ヨッシーの八方掲示板

2007年03月の投稿ログ

31555．中学入試の解答なんですが。。解法がよく分かりません。

名前：まみ日付：3月31日(土) 21時13分

中学入試の問題の解説してあるサイトで、灘中学の今年の問題の一日目１２番の（２）解答が、何故そうなるかが分かりません。詳しく説明してもらえないでしょうか？何故、比が１：２：３になるのか理解できないんです。本当に困っています。よろしくお願いします。
http://members.jcom.home.ne.jp/sansuu/nyuushi/06nada/06nada112.html
http://members.jcom.home.ne.jp/sansuu/nyuushi/06nada/06nada112.html

	31556．Re: 中学入試の解答なんですが。。解法がよく分かりません。
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月31日(土) 22時25分
	解法の右下の三角形が3:4:5の直角三角形になることから PHの1とおいてみるとそれぞれが2,3になることがわかります。

	31559．Re: 中学入試の解答なんですが。。解法がよく分かりません。
	名前：まみ日付：4月1日(日) 6時42分
	ふーん。相似なんですね。頑張ってみます！！！ http://members.jcom.home.ne.jp/sansuu/nyuushi/06nada/06nada112.html

	31570．Re: 中学入試の解答なんですが。。解法がよく分かりません。
	名前：ヨッシー日付：4月2日(月) 13時23分
	見たことあると思ったら、これ、去年のですね。それなら、こちらに、載せてありました。　 http://yosshy.sansu.org/

	31586．Re: 中学入試の解答なんですが。。解法がよく分かりません。
	名前：まみ日付：4月3日(火) 9時21分
	ホームページ見せてもらいました！とっても、参考になりました！ヨッシーさんありがとうございます！ http://www2.plala.or.jp/kamkamkam/gimon/no15/menseki.gif

31553．図形

名前：とも日付：3月31日(土) 19時31分

三角形ABCの内部にPをとり、各辺に下ろした垂線の足をH、I、Jとするとき
2（PH+PI+PJ)≦PA+PB+PC
は常に成り立つか？
成り立つならそのことを示し、成り立たないなら反例をあげよ
　
よろしくお願いしますm(_ _)m

	31558．Re: 図形
	名前：だるまにおん日付：4月1日(日) 5時15分
	この本やこの本に証明が載っています。

31552．ベクトル（→は省略します）

名前：エドワード＝コーク 日付：3月30日(金) 23時13分

aを正の整数とする。三角形ABCの内部の点Pが
5PA+aPB+PC=0を満たしているとする。また、直線APと辺BCとの交点Dが辺BCを1:8に内分するとき、aの値を求めよ。

何回計算しても、答えになりません（泣）ですので、途中計算を丁寧に
教えてもらえないでしょうか？ちなみに、a=8です。
お願いします。

	31554．Re: ベクトル（→は省略します）
	名前：豆日付：3月31日(土) 20時11分
	＞直線APと辺BCとの交点Dが辺BCを1:8に内分する ADはAPの何倍かであるのでt倍とすれば、 AD=tAP DはBCを1:8に内分する点なので、 AD=(8AB+AC)/9 二つの式から、 (8AB+AC)/9=tAP AB=-PA+PB、AC=-PA+PC、AP=-PAを代入して、 9(t-1)PA+8PB+PC=0 さて、5PA+aPB+PC=0なので、 9(t-1)=5、8=a　となる。

31548．三角比

名前：クレアセカンド 日付：3月30日(金) 11時49分

∠A=15°、∠C=90°の直角三角形ABCがある。

辺ABの中点をMとし、点Mを通り
辺ABに垂直な直線と辺ACとの交点をDとする。AB=2とするとき
AD^(2)の値を求めよ。

どうやって解いていくのか、ひらめかないです。。
三角形同士の相似を求めるのは分かるんですが
どうにも難しいです
問題のとき方を教えてほしいです
それとこういう問題への対処法とかアドバイスもほしいです。
おねがいします。

	31549．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：3月30日(金) 12時3分
	１．ＡＤ＝ｘ　とおくは、たぶんやったでしょう。２．点Ｄと点Ｂを結ぶこれは？３．△ＢＣＤの角度を調べる４．△ＢＣＤの辺の長さをｘで表す５．△ＡＢＣと△ＡＤＭの相似から、ｘの式を作るここまで来れば、ｘ^2 はすぐ出ます。対処法は、とにかく正確に図を描くことです。あと、明らかになった角度や辺の長さを、そこに書き込む。　　 http://yosshy.sansu.org/

	31550．Re: 三角比
	名前：ミスばかりする教えたがり屋日付：3月30日(金) 15時52分
	いつもヨッシーさんのアドバイスは的確でわかりやすいですね。ヨッシーさんの５．において △ＡＢＣにおいて三平方の定理に当てはめ、ｘについての方程式を作る手もあります。この図において仮定をＡＢ＝２　のかわりにＢＣ＝1 とおくとＡＣ＝２＋√３、ＡＢ＝√６+√２　が導かれて１５度(７５度）を持つ直角三角形の３辺の比は１：(２＋√３）：（√６+√２）　　　となりｓｉｎ１５度、ｃｏｓ１５度、ｔａｎ１５度、ｓｉｎ７５度・・・などの近似値を三角関数表を見ずに計算できる便利なものとなるので、この図を覚えておいて損はないですよ。

	31563．Re: 三角比
	名前：クレアセカンド日付：4月1日(日) 15時1分
	ありがとうございました！けっこう悩んだけれど、一応自分で解けました！線を一つ加えて、相似の三角形を見つけるという発想がなかったです。。＞１５度(７５度）を持つ直角三角形の３辺の比は＞１：(２＋√３）：（√６+√２）　　　となりこういうのは覚えておくと便利そうですよねこういう変わった（？）三角比が載っているサイトなどがあれば教えてほしいのですが、ないでしょうか？こういう三角比ははじめて知りました！知っているとかなり即戦力になりますよね！

	31567．Re: 三角比
	名前：ミスばかりする教えたがり屋日付：4月2日(月) 0時27分
	(1) ３０度の直角三角形から１５度をつくって、その三角比を求める方法と同様にして４５度の直角三角形から22.5度をつくって、その三角比を求めることができる。・・22.5度はあまり利用価値がないですが (2) 頂角Ａが３６度の二等辺三角形ＡＢＣ（底角72度）をもとに18度、　36度、72度の三角比をつくる。　　角Ｂの2等分線とＡＣとの交点をＤとすると△ＡＢＤ,△ＢＣＤも二　等辺三角形ＡＢＣとなる（△ＡＢＤ∽△ＡＢＣ）　ＡＢ＝ｘ,ＢＣ＝１　とおくとＣＤ＝ｘ-１　で△ＡＢＤ∽△ＡＢＣよりｘ＝（1+√5）/2　が求まり・・・・あとは自分で・・・ (3) あとは、知っている角をもとに三角関数の公式を使って自分で拡張　していく。らしきものが下記のところにも載ってました。 http://www2.odn.ne.jp/~cbf13380/Sanko-sho-2003/Sankaku-hi-no-atai-draft.txt

	31568．Re: 三角比
	名前：らすかる日付：4月2日(月) 0時39分
	＞クレアセカンドさん＞こういう変わった（？）三角比が載っているサイトなどがあれば＞教えてほしいのですが、ないでしょうか？三角比の表なら↓こちらにあります（私のサイトです）。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#1

	31587．Re: 三角比
	名前：クレアセカンド日付：4月3日(火) 9時54分
	みなさん、ありがとうございました！いろいろ教えてくださって本当にありがとうございました！サイトのほうもいかせてもらいます！

31538．質問

名前：デブ日付：3月30日(金) 1時20分

平面上に三角形OABがあり、OA＝√3、OB＝2、↑OA・↑OB＝-2を満たしている。点Pを、OP＝ｓ↑OA+ｔ↑OBで定める。ｓ、ｔがｓ≧0、ｔ≧0、ｓ+ｔ≦1、3ｓ+4ｔ≧2を満たして動くとき、点Pの存在する範囲の面積を求めよ。

	31541．Re: 質問
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月30日(金) 7時23分
	sin∠AOB=√(2/3) △OAB=√2 求める面積は △OAB(1-(2/3)(1/2))=(2/3)△OAB=√2(2/3)=2√2/3 より2√2/3

