チェバの定理の証明
図のように、ａ＝△ＢＣＧ、ｂ＝△ＣＡＧ、ｃ＝△ＡＢＧ とします。
ＡＦ/ＢＦ＝ｂ/ａ、ＢＤ/ＣＤ＝ｃ/ｂ、ＣＥ/ＡＥ＝ａ/ｃ
より、
(ＡＦ/ＢＦ)(ＢＤ/ＣＤ)(ＣＥ/ＡＥ)＝(ｂ/ａ)(ｃ/ｂ)(ａ/ｃ)＝１
メネラウスの定理の証明
図のように、ａ＝△ＢＣＧ、ｂ＝△ＣＡＧ、ｃ＝△ＤＣＧ とします。
ＡＦ/ＢＦ＝ｂ/ａ、ＢＣ/ＣＤ＝ａ/ｃ、ＤＧ/ＡＧ＝ｃ/ｂ
より、
(ＡＦ/ＢＦ)(ＢＣ/ＣＤ)(ＤＧ/ＡＧ)＝(ｂ/ａ)(ａ/ｃ)(ｃ/ｂ)＝１
チェバの定理の拡張形
点Ｇが△ＡＢＣの外にあるときも、成り立ちます。
証明１（点Ｇが三角形の外角の範囲内にあるとき）
ＥＦとＡＤの交点をＨとすると、チェバの定理（基本形）より、
(ＡＢ/ＢＦ)(ＦＨ/ＨＥ)(ＥＣ/ＣＡ)＝１
これを三角形の面積比で表すと、
(△ＡＢＨ/△ＢＦＨ)(△ＡＦＨ/△ＡＥＨ)(△ＥＣＨ/△ＣＡＨ)＝１
順番を組み替えて
(△ＡＦＨ/△ＢＦＨ)(△ＡＢＨ/△ＣＡＨ)(△ＥＣＨ/△ＡＥＨ)＝１
それぞれ、底辺比に置き換えると、
(ＡＦ/ＢＦ)(ＢＤ/ＣＤ)(ＣＥ/ＡＥ)＝１
となり、チェバの定理（拡張形）が証明された。
証明２（点Ｇが三角形の内角の対頂角の範囲内にあるとき）
辺の比を、三角形の面積比で表すと、
ＡＦ/ＢＦ＝△ＡＣＧ/△ＢＣＧ
ＢＤ/ＣＤ＝△ＡＢＧ/△ＡＣＧ
ＣＥ/ＡＥ＝△ＢＣＧ/△ＡＢＧ
以上より、
(ＡＦ/ＢＦ)(ＢＤ/ＣＤ)(ＣＥ/ＡＥ)＝１
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