+2y) からS/Vをx,yであらわせます。

また、この場合、y>x/2 という条件が必要です。

23426．Re: 図形と方程式　教えてください。
名前：山口拓郎　普通高校2年    日付：9月24日(土) 16時7分
r(x+2y)/2とx√(y^2-x^2/4)/2
この二つからｒですか･･･
頑張ってみます！ご親切に有難うございます！

23376．(untitled)  
名前：ビー津ギャザー    日付：9月23日(金) 1時13分
度数分布表を作って、階級数が偶数の場合２５％点、７５％点、四分位範囲を求めるときどうすれば良いでしょうか？奇数の場合偶数の場合では解き方も違いますよね？問題のこと上手く説明できなくてすいません、よろしくお願いします。

23374．教えてください。  
名前：ＭＳＮ    日付：9月23日(金) 0時28分
すべての辺の長さがaで等しい凸六角形がある。この六角形の対角線のうち、少なくとも一本、2a以上の長さのものが存在することを示せ。


23378．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 9時4分
その命題は成り立ちませんが、オリジナル問題ですか？
それとも、何か条件が抜けているのでしょうか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23379．Re: 教えてください。
名前：ＭＳＮ    日付：9月23日(金) 10時33分
全ての辺がaで等しい六角形のなかで、もっともながい対角線をＬとしたとき、Ｌの範囲を求めよっていうのがもともとの問題です。Ｌ＜3aであることは言えたのですが、下限のほうがおさえられないんです。いろいろ書いてみて、2a以上ではないかと予想して、上のような聞き方をしたのですが・・・違うのでしょうか？

23383．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 13時20分
対角線の長さが、a+2acosθ (θ=ω/4. ωは対角の和.)に
なることを利用してはいかがですか。
そうすれば、後は最も長いものの範囲ですから、
ωは必然として0°＜ω≦120°になり、0°＜θ≦30°ですから、
2a≦L＜3aとなるように思います。

23386．Re: 教えてください。
名前：ＭＳＮ    日付：9月23日(金) 13時40分
対角線の長さが、a+2acosθ (θ=ω/4. ωは対角の和.)というのは、どのようにしたら示せるのでしょうか？

23387．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 14時14分
まず、凸六角形であることと、最も長い対角をＬとするということから、
一つの角から引ける３本の対角線のうち、２本は無視しています。

六角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆとします。
例えば、ＡとＤを結ぶ対角線の長さを考えます。
ＡＤの長ささえ変えなければ、
後はどんなに他の辺がグニャグニャ動いてもいいですから、
ＡとＤの内角が等しくなるように動いてもらいます。
そうすれば、うまい具合にＡＤとＦＥ、ＢＣが平行になりますよね。
後は説明するまでもないでしょう。

23388．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 14時22分
それぞれの内角をα,β,γ,…なんて置いて証明してもいいですが、
大変なだけなので、図と日本語で逃げるのがいいかと思います。

23390．2a未満になる例
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 14時34分
例えば、六角形ABCDEFでAB=BC=CD=DE=EF=FA=a、
∠A=∠C=∠E=90°、∠B=∠D=∠F=150°とすると、
対角線の長さは
AC=CE=EA=AD=CF=EB=(√6+√2)a/2≒1.93a
BD=DF=FB=(√2)a≒1.41a
となり、最長の対角線が2a未満になります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23392．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 14時56分
AC=CE=EA,AD=CF=EB,BD=DF=FBは分かりますが、
なぜ、AC=CE=EA=AD=CF=EBとなるのでしょうか？

（0°＜ω≦240°、0°＜θ≦60°でしたね。）

23393．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 15時5分
∠BCA=(180°-150°)÷2=15°
∠ACD=90°-15°=75°
∠ADC=150°÷2=75°
∴△ACDは二等辺三角形なので、AC=AD
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23394．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 15時33分
Original Size: 358 x 325, 11KB

確かに、そのような凸六角形が存在すれば、
おっしゃることは正しいのですが、
「六角形ABCDEFでAB=BC=CD=DE=EF=FA=a、
∠A=∠C=∠E=90°、∠B=∠D=∠F=150°」
という六角形は存在しないのではないでしょうか？


23395．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 15時34分
Original Size: 358 x 325, 4KB

エラーらしいので、もう一度。


23396．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 15時50分
六角形の内角の和は180°×(6-2)=720°
90°×3+150°×3=270°+450°=720°
ですから、確実に存在します。
というか、実際にそういう図を書いて計算しています。
さすらう人さんが書いている図は、
∠B=∠D=∠F=120°にしようとしているように見えます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23397．Re: 教えてください。
名前：さすらう人    日付：9月23日(金) 16時3分
Original Size: 480 x 480, 7KB

申し訳ありません。回転角150°で回転させたんですが、
その基準がおかしかったらしいです。

正しくは、こんな感じですね。失礼しました。


23398．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月23日(金) 16時54分

回転は　120°でしたね。

150°，90°のときが、最小なのでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

23405．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月23日(金) 18時44分
最小のような気はしますが、どうやって示せばいいんでしょうね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23438．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月25日(日) 0時12分
120°回転形に限れば示せるでしょうが、他の可能性が否定できませんね。
　
http://yosshy.sansu.org/

23445．Re: 教えてください。
名前：らすかる    日付：9月25日(日) 7時29分
角度を適当に設定して式を立てても無理そうですし、
座標を設定しても高次方程式が出てきそうですね。
やはり、120°回転対称形以外の形は必ず最長の対角線の長さを
長くすることなく120°回転対称形に変形出来ることを示して、
120°回転対称形で最小を計算する、ぐらいでしょうか。
といっても具体的な方法は思い付きませんが。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23369．確率  
名前：金銀    日付：9月22日(木) 21時4分
ある種の病気にかかる割合は、血液型によって異なり、A型では５％、B型では８％、AB型では６％、O型では２％であるという。日本人の血液型はA型３８％、B型２２％、AB型１０％、O型３０％であるとき、この病気にかかった日本人がAB型である確率を求めよ。という問題がどうしても解りません。出来れば詳しく解き方を教えて欲しいです、よろしくお願いします。


23370．Re: 確率
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 22時24分
簡単のため、日本の総人口を100人とします。

Ａ型の人は38人で、病気になる人は38*0.05＝1.9人
Ｂ型の人は22人で、病気になる人は22*0.08＝1.76人
ＡＢ型の人は10人で、病気になる人は10*0.06＝0.6人
Ｏ型の人は30人で、病気になる人は30*0.02＝0.6人
日本で病気になる人は合計4.86人

病気にかかった人がＡＢ型である確率は、
0.6/4.86＝0.123…
　　　　≒0.12　　　∴12％

なんていうのは駄目でしょうか。
確率統計論はやっていないので、
カッコイイ解答は専門の方にお任せします。

23372．Re: 確率
名前：のぼりん    日付：9月22日(木) 23時32分
確率的には、ベイズの定理を使って、
　　　Ｐ（ＡＢ型｜病気）
　　　＝Ｐ（ＡＢ型）Ｐ（病気｜ＡＢ型）／｛Ｐ（Ａ型）Ｐ（病気｜Ａ型）
　　　　　＋Ｐ（Ｂ型）Ｐ（病気｜Ｂ型）＋Ｐ（ＡＢ型）Ｐ（病気｜ＡＢ型）
　　　　　＋Ｐ（Ｏ型）Ｐ（病気｜Ｏ型）｝
　　　＝１０％×６％／（３８％×５％＋２２％×８％＋１０％×６％＋３０％×２％）
　　　＝１０／８１＝０．１２３４…
となり、結論としては、さすらう人さんの答えと同じになります。

23373．Re: 確率
名前：金銀    日付：9月22日(木) 23時50分
さすらう人さん、のぼりんさんありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

23375．Re: 確率
名前：プー    日付：9月23日(金) 0時59分
横から入って申し訳ないのですが、この問題の解答を見ていて　　　　１０％×６％／（３８％×５％＋２２％×８％＋１０％×６％＋３０％×２％）＝１０／８１＝０．１２３４…となると書いてありますが、なぜ１０％×６％＝１０に３８％×５％＋・・・＝０．１２３になるのですか？

23363．個数の処理  
名前：湯馬（大学生）    日付：9月22日(木) 15時23分
男子５人と女子２人を横に１列に並べるとき、次の条件を満たす並べ方は、それぞれ何通りか？
（１）両端が男子である。

（両端が男子の場合）＝（全体）－（両端が女子の場合）
とおいて計算しましたが間違ってしまいました。
なぜこれではできないのでしょうか？
答えは２４００通りです。
計算過程として1ー5Ｐ5×2＝4800とおりになってしまいました。


23364．Re: 個数の処理
名前：らすかる    日付：9月22日(木) 15時32分
（両端が男子の場合）＝（全体）－（両端が女子の場合）
ではありません。片端が男子、もう片端が女子というパターンもあります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23365．Re: 個数の処理
名前：ハードゲイ　HG    日付：9月22日(木) 16時4分
まず5人の中から両端の男子を決めましょう。これは順序が関係する（左端と右端）ので5P2　次に残りの5人の順序の並べ方は5! つまり求める組み合わせは5P2*5!=2400通りとなります。

23353．微分  
名前：IGA(高２）    日付：9月22日(木) 0時15分
微分についてなんですが
y=f(x)について微分するとy=f'(x)の導関数がえられますよね？
この導関数はf(x)のグラフをいったいどのようにしたものなのでしょうか。イメージがわきません。
教えてください。お願いします。


23356．Re: 微分
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月22日(木) 0時26分
y=f'(x)はf(x)の傾きを関数として表したものです。微分の定義をよく考えてください。

23359．Re: 微分
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 0時41分
あっさり言えば、元の関数の一次近似なんですが、
高校レベルでのイメージならば・・・

導関数というものは、元の関数の増減を表しています。
例えば、導関数が正なら、元の関数は増加します。
同様に負ならば、元の関数は減少します。
導関数が０（←いつも増減表でかいてますよね。）というのは、
増減が０、すなわち、元の関数が増加から減少、
あるいは減少から増加に転じる瞬間ということです。

という感じでしょうか。
「y=f'(x)はf(x)の傾きを関数として表したもの」というのは、
若干本末転倒のような気がします。微分は求めるための手段ですから。

23366．Re: 微分
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 16時40分
Original Size: 452 x 546, 93KB

暇つぶしに作ってみたので、参考までに。


23440．Re: 微分
名前：IGA(高２）    日付：9月25日(日) 0時14分
わかりました。
有り難うございました。

23349．教えてください！  
名前：あや（高１）    日付：9月21日(水) 23時52分
２次関数なのですが・・・。
放物線ｙ＝x＾2＋2ax＋bが点（1，1）を通り、かつ、その頂点が直線x＋5y－0の上にあるとき、a、bの値を求めよ。
とにかくわからないです・・・。教えてください！！


23350．Re: 教えてください！
名前：あや（高１）    日付：9月21日(水) 23時56分
間違えました。高３です

23351．Re: 教えてください！
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 0時2分
「点（1，1）を通り」というのは、
「ｙ＝x2＋2ax＋bのxとyに１を代入せよ」
ということです。これで式が１つ。

さらに、「その頂点が直線x＋5y=(←？)0の上にある」と言っていますから、
まずは、ｙ＝x2＋2ax＋bを平方完成して頂点を出しましょう。
求まった頂点のx座標とy座標をそれぞれx＋5y=(←？)0のx、yに代入します。
これで式がまた一つ。

分からない文字が２つ。関係式が二つ。
連立一次二元方程式で必ずaとbが求まりますよね。

23352．Re: 教えてください！
名前：あや（高１）    日付：9月22日(木) 0時15分
x＋5y－2＝0でした。
わかりやすく説明してもらったので、解けそうです！

もう１つわからない問題があるのですが・・・。
２次関数のグラフで2点（1、1）、（3、1）を通り、かつx軸に接しているものの式を求めよ。　
・・・という問題なのですが、わかりますか・・・？