	31547．Re: 質問
	名前：ヨッシー日付：3月30日(金) 11時29分
	ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ　より、　cos∠ＡＯＢ＝-2/2√3＝-1/√3 より、　sin∠ＡＯＢ＝√(2/3) ※sin^2θ＋cos^2θ＝１　と　sin∠ＡＯＢ＞０　よりこちらあたりを見ていただくと、２点Ａ、Ｂに対して、　ＯＰ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢで表される点Ｐは、ｓ＋ｔ＝１　のとき、直線ＡＢ上にあり、とくに、ｓ≧０かつｔ≧０のとき、線分ＡＢ上にあります。ｓ、ｔの正負および、ｓ＋ｔの値と点Ｐの位置の関係は、下のようになります。問題には、ｓ+ｔ≦1 とだけ書いてありますが、ｓ≧0、ｔ≧0 なので、当然　0≦ｓ＋ｔ≦１　です。すると、ｓ＋ｔが、０と１の間で、ｓ、ｔともに０以上の範囲なので、ｓ≧0、ｔ≧0、ｓ+ｔ≦1　は、△ＡＢＯの内部を表します。 3ｓ+4ｔ≧2　は変形すると、　1.5ｓ+2ｔ≧1 と書けますが、　ＯＣ＝(2/3)ＯＡ　ＯＤ＝(1/2)ＯＢつまり、ＯＡを２：１に内分する点をＣ、ＯＢの中点をＤとおき、さらに　ｕ＝1.5ｓ、ｖ＝2ｔとおくと、　ＯＰ＝1.5ｓ(2/3)ＯＡ＋2ｔ(1/2)ＯＢ　　　＝ｕＯＣ＋ｖＯＤ　ｕ＋ｖ≧１、ｕ≧０、ｖ≧０と書けるので、Ｐの範囲はこのようになります。よって、これと、ｓ＋ｔ≦１　との共通部分は、四角形ＡＢＤＣになります。　 http://yosshy.sansu.org/

31537．複素数

名前：みぉ(高２) 日付：3月30日(金) 0時5分

複素数a+bi　（a,bは実数で、i=√(-1)である）が、
(a+bi)^(2)＝i　を満たすとき、
a+biは　【ア】または【イ】である。

２乗したりしてみたのですが、ヒラメキませんでした。。。
よろしくおねがいします！！

	31542．Re: 複素数
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月30日(金) 7時29分
	複素数平面で考えるとすぐわかります。 1/√2+(1/√2)i,-1/√2-(1/√2)i

	31543．Re: 複素数
	名前：ヨッシー日付：3月30日(金) 8時52分
	複素数平面はこちら。２乗する方法だと　(a+bi)^2＝(a^2－b^2)＋2abi＝ｉより、　a^2－b^2＝０　・・・(1) 　2ab＝１　・・・(2) (1) より、ａ＝±ｂａ＝－ｂ　だと、(2) より、-2b^2＝1, b^2＝-1/2 となり不適。ａ＝ｂ　のとき、(2) より、b^2＝1/2, ｂ＝±√2/2 よって、 a+bi　は、√2/2＋√2ｉ/2　または　－√2/2－√2ｉ/2 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31545．Re: 複素数
	名前：みぉ(高２) 日付：3月30日(金) 10時28分
	な、なるほど！！わかりました！教えていただき、本当にありがとうございます！また利用させてください！そのときも、よろしくお願いします。

31528．文字係数の二次不等式

名前：クレアセカンド 日付：3月29日(木) 8時14分

１番：次のxについての不等式を解け。ただし、aは定数とする。
x^(2)-{(a^(2)-a+2}x-a^(3)+2a^(2)≦0

２番：aは定数とする。次の不等式をとけ。
a(x-1)>x-a^(2)

解き方が難しいです・・。
これらの問題の解き方を分かりやすく教えてほしいです。
おねがいします！

	31529．Re: 文字係数の二次不等式
	名前：ヨッシー日付：3月29日(木) 9時12分
	１番　(ｘ－ａ^2)(ｘ＋ａ－２)≦０と表されます。 (ｘ－ａ^2)(ｘ＋ａ－２)＝０の解は、ｘ＝ａ^2 とｘ＝－ａ＋２ですが、どちらが大きいかによって、解が変わってきます。ａ^2＞－ａ＋２　つまり　ａ＜－２　または　ａ＞１　のとき　－ａ＋２≦ｘ≦ａ^2 ａ^2＜－ａ＋２　つまり　－２＜ａ＜１　のとき　ａ^2≦ｘ≦－ａ＋２ａ^2＝－ａ＋２　つまり　ａ＝－２　または　ａ＝１　のとき　ｘ＝ａ^2 ※ａ＝－２　のとき　ｘ＝４、ａ＝１　のとき　ｘ＝１　と分けてもいいでしょう２番これは、１次不等式を解くように変形してみます。　a(x-1)＞x-a^2 　(a-1)x＞a-a^2＝-a(a-1) a=1 のとき、この式は　０＞０となり、上式を満たすｘの範囲は存在しない。 a＞1 のとき a-1＞０より、両辺 a-1 で割って、　ｘ＞－ａ a＜1 のとき a-1＜０より、両辺 a-1 で割って、　ｘ＜－ａ　 http://yosshy.sansu.org/

	31534．Re: 文字係数の二次不等式
	名前：ミスばかりする教えたがり屋日付：3月29日(木) 9時44分
	1番：左辺を変形すると　 x^2-{a^2-a+2}x-a^3+2a^2＝x^2-{a^2+(-a+2)}x+(a^2)(-a+2) ＝{x-(a^2)}{x-(-a+2)} この式＝０　の解は　ｘ＝a^2.-a+2 だから (イ) a^2>=-a+2 のとき、すなわち　a<=-2 または a>=1 のときは　　(-a+2)＜=(x)＜=(a^2) (ロ）a^2＜-a+2 のとき、すなわち　-2＜ｘ＜1　のときは　　(a^2)＜(x)＜(-a+2) ２番：変形すると (a-1)x > -a(a-1)　だから (1) a-1=0 のとき。すなわち a=1 のとき　両辺＝0　で解なし (2) a-1>0 のとき。すなわち a>1 のとき　x>-a (3) a-1<0 のとき。すなわち a<1 のとき　x<-a

	31535．Re: 文字係数の二次不等式
	名前：ミスばかりする教えたがり屋日付：3月29日(木) 9時53分
	ヨッシーさんとダブってしまいました。１番で「＝」の場合を分離しようか迷ったのですが、やはり分離したほうが丁寧なんでしょうね。

	31539．Re: 文字係数の二次不等式
	名前：クレアセカンド日付：3月30日(金) 6時25分
	ありがとうございました！どちらの教え方もすごく分かりやすくてすごく感謝してます！本当にありがとうございましたー

31526．不等式

名前：クレアセカンド 日付：3月29日(木) 8時8分

すべての実数xに対して{(a-1)x^2}-2(a-1)x+3≧0が成り立つように
定数aの値を求めよ

a≠1のとき　常に不等式が成り立つ条件は
a-1>0　かつ
D/4={-(a-1)^2}-(a-1)*3≦0
となっています。

どうしてD/4={-(a-1)^2}-(a-1)*3≦0の部分は
<ではなくて≦なのでしょうか？
すべての実数に対して成り立つんだから＜のような気がするんですが
どうしてこの考え方は間違っているんでしょうか？

全体的なときかたも含めて教えてほしいです。

すべての実数xに対して、不等式k(x^2)+3kx+k-1<0が成り立つように
定数kの値の範囲を求めよ
という問題では
k≠0のとき、k<0かつD=(3k)^2-4k(k-1)<0
となっています
この問題では≦ではなくて、<を使っているのはどうしてなんでしょうか？
≦にするか、<にするか、の使い分けが分かりません
そこを教えてほしいです

