チェバの定理・メネラウスの定理

三角形ABCの辺BC,CA,AB上に点D,E,Fをとり、線分AD,BE,CFが1点Gで交わるとき、以下の等式が成り立つ。

チェバの定理・メネラウスの定理

チェバの定理の証明
 チェバの定理の証明
 図のように、a=△BCG、b=△CAG、c=△ABG とします。
  AF/BF=b/a、BD/CD=c/b、CE/AE=a/c
 より、
  (AF/BF)(BD/CD)(CE/AE)=(b/a)(c/b)(a/c)=1

メネラウスの定理の証明
 チェバの定理の証明
 図のように、a=△BCG、b=△CAG、c=△DCG とします。
  AF/BF=b/a、BC/CD=a/c、DG/AG=c/b
 より、
  (AF/BF)(BC/CD)(DG/AG)=(b/a)(a/c)(c/b)=1

チェバの定理の拡張形
点Gが△ABCの外にあるときも、成り立ちます。

証明1(点Gが三角形の外角の範囲内にあるとき)

EFとADの交点をHとすると、チェバの定理(基本形)より、
 (AB/BF)(FH/HE)(EC/CA)=1
これを三角形の面積比で表すと、
 (△ABH/△BFH)(△AFH/△AEH)(△ECH/△CAH)=1
順番を組み替えて
 (△AFH/△BFH)(△ABH/△CAH)(△ECH/△AEH)=1
それぞれ、底辺比に置き換えると、
 (AF/BF)(BD/CD)(CE/AE)=1
となり、チェバの定理(拡張形)が証明された。

証明2(点Gが三角形の内角の対頂角の範囲内にあるとき)

辺の比を、三角形の面積比で表すと、
 AF/BF=△ACG/△BCG
 BD/CD=△ABG/△ACG
 CE/AE=△BCG/△ABG
以上より、
 (AF/BF)(BD/CD)(CE/AE)=1


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