23354．Re: 教えてください！
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 0時22分
「x軸に接している」と言っていますから、
求める２次方程式はy=a(x-b)2と置けます。
ポイントは頂点のy座標が0であるということです。

後はこの式に（1,1）、（3,1）を代入してやれば解けますよね。

23355．Re: 教えてください！
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月22日(木) 0時24分
先ほどの方のつづきで説明します

もとめる関数をy=ax^2+bx+cとします。(1，1）をとおるのでx=1　y=1を代入して、a+b+c=1 (3,1)を通るので　9a+3b+c=1

y=ax^2+bx+cがx軸に接する→ax^2+bx+c=0 が重解（ただ一つの解）をもつということです。つまり判別式を考えたくなりますね。
D=b^2-4ac=0 分からない文字3つで式3つなので求まりますね。

23357．Re: 教えてください！
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月22日(木) 0時28分
もう一つは上でもおっしゃっているようにy=a(x-p)^2の形に変形して　-2ap=b p^2=cとします。

23358．Re: 教えてください！
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月22日(木) 0時28分
すみませんap^2=cです。

23360．Re: 教えてください！
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 1時8分
私の方法だと、a=1、b=2と求まりますが、
絶対値の計算を避けたければ、HGさんの解法がベターです。
計算量は、おそらく絶対値を外す方が楽だと思いますが。

23367．Re: 教えてください！
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 16時42分
Original Size: 392 x 511, 7KB

回答例を一つ。日本語が変ですが、元のデータを消してしまったので、
そこら辺はご愛敬ということで。


23368．Re: 教えてください！
名前：さすらう人    日付：9月22日(木) 16時58分
最近、頭がカタクなって駄目ですね。

（1,1）と（3,1）のy座標が一致しています。
グラフの対象性より、頂点のx座標が(1+3)/2=2であるのは明らか。
しかも、x軸に接していると言っていますから、
いきなりy=(x-2)2と求まりますよね。

23344．大学１年です。  
名前：マコト    日付：9月21日(水) 19時13分
150!の末尾に続く0の個数を求めよ。

解き方がわからないので解き方をおしえてください。
答えは37こです。
解き方のﾋﾝﾄにて末尾が0→10の倍数→２×５の倍数とありました。
私は10の倍数というのはわかったのですがあとの２×５の倍数に関してはよくわかりませんでした。


23346．Re: 大学１年です。
名前：さすらう人    日付：9月21日(水) 21時23分
10=2*5ですよね。

23361．Re: 大学１年です。
名前：マコト    日付：9月22日(木) 1時59分
なぜ10=2*5のようにばらばらに考えないといけないんですか？
10の倍数だけで考えるのは無理ですか？

23362．Re: 大学１年です。
名前：ヨッシー    日付：9月22日(木) 7時6分
たとえば、５！＝１２０　は、０が１つです。
１０は１回も掛けられていませんが、２が掛けられて、
さらに５が掛けられたら、それで１０を掛けたことになるのです。
　
http://yosshy.sansu.org/

23339．立体図形  
名前：kumi    日付：9月21日(水) 8時47分
立方体の展開図がぜんぜん分かりません。イメ-ジがわきません。いろんな切り方をしているものに立方体の頂点の記号ふっていく問題なんか全滅です。どうしたら、イメ－ジがわいて、分かるようになりますか。教えてください。


23340．Re
名前：のぶなが。    日付：9月21日(水) 11時45分
空間認識能力はある程度うまれつきのものだから
あきらめた方がいいかも。

23342．Re: 立体図形
名前：花パジャ    日付：9月21日(水) 17時32分
粘土板上でさいころを転がす
紙を切ったり折ったりする
ダンボール箱等で遊ぶ
等々

23348．Re: 立体図形
名前：さすらう人    日付：9月21日(水) 21時55分
確か、東大でこんな問題が出たことがありました。
長さが１である辺で作った正四面体に
ぴったり入る球の直径はいくらかというものです。
辺で作るわけですから、もちろん面にあたる部分からは
球がはみ出ることになります。

たとえ、立体やベクトル空間の問題であっても、
平面図に置き換えれば済むことです。
この東大の問題も、例外ではありあません。

人間の脳自体、空間の処理が得意ではないので、
あまり気にすることはないと思います。
どうしてもと言うのなら、七田式などで右脳開発をするしかありません。
それでもイメージ力がつくのには相当な時間がかかります。

23336．この問題の極値の求め方が分かりません  
名前：華　　高2    日付：9月20日(火) 23時53分
　　　　　　　　　　　　ｘ　　
　　ｆ（ｘ）＝ｘ＾２＋∫　　ｔ（ｔ－３）ｄｔ
　　　　　　　　　　　　0
極値の求め方が分からないのでよろしくお願いします。


23337．Re: この問題の極値の求め方が分かりません
名前：さすらう人    日付：9月21日(水) 0時18分
後半の積分の部分を計算してしまえば、
f(x)はただの３次関数になりますよね。
計算結果だけを載せておくとf(x)=x3/3-x2/2
後は微分して増減表をかくなりすればいいだけです。

23338．Re: この問題の極値の求め方が分かりません
名前：華　　高2    日付：9月21日(水) 6時33分
ありがとうございました。

23333．さっぱり・・・  
名前：ＭＳＮ    日付：9月20日(火) 18時29分
y=x^3-(3a^2)x+a^2のグラフにおいて、0＜a＜1のとき、極大と極小の間の部分の通る領域（極大極小は除く）を図示せよ。苦戦してます。どなかたとき方教えてください・・・・


23334．Re: さっぱり・・・
名前：さすらう人    日付：9月20日(火) 21時32分
「0＜a＜1のとき、極大と極小の間の部分の通る領域（極大極小は除く）を図示せよ。」は、
「0<a<1において、極大値と極小値にはさまれる曲線の通る領域で、
かつ、極大値・極小値それぞれの軌跡を除いたものを図示せよ。」
という意味ですか？
もしもそうなら、力業で解くしかありません。
計算も証明も相当量になると思いますが。。

23335．Re: さっぱり・・・
名前：ＭＳＮ    日付：9月20日(火) 23時39分
何度も確認しましたが、そう書いてあります。

23330．(untitled)  
名前：確率の苦手な（高１）    日付：9月19日(月) 20時37分
君とＢ君がそれぞれ４回ずつさいころを投げる。２人とも、１の目が３回以上出る確率を求めよ。７／４３２×７／４３２と解答がなっていましたが、それぞれが最低３回１の目を出す確率は１／２１６になるような気がするのですがそれ以上が思いつかないので。。。。解き方を教えてください。


23331．Re: (untitled)
名前：確率の苦手な（高１）    日付：9月19日(月) 20時58分
先ほどの問題Ａ君の部分が落ちていました。明日までの宿題なのでよろしくお願いします。
Ａ君とＢ君がそれぞれ４回ずつさいころを投げる。２人とも、１の目が３回以上出る確率を求めよ。７／４３２×７／４３２と解答がなっていましたが、それぞれが最低３回１の目を出す確率は１／２１６になるような気がするのですがそれ以上が思いつかないので。。。。解き方を教えてください。

23332．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月19日(月) 22時56分
とりあえず平凡に考えると、
Aが3回1の目を出す確率は4C3(1/6)3(5/6)
Aが4回1の目を出す確率は(1/6)4
ゆえにAが最低3回1の目を出す確率は4C3(1/6)3(5/6)+(1/6)4=7/432

23327．方程式  
名前：数学できない人（高3）    日付：9月19日(月) 16時56分
方程式　1/x＋1/2y＋1/3z＝4/3…①を満たす正の整数の組(x,y,z)について考える｡
(1)x＝1のとき,正の整数y,zの組をすべて求めよ｡
(2)xのとりうる値を求めよ｡
(3)方程式①を解け｡
(1)から分かりません｡お願いします


23328．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：9月19日(月) 18時22分
ｘ＝１　だと、
　1/2y＋1/3z＝1/3
両辺 6yz �|けて、
　3z＋2y＝2yz
変形して
　2yz-2y-3z=0
　(2y-3)(z-1)＝3
()内は整数なので、
　2y-3=1, z-1=3 より
　2y-3=3, z-1=1 より
　2y-3=-1, z-1=-3 より
　2y-3=-3, z-1=-1 より
という具合に解きます。上の４つの式のうち、下２つは蛇足です。
　
http://yosshy.sansu.org/

23371．Re: 方程式
名前：数学できない人（高3）    日付：9月22日(木) 22時54分
ありがとうございました

23323．高2で三角関数を習っています  
名前：yokoi    日付：9月19日(月) 11時15分
sinxcosxをsin2xで表し、関数 y=sinxcosxのグラフを書け。
という問題がわかりません。宜しくお願いします。


23324．Re: 高2で三角関数を習っています
名前：ヨッシー    日付：9月19日(月) 11時21分
まずは、sin2x って、どう書けるんでしたっけ？
それがわからないと、sinxcosx の変形のしようがありません。
　
http://yosshy.sansu.org/

23325．Re: 高2で三角関数を習っています
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月19日(月) 13時3分
sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx

つまり
sinxcosx=1/2*sin2xのグラフを書く

23343．Re: 高2で三角関数を習っています
名前：yokoi    日付：9月21日(水) 18時19分
返信遅れました。おかげさまで解決しました！ありがとうございます。

23318．条件少ない？  
名前：カチノナ    日付：9月18日(日) 21時42分
ある４桁の自然数に７をかけると自然数は並び変わった。元の自然数を求めよ。
どんな風に並び変わったかが書かれていないので困ってます。


23321．Re: 条件少ない？
名前：らすかる    日付：9月19日(月) 2時9分
全通り調べたら、答は1359だけのようです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23322．うまい方法は思い付かなかったのですが
名前：らすかる    日付：9月19日(月) 2時50分
求める自然数は、条件から1000以上1428以下です。

1000～1099
1000×7=7000、1099×7=7693から、7が含まれます。
もし十の位が7とすると、1070×7=7490、1079×7=7553から、
4か5が含まれていますので、1074か1075となりますが、
1074×7=7518, 1075×7=7525で条件を満たしません。
もし一の位が7とすると、10?7×7=7??9となりますので、
1097となりますが、1097×7=7679で条件を満たしません。
従って、1000～1099ではありません。

1100～1142
1100×7=7700、1142×7=7994から、7が含まれます。
十の位は7ではありませんが、もし一の位が7とすると
9が含まれますので、1100～1142になりません。
従って、1100～1142ではありません。

1143～1199
1143×7=8001、1199×7=8393から、8が含まれます。
十の位が8とすると、1180×7=8260、1189×7=8323から
2または3が含まれますが、1182、1183はいずれも条件を
満たしません。
一の位が8とすると、7×8=56から6が含まれますので
1168となりますが、これも条件を満たしません。
従って、1143～1199ではありません。

1200～1285
1200×7=8400、1285×7=8995から、8が含まれます。
十の位が8なら、1280×7=8960から9が含まれますが、
1289は範囲外で条件を満たしません。
一の位が8なら、6を含みますので1268となりますが、
これも条件を満たしません。
従って、1200～1285ではありません。

1286～1299
1286×7=9002、1299×7=9093から、9と0が含まれますので
1290となりますが、条件を満たしません。
従って、1286～1299ではありません。

1300～1399
1300×7=9100、1399×7=9793から、9が含まれます。
十の位が9とすると、1390×7=9730から、7が含まれますので
1397となりますが、条件を満たしません。
一の位が9とすると、9×7=63から、3が含まれますが、
3は既に含んでいます。
仕方がないので1309, 1319, 1329, …, 1389を順に7倍
してみると、1359だけが条件を満たします。

1400～1428
1400×7=9800から、9が含まれます。
十の位は9ではありませんが、もし一の位が9とすると
3が含まれますので、1439になって範囲外です。
従って、1400～1428ではありません。

以上により、条件を満たすのは1359だけとなります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23326．Re: 条件少ない？
名前：カ�`ノナ    日付：9月19日(月) 16時47分
一応解けるのですね。有り難うございました。