おねがいします。

	31530．Re: 不等式
	名前：ヨッシー日付：3月29日(木) 9時19分
	結論から言うと、元の不等式が≦≧か＜＞かによります。　{(a-1)x^2}-2(a-1)x+3≧0が常に成り立つというのをグラフで考えると、ｙ＝{(a-1)x^2}-2(a-1)x+3 のグラフは下に凸で、グラフのすべての部分がｘ軸より上にあるということです。ただし、＝０の場合も認められていますので、頂点がｘ軸にふれる場合も含まれているということです。すると、ｘの二次方程式 {(a-1)x^2}-2(a-1)x+3＝０の解としては、重解(グラフが頂点でｘ軸に触れている場合)か、虚数解（グラフがｘ軸から離れている場合）のいずれかであればいいということになり、Ｄ＝０　または　Ｄ＜０　合わせて　Ｄ≦０　という表現になります。これが、　{(a-1)x^2}-2(a-1)x+3＞0　となると、ｘ軸に触れることも許されませんので、Ｄ＝０は含まず、Ｄ＜０のみになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31540．Re: 不等式
	名前：クレアセカンド日付：3月30日(金) 6時31分
	なるほどー元の式の不等号から考えるんですかー気づかなかったです。。教えてくださってありがとうございました！

31521．弦が直径からズレた時

名前：√ 日付：3月28日(水) 23時31分

また、宜しくお願い致します。

半径５ｃｍの円があります。
弦が円の中心より（直径より）１ｃｍ離れた位置にあった時、
小さい方の弧と弦によって囲まれた、かまぼこ形の面積を
求める事はできますか？

	31523．Re: 弦が直径からズレた時
	名前：らすかる日付：3月28日(水) 23時48分
	弦の端から円の中心までの距離は5cm、弦の中点から円の中心までの距離は 1cmですから、弦に対する中心角は 2arccos(1/5) となり、その中心角に対する扇形の面積は 25arccos(1/5)、弦の両端と円の中心からなる三角形の面積は 2√6 なので、求める面積は 25arccos(1/5)-2√6 となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31525．Re: 弦が直径からズレた時
	名前：√ 日付：3月29日(木) 0時28分
	らすかるさん　有り難うございます。私はａｒｃは習った事がないので、意味が分からないのですが、これにより、中心角が求められて、「扇形」－「三角形」＝「かまぼこ形」というイメージは理解できました。取り急ぎ、お礼まで。

	31536．Re: 弦が直径からズレた時
	名前：√ 日付：3月29日(木) 16時7分
	やっと分かりました。「関数電卓」を使って扇形の中心角を求めるということですね。有り難うございました。

31517．こういうことなのですが

名前：中年おやじ 日付：3月28日(水) 21時18分

お願いします

	31522．Re: こういうことなのですが
	名前：らすかる日付：3月28日(水) 23時39分
	以下の式で、実用には十分正確な近似値が求められます。 θ=(√2)arcsin(√8×(弦と弧の最大幅)÷(弧の長さ)) (求める長さ)=(弧の長さ)×sin(θ)/θ （三角関数の単位はラジアン） (弦と弧の最大幅)=30 (弧の長さ)=250 を代入して計算すると、 (求める長さ)=240.126035… となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31527．Re: こういうことなのですが
	名前：中年おやじ日付：3月29日(木) 8時9分
	ありがとうございました。式は難しくてよくわかりませんが、長さを求めていただいたのでたすかりました。どうもありがとうございます。

	31727．Re: こういうことなのですが
	名前：らすかる日付：4月10日(火) 1時2分
	もうとっくに見てないと思いますが、四則演算と平方根だけで上の式よりも精度がよい近似式が出来ましたので、一応書いておきます。 (弦の長さ)≒(弧の長さ)× 　〔1-(5/7){1-√(1-(112/15)((弦と弧の最大幅)÷(弧の長さ))^2)}〕この式に (弦と弧の最大幅)=30 (弧の長さ)=250 を代入して計算すると、(弦の長さ)=240.127070… となります。真値は 240.126856… ですので、こちらの方が良い近似となっています。この式は中心角が小さいほど良い近似を与えますが、中心角が90°でも誤差は0.002％未満であり、実用には十分な精度があります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31511．(untitled)

名前：ｌ日付：3月28日(水) 20時51分

点（ｘ。ｙ）
が直線ｘ＋３ｙ＝3上を動くとき２＾ｘ＋８＾ｙ
の値を最小にするｘ。ｙをもとめよ・・・で
相加相乗平均2＾ｘ＋３＾3ｙ≧２√（２＾ｘ・２＾３ｙ）＝　２√２＾（ｘ＋３ｙ）
＝２√２＾３になる理由をおしえてください

	31516．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月28日(水) 21時17分
	計算過程が理解できないのでしょうか。それでしたら指数法則について復習してみてはいかがでしょうか。

	31518．Re: (untitled)
	名前：ｌ日付：3月28日(水) 21時57分
	２√２＾（ｘ＋３ｙ）＝２√２＾３がわかりません

	31531．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月29日(木) 9時24分
	直線ｘ＋３ｙ＝3上を動くときとあるので、ｘ＋３ｙは、常に３であることが前提です。ですから、　２√{２^(x+3y)} のx+3y に３を代入して、２√(２^3) になります。　 http://yosshy.sansu.org/

31510．(untitled)

名前：buturi 日付：3月28日(水) 20時36分

ｘｙ平面上に点（2.3）
をとりさらに単位円ｘ＾2＋ｙ＾2＝１
上に点P（ｘ。ｙ）
をとる
また原点をOをとする
実数ｘ。ｙが条件ｘ＾2＋ｙ＾2＝1をみたすとき2ｘ＋3ｙの最大値
最小値をもとめよ・で
2ｘ＋３ｙ＝OAベクトル・OPベクトルがなんで＝なのかおしえてください

	31512．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月28日(水) 20時56分
	内積だからです。

	31514．だめだ；；わかりませんOTZ
	名前：buturi 日付：3月28日(水) 21時10分
	２ｘ＋３ｙってなんなんですか？

	31515．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月28日(水) 21時16分
	OAベクトルとOPペクトルの内積です。

	31519．Re: (untitled)
	名前：buturi 日付：3月28日(水) 22時1分
	すみませんなんてないことでしたね；；どもありがとううございます

31505．(untitled)

名前：LMN 日付：3月28日(水) 19時44分

質量ｍ　ｋｇで右向きにｖm/sで運動している物体Aと質量Mｋｇ
で静止している物体Bと衝突した
物体A,B間の跳ね返り係数をeとする
１）衝突前と衝突後で速度の交換が行われるのはｍ＝M
かつe＝１のときである
２）衝突前後で力学的エネルギー保存の法則が成立するのは
e=1のときであることを証明せよ
をおねがいしますOTZ

	31506．Re: (untitled)
	名前：あ日付：3月28日(水) 19時47分
	木曜日の午後までに返信なかったら放置していいです

31504．証明

名前：ｋ日付：3月28日(水) 19時40分

解答の書き方に問題はないかみてほしいです。
【問題】
平方四辺形ABCDの辺BCの中点をE,辺CDの中点をFとし,線分AE,AFと対角線BDとの交点をそれぞれM,Nとすると,BM=MN=DNであることを証明せよ。

【解答】
（proof)
線分ACと線分BCとの交点をHとする。Hは線分ACの中点である。
△ABCにおいて、点Mは重心だから、BM:MH＝2：1
また、△ACDにおいて、点Nは重心だから、DN:NH＝2：1
よって、BM:MN:DN＝BM:(MH+HN):DN＝2:(1+1):2＝2:2:2
したがって、BM＝MN＝DN
Q.E.D.

