ＡＢ//ＤＥ かつ ＡＢ：ＤＥ＝２：１
よって、△ＡＧＢと△ＤＥＧは相似で、相似比は２：１。
よって、ＢＥは、ＡＤを２：１に内分する点Ｇで交わる。
同様に、ＣＦも、ＡＤを２：１に内分する点Ｇで交わる。
以上より、３直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは、一点Ｇで交わる。
考える。
△ＯＢＣにおいて、ＯＤはＢＣの垂直二等分線なので、
ＯＢ＝ＯＣ
△ＯＣＡにおいても同様に、 ＯＣ＝ＯＡ
よって、△ＯＡＢは、 ＯＡ＝ＯＢ の二等辺三角形なので
ＡＢ の垂直二等分線は点Ｏを通る。
以上より、３辺の垂直二等分線は、一点Ｏで交わる。
点Ｉ からＢＣ，ＣＡ，ＡＢ におろした垂線の足をＤ，Ｅ，Ｆとする。
△ＡＥＩと△ＡＦＩ において、
∠ＡＥＩ＝∠ＡＦＩ＝９０°
斜辺は共通
∠ＩＡＥ＝∠ＩＡＦ
よって、△ＡＥＩと△ＡＦＩ は合同となり、ＩＥ＝ＩＦ。
同様に、ＩＦ＝ＩＤ。
よって、ＩＥ＝ＩＤ。
△ＩＣＤと△ＩＣＥ において、
∠ＩＥＣ＝∠ＩＤＣ＝９０°
斜辺は共通
ＩＤ＝ＩＥ
よって、△ＩＣＤと△ＩＣＥ は合同となり、∠ＩＣＤ＝∠ＩＣＥ。
よって、ＣＩ は、∠ＡＣＢの二等分線となる。
以上より、３つの角の二等分線は、一点Ｉで交わる。
（辺ＢＣに対して、点Ａと反対側に取る）の２等分線は一点で交わる。
交点Ｊを考える。
点Ｊから、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢにおろした垂線の足を、Ｄ，Ｅ，Ｆとする。
内心の時と同様に、ＪＦ＝ＪＤ および、ＪＤ＝ＪＥ より、
ＪＦ＝ＪＥ
となり、△ＪＡＦと△ＪＡＥにおいて、
∠ＡＦＪ＝∠ＡＥＪ＝９０°
斜辺は共通
ＪＦ＝ＪＥ
より、△ＪＡＦと△ＪＡＥは合同であり、ＡＪは∠ＢＡＣの
二等分線となる。
以上より、∠Ａの二等分線と、∠Ｂ、∠Ｃの外角の二等分線は一点Ｊで交わる。
垂線は一点で交わる。
図のように、各頂点を通り、対辺と平行な直線で作られる
三角形ＤＥＦを作ると、各垂線は、△ＤＥＦの各辺の垂直二等分線となる。
すなわち、△ＤＥＦの外心を考えることになり、これは１点に決まるので、△ＡＢＣの垂心も１点に決まる。