23314．数Ⅲ  
名前：初夏    日付：9月18日(日) 18時0分
斜辺BCの長さが一定な直角三角形ABCの頂点Bを中心、BAを半径とする円がBCと交わる点をPとする。弧APと２線分PC、CAによって囲まれる部分の面積が最大となるときには、その面積は三角形ABｃの面積の半分に等しいことを証明せよ。
という問題のですが∠ABCをαと置いてやったのですが...あと少しのところで上手くいきません宜しくお願いします


23317．Re: 数Ⅲ
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 20時35分
BCの長さをkとでもおきましょうか。すると、
△ABC=kcosα×ksinα×1/2=k2sinαcosα/2
扇形BAP=(kcosα)2π×α/2π=k2αcos2α/2
∴求める面積S(α)=(k2/2)(sinαcosα-αcos2α)
微分すると、S'(α)=(k2/2)sinα(2αcosα-sinα)
よってS(α)は2αcosα-sinα=0をみたす角度のときに最大値をとります。
この角度をθとおくと、2θcosθ-sinθ=0　∴θ=sinθ/2cosθ・・・★
よって最大値S(θ)は、
S(θ)=(k2/2)(sinθcosθ-θcos2θ)
=(k2/2){sinθcosθ-(sinθ/2cosθ)cos2θ)}(∵★)
=k2sinθcosθ/4
ところで、この値はα=θのときの△ABCの面積k2sinθcosθ/2の半分です。

23319．Re: 数Ⅲ
名前：初夏    日付：9月18日(日) 23時2分
ありがとうございました。θ=sinθ/2cosθを使ってS(θ)=(k2/2)(sinθcosθ-θcos2θ)
=(k2/2){sinθcosθ-(sinθ/2cosθ)cos2θ)｝に持っていく事ができなかったみたいです

23309．(untitled)  
名前：マコト    日付：9月18日(日) 16時57分
Original Size: 1055 x 779, 38KB

添付します。


23310．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 17時5分
(n+1)!/(k+1)!{n-(k+1)}!ではなくて、
(n+1)!/(k+1)!{n+1-(k+1)}!ですね。

23308．面積を最小にする傾き  
名前：口内炎で苦しんでる人    日付：9月18日(日) 14時44分
α>1、β>1を定数とする。xy平面で、点(α,β)を通る直線l（←エル）と放物線y=x^2で囲まれる面積を最小にするlの傾きを求めよ。また、その最小の面積を求めよ。

解けそうでうまく計算できません。。


23311．Re: 面積を最小にする傾き
名前：口内炎で苦しんでる人    日付：9月18日(日) 17時13分
問題文が抜けてました↓↓
直線lは、「原点と」点(α,β)を通る直線です。

23312．Re: 面積を最小にする傾き
名前：口内炎で苦しんでる人    日付：9月18日(日) 17時19分
あ゛ー、ノートに写した時点で問題が混ざってしまっていました。。
本当にすいません。。。

正しくは、

α>1を定数とする。xy平面で、点(1,α)を通る直線l（←エル）と放物線y=x^2で囲まれる面積を最小にするlの傾きを求めよ。また、その最小の面積を求めよ。

でした。

23313．Re: 面積を最小にする傾き
名前：口内炎で苦しんでる人    日付：9月18日(日) 17時24分
接線になったら面積がゼロだろうなんて、悩んでました。。。
これなら見通しがつきます。
お騒がせしてすいません。

23320．Re: 面積を最小にする傾き
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月18日(日) 23時6分
∫(a→b) (x-a)(x-b)=-1/6*(b-a)^3を使えば楽に解けると思います。

23299．数列  
名前：shouhei    日付：9月18日(日) 12時0分
赤玉と白玉が合わせて１０個入った袋がある。この袋の中から玉を３個どうじに取り出すとき、赤玉が出ない確率は１０分の７であるという。袋の中に白玉は何個入っているか。


23300．数列
名前：shou（高１）    日付：9月18日(日) 12時9分
赤玉と白玉が合わせて１０個入った袋がある。この袋の中から玉を３個同時に取り出すとき、赤玉が出ない確率は１０分の７であるという。袋の中に白玉は何個入っているか。解説お願いします。

23302．Re: 数列
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月18日(日) 13時0分
問題文どおりに解答しよう（どこが数列なんだ？）

白をx個　赤を10-ｘ個とおく。

10個の玉から3つを順序関係なく取り出すのは10C3通り。そのうち赤球が出ないくみあわせ、つまり白球のみ取り出す組あわせはxC3

よって次の等式が成り立つ
xC3/10C3=7/10 x(x-1)(x-2)/720=7/10 x(x-1)(x-2)=504 この3次方程式を展開して解くよりも、数字を当てはめた方が楽。x=9　つまり白球は9個　

23304．確率
名前：shou（高１）    日付：9月18日(日) 13時5分
赤玉と白玉が合わせて１０個入った袋がある。この袋の中から玉を３個どうじに取り出すとき、赤玉が出ない確率は１０分の７であるという。袋の中に白玉は何個入っているか。

23306．Re: 数列
名前：のぶなが。    日付：9月18日(日) 13時7分
xC3/10C3=7/10
xC3/10C3=x(x-1)(x-2)/{10*9*8}=7/10

x(x-1)(x-2)=9*8*7 ∴x=9

23298．数列  
名前：shouhei    日付：9月18日(日) 11時59分
Ａ，Ｂ，Ｃ、Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの８文字を無作為に１列に並べるとき、次のようになる確率を求めよ
ＡはＢより左で、ＢはＣより左にある。


23301．数列
名前：shou（高１）    日付：9月18日(日) 12時10分
Ａ，Ｂ，Ｃ、Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの８文字を無作為に１列に並べるとき、次のようになる確率を求めよ
ＡはＢより左で、ＢはＣより左にある。解説お願いします。ちなみに解答は６分の１と書いてありました。

23303．Re: 数列
名前：のぶなが。    日付：9月18日(日) 13時1分
1/3!=1/6

23305．確率
名前：shou（高１）    日付：9月18日(日) 13時7分
Ａ，Ｂ，Ｃ、Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの８文字を無作為に１列に並べるとき、次のようになる確率を求めよ
ＡはＢより左で、ＢはＣより左にある。
１／３！になる解説をお願いします

23307．Re: 数列
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月18日(日) 13時13分
条件ではABCという順にならべないといけないのでこのABCの並び方3!通りの意味です。

23285．再度投稿します。  
名前：ヨシュア    日付：9月18日(日) 8時54分
３つの文字a,b,cを繰り返しを許して、左から順にn個並べる。
ただし、aの次は必ずcであり、bの次も必ずcである。このような規則を満たす列の個数をⅩnとする。たとえば、Ⅹ1＝３、Ⅹ2=5である。
（１）Ⅹn+2をⅩn+1とⅩnで表せ。

n＋２個並べた文字列のうち
　最後に並べた文字がcの文字列について
　その前の文字はaまたはbまたはcである。
　よって、この場合の文字列の個数はⅩn+1
　最後に並べた文字がbの文字列について　　　
　その前の文字はcであり、更にその前の文字は
　aまたはbまたはcである。
　よって、この場合の文字列の個数はⅩn
最後に並べた文字がaの文字列について
　その前の文字はcであり、更にその前の文字は
aまたはbまたはcである。
　よって、この場合の文字列の個数はⅩn
よってⅩn+2=Ⅹn+1＋2Ⅹn


23286．Re: 再度投稿します。
名前：ヨシュア    日付：9月18日(日) 8時56分
解答の意味がよくわかりません。
なぜcとbとaの場合を求めたら最後に答えが導かれるのかわかりません。
それと別解も教えてください。
　大学１年です。

23290．Re: 再度投稿します。
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 9時42分
>なぜcとbとaの場合を求めたら最後に答えが導かれるのかわかりません。
この列の最後尾は絶対aかbかcです。ですから、最後尾がaの場合の列の個数、最後尾がbの場合の列の個数、最後尾がcの場合の列の個数の和は結局、列の総数に等しくなります。

23295．Re:
名前：soredeha    日付：9月18日(日) 11時5分
　３つの文字a,b,cを 規則を満たして n＋1個 並べたときの任意の列の最後に c を付けると、このn＋2個並べた列は規則を満たします。この列の個数は、X n+1 であり、n＋2個並べた文字列で最後に並べた文字がcの文字列は、これ以外にはありません。
　n＋2個並べた列の最後に並べた文字がbの場合、　その前の文字は c です。３つの文字a,b,cを 規則を満たして n 個 並べたときの任意の列の後ろに c と b をこの順に並べた列は規則を満たします。その個数は X n であり
n＋2個並べた文字列で最後に並べた文字が bの文字列は、これ以外にはありません。
　n＋2個並べた列の最後に並べた文字が a の場合も同様です。
よって
X n+2 = X n+1 ＋X n ＋X n

23297．Re: 再度投稿します。
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 11時7分
あまり代わり映えのしない別解を。
xn+2を最初の文字で場合分けして考えます。
1°最初の文字がaの場合。2番目はcであり、3番目以降のn文字は条件を満たしていれば自由なので、xn通り。
2°最初の文字がbの場合。1°と同様にxn通り。
3°最初の文字がcの場合。2番目以降のn+1文字は条件を満たしていれば自由なのでxn+1通り。
以上よりxn+2=xn+1+2xn

23265．初めまして。質問したいことがあります。  
名前：マミ(大学２生)    日付：9月17日(土) 22時2分
初めまして。数学の質問なんですが解答がなくて答え合わせのしようがなくて困っています。

問題：ある簡単な規則でつくられていく分数の列
　　　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,…
を考える。
(ⅰ)第6番目の分数は何か。
(ⅱ)このようにしてできていく分数の値はある自然数を1/2乗してできる無理数に近づいていくことが分かっている。この無理数は何か。

もしお答えいただけましたらよろしくおねがいします。


23267．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：ハードゲイ　HG    日付：9月17日(土) 22時52分
6番目は99/70でしょう。

23269．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月17日(土) 23時6分
n番目の分数をbn/anとおきます。
すると、次の漸化式が成り立ちます。
an+1=an+bn
bn+1=an+1+an=2an+bn
この漸化式を解くと、
2an={(1+√2)n-(1-√2)n}/√2
√2bn={(1+√2)n+(1-√2)n}/√2
になりますので、n→∞のとき、bn/an→√2

23270．ありがとうございます。
名前：マミ(大学２生)    日付：9月17日(土) 23時39分
こちらもすいません。ｎに6を代入して解くと第6項が出ることになるんでしょうか？この時の６乗はひたすら計算やるんですか？それとも他に解き方があるんでしょうか？？

23271．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月17日(土) 23時40分
おそらく(1)は推測せよ、ということでしょう。

23272．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：マミ(大学２生)    日付：9月17日(土) 23時48分
推測？？推測ですか・・・難しいです。
これは分母と分子をバラバラに考えるんでしょうか？

23273．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月17日(土) 23時52分
そうですね。ばらばらに考えたほうが考えやすいですね。
No.23269の返信を参考に推測なさってみてください。

23274．(ii)で問題文の情報を最大限に利用すると
名前：らすかる    日付：9月18日(日) 0時1分
n番目の分数をbn/anとおくと、漸化式は
an+1=an+bn
bn+1=2an+bn
となり、a1=b1=1 なので、全てのnに対して an と bn は正、従って
bn+1=2an+bn＞an+bn=an+1

2bn+2-3an+2=2(2an+1+bn+1)-3(an+1+bn+1)=an+1-bn+1＜0
より
2bn+2＜3an+2
従って
bn+2/an+2＜3/2 だから、求める無理数は√2
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23275．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：マミ(大学２生)    日付：9月18日(日) 0時3分
答えが1/99になりました。どうでしょうか？？

23277．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 0時11分
6番目の分数はハードゲイさんのおっしゃるとおり、99/70になりますよ

23278．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 0時13分
ら、らすかるさん・・・・頭よすぎです。
そうやって解いたほうがいいですね。

23279．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：マミ(大学２生)    日付：9月18日(日) 0時25分
分かりました！！(＾＾)漸化式を解く前の式に代入してみました。
ありがとうございます。
それから、先ほどの問題もそうなんですが、数学の初見の問題を解く時に数学のできる人はどんなことを考えで解くのでしょうか？積み重ねは大事だと思うんですが、やっぱりセンスとか必要なんですか？？