	31508．Re: 証明
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 19時59分
	まずは、誤植系誤：線分ACと線分BCとの交点をHとする。正：線分ACと線分BDとの交点をHとする。あと、ＨがＢＤの中点、つまり、ＢＨ＝ＤＨであることを言っておかないと、＞よって、BM:MN:DN＝BM:(MH+HN):DN＝2:(1+1):2＝2:2:2 が言えません。 ※平行四辺形の基本性質なので証明は不要でしょう。言っておくだけでいいです。　 http://yosshy.sansu.org/

31498．なぜ？

名前：ｈｋ日付：3月28日(水) 18時5分

問題の部屋の問題10にある雨量を求める問題がありますが、
なぜ答えが5ｍｍなんでしょうか？
解答を見ると、開口部の面積は4倍・・・・って書いてありますが、
どうして4倍が絡んでくるのかが、わかりません＞＜
解答の左図と右図の体積は同じではないでしょうか？
それを踏まえての答えが、60÷3だけでいいような感じなのですが・・・

	31499．Re: なぜ？
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月28日(水) 18時41分
	一定時間に容器にたまる雨の量は容器の形には関係なく容器の開口部の面積にのみ依存します。この時点で面積が４倍なのですから４で割らなければフェアではないです。

	31501．Re: なぜ？
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 18時45分
	たしかに、左と右のたまっている水の体積は同じです。ところが、右は左の４倍の開口であるにもかかわらず、左と同じ量しかたまっていないので、降った量は１／４なのです。円だと難しいので、四角柱と四角錐で説明すると、同じ量がの水がたまったとしても、左の方は、同じ面積にさらに３つの容器が置けるので、４倍の水がたまり、降水量も４倍であったはずです。　 http://yosshy.sansu.org/

31493．必要条件と十分条件

名前：ｋ日付：3月28日(水) 16時49分

（問題）
x＋y＞4かつxy＞4であることはx＞2かつy＞2であるための[　　　　]

（解答）
「x＋y＞4かつxy＞4⇒x＞2かつy＞2」は偽である。
（反例:x=1,y=2)
また、「x＞2かつy＞2⇒x＋y＞4かつxy＞4」も偽である。
（反例:x=2,y=2)
したがって、必要条件でも十分条件でもない。（答）

これであってますか？

	31495．Re: 必要条件と十分条件
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 16時55分
	あっていません。前半：反例:x=1,y=2とのことですが、これはそもそもx＋y＞4かつxy＞4を満たしていません。後半：反例:x=2,y=2も、x＞2かつy＞2を満たしていません。　　　ｘ≧２とｘ＞２の違いに注意してください。

	31497．Re: 必要条件と十分条件
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 17時56分
	（左）→（右）という命題で、（左）を満たしているのに（右）を満たさないような値を反例といいます。例えば、「x＋y＞4かつxy＞4⇒x＞2かつy＞2」については、ｘ＝５、ｙ＝１が反例になります。　 http://yosshy.sansu.org/

31490．期待値の問題です…

名前：月市イニ 日付：3月28日(水) 13時46分

コインを投げ、一回でも裏が出たらそこで作業を終了とする。
表が出た回数で、2円、4円、8円、16円……　と賞金が決められる。
このときの、期待値を求めよ。

宜しくお願いしますｗｗ

	31496．Re: 期待値の問題です…
	名前：ダンディ海野日付：3月28日(水) 17時44分
	期待値は「(各項目に対する金額)＊(その項目が起こる確率）の合計」で求まります。樹形図を書けばわかると思いますが、２円,４円,８円,１６円,・・・がもらえる場合の確率はそれぞれ1/4,1/8,1/16,1/32,・・・・だから期待値＝2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)・・・・・　　　＝1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+・・・・・・・＝∞　(円）これでどうでしょう？

	31502．Re: 期待値の問題です…
	名前：月市イニ日付：3月28日(水) 19時11分
	回答ありがとうございます。僕も最初は無限と考えたのですが、どうも答えが違うみたいなんです…

	31507．Re: 期待値の問題です…
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 19時52分
	「ペテルブルグの逆理」という言葉にたどり着きました。検索してみて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	31509．Re: 期待値の問題です…
	名前：ダンディ海野日付：3月28日(水) 20時13分
	月市イニさん、無限でなければいくらという値が示されているのでしょうか？どう考えても無限だと思うのですが。？？？　他の人はどう思われますか？

	31513．Re: 期待値の問題です…
	名前：ダンディ海野日付：3月28日(水) 21時2分
	[31509]の投稿記事を間変えている間に、ヨッシーさん記事が入っていました。[31509]の「どう考えても無限だと思うのですが。」というのは取り消し、考え直してみます。(現実的に考えれば無限というのは疑問ですよね）期待値の説明で「事象が離散的でなく連続空間で定義されている場合は和の代わりに積分となる。」とあったのですが、これに該当するのでしょうかね。？　知っているようで知らないことだらけです。勉強、勉強！

	31520．Re: 期待値の問題です…
	名前：月市イニ日付：3月28日(水) 22時13分
	回答ありがとうございますｗｗ僕も、勉強不足なのでしっかり考えてみたいと思います＞＜

31489．(untitled)

名前：中年おやじ 日付：3月28日(水) 13時43分

はじめまして。以下の答え及び計算式を教えて下さい。
ある特定の長さの棒（2.5m）の中心を基準に、水平状態からある特定の高さ分（30cm）のRをつけた場合、その棒の両端の幅はいくつになるのでしょうか。
宜しくお願いします。

	31492．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 14時17分
	たぶん違うと思いますが、こんな絵を描いてみました。「中心を基準にＲをつける」とは、どういうことでしょうか？「水平状態」とは、棒を水平に置いた状態「両端の幅」とは、どこのことでしょうか？ http://yosshy.sansu.org/

31482．(untitled)

名前：donny 日付：3月28日(水) 9時34分

初めまして　4月から中学1年になります

実はこの問題の解き方がわかりません　↓

まさお君は近くにある山へ登ってみようと思いました。
上りは毎時２km,下りは毎時６kmの速さで歩く事にすると、
6時間で往復できるのは何kmまでのところですか。
ただし、とちゅうで1時間だけ休むことにします

ちなみに答えは7,5kmです

よろしくおねがいします

	31483．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 10時7分
	１時間休むので、歩いているのは５時間ですね。 1km までを往復するとすると、行き：１÷２＝0.5(時間)＝30(分) 帰り：１÷６＝1/6(時間)＝10(分) なので、往復 40分かかります。５時間＝300分使えるとすると、・・・　 http://yosshy.sansu.org/

	31486．Re: (untitled)
	名前：donny 日付：3月28日(水) 12時17分
	解けました。　どうもありがとうございました

31472．(untitled)

名前：中１の子の親父 日付：3月27日(火) 22時32分

　同じ大きさの３つの円が重なりあっています。上に１つ　下に２つです。３つの円の半径は等しく　それぞれほかの２つの円の中心を通っています。半径が６cmの時　色をつけた面積は？　　色はかさなりあっている３つの円の　上の円の扇形部分　と　下の重なりあっている２つの円の部分に　ついています。　答え　３０Π平方cm　解き方をお願い致します。

	31476．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 3時40分
	ちょっと文章の意味がわかりづらかったのですが、色々と試してみると３０πの面積になる部分が出来たのでたぶん以下であっていると思います。円Ａ，Ｂ、Ｃと名前をつけます。ＡかつＢの面積は、「半径６、中心角１２０度のおうぎ型から等しい辺の長さが６で、その間の各１２０度の面積を引いたもの」の２倍＝２４π-18√3です。ＢかつＣもＣかつＡも同じです。ＡかつＢかつＣの面積は１辺６の正三角形＋３× 「半径６中心角６０度のおうぎ型から一辺６の正三角形を引いたもの」＝１８πー18√3　です。あとは図を見ながら、各部分の面積を求めていけば求まると思います。

	31487．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 12時44分
	こういうことではなかろうかと思いますが。円の５／６（中心角300°)の扇形になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31488．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 13時34分
	こっちかな？　 http://yosshy.sansu.org/

	31494．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 16時51分
	たぶんその２つ目の部分ですね。文章からどの部分をさしているのか読み取りにくかったので私は全ての部分の面積を求めて、合計３０πになる部分を探してその２つ目のやつなら文章にも合うし、面積も合うのでたぶんそれで大丈夫だろう、と判断しました。でも、その移動はうまいですね。中学受験などだとそのような移動は常套手段になりそうですね。ちなみに私は中学受験からはかなり遠ざかっているのでその辺の勘は鈍りまくってます（汗

	31524．Re: (untitled)
	名前：中１の子の親父日付：3月28日(水) 23時48分
	ありがとうございます。たすかります。

31471．OTZ

名前：ＢＬ日付：3月27日(火) 21時59分

ｘｙ平面の原点に質量Mの物体Bが静止していて質量ｍの物体Aがｘ軸上
を正の向きにｖで進み物体A.　Bが原点で衝突しBとｘ軸とのなす角が30度Aとｘ軸のなす角が
60度ですすんだ　衝突後の物体A.Bの速さをもとめよ・・・をおねがいしますOTZ
A上むき　Bが下向きにです

