実数 ａ、ｂ および、虚数単位 ｉ に対し
ｚ＝ａ＋ｂｉ
で表される数を複素数といいます。 参照
ａ を実部、ｂ を虚部といいますが、実部をｘ軸、虚部をｙ軸に取り
座標平面上で複素数を表したものを複素数平面といいます。
図のように、点 (a, b) が ａ＋ｂｉ を表します。
このとき、原点から点 (a, b) 距離までの距離を ｒ、ベクトル (a, b) のｘ 軸からの回転角を θ と
すると、ｚ＝ａ＋ｂｉ は、
ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)
と書けます。
ｒ をこの複素数の絶対値、θを偏角といいます。ただし、ここでは簡単のため、ｒ を長さと呼ぶことにします。
オイラーの公式により、
ｚ＝ｒｅｉθ
と書くと、複素数どうしの掛け算、割り算、べき乗などを容易に計算できます。
実数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ に対し、
ｘ＝ａ＋ｂｉ＝ｒｅｉθ
ｙ＝ｃ＋ｄｉ＝ｓｅｉφ
の２つの複素数を決めます。これらについて各種演算を以下のように決めることが出来ます。
加減算
ｘ±ｙ＝(ａ±ｃ)＋(ｂ±ｄ)ｉ (複合同順)
２つのベクトル (a, b), (c, d) の和、差として表せます。
積
ｘｙ＝ｒｅｉθ×ｓｅｉφ＝ｒｓｅｉ(θ＋φ)＝ｒｓ{cos(θ＋φ)＋ｉsin(θ＋φ)}
ｘｙ は ｘの長さをｓ倍し、φだけ回転したものになります。
これを、 ｅ を使わずに計算すると以下のようになります。
ｘｙ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)×ｓ(cosφ＋ｉsinφ)
＝ｒｓ{(cosθcosφ−sinθsinφ)＋(sinθcosφ＋cosθsinφ)ｉ}
＝ｒｓ{cos(θ＋φ)＋ｉsin(θ＋φ)}
商
ｙ≠０のときにおいて、
ｘ/ｙ＝ｒｅｉθ/ｓｅｉφ＝(ｒ/ｓ)ｅｉ(θ−φ)＝(ｒ/ｓ){cos(θ−φ)＋ｉsin(θ−φ)}
ｘ/ｙ は、ｘの長さを １/ｓ 倍し、−φだけ回転したものになります。
実数乗
実数ｍに対して
ｘm＝(ｒｅｉθ)m＝ｒmｅｉmθ＝ｒm{cos(ｍθ)＋ｉsin(ｍθ)}
ｘmは ｘ の長さを ｍ乗、回転角をｍ倍したものになります。
累乗根
実数乗において、ｍ＝１／ｎとおいた
ｘ1/n＝(ｒｅｉθ)1/n＝n√ｒｅｉθ/ｎ＝n√ｒ{cos(θ/ｎ)＋ｉsin(θ/ｎ)}
も、累乗根の１つではありますが、すべてではありません。
複素数の範囲では、ｎ乗根はｎ個あります。つまり、
長さに関しては、ｎ乗して ｒ になる実数は ｎ√ｒ ですが、
ｎ倍してθになる角度は、θ＋２π、θ＋４π なども同じ角度であることを考慮すると、
(θ＋２ｋπ)/ｎ (ｋ＝0, 1, ・・・,n-1)
と書けます。つまり、θ/ｎ から ２π/ｎ ずつ刻んだｎ個の角度ということになります。
例えば、１の３乗根、４乗根、５乗根は下図の通りです。
余談ですが、この方法で、−１×（−１）＝１ を説明することができます。
まとめると、ｘ の ｎ乗根は、
n√ｒ・ｅ(θ＋２ｋπ)ｉ/ｎ (ｋ＝0, 1, ・・・,n-1)
と表せます。
ｅの複素数乗
ｅx＝ｅa+bi＝ｅaｅbi＝ｅa(cosｂ＋ｉsinｂ)
実数の複素数乗
実数ｍは
ｍ＝ｅlogｍ (log は自然対数) と書けるので、
ｍx＝ｍa+bi＝ｍaｍbi＝ｍa(ｅlogｍ)bi＝ｍaｅbi・logｍ
＝ｍa{cos(ｂ・logｍ)＋ｉsin(ｂ・logｍ)}
複素数の複素数乗
ｘy＝(ｒｅｉθ)y＝ｒyｅｉθ(c+di)＝ｒyｅ(-dθ+ｉcθ)＝ｒcｅdi・logｒｅ(-dθ+ｉcθ)
＝ｒcｅ-dθｅｉ(d・logｒ＋cθ)＝ｒcｅ-dθ{cos(d・logｒ＋cθ)＋ｉsin(d・logｒ＋cθ)}
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