23281．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 0時43分
与えられた条件を、飛躍しないように、言い換えていこうと考えます。(私の場合は)
センスのことは私よりもらすかるさんに伺ったほうがいいですね。

23282．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：らすかる    日付：9月18日(日) 3時9分
センスのことはよくわかりませんが、私は(ii)を以下のように考えました。
（実際はだるまにおんさんの回答がありましたのでちょっと違いますが）

・「自然数を1/2乗して出来る無理数」は、√2, √3, √5,… のような数。
・数列の値を見ると、1, 1.5, 1.4, 1.417… のように変化しているので
　振動しながら√2に近づいているっぽい。
・√3以上でないことを証明すればよいので、√2と√3の間にある
　特定の値より小さいことを示せばよい。
・2番目の値が3/2なので3番目以降は3/2未満だろうから、そのことを
　示せばよさそう。
・bn/an≦3/2 を示せばよい
　→2bn≦3an を示せばよい
　→2bn-3an≦0 を示せばよい
・漸化式によって 2bn+1-3an+1=an-bn だから、
　an≦bn が言えればよい。
・あとは an≦bn を示す方法を考えて、逆方向に整理。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23291．Re: 初めまして。質問したいことがあります。
名前：のぶなが。    日付：9月18日(日) 10時33分
収束することは分かっているので、
(n→∞)an/bn→x
(an+2bn)/(an+bn)=(x+2)/(x+1)
x=(x+2)/(x+1)
x=√2

23262．ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて  
名前：ヨシュア    日付：9月17日(土) 18時47分
Original Size: 749 x 1024, 63KB

解答の一部解説に関してよくわからなかったので抜粋させて頂きます。


23263．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：ヨシュア    日付：9月17日(土) 19時1分
見えにくい用なので書き込みします。
任意の自然数ｎに対して、次の等式、不等式が成り立つことを、数学的帰納法によって証明せよ。
（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）・・・・・（２ｎ）＝２のｎ乗・１・３・５・・・・・（２ｎ－１）・・・＠

与えられた等式を＠とする。
｛１｝
ｎ＝１のとき
　　左辺＝１＋１＝２、右辺＝２の１乗・（２・１－１）＝２
　　ゆえに、＠は成り立つ。
｛２｝ｎ＝ｋのとき＠が成り立つと仮定すると
　（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・・（２ｋ）・２（２ｋ＋１）
　　＝２のｋ乗・１・３・・・・・（２ｋ－１）・２（２ｋ＋１）
　すなわち（ｋ＋２）・・・・・（２ｋ）（２ｋ＋１）（２ｋ＋２）
　　＝２の（ｋ＋１）乗・１・３・・・・（２ｋ－１）（２ｋ＋１）
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも＠は成り立つ。
｛１｝｛２｝から、すべての自然数ｎについて＠は成り立つ。

23264．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：ヨシュア    日付：9月17日(土) 19時6分
｛２｝の（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・・（２ｋ）・２（２ｋ＋１）から（ｋ＋２）・・・・・（２ｋ）（２ｋ＋１）（２ｋ＋２）
にするときなんでｎ＝ｋ＋１の場合が成り立つのかよくわかりません。

23266．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：だるまにおん    日付：9月17日(土) 22時12分
(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2)は(n+1)(n+2)…(2n)にn=k+1を代入したものになってます。

23283．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：ヨシュア    日付：9月18日(日) 8時43分
それの（２ｋ＋１）ってどこからでてきたんですか？よくわからないのでおねがいします。

23284．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 8時50分
(n+1)(n+2)…(2n-1)(2n)
2n-1にn=k+1を代入してみると？

23287．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：ヨシュア    日付：9月18日(日) 9時10分
(n+1)(n+2)…(2n-1)(2n)
は(n+1)(n+2)…{2(n-1)｝(2n)
ではないのですか？
n-1のとき(2n-1)なのはどうしてですか？
再度すいません。

23288．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：だるまにおん    日付：9月18日(日) 9時17分
2nの一つ前の数は、2n-1ですよね。
あなたの言う2(n-1)=2n-2は2nの二つ前の数です。

23289．Re: ﾁｬｰﾄ式解放と演習BEST数学IﾌﾟﾗｽAの問題集にて
名前：ヨシュア    日付：9月18日(日) 9時34分
わかりました。
どうもありがとうございます。
（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）・・・・・（２ｎ）
のところを（２ｎ）ですべて置き換えてました。

23259．文章題がニガテです。  
名前：金魚花火★    日付：9月17日(土) 10時39分
ある演奏会の入場料は、３０人以上６０人未満の団体に対しては２割５分引きで、６０人以上の団体に対しては３割引きである。３０人以上６０人未満の団体で２割５分引きで入場料を払うより、６０人の団体として入場料を払った方が、１人あたりの料金が安くなるのは、何人以上のときか。


23260．Re: 文章題がニガテです。
名前：金魚花火★    日付：9月17日(土) 11時37分
> ある演奏会の入場料は、３０人以上６０人未満の団体に対しては２割５分引きで、６０人以上の団体に対しては３割引きである。３０人以上６０人未満の団体で２割５分引きで入場料を払うより、６０人の団体として入場料を払った方が、１人あたりの料金が安くなるのは、何人以上のときか。これが、問題です。お願いです。もし、よかったら、教えてください。

23261．Re: 文章題がニガテです。
名前：tonbi    日付：9月17日(土) 16時18分
不等式を使うとすると…です。

考えにくいときは適当に文字をおいてみるのもひとつの手です。

１人分の入場料を、a円とすると、
　２割５分引きは、・・・(1－0.25)＊a＝0.75a　円
　３割引は、・・・・・・(1－0.3)＊a＝0.7a　円

xを、30以上60未満の整数として
　ⅹ人…２割５分引きで、入場料をもとめると、・・・0.75a＊x＝0.75ax　円
　60人…３割引で、入場料をもとめると、・・・・・・0.7a＊60＝42a　円

「３０人以上６０人未満の団体で２割５分引きで入場料を払うより、
　６０人の団体として入場料を払った方が、
　１人あたりの料金が安くなる」
　※１人あたりの料金→どちらの場合でも実質人数は同じなので、全体の料金で比べます。
これから不等式を作ると
　　0.75ax＞42a
これを解いて
　　　x＞56　　　57人以上

確認
※60人としての入場料　0.7a＊60＝42a円

　57人のとき
　　57人で２割５分引きの入場料を支払う・・・１人あたり　0.75a円
　　60人として３割引きで入場料を支払う・・・１人あたり　42a/57≒0.737a円

　56人のとき
　　56人で２割５分引きの入場料を支払う・・・１人あたり　0.75a円
　　60人として３割引きで入場料を支払う・・・１人あたり　42a/56＝0.75a円　　

23253．お願いします（社会人）  
名前：トン    日付：9月16日(金) 20時22分
数学が解かりませんでした。次のような内容です。

静止系（ｘ y z)に対して、等速で運動している系S’(x' y' z')を考えます。簡単にX軸方向に速度ｖで運動している質点p(x y z)を考え、
ｒ=(x y z) r'=(x' y' z')
{x'=x-vt y'=y z'=z t'=t｝
とすることできる。

S系でのベクトルｒの速さは
(dr/dt)={dx/dt , dy/dt , dz/dt}
S'系でのベクトルｒ’の速さは
(dr’/dt)={dx’/dt , dy’/dt , dz’/dt}これをS系から見ると
(dr’/dt)={（dx/dt）-ｖ , dy/dt , dz/dt}こうなる
これをもう一度微分して加速度を算出して
(d^2r/dt^2)={d^2x/dt^2 , d^2y/dt^2 , d^2z/dt^2}

(d^2r’/dt^2)={d^2x’/dt^2 , d^2y’/dt^2 , d^2z’/dt^2}
={（dx/dt）([dx/xt]-v) , d^2y/dt^2 , d^2z/dt^2}
={d^2x/dt^2 , d^2y/dt^2 , d^2z/dt^2}=d^2r/dt^2
となるとありましたが、上の式（dx/dt）([dx/xt]-v)・・これが
どのようにすればd^2x/dt^2こうなるのか解かりませんでした。
どうか教えてください。宜しくお願いします。


23255．Re:
名前：soredeha    日付：9月16日(金) 21時4分
（dx/dt）([dx/dt]-v)、修正すると
→（d/dt）(dx/dt-v)＝d(dx/dt)dt－dv/dt＝d＾2x/dt＾2－0
.

23256．Re: お願いします（社会人）
名前：トン    日付：9月16日(金) 21時18分
ありがとうございます。

最後のdv/dtところが０になるんですか？
このところが解かりません。

d(dx/dt)dtのところは、分子分母にｄ、とｄｔを
かけていると理解していいのですよね？

宜しくお願いします。

23257．Re:
名前：soredeha    日付：9月16日(金) 22時33分
d/dt は、t で微分するという記号です。
「等速で運動している」ので
v＝定数　→　dv/dt＝(d/dt) v＝0

d(dx/dt)/dt＝(dx/dt)を t で微分する、　であり
「d(dx/dt)/dtのところは、分子分母にｄ、とｄｔを
かけている」
という解釈は、取りあえずは式の覚え方と思ってください。
もちろん、そうゆう解釈も可能ですが。

23258．ありがとうございました
名前：トン    日付：9月17日(土) 5時13分
ｖが定数だったんですね。
詳しく教えて頂きありがとうございました。

23235．つまらない質問ですが・・・  
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時0分
ふと分からなくなってしまいました

sinα+sinα = 2sinα　or sin2α　どちらでしょう？？

お願いします。


23238．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時9分
2sinαです。

23239．たびたびすみません
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時21分
sin(α/2)の値はどのようにすれば求まるのでしょう？
いろいろやってみましたがどうもうまくいきません…

23241．Re:
名前：soredeha    日付：9月16日(金) 0時26分
sinα を　a とおくと
sinα+sinα＝a＋a＝2a＝2sinα

半角の公式
sin2(α/2)＝(1－cosα)/2
.

23242．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時27分
半角の公式はご存知でしょうか。
sin²(α/2)=(1-cosα)/2

23245．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時32分
この間習ったばっかりですが知っています。
ですが教科書には

sin²(α/2)=(1-cos2α)/2

となっていますが…

23249．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時41分
まじで？
倍角の公式より、cosα=2cos²(α/2)-1　∴cos²(α/2)=(1+cosα)/2
sin²(α/2)=1-cos²(α/2)=1-(1+cosα)/2=(1-cosα)/2だと思いますよ。

23250．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時45分
(1-cos2α)/2
＝{1-(2cos²α-1)}/2
＝(2-2cos²α)/2
＝1-cos²α
＝sin²α
≠sin²(α/2)ですよ

23251．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時48分
おそらく印刷ミスかと…
何度見ても同じでした(笑
チャートには
sin²(α/2)=(1-cosα)/2
とのっていますので こちらが正しいでしょう
どうりで何度計算しても行かなかったわけです_|￣|○

23252．Re: つまらない質問ですが・・・
名前：らすかる    日付：9月16日(金) 4時10分
もしかして、
sin^2(α)=(1-cos2α)/2
のように左辺がα/2ではなくαになっているのでは
ないでしょうか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23232．解けました！！！  
名前：Yokoi    日付：9月15日(木) 23時40分
教科書には載っていないようでした…
チャートを調べたところしっかり解説されていました。
お手数かけて申し訳ございません


23233．Re: 解けました！！！
名前：Yokoi    日付：9月15日(木) 23時41分
書き込みミスすみません…

23237．Re: 解けました！！！
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時5分
加法定理でも解くことができると思いますよ。

23240．Re: 解けました！！！
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時26分
加法定理ですか？？

(cos60°cosθ　-　sin60°sinθ)+(cos60°cosθ　+　sin60°sinθ)

でしょうか？

23244．Re: 解けました！！！
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時29分
ですね。それは
＝2cos(π/3)cosθ
＝cosθ