	31475．Re: OTZ
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 3時13分
	運動量保存の法則で考えて見ましょう。Ａの速度v_1,Ｂの速度v_2とおきます。衝突前のx方向の運動量はmvです。ｙ方向の運動量は０です。衝突後のｘ方向の運動量は、mv_1/2+(√3)Mv_2/2=mvを満たします。衝突後のｙ方向の運動量は、(√3)mv_1/2-mv_2/2=0　を満たします。（m,M,vはあくまでも与えられた数字であり、２つの未知数v_1,v_2についての連立方程式だと思ってください。）これを解いて、v_1=v/2,v_2=(√3)mv/2M

	31503．Re: OTZ
	名前：BL 日付：3月28日(水) 19時38分
	ありがとうございます

31467．曲線の方程式を求める問題

名前：恵日日付：3月27日(火) 20時33分

☆問題☆

平面上の点A(0,2)を通る曲線C上のx≠0である任意の点(x,y)について、その点でのCの接線が点P((1+6*(x)^3)/6*x^2,2y)を通るという。この曲線の方程式を求めよ。

曲線をy=f(x)として、f(x)上の点(t,f(t))における接線を求めて点Pを代入してみましたが、複雑な式が出てきて何の意味もありませんでした。この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

	31469．Re: 曲線の方程式を求める問題
	名前：ヨッシー日付：3月27日(火) 20時50分
	条件より　f(0)＝2 　y-2y＝f'(x)(x-(1+6x^3)/(6x^2)) 　-y＝(dy/dx)(-1/6x^2) という微分方程式になります。　-y/dy=-1/6x^2dx 逆数をとって、　dy/y＝6x^2dx 積分して　logｙ＝2x^3＋Ｃ1　Ｃ1 は積分定数　ｙ＝Ｃ2・ｅ^(2x^3) x=0 で y=2 なので、Ｃ2＝2 　ｙ＝２ｅ^(2x^3) 　 http://yosshy.sansu.org/

	31470．Re: 曲線の方程式を求める問題
	名前：恵日日付：3月27日(火) 21時56分
	To　ヨッシー様解答をどうもありがとうございました。解き方がよくわかりました。一つだけお聞きたいのですが、 dy/y＝6x^2dx を積分すると、 log│ｙ│＝2x^3＋Ｃ1 になるから、答えはｙ＝±2ｅ^(2x^3) になると思うのですが、これは違うのでしょうか？

	31481．Re: 曲線の方程式を求める問題
	名前：ヨッシー日付：3月28日(水) 8時54分
	厳密に書くと、こうです。 log│ｙ│＝2x^3＋Ｃ1　より、　\|ｙ\|＝ｅ^(2x^3＋Ｃ1)＝Ｃ2ｅ^(2x^3) 　ｙ＝±Ｃ2ｅ^(2x^3) となりますが、Ｃ2 は、任意の定数ですので、±を吸収して、　ｙ＝Ｃ2ｅ^(2x^3) と書いても良いことになります。一方、ｙ＝±2ｅ^(2x^3)　だと、＋の方は良いですが、－の方は、 (0, 2) を通らないので、ダメです。　 http://yosshy.sansu.org/

	31485．Re: 曲線の方程式を求める問題
	名前：恵日日付：3月28日(水) 12時1分
	To　ヨッシー様 (0,2)を通るか通らないかの判定をすっかり忘れてました。おかげでやっと理解できました。最後まで丁寧に解説していただきまして、どうもありがとうございました。

31466．三角関数

名前：未央日付：3月27日(火) 13時55分

①sin(2θ+π/6)=-√3/2
②cos(θ-π/4)≦√3/2(0≦θ≦2π)
③tanθ+√3≧0(0≦θ≦2π)

という問題なのですが、解法よろしくお願いします。

	31477．Re: 三角関数
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 3時43分
	例えば①について 2θ+π/6＝Ａとおく sinA=-√3/2　となります。Ａはどんな角でしょうか？Ａ＝4π/3+2nπ、5π/3+2nπとなりますよね。つまり2θ+π/6＝4π/3+2nπ、5π/3+2nπとなるのであとはこれを解けばおｋです。 ②以降は、こうやって求めたθのうち与えられた範囲にあるものを求めてください。

31462．証明

名前：ShoWat 日付：3月26日(月) 22時48分

【問題】すべての自然数ｎに対して、2^n＞ｎであることを示せ。

【私の答案】数学的帰納法を用いて証明。
2^n＞ｎ・・・①
i)ｎ＝１のとき
　（左辺）＝２
　（右辺）＝１
　よって、①は成り立つ。
ii)ｎ＝ｋ（ｋは自然数、ｋ≧２）のときに①が成り立つとすると、
2~k＞k・・・②
　　ｎ=ｋ＋１のとき
　　2^(k+1)－（ｋ＋１）＝ 2^(k+1)－ｋ－１
　　　　　　　　　　＝ 2・2^k－ｋ－１
　　　　　　　　　　　＝ 2・k－ｋ－１（∵2^k > k）
＝ｋ－１＞０
　　よって、ｎ＝ｋ＋１のとき①は成り立つ。

i)ii)より、すべての自然数ｎに対して、2^n＞ｎは成り立つ。

【模範解答】二項定理を用いて証明
二項定理より、ｎ≧２のとり
（１＋１）^n＝１＋nC1 ＋　nＣ2 ＋・・・
よって、2^n ＞ｎ　また、2^1＞１　である。
ゆえに、すべての自然数ｎに対して、2^n＞ｎが成り立つ。

以下の３点について、よろしくお願いいたします。

（１）確かに二項定理を用いた方が簡単ですが、「数学的帰納法」の方が、普遍的に利用できるので、これを用いた方がオーソドックスだと思うのですが如何でしょうか。

（２）また、【私の答案】は間違っているでしょうか。

（３）あるいは、【私の答案】が正しいとしても、この問題では二項定理を用いるのが定石、あるいは頻出の解法パターンとして身につけた方がよいのでしょうか。

ご教示ください。

	31464．Re: 証明
	名前：だるまにおん日付：3月26日(月) 23時45分
	(1)仰るとおり数学的帰納法の方がオーソドックスだと思います。 (2)間違ってます。＝ 2・2^k－ｋ－１＝ 2・k－ｋ－１（∵2^k > k）ではなくて＝ 2・2^k－ｋ－１＞ 2・k－ｋ－１（∵2^k > k）です。 (3)むしろ数学的帰納法による解法の方が定石のように思います。二項定理による解法は身につけておいて損は無い、という程度だと思います。

	31468．Re: 証明
	名前：キモオタ日付：3月27日(火) 20時50分
	数学的帰納法も二項定理をも越えるくらい，シンプルでエレガントな証明をしてみせよう。まず、f(n) = 2^n , g(n) = nとおく。 f(1) = 2 > g(1) = 1である。だが、f(n+1)/f(n) > g(n+1)/g(n) すなわち、任意のnに対して、2 > 1 + 1/nを満たすので、明らかにf(n)はg(n)よりも増分が大きい事となり、また、初期値においてもf(1)>g(1)なので f(n)>g(n)すなわち、2^n>nである事がいえる。

	31474．Re: 証明
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 2時56分
	キモオタさんのやり方は非常に面白いですねただ、大変申し訳ないのですがちょっと証明としては弱いように私には感じられました。 ①ｆ（１）とｇ（１）の値が正であることや（一応このことはｆ（１）＞ｇ（１）＝１で既に証明しているとみなすこともできますが） ②任意のｎについてｆ（ｎ）やｆ（ｎ＋１）が正（もっというとf(n+1)/f(n)とg(n+1)/g(n)が正）であることを主張しておかないといけないと思います。（単に入力が面倒なので省略しただけだったら申し訳ありません） ①例えばf(1)=-1 g(1)=-2 かつ任意のｎについて　f(n+1)/f(n)=3>g(n+1)/g(n)=2　とすると f(n)>g(n)が任意のｎについて成立するとは言えません。 ②f(1)=2>g(1)=1 かつ任意のｎについてf(n+1)/f(n)=-1,g(n+1)/g(n)=-2　とすると f(n)>g(n)が任意のｎについて成立するとは言えません。（あと、これは単なる入力ミスだと思いますが、 2 > 1 + 1/nではなく　2 >= 1 + 1/n だと思います。）

