ＴＡＮＥさんからの質問２

問題１　ｓｉｎθ＝−3/5　のとき、θは第何象限の角か。
　　　　また、そのときのｃｏｓθ、ｔａｎθの値を求めよ。

問題２　ｓｉｎθ＝αのとき、ｓｉｎ⁴θ+ｃｏｓ⁴θをαの式で表せ。

問題３　ｓｉｎθ+ｃｏｓθ＝１/√3のとき、ｔａｎθ+１/ｔａｎθの値を求めよ。

問題４　１+１/ｔａｎ²θ＝１/ｓｉｎ²θを証明せよ。


（解答）
まずは、座標上での角度の表し方と、象限について、基礎的なことを確認しておきます。

通常は、下の図のように、単位円（原点を中心として、半径１の円）に対して、角度を決めますが、
ｘ軸方向を０°。そこから、原点を中心に角度を決めます。
また、その延長として、360°を超える角度や、負の角度も決めることが出来ます。
座標平面が、ｘ軸、ｙ軸で区切られる４つの部分を、角度の方向の順に第１象限、第２象限、第３象限
第４象限といいます。つまり、30°, 60°は第１象限の角、120°, 150°は第２象限の角、210°, 240°
は第３象限の角、300°, 330°は第４象限の角、ということになります。
座標軸上の角度(0°, 90°, 180°, 270°など）は、どの象限にも属しません。


さて、図のように単位円と角度θの半径（動径という）を取ると、単位円上の点Ａのｘ座標が cosθ、ｙ座標
が sinθ ということが出来ます。
これを拡張して、90°以上の角度についても、sin、cos を定義することが出来ます。つまり、

のようになります。

では、解答です。

問題１
　sinθ＝-3/5 となる角度は、θが∠ＸＯＡまたは∠ＸＯＢに一致するときである。
つまり、第３象限、または第４象限。

θ＝∠ＸＯＡ（第３象限）　のとき　cosθ＝-4/5、tanθ＝sinθ/cosθ＝3/4
θ＝∠ＸＯＢ（第４象限）　のとき　cosθ＝4/5、tanθ＝sinθ/cosθ＝-3/4
図右側の三角形を参照。

問題２
　公式　sin²θ＋cos²θ＝１
を知っていればすぐ解けますが、まだ習っていないならば、下図の？の部分が cosθに
なるので、cos²θ＝１−α² と求めることが出来ます。今後必要なら、この方法でこの
公式を証明してください。

　　　
以上より、
　ｓｉｎ⁴θ+ｃｏｓ⁴θ＝(sin²θ)²＋(cos²θ)²
　　　　＝α⁴＋(１−α²)²＝２α⁴−２α²＋１

問題３
　公式　sin²θ＋cos²θ＝１　は知っているものとして説明します。
　求める式　ｔａｎθ+１/ｔａｎθ を変形すると
　　ｔａｎθ+１/ｔａｎθ＝ｓｉｎθ/ｃｏｓθ＋ｃｏｓθ/ｓｉｎθ
　　　＝(ｓｉｎ²θ＋ｃｏｓ²)/ｓｉｎθｃｏｓθ
　　　＝１/ｓｉｎθｃｏｓθ
　一方、ｓｉｎθ+ｃｏｓθ＝１/√3　の両辺を２乗して
　　ｓｉｎ²θ＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＋ｃｏｓ²＝１/３
　　１＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１/３
　　２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１/３−１＝−２/３
　　ｓｉｎθｃｏｓθ＝−１/３
　よって、
　　ｔａｎθ+１/ｔａｎθ＝−３

問題４
　tanθが定義されているので、sinθ≠０　としても良い。
　公式　sin²θ＋cos²θ＝１　の両辺を sin²θ で割って
　　１+１/ｔａｎ²θ＝１/ｓｉｎ²θ
　が得られる。

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