23246．Re: 解けました！！！
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時34分
すみません

2cos(π/3)cosθ　⇒　cosθ　

といく過程がよくわからないのですが…

23247．Re: 解けました！！！
名前：だるまにおん    日付：9月16日(金) 0時35分
cos(π/3)の値はなんでしたっけ。

23248．Re: 解けました！！！
名前：yokoi    日付：9月16日(金) 0時37分
そうでした！！！！！！！
難しく考えて詰まらない所を見落としていました。
今後気をつけます。ありがとうございます。

23225．三角関数に関する質問です  
名前：Yokoi    日付：9月15日(木) 23時11分
高２です。

cos(60°＋θ)＋cos(60°－θ)を簡単にせよ

という問題がわかりません。パイを表示できないため弧度法から度数法に直しました。宜しくお願い致します。


23229．Re: 三角関数に関する質問です
名前：だるまにおん    日付：9月15日(木) 23時26分
和積の公式を使ってみましょうか。
すなわち、cosA+cosB=2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}の関係を用いてみましょう。

23222．数Ⅲ  
名前：すばる    日付：9月15日(木) 21時38分
ご無沙汰してます。

定積分∫[0→a]√(a^2-x^2)dxを求めよ。ただし、a>0とする。

という問題なんですが、この手の類はx=asinθとおいて…と習ったのですが、おかなかったら解けないのでしょうか？学校の先生が言うには、三角関数を使わないとπが出ないから、おかないとできない。とのことだったのですが、本当にそうなんでしょうか？どなたか教えてください！


23223．Re: 数Ⅲ
名前：だるまにおん    日付：9月15日(木) 23時7分
図形的な意味を考えれば置換せずとも答えを出すことができます。
すなわち、y=√(a²-x²)の0からaまでの面積を考えます。

23224．Re: 数Ⅲ
名前：すばる    日付：9月15日(木) 23時11分
すみません、もう少し詳しく教えていただけますか？これすごい気になってるんです！お願いします。

23226．Re: 数Ⅲ
名前：すばる    日付：9月15日(木) 23時13分
y=√(a^2-x^2)のグラフは半円のさらに半分になるんですよねぇ。そこはわかるんですが…

23227．Re: 数Ⅲ
名前：だるまにおん    日付：9月15日(木) 23時18分
半径がaの円の面積はπa²なので、その半分の半分の面積は・・・

23228．Re: 数Ⅲ
名前：すばる    日付：9月15日(木) 23時21分
あーー！！その手ですか！
でもそれってこの問題でしかできませんよね？
定積分∫[0→1]dx/(1+^2)を求めよ。
とかだとできない気がするんですが…

23230．Re: 数Ⅲ
名前：だるまにおん    日付：9月15日(木) 23時27分
そのような問題だと、x=tanθで置換するしかないかもしれません・・・

23231．Re: 数Ⅲ
名前：すばる    日付：9月15日(木) 23時29分
んーーやっぱそーなんですかねぇ。どーがんばっても無理なんでしょうか…そんな問題ってあるんでしょうか？？おかないでやってみたいんですよねー。

23234．Re: 数Ⅲ
名前：だるまにおん    日付：9月15日(木) 23時57分
うーん、ごめんなさい。よく分かりません。ほかの人に伺ってみましょう。
だれか教えてください！！

23254．多分
名前：トン    日付：9月16日(金) 20時47分
円の面積の件ですが、結構複雑になるような・・・
もしよろしければメールをいただけますか
photon7t@infoseek.jp

23219．三角錐  
名前：hachi    日付：9月15日(木) 11時3分
以前、デスクによく乗っている三角錐型の「課長」とか書かれた三角塔を、折り紙で簡単に作るホームページを見た覚えがあるのですが、探し出せません。どなたか教えて下さい。

23213．不定積分  
名前：たく    日付：9月14日(水) 22時42分
不定積分cosx/(1+cosx)の計算の仕方がわかりません。
どなたか教えて下さい。


23214．Re: 不定積分
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月14日(水) 22時55分
cosx/(1+cosx)=(1+cosx-1)/(1+cosx)=1-1/(cosx+1)と変形してみて半角の公式を使う。

23216．Re: 不定積分
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月14日(水) 23時4分
半角の公式　(cos(x/2))^2=(1+cosx)/2
(tanx)'=???

答えはx-tan(x/2)

23217．Re: 不定積分
名前：たく    日付：9月14日(水) 23時11分
後半は半角の公式を使うと2×1/{cos^2(x/2)}になると思うのですが，
この先がよくわかりません。どのように積分すれば良いのでしょうか？

23218．Re: 不定積分
名前：たく    日付：9月14日(水) 23時21分
HGさんの上のヒントでわかりました！
ありがとうございました。

23212．質問です  
名前：すすか（中３）    日付：9月14日(水) 20時6分
「２次方程式を利用して解くことのできる問題を作ってみましょう」
と言われたどんな問題を作りますか？？


23215．Re: 質問です
名前：HG　（ハードゲイ）    日付：9月14日(水) 23時1分
一番簡単なのは

長さが14cmの針金を使って面積が12cm^2の長方形を作りたい。それぞれの辺を何cmにすればよいか？

一辺をxcmとすると横の長さは7-x cm x*(7-x)=12 7x-x^2=12 x^2-7x+12=0 (x-3)(x-4)=0 答えは3cmと4cm

23221．Re: 質問です
名前：すすか（中３）    日付：9月15日(木) 19時29分
お～なるほど！
ありがとうございました。
参考になります。

23206．(untitled)  
名前：calamity    日付：9月13日(火) 20時35分
a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2) (n≧3)により定まる数列{a(n)}に対して
nが3の倍数ならばa(n)は偶数であり、nが3の倍数でなければa(n)は奇数であることを証明せよ。
という問題です。具体的にやってみてそうなることはわかるんですが
証明できません。。解説をお願いします


23209．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月13日(火) 22時27分
a1,a2は奇数。
a3=a1+a2=奇数+奇数=偶数
a4=a2+a3=奇数+偶数=奇数
a5=a3+a4=偶数+奇数=奇数
a6=a4+a5=奇数+奇数=偶数
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
これを上手くまとめればよいのではないでしょうか。

23210．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：9月14日(水) 1時6分
a(k+3)-a(k)=a(k+2)+a(k+1)-a(k)
=a(k+1)+a(k)+a(k+1)-a(k)
=2a(k+1)
従ってa(k+3)とa(k)の偶奇は同じで
a(1)=奇数、a(2)=奇数、a(3)=偶数だから
問題の通りになります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23211．Re: (untitled)
名前：花パジャ    日付：9月14日(水) 1時13分
a(n)=2a(n-2)+a(n-3) (n≧4)
より、
a(n-3)が奇数ならa(n)も奇数、a(n-3)が偶数ならa(n)も偶数

23203．(untitled)  
名前：えま    日付：9月13日(火) 17時25分
放物線y=x2+2x+kがx軸と異なる2点で交わるような定数kの範囲を求めなさい｡
お願いします｡


23204．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月13日(火) 17時51分
放物線y=x2+2x+kがx軸と異なる2点で交わる
⇔x2+2x+k=0が異なる2つの実数解を持つ
ということですから、思わず判別式のことを考えたくなりますね。

23193．(untitled)  
名前：calamity    日付：9月12日(月) 17時26分
各辺の長さが1の正四面体をPABCとし、Aから平面PBCへ下ろした垂線の足を
Hとする。V(PA)=V(a) V(PB)=V(b) V(PC)=V(c)とおく
(1)V(PA)をV(b),V(c)で表せ
(2)正四面体PABCの体積を求めよ

(1)がわかりません。(2)は(1)が解ければわかると思うので
答えだけ参考にしたいので教えていただければと思います。
解説をお願いします


23195．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月12日(月) 21時5分
問題文にミスはありませんか？
V(PA)=V(a)をV(b),V(c)で表すのですか？

もし、V(PH)を求めろという問題なら、Hが△PBCの重心であることに着目しましょう

23205．Re: (untitled)
名前：calamity    日付：9月13日(火) 20時25分
問題の間違いだそうです。ありがとうございました
やはりPHでした

23192．(untitled)  
名前：まなみ    日付：9月12日(月) 17時20分
数列の階差の部分が分からないのですが・・・・・
どうやって考えてとけばいいのですか？？


23194．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月12日(月) 18時23分
具体的な問題をお願いしてもいいですか？

23202．Re: (untitled)
名前：顔なし    日付：9月13日(火) 16時9分
　基本は、言葉を理解する事。
教科書などをよく読んで、意味のわからない言葉があればその説明を何度も何度も読むことです。それでもわからなくて質問しているのでしょうけど、さらによく読みましょう。そもそも階差って何?
　やり方を覚えても、すぐに忘れるし、新しい単元でも同じことの繰り返しです、文章を読んで理解できるようになると、話を聞く事も楽になり、授業を聞いただけで、理解できるようになります。
　数学のわからない人は、算数で培うべき数の原理を習得していない、基本的な言葉の意味をしっかりとらえていない、じっくりと理解しながら文章を読んでいない。人の話を集中して聞けない。…のでこれを克服すれば「階差」なんてすぐわかりますよ！
　

23187．(untitled)  
名前：えみ()    日付：9月11日(日) 23時2分
関数ｆ（ｘ）はｘ≦３のとき　ｆ（ｘ）＝ｘ
　　　　　　　ｘ＞３のとき　ｆ（ｘ）＝－３ｘ＋１２で与えられている。
このときｘ≧０に対して関数ｇ（ｘ）をｇ（ｘ）＝∫ｘ０（上がｘ、下が０）ｆ（ｔ）ｄｔと定める。
（１）０≦ｘ≦３のときｇ（ｘ）＝アであり　
　　　　ｘ≧３のときｇ（ｘ）＝イである。
（２）曲線ｙ＝ｇ（ｘ）をCとする。C上の点P（a,g(a)）（ただし０＜a＜3）におけすCの接線Lの傾きはウであるからLの方程式はｙ＝エである。
緊急でお願いします!!


23198．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：9月13日(火) 9時19分
（１）
０≦ｘ≦３のとき
　ｇ（ｘ）＝∫0xｔdt
　　＝[ｔ2／２]0x＝ｘ2／２
ｘ≧３のとき
　ｇ（ｘ）＝∫03ｔdt＋∫3x(-3t+12)dt
　　＝９／２＋[－３ｔ2／２＋１２ｔ]3x
　　＝９／２＋(－３ｘ2／２＋１２ｘ)－(－２７／２＋３６)
　　＝－３ｘ2／２＋１２ｘ－１８

（２）
　０≦ｘ≦３　のとき、ｇ（ｘ）＝ｘ2／２　なので、
　ｇ’（ｘ）＝ｘ
よって、点Ｐにおける接線の傾きは、ａ。
このとき、Ｌの方程式は
　ｙ－ｇ（ａ）＝ａ(ｘ－ａ)
　ｙ＝ａｘ－ａ2＋ａ2／２
　　＝ａｘ－ａ2／２
　
http://yosshy.sansu.org/

23186．積分かな・・・・？  
名前：えみ    日付：9月11日(日) 23時1分
関数ｆ（ｘ）はｘ≦３のとき　ｆ（ｘ）＝ｘ
　　　　　　　ｘ＞３のとき　ｆ（ｘ）＝－３ｘ＋１２で与えられている。
このときｘ≧０に対して関数ｇ（ｘ）をｇ（ｘ）＝∫ｘ０（上がｘ、下が０）ｆ（ｔ）ｄｔと定める。
（１）０≦ｘ≦３のときｇ（ｘ）＝アであり　
　　　　ｘ≧３のときｇ（ｘ）＝イである。
（２）曲線ｙ＝ｇ（ｘ）をCとする。C上の点P（a,g(a)）（ただし０＜a＜3）におけすCの接線Lの傾きはウであるからLの方程式はｙ＝エである。

23183．食塩水の問題です  
名前：Pico（小学５年）    日付：9月11日(日) 22時15分
５％の食塩水に、１００ｇの水を加えたら３％の食塩水になりました。５％の食塩水は、何ｇありましたか。
線分図を書いてみたのですができません。よろしくお願いします。