	31478．Re: 証明
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 4時8分
	あ、あとShoWatさんへさらに致命的な間違いがあります。 i)ｎ＝１のとき～ ii)ｎ＝ｋ（ｋは自然数、ｋ≧２）のときに①が成り立つとするとこれはおかしいのはわかるでしょうか？ ii)は「２以上のｋ」について成立したならばk+1でも成り立つと言っているんです。だから、 i)n=1のとき～　n=2のとき～成立する ii)ｎ＝ｋ（ｋは自然数、ｋ≧２）のときに①が成り立つとするととしなくてはなりません。これはうっかりミスではなくて、もっと根本的な致命的な間違い（帰納法の意味をわかっていない）といわざるを得ません。試験でこの答案を書いたならば、この部分の減点は非常に大きなものになることは間違いありません。～＝ｋ－１＞０とかけるのも、ｋ≧２だからこそ成立することを忘れてはなりません。ちなみに2^nはｎが大きくなると非常に早い速度で大きくなりますが、そのことを考えるとき、二項定理を使うことがスタンダードになります。例として、（数Ⅲの問題ですが） lim(ｎ→∞）n^4/2^n=0になることを示せという問題を考えてみてください。

	31479．Re: 証明
	名前：ぱんだ日付：3月28日(水) 4時17分
	追記この問題、よく見たらわざわざｋ≧２の断り書きを入れる必要はなさそうです。 2^n＞ｎ・・・① i)ｎ＝１のとき　（左辺）＝２　（右辺）＝１　よって、①は成り立つ。 ii)ｎ＝ｋ（ｋは自然数）のときに①が成り立つとすると、 2^k＞k・・・② 　　すると、2^(k+1)－（ｋ＋１）＝ 2^(k+1)－ｋ－１　　　　　　　　　　＝ 2・2^k－ｋ－１　　　　　　　　　　＞ 2・k－ｋ－１（∵2^k > k）＝ｋ－１『≧』０　　より、2^(k+1)＞（ｋ＋１）　　よって、ｎ＝ｋ＋１のとき①は成り立つ。 i)ii)より、すべての自然数ｎに対して、2^n＞ｎは成り立つ。＞ではなく≧にすることで、ｎ≧２の断り書きが不要になりました。＞と≧の区別は明確にしましょう。

	31480．Re: 証明
	名前：らすかる日付：3月28日(水) 7時1分
	別解 2^n={2^0+2^1+2^2+…+2^(n-1)}+1＞{1+1+1+…+1}+0=n http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31460．C5H12Oの関連化合物

名前：マリオ 日付：3月26日(月) 12時0分

分子式C₅H₁₂Oの化合物A～Hがある。
（あ）A～Hはいずれも金属ナトリウムと反応して水素を発生する。
（い）A～Hで不斉炭素を持つ化合物はE、G、Hのみである。E、G、Hをニクロム酸カリウムの硫酸酸性溶液でおだやかに酸化すると、中性の化合物I、J、Kがそれぞれ得られる。IとJは不斉炭素を持たないが、Kは不斉炭素を持つ。
（う）Aをニクロム酸カリウムの硫酸酸性溶液で酸化するとケトンが得られるが、Bはこの条件で酸化されない。
（え）AとEをそれぞれ濃硫酸で脱水した生成物には、どちらにもアルケンLが含まれる。この条件でDからアルケンは得られない。
（お）AとFをそれぞれ濃硫酸で脱水して得られるアルケンに水素を付加すると、同一の生成物Mが得られる。同様の操作でCとGからも同一の生成物Nが得られる。

問　A～Kの構造式を記せ。
どのように考えればよいのか教えてください。

31459．等式

名前：恵日日付：3月26日(月) 10時11分

初利用です。どうぞよろしく。

☆問題☆

関数f(x)は次の等式

f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)*f(y)

を満たしている。関数f(x)がx=0で微分可能であるとき、以下の問いに答えよ。

(1)関数f(x)はすべてのxの値で微分可能であることを証明せよ。

(2)関数f(x)を求めよ。

y=0とすると、f(0)(f(x)+1)=0からf(0)=0またはf(x)=-1で、f(x)=-1の場合は微分可能であることもわかり、f(x)も求まっているのでいいんですが、f(0)=0の場合がここから先何をすればいいのか（要するにほとんど）全然分かりません。どうか教えてください。よろしくお願いします。

	31461．Re: 等式
	名前：angel 日付：3月26日(月) 13時14分
	> 関数f(x)がx=0で微分可能であるということは、lim[h→0] ( f(h)-f(0) )/h が存在するということですね。この値を a としてみましょう。さらに、f(0)=0 という状況を考えると、　lim[h→0] f(h)/h = a これと f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y) より　( f(x+y)-f(x) )/y = f(y)/y・( 1+f(x) ) よって、　lim[y→0] ( f(x+y)-f(x) )/y = a(1+f(x)) これは、f'(x)=a(1+f(x)) を表します。

	31463．Re: 等式
	名前：恵日日付：3月26日(月) 23時27分
	To　angel 様大変よくわかりました。解答どうもありがとうございましたm(＿＿)m ちなみにf(x)=(e)^a*x-1ですよね？

	31473．Re: 等式
	名前：angel 日付：3月27日(火) 22時34分
	いいえ、どういたしまして。恵日さんの書かれたとおり、f(x)=-1 以外の解としては、 f(x)=e^(ax)-1 ( aは任意の実数 ) が正解です。 ※もしくは、e^a=A と置いてしまって、f(x)=A^x-1 ( Aは任意の正の実数 ) でも良いですね。

	31484．Re: 等式
	名前：恵日日付：3月28日(水) 11時55分
	To angel様解答がないので正解まで示していただけて、ホント助かりました^^ 最後まで丁寧に、どうもありがとうございました。

31455．微分方程式,

名前：コロ助 日付：3月25日(日) 21時45分

(y_1)と(y_2)は任意の区間で線形独立であることを証明しなさい。

１．(y_1)=|x|, (y_2)=x 、 I=(-1,1)

２．(y_1)=(x^m) , (y_2)=(x^n)、 I=(0,∞)

３．(y_1)=sin(x-1), (y_2)=sin(x) I=(-∞,∞)

よろしければ教えて下さい。
お願いします

31451．ベクトルの問題

名前：春陽日付：3月25日(日) 17時5分

高校2年生です。

平面上に三角形ABCがある。
点Pを
　８PAベクトル＋５PBベクトル＋７PCベクトル＝０
を満たすようにとる。
直線APと直線BCの交点をMとすると
　AMベクトル＝○ABベクトル＋○ACベクトル
と表される。
三角形ABMと三角形ACMの面積の比は
　△ABM：△ACM＝○：○
で与えられる。
直線AMが∠CABの二等分線になるのは
　AB:AC＝○：○
のときである。
点Pが三角形ABC内接円の中心であるとき
　BC:CA:AB＝○：○
である。

この問題の
AMベクトル＝5/12ABベクトル＋7/12ACベクトル
△ABM：△ACM＝7：5
はなんとか出せたのですが（間違っているかもしれませんが；）
次の2つの問題がわかりません。解き方を教えてください。お願いします。

	31453．Re: ベクトルの問題
	名前：ヨッシー日付：3月25日(日) 20時24分
	角の二等分線の定理というのがあります。　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＭ：ＣＭになります。また、三角形の面積の公式　Ｓ＝(1/2)ａｂsin∠Ｃというのを知っていれば、ＡＢ：ＡＣ＝△ＡＢＭ：△ＡＣＭ＝ＢＭ：ＣＭであることがわかります。これまでと同様に、たとえば、ＢＰとＡＣの交点をＮとおいて、　ＢＮ＝○ＢＡ＋○ＢＣのように書いたときの○を調べていけば、そのあとも出来るでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	31454．Re: ベクトルの問題
	名前：春陽日付：3月25日(日) 20時46分
	回答ありがとうございます。ＡＢ：ＡＣ＝△ＡＢＭ：△ＡＣＭ＝ＢＭ：ＣＭになるのはわかりました。ということはAB:AC=７：５ですよね？？点Pが三角形ABC内接円の中心であるとき　BC:CA:AB＝○：○：○ が全くわかりません(--；)

	31456．Re: ベクトルの問題
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月25日(日) 22時24分
	同様の考え方を適応すれば 8:5:7とわかります。

	31457．Re: ベクトルの問題
	名前：春陽日付：3月25日(日) 23時54分
	よく考えて見ます。解説ありがとうございましたm(__)m

31450．関数

名前：圭日付：3月25日(日) 13時38分

関数ｙ＝２ｘ2について次の問に答えなさい。

１，ｘの変域が１≦x≦3であるときｙの変域を求めなさい。

２，ｘの変域がー１≦ｘ≦２であるときｙの最小値と最大値をそれぞれ
求めなさい

	31452．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：3月25日(日) 20時12分
	グラフを描いて考えなさい、というのは簡単ですが、次の問いに、まじめに取り組めば、グラフを描くのと同じ効果があるでしょう。でも、ホントは、グラフをちゃんと描くんですよ。ｙ＝２ｘ^2 において、１．　ｘ＝１のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝1.1 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝1.2 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝1.3 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝1.4 のとき、ｙはいくつですか？　　・・・　ｘ＝2.9 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝３のとき、ｙはいくつですか？ここまでで、ｙはどんな範囲をとると考えられますか？２．　ｘ＝－１のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝-0.9 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝-0.8 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝-0.7 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝-0.6 のとき、ｙはいくつですか？　　・・・　ｘ＝1.9 のとき、ｙはいくつですか？　ｘ＝２のとき、ｙはいくつですか？ここまでで、ｙはどんな範囲をとると考えられますか？変域が　ａ≦ｙ≦ｂであるというのと、最小値がａ、最大値がｂというのとは同じ意味です。　 http://yosshy.sansu.org/

31449．三角関数

名前：えむ日付：3月24日(土) 23時46分

すみません、文字化けしてしまいました。

下記のような関係式が成り立つはずなのですが、どのように※１～※６の式がどうやって導き出されるのかわかりません。
※１～※５は三角関数、※６は微分を使っての、高校レベルの知識があれば解けるものだと思うのですが、何の公式を使ってどのように展開しているかよくわかりません。
お手数ですが、ご説明頂ければと思います。

ＸＹ平面において、ｒ＝１の円周上にある4点
Ａ＝（０、－１、０）
Ｂ＝（sinθ、cosθ、０）
Ｃ＝（－sinθ、cosθ、０）
D＝（０、１、０）
但し、０＜θ＜π/２

これをＯＡ、ＯＢ、ＯＣを山、ＯＤを谷として折り曲げる。
このとき、Ｂ、Ｃ点はＹ軸周りの回転であり、以下の座標に移る。
Ｂ＝（sinθ・cosφ、cosθ、-sinθ・sinφ）　･･･※１
Ｃ＝（－sinθ・cosφ、cosθ、-sinθ・sinφ）･･･※２
但し、０＜φ＜π/２

一方、Y軸とＯＤのなす角をψとすると、
Ｄ＝（０、cosψ、-sinψ）
但し、０＜ψ＜2θ＜π

ここでOB（またはOC）と、ODのなす角はθで一定であるから、
cosθ＝OB・OD　（∵｜OB｜＝｜OC｜＝１）
　　＝cosθ・cosψ＋sinθ・sinφ・sinψ　･･･※３
　　＝αsin(ψ±β)　･･･①、※４

但し、α＝√(sin2θ・sin2φ＋cos2θ）
　　　 sinβ＝（cosθ）／α
cosβ＝（sinθ・sinφ）／α
tanβ＝（cosθ）／（sinθ・sinφ）

①をψについて解くと、
ψ＝sin-1((cosθ)／α)±β
　＝sin-1((cosθ）／α)±sin-1((cosθ)／α) ･･･※５
　＝2・sin-1((cosθ)／α)　　

①より、cosθ・cosψ＋sinθ・sinφ・sinψ－cosθ＝０
これを全微分すると、（－cosθsinψ＋sinθ・sinφ・cosψ)dψ＋(sinθ・sinψ・cosφ)dφ＝０　･･･※６

	31465．Re: 三角関数
	名前：ダンディ海野日付：3月27日(火) 13時44分
	こういう数学は何十年も触れる機会がなかったのですが、勉強のつもりで用語や公式の検索をしながら取り組んでみました。 >Ｂ＝（sinθ・cosφ、cosθ、-sinθ・sinφ）　･･･※１ >Ｃ＝（－sinθ・cosφ、cosθ、-sinθ・sinφ）･･･※２ >但し、０＜φ＜π/２円形の紙を切って、条件に合うように折り曲げればわかりやすいと思います。紙を目の前で水平にして紙を曲げれば(角度φ）、点B,Cは中心を O、半径sinθとする円弧をえがくのでｘ座標・Z座標が※１※２のように変わります。(y軸の負の方向から見た円を書いて見てください） >cosθ＝OB・OD　（∵｜OB｜＝｜OC｜＝１） >　　＝cosθ・cosψ＋sinθ・sinφ・sinψ　･･･※３ >　　＝αsin(ψ±β)　･･･①、※４ベクトルの内積は　A=（a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3)とすると A・B＝｜A｜・｜B｜・cosθ A・B＝a1b1+a2b2+a3b3 これを使うと※３が導かれます。つぎに三角関数の合成の公式　asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+Φ）ただし　tanΦ＝b/a これをつかうのでは >①より、cosθ・cosψ＋sinθ・sinφ・sinψ－cosθ＝０ >これを全微分すると、（－cosθsinψ＋sinθ・sinφ・cosψ)dψ＋(sinθ・ >sinψ・cosφ)dφ＝０　･･･※６全微分の式　ｙ＝f(x1,x2)とするとdy=(δy/δx1)dx1+(δy/δx2)dx2 という式にあてはめると※６がでます。以上、にわか勉強ですが参考になるでしょうか？

	31657．Re: 三角関数
	名前：えむ日付：4月6日(金) 23時59分
	ご回答ありがとうございました（こちらのPCの問題か書き込み頂いたのに気づかず、お礼が遅れて申し訳ありません）。ご教示頂いたおかげで※３以降の式の展開については理解できたのですが、立体図形が苦手なもので、実際に紙を折り曲げてみても※１、※２についてはよくわかりません。 ①点B、Cはもともと中心をOとするｒ＝１の円上にある点だったのに、角度φで折り曲げることにより、どうして中心をOとし半径をsinθとする円弧を描くのでしょうか？ sinθというのは点B,Cのスタート位置からY軸に下ろした垂線の長さに等しいですよね。また中心をOとし半径をsinθとする円弧を描くとして、どうして点BのX／Z座標が、sinθ→sinθ．cosφ、０→-sinθ・sinφへ点CのＸ／Ｚ座標が、-sinθ→-sinθ．cosφ、０→-sinθ・sinφへ変わるのかもわかりません。当たり前のことなのかもしれませんが、全くセンスがないもので。。。お手数をおかけし恐縮ですが、その辺りを詳しく説明して頂ければ幸いです。

31445．中学の立体図形の問題がわかりません。

名前：ぞう日付：3月24日(土) 14時38分

中学の立体図形の問題で、以下の問題がわかりません。 (2)(3)は自分で以下のように求めました。正解はわかりませんが、多分私の解答でいいと思います。(1)(4)(5)がわかりませんので、解き方を教えてください。よろしくお願いします。

［問題］

∠CAD=90°、AC=AD=3ｃｍ、DC=3√2ｃｍの直角二等辺三角形を底面とする三角錐D－ABCがある。点Aから真上に∠BAC=∠BAD=90°、AB=４ｃｍとなる点Bをとる。このとき、BD=BC=5ｃｍとなった。辺ABの中点をEとし、辺BC上に∠BFD＝90°となるようにFをとる。次の問いに答えよ。

(1)　AFの長さを求めよ。
(2)　BFの長さを求めよ。
(3)　DFの長さを求めよ。
(4)　四角形AEFCの面積を求めよ。
(5)　四角錐D－AEFCの体積を求めよ。

［私の(2)(3)の解答］

(2)(3)は自分で以下のように求めました。正解はわかりませんが、多分私の解答でいいと思います。

(2)はBF=x　ｃｍとおいて、FC=5-x　だから三平方の定理から
DF＾２=DB＾２－BF＾２＝DC＾２－FC＾２
５＾２－ｘ＾２＝（3√2）＾２－（5-x）＾２
これより、ｘ＝3.2＝16/5　ｃｍ