23184．Re: 食塩水の問題です
名前：あきちゃん    日付：9月11日(日) 22時25分
初め食塩水が□ｇあったとすると、

□：100＝3％：（5－3）%
□：100＝3：2
よって、□＝150

（答）150ｇ

23188．Re: 食塩水の問題です
名前：らすかる    日付：9月12日(月) 4時36分
食塩の量が変わらずに5％から3％になりましたので、
全体の量が3から5に増えたことになります。
増えた分の2が100gなので、元の3は150gです。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23189．Re: 食塩水の問題です
名前：ヨッシー    日付：9月12日(月) 7時33分

線分図で描くとこうです。
倍数算の考え方で、上の線の比を３倍、下の線の比を５倍します。
すると、○と△の中の数字は、同じ尺度として計算できます。
　４８５－２８５＝２００
という計算をしてもいいということです。
　
http://yosshy.sansu.org/

23190．Re: 食塩水の問題です
名前：ヨッシー    日付：9月12日(月) 7時40分
天秤算で解くとこうです。

５％のところに何ｇの重りをつるすと、３％のところでつりあうでしょう？
この？ｇが、求める答え(５％の食塩水の量）です。
　
http://yosshy.sansu.org/

23200．Re: 食塩水の問題です
名前：Pico（小学５年）    日付：9月13日(火) 15時20分
よくわかりました。いろいろな考え方があるのでおもしろいです。もっと一生懸命頑張ります。

23177．回転体の体積  
名前：ゆり（高３）    日付：9月11日(日) 20時30分
次の問題は、どのように解けばよいのでしょうか。

A(0,1),B(-1,0),C(1,0)と直線ｋ：y=mx+1（0≦m≦1）がある。
このとき、直線ｋを軸として三角形ABC（内部を含む）を1回転してできる立体の体積をⅤ(m)とする。
このとき、Ⅴ(m)の最大値と最小値を求めよ。


23191．Re: 回転体の体積
名前：ヨッシー    日付：9月12日(月) 7時44分
パップス・ギュルダンの定理でも使いますかね？
　
http://yosshy.sansu.org/

23199．Re: 回転体の体積
名前：ヨッシー    日付：9月13日(火) 11時8分
0≦ｍ≦1 のとき、直線ｋは、下図左のような範囲を動きます。
これを、右の図のように、直線を固定して、三角形が動いていると考えます。

ここで、簡単のため、三角形を1:1:√2 の三角形と考え、
あとで2√2 倍することにします。


図のように直角を原点として、θ＝∠ＡＯＤ とします。
ただし、０≦θ≦π／２

ＤＡを半径とする円の面積は　πsin2θ
ＢＣを半径と刷る円の面積は、πcos2θ

より、台形ＡＢＣＤを回転させた円錐台の体積は、
(πsin2θ＋πcos2θ＋πsinθcosθ)×(sinθ＋cosθ)／３
△ＡＤＯを回転させた円錐の体積は
　πsin2θcosθ／３
△ＢＣＯを回転させた円錐の体積は
　πcos2θsinθ／３
これらを差し引いて、
求める回転体の体積は
π(sin3θ＋sin2θcosθ＋sinθcos2θ＋cos3θ)／３
　＝π(sinθ＋cosθ)／３
　＝√2πsin(θ＋π／４)／３
θ＝０　のとき最小値　π／３
θ＝π／４　のとき最大値　√2π／３
実際の体積は、最小値 2√2π／３、最大値４π／３　となります。

パップス･ギュルダンの定理を使った方法では、

△ＡＢＣの重心と、直線ｋとの距離が
　ｍ＝０　のとき最大値２／３
　ｍ＝１　のとき最小値√2／３
になることを踏まえて、
△ＡＢＣの面積は１であるので、
回転体の体積Ｖは
　最大値：Ｖ＝２π×２／３＝４π／３
　最小値：Ｖ＝２π×√２／３＝2√2π／３
となり、上の結果と一致します。
　
http://yosshy.sansu.org/

23174．因数分解  
名前：中２の子をもつ親    日付：9月11日(日) 18時28分
娘に尋ねられても答えられないので、助けてください。
「(a+b)(b+c)(c+a)+abcを因数分解せよ」というもの。
考え方も含めてよろしくお願いします。


23176．Re: 因数分解
名前：だるまにおん    日付：9月11日(日) 19時31分
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(ab+ca+b2+bc)(c+a)+abc
=abc+c2a+b2c+bc2+a2b+ca2+ab2+abc+abc
=abc+ab(a+b)+abc+bc(b+c)+abc+ca(c+a)

23178．Re: 因数分解
名前：こんちんこんち    日付：9月11日(日) 20時43分
文字が複数出てくる式を因数分解する際、最も次数の低い文字について整理するのが基本ですよね。
(a+b)(b+c)(c+a)+abcの場合、a,b,cのいずれについても2次式ですのでどの文字について整理しても同じことになります。
ここでは、aについて整理すると、
与式＝(b+c)a^2+{（b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
となります。これは、二次式の因数分解ですので「たすきがけ」でとけます。
「たすきがけ」　のプロセスはパソコン上でうまく打ち込めないので省略しますが、「たすきがけ」の結果、以下のような結果が得られるはずです。
与式＝{（b+c)a+bc}{a+(b+c)}
あとは、これを簡単に変形するだけでしょう。

23179．Re: 因数分解
名前：中２の子をもつ親    日付：9月11日(日) 20時57分
みなさんありがとうございます。
親の面目躍如？（こんなやり方では×ですかねぇ）できます。

23180．Re: 因数分解
名前：中２の子をもつ親    日付：9月11日(日) 21時48分
どうも、すみません。
なんだか、あのあとも「簡単に変形するだけ」ができなくて、もう一押し、アドバイスをお願いします。

23182．Re: 因数分解
名前：だるまにおん    日付：9月11日(日) 22時1分
私のやり方でもいいですか？

abc+ab(a+b)+abc+bc(b+c)+abc+ca(c+a)
=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)

オレンジの部分はabで、水色の部分はbcで、pinkの部分はcaでくくったら、
共通因数(a+b+c)がでてきたので、あとはこれでくくれば完成です。

23185．Re: 因数分解
名前：こんちんこんち    日付：9月11日(日) 22時29分
簡単に変形するとは。

与式＝{（b+c)a+bc}{a+(b+c)}
　　＝(ab+bc+ca)(a+b+c)
という変形を意図していました。

それにしても、中2でこの問題をやるとは、娘さんはかなりの難関校に通われているか、難関校を目指されているのではないでしょうか？

娘さんが優秀とは、うらやましいですね。（もしかすると、父親似かもしれませんね。）

23196．Re: 因数分解
名前：中２の子をもつ親    日付：9月12日(月) 22時20分
再び、ありがとうございました。私立中学なので、カリキュラムが独自でものによってはどんどん進んでいるようです。私の頭はどんどん引き離されていきます。また、機会があったら教えてください。

23197．Re: 因数分解
名前：豆    日付：9月13日(火) 2時32分
多少テクニカルで、お勧めではないですが、A=a+b+cとおくと、
abcの項が消えるので、何とかならないか、と考えると、
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(A-c)(A-a)(A-b)+abc
=A^3-(a+b+c)A^2+(bc+ca+ab)A-abc+abc
=(a+b+c)(bc+ca+ab)　　(∵A^3=(a+b+c)A^2)

23173．(untitled)  
名前：ジダン    日付：9月11日(日) 13時1分
評価
（１）診断的評価、形成的評価、総括的評価について解説せよ。
　　　特殊化と一般化
（２）①ａ　円周率と中心角の間には、どのような関係があるか予想せよ。
　　　　ｂ　ａの予想が正しいことを証明せよ。

　　　②ａ　ｎ個の異なる要素から成る集合の部分集合の個数を予想せよ。
　　　　ｂ　ａの予想が正しいことを証明せよ。

（３）①　オープンエンドアプローチと呼ばれる学習活動について解説せよ。
　　　②　オープンエンドの問題を作成せよ。
　　　③　②の問題に対する解答例を３つ挙げ、それぞれの解答は、どうよう　　　　　な観点から導かれたものであるか解説せよ。

以上の問題です。完全解答で宜しくお願いします。

23162．ヨッシーさんへ  
名前：のど飴    日付：9月10日(土) 23時55分
ヨッシーさんが質問にお答えなさっているときに、よく、動画、図を添えてらっしゃいますが、あれはどのようにして、作っているのか教えていただけませんか？？ちなみに、私はコンピュータについては、全くだめな人間なものなので、難しいことであれば理解できるかどうかわかりませんが・・・。よければ教えてください。


23163．Re: ヨッシーさんへ
名前：だるまにおん    日付：9月10日(土) 23時58分
私にも教えてください。

23168．Re: ヨッシーさんへ
名前：ヨッシー    日付：9月11日(日) 4時48分
私のページのトップに「アニメＧＩＦの出来るまで」がありますので、ご覧下さい。
今では、花子２００４になっています。
　
http://yosshy.sansu.org/

23171．Re: ヨッシーさんへ
名前：だるまにおん    日付：9月11日(日) 7時22分
ありがとうございます！！
ヨッシーさんみたいな図が描けるようになるようにがんばります！

23172．Re: ヨッシーさんへ
名前：のど飴    日付：9月11日(日) 10時46分
おおおおおおおお。
感動ですぅ。。。＆見逃してました・・・。
あはははは・・・。ありがとうございました。

23160．教えてください。  
名前：Trty    日付：9月10日(土) 23時12分
体積1の四面体ＯＡＢＣがある。ＯＡ上に、ＯＤ：ＤＡ＝ｔ：1-ｔとなるＤをとり、ＯＢ上にＯＥ：ＥＢ＝ｔ：1-ｔとなるＥをとったとき、三角形ＣＤＥの重心をＧとし、Ｇをとおり、ＯＡに平行な直線と、面ＡＢＣとの交点をＰとする。（1）↓ＧＰを↓ＯＡとｔで表せ。（2）0＜ｔ＜1の範囲で動くとき、四面体ＰＣＤＥの体積の最大値を求めよ。


23201．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：9月13日(火) 16時4分
(1)
　３ＯＧ＝ＯＣ＋ＯＤ＋ＯＥ
　　　＝ＯＣ＋ｔＯＡ＋ｔＯＢ
これに、ＯＡに平行なベクトルｓＯＡを加えると、
ＯＰになるので、
　ＯＰ＝ＯＧ＋ｓＯＡ
　　　＝(ＯＣ＋ｔＯＡ＋ｔＯＢ)／３＋ｓＯＡ
　　　＝(ｓ＋ｔ／３)ＯＡ＋ｔＯＢ／３＋ＯＣ／３
Ｐは△ＡＢＣと同一平面上にあるので、
　(ｓ＋ｔ／３)＋ｔ／３＋１／３＝１
３を掛けて、
　３ｓ＋２ｔ＋１＝３
　ｓ＝(２－２ｔ)／３
よって、
　ＧＰ＝ｓＯＡ＝(２－２ｔ)ＯＡ／３
　
http://yosshy.sansu.org/

23158．マクローリン展開について質問です。　高３  
名前：きよみずん    日付：9月10日(土) 22時52分
はじめまして、自分は大学１回生のものです。マクローリン展開について質問させてもらいます。

問題は
『f(x)＝tan(-1乗)x、g(x)＝coshｘとする。合成関数h(x)＝f(g(x))＝tan(-1乗)(coshｘ)のマクローリン展開をx(2乗)の項まで求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　』
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　というものです。
　どなたかよろしければ、この問題の解答と解答までの過程をできれば詳しく教えていただけないでしょうか？
　よろしくお願いします。

23154．樹形図の数  
名前：はくｘ    日付：9月9日(金) 19時26分
　今日頭に浮かんだ問題なのですが、
｢樹形図の末端の葉の数がnで一定のとき何通りの樹形図が描けるか｣
という問題について、解法を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。


23155．Re: 樹形図の数
名前：らすかる    日付：9月10日(土) 9時13分
解法とか全然わかりませんが、↓これのことでしょうか。
http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A001003

23156．Re: 樹形図の数
名前：ヨッシー    日付：9月10日(土) 10時59分
なるほど、上記の数列のページでは、ｎ個の文字で出来た文字列
（たとえば、abcd）の適当な位置に括弧をつける方法の数ということで、
表現していますね。
括弧の数はいくつでもいいですが、(abcd) は、abcd と同じとみなし、
((abc))d というような、無意味な括弧（これは (abc)d と同じ）や、
(ab))cd( のように、閉じていない括弧は禁止です。
文字なしで、ｎ組の括弧をつじつまが合うように並べる
　(()(())())
これは５組の括弧を並べた１例ですが、この括弧の並べ方がカタラン数、
文字付きのが、スーパーカタラン数ですか。
でも、一般形はあるのでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

23164．Re: 樹形図の数
名前：はくｘ    日付：9月11日(日) 3時8分
>ラスカルさん
わざわざ調べて下さりありがとうございます。
英語には苦戦しましたがなんとか解読に成功しました。
1,1,3,11,45まで私の数え上げた結果と一致ました。
この問題の答えはスーパーカタラン数になるんですね。
あと、すごい便利なサイトですね！数列の検索しまくってます。（笑）

>ヨッシーさん
解説ありがとうございます。
スーパーカタラン数のnが葉の数なら、カタラン数は一定の長さの
枝の数がnと言えそうです。

23167．Re: 樹形図の数
名前：はくｘ    日付：9月11日(日) 3時34分
スーパーカタラン数の一般形は漸化式で以下のようになるようです。
(下のほうのformula: Recurrence: のところに載ってました)

a(1) = a(2) = 1;
for n > 1, 　(n+1)a(n+1) =3(2n-1)a(n)-(n-2)a(n-1)

23169．Re: 樹形図の数
名前：らすかる    日付：9月11日(日) 4時57分
確かにその式で計算すると載っている数列と一致しますね。
でもそんな漸化式、どうやって出したんでしょうねぇ…

# 私も、最初は手作業で1,1,3,11,45まで出して、
# それをそのサイトで検索しました。
# 全然関係ないですが、私も少し登録しています。
# (A103535,A103536,A104519)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23145．どなたか教えて下さい。  
名前：小６    日付：9月7日(水) 22時13分
縦１５ｍ、横１０ｍ、高さ２ｍの壁に囲まれた長方形の土地の中に６ｍの街灯があります。この街灯による壁の外側にできる影の面積は何ｍでしょう。


23151．Re: どなたか教えて下さい。
名前：らすかる    日付：9月7日(水) 23時36分
街灯が壁より出てる分は4mなので、
(街灯から壁の上端まで)：(街灯から地面まで)＝4：6となり、
影の周囲の大きさは壁の大きさと比べて縦横それぞれ1.5倍ずつに
なります。従って影の周囲は縦22.5m、横15mなので、
壁の外側に出来る影の面積は 22.5×15－15×10＝187.5m^2 です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

23152．Re: どなたか教えて下さい。
名前：ヨッシー    日付：9月8日(木) 8時11分
街灯がどの位置にあっても、土地の中にある限り、影の面積は同じです。

　
http://yosshy.sansu.org/

23144．(untitled)  
名前：くろ    日付：9月7日(水) 22時11分
だるまにおんさん，ありがとうございます。
同じ問題で，もし，f(x)=a^x-xの最小値を求めよ，とあればどのように考えればよいのでしょうか？


23148．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月7日(水) 22時25分
場合分けが必要になりますが、オーソドックスに、微分して増減表書いて、という流れ作業でできます。

23149．Re: (untitled)
名前：くろ    日付：9月7日(水) 22時29分
微分したらf'(x)=a^xloga-1になると思うのですが，場合わけについてはどのように考えたらよいのでしょうか。度々申し訳ないです，

23150．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月7日(水) 22時35分
loga≦0だと、axloga-1<0です。

23139．(untitled)  
名前：くろ    日付：9月7日(水) 21時49分
f(x)=a^x-xが０以上になることを証明したいのですがどうすればよいでしょうか。ちなみにa>0でｘは正の実数とします。どなたかよろしくお願いします。


23140．問題の訂正です。
名前：くろ    日付：9月7日(水) 21時53分
f(x)=a^x-xが０以上になるようなaの範囲を出したいのですがどうすればよいでしょうか。ちなみにa>0でｘは正の実数とします。どなたかよろしくお願いします。

23143．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：9月7日(水) 22時2分
ax-x≧0
⇔ax≧x
⇔xloga≧logx
⇔loga≧(logx)/x
g(x)=(logx)/xとおくと、g(x)は極大値を持ちますが、その値をαとおくと、
loga≧αであればいいと思います。

23137．方程式  
名前：しん    日付：9月7日(水) 19時46分
円柱の立方体のもとめかた


23138．Re: 方程式
名前：だるまにおん    日付：9月7日(水) 20時5分
円柱の立方体とは何でしょうか？
具体的な問題があればお書き願いできますか？

まぁ、でも掲示板の使い方と日本語の習得が先決ですが。

23136．公式  
名前：しん    日付：9月7日(水) 19時44分
円柱の立方体の方程式

23127．お願いします。  
名前：すすか（中３）    日付：9月6日(火) 20時50分
２次方程式なんですが、教わったばかりでよくわかりません。

（１）ｘ二乗+６ｘ＝１　　　（２）ｘ二乗-４ｘ＝３

（３）ｘ二乗-２ｘ-１＝０

よろしくお願いします


23129．Re: お願いします。
名前：だるまにおん    日付：9月6日(火) 20時54分
ax2+2bx+c=0の解は
x={-b±√(b2-ac)}/a
になるのはよろしいですか？

23131．Re: お願いします。
名前：ＴＯＭ    日付：9月6日(火) 22時12分
このことかな？

（１）ｘ＾２+６ｘ＝１
ここでｘの係数６の半分の2乗を両辺にたします。すると・・・

　　　ｘ＾２＋６ｘ＋９＝１＋９
　　　（ｘ＋３）＾２＝１０
あとはこの形の方程式が何ページか前にあるはず
　　　ｘ＋３＝Aとでもおき
　　　　A^2＝１０
　　　　Å＝±√10
　　　ｘ＋３＝±√10
　　　　ｘ＝－３±√１０

（３）もｘ＾２－２ｘ＝１としてからやってみよう

23132．Re: お願いします。
名前：すすか（中３）    日付：9月6日(火) 22時25分
すみません。
全然わからないのですが・・・

23133．Re: お願いします。
名前：だるまにおん    日付：9月6日(火) 22時43分
平方完成しましょう。
x2+6x-1=0
(x+3)2-9-1=0
(x+3)2=10
∴x+3=±√10
∴x=-3±√10

23134．Re: お願いします。
名前：すすか（中３）    日付：9月6日(火) 22時52分
なんとなくわかった気がします。
ありがとうございました。
参考書など見て理解します・・

23135．Re: お願いします。
名前：ヨッシー    日付：9月7日(水) 14時58分
私のページの「ミニ講座」に「二次方程式の基礎」があります。
　
http://yosshy.sansu.org/

23126．よろしくお願いします  
名前：林    日付：9月6日(火) 20時40分
三角形ABCにおいて、
sin＾2A+sin＾2B=sin＾2C 、cosA+5cosB+cosC=5
が成立しているものとする。辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、b、cで表したとき
(a+c)/bの値を求めよ。

よろしくお願いします。


23130．よろしくお願いします
名前：林    日付：9月6日(火) 21時33分
自己解決しました。
ご迷惑おかけしました。
マルチなどすみませんでした。

23115．漸化式  
名前：IGA(高２）    日付：9月5日(月) 22時10分
漸化式で
a(1)=-1　　　　　a(n+1)=2a(n)-2n-1があるとします。
これについてただ単に特性方程式でx=2n+1とでてきてこれを辺々からひいても答えはでません。
何故でしょうか。


23116．Re: 漸化式
名前：だるまにおん    日付：9月5日(月) 22時15分
特性方程式が活躍できるのは、a(n+1)=αa(n)+βのように
βが定数の時でないといけません。
-2n-1は変数です。

23118．Re: 漸化式
名前：ヨッシー    日付：9月5日(月) 22時56分
ではどうするかというと、
　a(n+1)=2a(n)-2n-1
が、
　a(n+1)+α(n+1)+β=2(a(n)+αn+β)
となることを目指します。展開して係数比較すると、
　α＝－２、β＝１
b(n)＝a(n)-2n+1　とおくと、初項　b(1)=-1-2+1=-2、公比２の等比数列になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

23119．Re: 漸化式
名前：だるまにおん    日付：9月5日(月) 23時0分
a(n+1)=2a(n)-2n-1
⇔{a(n+1)-2n-1}=2{a(n)-2n-1}
両辺は同じ系統の数列ではありません。
b(n)=a(n)-2n-1とおくと、b(n+1)=a(n+1)-2(n+1)-1=a(n+1)-2n-3
b(n+1)≠a(n+1)-2n-1ですね。

23120．Re: 漸化式
名前：ヨッシー    日付：9月5日(月) 23時17分
途中に私のがはさまって、ややこしくなってしまいました。

だるまにおんさんの 23119番の記事は、23115番の記事へのレスと思われます。
特性方程式（らしきもの）から得られる　x=2n+1 をa(n+1)，a(n) から引いても
成り立たない、という説明です。

私の記事は、別物として読んでください＞＞IGA(高２)さん　
http://yosshy.sansu.org/

23121．Re: 漸化式
名前：だるまにおん    日付：9月5日(月) 23時21分
ごめんなさい、、ヨッシーさん、IGAさん

23122．Re: 漸化式
名前：ヨッシー    日付：9月5日(月) 23時26分
いえいえ。
謝られるようなことは何も。

これからも、よろしくお願いしますよ。

まぁ、私の書き込みも、何とか上下の話をつなげようと、
こじつけたものですが。
　　
http://yosshy.sansu.org/

23123．Re: 漸化式
名前：soredeha    日付：9月6日(火) 1時25分
　a(n+1)=2a(n)-2n-1　--------------------------(1)

特性方程式を使った解法と同様にできます。ただし
右辺の後ろ＝-2n-1　　ですから
x＝pn＋q とおきます。
a(n)　を　pn＋q 、
a(n+1)　を　p(n+1)＋q 、に置き換えた式
p(n+1)＋q＝2(pn＋q )-2n-1 をつくります。　----(2)
pn＋(p＋q)＝(2p－2)n＋(2q－1)
p＝2p－2
p＋q＝2q－1　　とおいて　　p＝2　　q＝3　　(2)へ代入
2(n+1)＋3＝2(2n＋3 )-2n-1 　-------------------(3)
a(n+1)=2a(n)-2n-1　----------------------------(1)
(1)－(3) より
a(n+1)－｛2(n+1)＋3｝=2｛a(n)－(2n＋3 )｝
b(n+1)＝2b(n)　　　ただし　b(n)＝a(n)－(2n＋3 )
b(n)＝b(1)・2＾(n－1)　　　　　b(1)＝a(1)－(2・1＋3 )＝-1－5＝- 6
b(n)＝- 6・2＾(n－1)＝- 3・2＾n
a(n)＝b(n)＋(2n＋3 )＝2n＋3－3・2＾n

23125．こんな方法も
名前：黒蟻    日付：9月6日(火) 16時0分
a(n＋1)＝p(n)a(n)＋q(n) (常にp(n)≠0)
という形の漸化式を解きます。S(n)＝p(1)p(2)…p(n)とおいて、漸化式の両辺をS(n)で割ると
a(n＋1)/S(n)＝a(n)/S(n－1)＋q(n)/S(n)
となります。これは数列{a(n)/S(n－1)}に関する、単なる階差数列ですから、解決したも同然です。ただし、この方法だと 階差数列の計算が面倒になる場合が多いです。

例：a(n＋1)＝2a(n)－2n－1，a(1)＝1
両辺を2^nで割って、
a(n＋1)/2^n＝a(n)/2^(n－1)－(2n＋1)/2^n
よって、
a(n)/2^(n－1)＝a(1)/2^0－Σ[i＝1～n－1](2i＋1)/2^i
＝(3＋2n)/2^(n－1)－4
a(n)＝3＋2n－2^(n＋1)

23157．Re: 漸化式
名前：IGA(高２）    日付：9月10日(土) 22時51分
すいません。学校の行事の準備等で忙しく書き込めませんでした。
有り難うございました。

23114．計算式  
名前：IGA(高２）    日付：9月5日(月) 22時8分
1-1/(k+1)! + k+1/(k+2)!=1-{(k+2)-(k+1)/(k+2)!}
となるらしいのですが、右辺の分数で－がでてくるのが理解できません。どのようにやったのでしょうか。
お願いします。


23117．Re: 計算式
名前：だるまにおん    日付：9月5日(月) 22時18分
1/(k+1)！=a、k+1/(k+2)！=bとおきます。
1-a+b=1-(a-b)

23159．Re: 計算式
名前：IGA(高２）    日付：9月10日(土) 22時52分
有り難うございました。

23111．和  
名前：FRUIT    日付：9月4日(日) 19時1分
{１}、{１、４、９}、{１、４、９、１６}…の数列の第100項及び
初項から第100項までの和を求めよ。

という問題で

第100項が第ｎ群にあるとするとｎ≠１であるから
　　　　　　　　　　　　　　　↑どうしてｎ≠１を考えるのですか？

１/２（ｎ－１）ｎ＜１００≦１/２ｎ（ｎ+１）　ゆえにｎ＝14

　↑この不等号の違いはなんですか？？

第１４群の第ｍ項のｍを求めるのはどのようにしたらできますか？

を教えてください。分からないことだらけです・・・。　高３


23112．Re: 和
名前：ヨッシー    日付：9月4日(日) 20時19分
正しくは、
{１}、{１、４}、{１、４、９}、{１、４、９、１６}…
ですね。
第ｎ群にあることを
「第ｎ－１群の最後の項の番号よりも大きい」
「第ｎ群の最後の項の番号以下である」
と書き換えられます。（番号とは、第何項かという数を言っています。上の16の番号は１０です）
つまり、第３群にあるということは、その番号が３より大きく６以下であることと同じです。

第ｎ－１群を考えるので、ｎ＝１をはずしています。
上に書いたように「より大きい」「以下」というのが「＜」「≦」に対応します。

第１３群の最後の数の番号は
　１３×１４÷２＝９１
ですから、そのあと、９個数えれば１００です。
　
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23113．Re: 和
名前：FRUIT    日付：9月4日(日) 20時47分
どうもありがとうございました！！！
やってみます。

23105．確率  
名前：とも　高３    日付：9月4日(日) 11時59分
１つのさいころを続けて３回投げ、出た目の数を順にＸ，Ｙ，Ｚとするとき、次の確率を求めよ。
・Ｘ，Ｙ，Ｚの最小値が４以上となる確率。

まず僕の考え方を書きます。
（ア）最小値が４のとき
　　最小値が４となる（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の組み合わせは３×３×３=２７
　（４の目が必ず１回出て、残りは４以上の目が出ればよいから）
（イ）最小値が５のとき
　　アと同様に考えて　３×２×２=１２
（ウ）最小値が６のとき　
　　（Ｘ，Ｙ，Ｚ）=（６，６，６）の１通り
ア、イ、ウより求める確率は　
（２７+１２+１）/６×６×６=５/２７　

となったのですが答と合いません。どこが間違っているのでしょうか？
よろしくお願いします。　


23106．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：9月4日(日) 13時21分
(ア) の３というのは、４か５か６ということですよね？つまり
　１回目が４か５か６
　２回目が４か５か６
　３回目が４か５か６
ということですね？すると、この中には、
（６，６，６）も（５，６，６）も入っているわけです。
ですから、（イ）（ウ）でよけいなものを足さなくても
　２７／２１６＝１／８
で良いのです。
　
蛇足ながら、（イ）の３×２×２　は、何を求めているのか分かりません。
また、（ア）の「（４の目が必ず１回出て、残りは４以上の目が出ればよいから）」も
説明としては正しくありません。
　
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23108．Re: 確率
名前：とも　高３    日付：9月4日(日) 14時4分
説明ありがとうございます。
（ア）で僕が言いたかったのは（Ｘ、Ｙ、Ｚ）３箇所のいずれかに必ず４が入り、残り２箇所には４，５，６の目の３つのうちどれかが入るので　３×３×３=２７　ということです。
確率は毎回決まった考え方で解けないのでどうも苦手です。。

23109．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：9月4日(日) 15時3分
結果として、最小値が（５でも６でもなく）４である場合の数は２７ではないので、
その考え方は誤りと言えます。
どこが違うかというと、
４が出るのが１回目か２回目か３回目の３通り→例えば１回目としましょう
それ以外の２回目は、４か５か６の３通り→４としましょう
同じく３回目は、４か５か６の３通り→４としましょう
として選ばれた（４，４，４）と
４が出るのが１回目か２回目か３回目の３通り→例えば２回目としましょう
それ以外の１回目は、４か５か６の３通り→４としましょう
同じく３回目は、４か５か６の３通り→４としましょう
から選ばれる（４，４，４）は同じものなのに、何回も選ばれています。
結果、２７と思っている内容は
(4,4,4)(4,4,5)(4,4,6)(4,5,4)(4,5,5)(4,5,6)(4,6,4)(4,6,5)(4,6,6)
(4,4,4)(4,4,5)(4,4,6)(5,4,4)(5,4,5)(5,4,6)(6,4,4)(6,4,5)(6,4,6)
(4,4,4)(4,5,4)(4,6,4)(5,4,4)(5,5,4)(5,6,4)(6,4,4)(6,5,4)(6,6,4)
であり、同じものがいくつも現れているのが分かります。
太字は、４を入れると決めた回数に４が入ったものを表します）
　
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23110．Re: 確率
名前：とも　高３    日付：9月4日(日) 15時36分
分かりやすい説明ありがとうございます。
やっとなぜ間違っているのかが分かってスッキリしました。

23094．重積分  
名前：ふみや    日付：9月2日(金) 22時3分
(1)∬D (x+y+1)^2dxdy [D:x>=0, y>=0,x+y<=1]
(2)∬D log x/(y^2) dxdy [D:1<=y<=2]
を計算しなさい。
宜しくお願いします。


23096．Re: 重積分
名前：みっちぃ    日付：9月2日(金) 22時30分
重積分は逐次積分に書き直しましょう．
積分区間の書き方として[x:0→1]は，「xの区間として，上が1で下が0」と言う意味です．

(1) 与式=∫[x:0→1] {∫[y:0→1-x] (x+y+1)^2 dy} dx となります．
今，∫(x+y+1)^2 dy =(1/3)*(x+y+1)^3 なので，区間を代入すると
与式=∫[x:0→1] (1/3)*{2^3 -(x+1)^3} dx = [(8/3)x -(x+1)^4/12](x:0→1を代入)
=8/3 -(16/12)+1/12 =17/12．

(2)の領域は，これでいいのですか?
これだと解けません．

23101．Re: 重積分
名前：ふみや    日付：9月3日(土) 21時6分
申し訳ありません。問題にミスがありました。
　　（２）　[D:1<=y<=x<=2]
です。

23103．Re: 重積分
名前：みっちぃ    日付：9月4日(日) 1時5分
(2) logの中身はxだけですよね?
これも逐次積分に直します．

与式=∫[x:1→2] {∫[y:1→x] log(x)/y^2 dy} dx です．

∫[y:1→x] log(x)/y^2 dy = log(x)*∫[y:1→x] 1/y^2 dy とlog(x)はyの積分には関係ないので，外に出すことが出来ます．
=log(x)*{-1/x +1}=log(x) -(1/x)*log(x) です．

で，∫log(x) dx=xlog(x) -x，∫(1/x)*log(x) dx=(1/2)*{log(x)}^2なので，
与式=∫[x:1→2] log(x) -(1/x)*log(x) dx =(途中省略)=2log(2) -1 -(1/2)*{log(2)}^2．

23092．コンビネーション  
名前：Trty    日付：9月2日(金) 20時39分
nが自然数のとき、2nＣn＝∑[ｋ＝1～ｎ]（ｎＣｋ)^2であることを示せ、という問題です。（1）で、nＣm＝n-1Ｃm＋n-1Ｃm-1を証明させられたので、これを使うのはわかるんですが・・・。どなたか教えてください。


23093．Re: コンビネーション
名前：Trty    日付：9月2日(金) 20時40分
Ｋ＝0～nでした

23095．Re: コンビネーション
名前：キューダ    日付：9月2日(金) 22時10分
男ｎ人、女ｎ人の合計２ｎ人いる。
これをｎ人ずつの２つのグループに分ける事を考える。
以下略。

23097．Re: コンビネーション
名前：soredeha    日付：9月2日(金) 22時33分
nＣm＝n-1Ｃm＋n-1Ｃm-1　　　　　　　は、使いません。
nCr＝nCn-r　　　　　　　　　　　　　　　　を使います。
(1＋x)＾(2n)＝1＋・・・＋2nCn x＾n＋・・・　　　　　また
(1＋x)＾(2n)＝(1＋x)＾n (1＋x)＾n
＝(nC0＋・・・＋nCr x＾r＋・・・＋nCnx＾n)
(nC0＋・・・＋nCk x＾k＋・・・＋nCnx＾n)
＝1＋・・・＋(nC0n・Cn＋nC1・nCn-1＋・・・＋nCr・nCn-r＋・・・＋nCn・nC0) x＾n＋・・・
x＾n　の係数が一致するから
2nCn＝Σ[r＝0、n] nCr・nCn-r＝Σ[r＝0、n] nCr・nCr

23098．Re: コンビネーション
名前：だるまにおん    日付：9月2日(金) 22時36分
(1+x)2n
=(1+x)n(1+x)n
=(nC0+nC1x+nC2x2+･･･+nCnxn)
×(nC0+nC1x+nC2x2+･･･+nCnxn)
ここでxnの係数を考えると、
2nCn=nC0nCn+nC1nCn-1+･･･+nCnnC0
=(nC0)2+(nC1)2+(nC2)2+･･･+(nCn)2

23102．Re: コンビネーション
名前：Trty    日付：9月3日(土) 21時58分
できました。ありがとうございます。

23091．ベクトル  
名前：akira    日付：9月2日(金) 11時16分
ベクトルの内積はｎ次元に拡張しても問題ないんですが、外積もｎ次元ベクトルに対して定義できるんですか？誰か教えてください。


23100．たぶん
名前：はくx    日付：9月3日(土) 11時44分
２つのベクトルで構成される平行四辺形の面積ならn(≧2)次元で、
　√{(|A||B|)^2-(A・B)^2}
２つのベクトルでは3次元以外で外積のための方向は決められない。

3次元の外積の行列式で表現された形から推測して、n(≧2)次元では
n-1個のベクトルを使って外積もどきの「ベクトル」は
つくれるんじゃないかなあ。

23104．Re: ベクトル
名前：花パジャ    日付：9月4日(日) 10時16分
一般化(された)外積、クロネッカー積、テンソル積、等々で検索すると知りたいものに出会えるかもしれません

23107．Re: ベクトル
名前：のぼりん    日付：9月4日(日) 13時46分
｢外積｣は、外積多元環における積のことで、当然ながら一般の次元について定義されています。テンソル積も、テンソル多元環における積なので、次元に関わらず定義されます。Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ積とは、行列を 一階反変一階共変テンソルとみなしたときのテンソル積のことなので、同様です。

質問の「外積｣は、ひょっとしてベクトル積のことでしょうか。そうだとすると、ｎ次元の場合の定義は、例えば、杉浦光男｢解析入門Ⅱ」（東大出版）５８ページに出ています。もっとも、一般の次元のベクトル積は実用性が薄く、応用上、専ら３次元のものが重要です。

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