(3)は(2)よりDF=√（DB＾２－BF＾２）＝√（５＾２－(16/5)＾２）＝3√41／5　ｃｍ

(1)(4)(5)がわかりませんので、解き方を教えてください。
http://www.kry.co.jp/high_2007/sugaku_m1.htm

	31446．Re: 中学の立体図形の問題がわかりません。
	名前：ヨッシー日付：3月24日(土) 19時39分
	直線と平面の直行条件というのが、あったと思いましたが、忘れたので、次のようにして、ＡＦ⊥ＢＣを証明します。 (1) △ＡＢＣを底面として、三角錐Ｄ－ＡＢＣを書きます △ＡＢＣを含む平面とＡＤは垂直なので、ＡＦとＡＤも垂直です。 △ＡＤＣにおける三平方の定理より、　ＡＣ^2＝ＣＤ^2－ＡＤ^2 △ＡＤＦにおける三平方の定理より、　ＡＦ^2＝ＤＦ^2－ＡＤ^2 △ＤＦＣにおける三平方の定理より、　ＣＦ^2＝ＣＤ^2－ＤＦ^2 以上より、　ＡＦ^2＋ＣＦ^2＝ＣＤ^2－ＡＤ^2＝ＡＣ^2 となり、△ＡＣＦは、∠ＡＦＣ＝90°の直角三角形になります。よって、ＡＦ⊥ＢＣとなります。 △ＡＢＣの面積は、３×４÷２＝６　ですが、ＢＣを底辺とすると、ＡＦが高さになるので、ＡＦ＝６×２÷５＝12/5 また、これを思いつかないときは、△ＡＢＣ上において、ＦからＡＣに、垂線をおろし、その足をＧとすると、ＦＧや、ＡＧは、(2) の結果を使って、求められます。 △ＡＦＧにおける三平方の定理より、ＡＦを出すことができます。 (4) △ＢＦＡにおいて、∠ＡＦＢ＝90°なので、　△ＢＦＡ＝3.2×2.4÷２＝3.84 △ＢＦＥはその半分なので、1.92 四角形ＡＥＦＣ＝△ＡＢＣ－△ＢＦＥ＝6－1.92＝4.08 (5) 四角錐D－AEFC は、三角錐Ｄ－ＡＢＣに比べて、底面が、 △ＡＢＣ(面積６)が、四角形ＡＥＦＣ（面積4.08) になっただけです。三角錐Ｄ－ＡＢＣの体積は、△ＡＣＤを底面にすると、　(３×３÷２)×４÷３＝６よって、四角錐D－AEFC の体積は、　4.08 　　 http://yosshy.sansu.org/

	31448．Re: 中学の立体図形の問題がわかりません。
	名前：ぞう日付：3月24日(土) 23時43分
	わかりました。ありがとうございます。

31443．(untitled)

名前：howaito 日付：3月23日(金) 15時56分

ーπ/2＜α、β、λ＜π/2
をα＋β＋λにしたときどうなるかおしえてください

	31444．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月23日(金) 16時51分
	一般にａ＜ｂ＜ｃｄ＜ｅ＜ｆならば、ａ＋ｄ＜ｂ＋ｅ＜ｃ＋ｆ　です。３つ以上でも同じです。　－π/2＜α＜π/2 　－π/2＜β＜π/2 　－π/2＜λ＜π/2 より、　－3π/2＜α＋β＋λ＜3π/2 です。　 http://yosshy.sansu.org/

31441．(untitled)

名前：っ初心者 日付：3月23日(金) 11時16分

三倍角の公式の作り方を教えてください

	31442．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：3月23日(金) 11時43分
	sin(3α) =sin(α+2α) =sinαcos2α+cosαsin2α　(∵加法定理) =sinα(1-2sin²α)+cosα(2sinαcosα)　(∵2倍角の公式より) =sinα-2sin³α+2sinα(1-sin²α) =3sinα-4sin³α cosの時も同様にcos(3α)=cos(α+2α)=…とやればできます。

31439．円周角について教えてください。

名前：ゆゆ日付：3月23日(金) 9時38分

直径を通る円周角の定理の証明は、何に役立つんですか？？
二等辺三角形の低角と、三角形の外角を使う証明内容は理解できるのですが、何に役立つのか、全く理解できません。

宜しくお願いします。

	31440．Re: 円周角について教えてください。
	名前：ヨッシー日付：3月23日(金) 9時53分
	定理が役に立つかどうかではなく、その証明が役に立つかということでしょうか？定理自体は、かなり使い道のあるものだとは思いますが。　 http://yosshy.sansu.org/

31419．おねがいしますｍｍｍｍ

名前：N 日付：3月21日(水) 19時3分

０≦θ≦２πで
cos(2θーπ/4)＝√３/2
2θーπ/4＝ｔとおいて
ｔの値の範囲のだしかたがよくわかりません

	31420．Re: おねがいしますｍｍｍｍ
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 19時13分
	0≦θ≦2π ２倍する 0≦2θ≦4π π/4引く -π/4≦2θ-π/4≦15π/4

31401．(untitled)

名前：N 日付：3月21日(水) 17時42分

π/２＜θ＜３/２πのとき
２cosθー３tanθ＞０をみたす
θの値の範囲をもとめよtanをもどしてcosをかけて不等号がかわる理由
がわかりません

	31403．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 17時46分
	そのときcos負だから

	31405．Re: (untitled)
	名前：N 日付：3月21日(水) 17時56分
	ごめんなさいなぜ　－　はかわらないんですか

	31409．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時26分
	言わんとすることはなんとなくわかりました。符号はかわりません。変わらないものは変わりません。

	31414．Re: (untitled)
	名前：N 日付：3月21日(水) 18時51分
	これおぼえるしかないでしょうかOTZ

	31417．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時56分
	多分あと１週間悩んだらわかるようになります。

	31421．Re: (untitled)
	名前：ダンディ海野日付：3月21日(水) 20時16分
	ｙ＝cosθ　（0＜＝θ＜＝２π）のグラフを書いてみれば π/２＜θ＜３/２πのとき　cosθ＜０　がわかりますよ。不等号の両辺に負の数をかけると・・・・・

	31422．Re: (untitled)
	名前：キモオタ日付：3月21日(水) 20時36分
	ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズは名前の通りだから、奴のいう事には真に受けるなよヒントは、cosxが負になるようなxの範囲はどうだったかな？

	31424．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 21時23分
	Ｎはそれがわからないんじゃない。文章を汲み取る力をつけろ

31400．(untitled)

名前：なな日付：3月21日(水) 17時6分

確立の問題です。
４でわると３余る数の数字が出る確立。を教えてください！

	31402．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 17時43分
	1/4と思われ

	31407．Re: (untitled)
	名前：なな日付：3月21日(水) 18時18分
	答えは6/25でした。

	31408．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時21分
	問題文をそのまま出してください。

	31411．Re: (untitled)
	名前：なな日付：3月21日(水) 18時42分
	４でわると３余る数の数字が出る確立。

	31412．Re: (untitled)
	名前：なな日付：3月21日(水) 18時44分
	あっすみません！！５０枚のカードがあります！！！その中から１枚取り出すときです。こんな大切なことを書くの忘れててすみません！

	31415．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時51分
	高々１２個なので全てあげても時間はかからないと思いますが。計算で出したいということでしょうか。 50÷4=12‥2 よって 12/50=6/25

	31425．Re: (untitled)
	名前：なな日付：3月21日(水) 21時44分
	３はどこにでてくるんですか？？

	31426．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 22時1分
	イメージ ↓ 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 ‥‥‥　 45,46,47,48 49,50 ４つの数字はそれぞれ４で割って1余る数、２余る数、３余る数、割り切れる数です。最後の集合49,50は計算でも出たように2つです。よって４で割って３余る数は入らない。結局、商の１２が４で割って３余る個数となる。

31398．(untitled)

名前：あ日付：3月21日(水) 15時9分

点（ｘ。ｙ）
が不等式（ｘ－３）＾２＋（ｙ－２）＾２≦１のあらわす領域上を動くとする
４）１０ｘ＋１０ｙの最大の整数値をもとめよで
（３．２）とｙ＝－ｘ＋ｎ/10の距離は円の半径１以下
・・・・・・自分はなんで１以下になるのかがわかりません＝１
じゃないんですか・おねがいしますｍｍ

	31404．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 17時50分
	ｎのとり得る範囲を出しているのでは？そこから最大の整数値を出す解答だと思われ

	31406．Re: (untitled)
	名前：N 日付：3月21日(水) 18時15分
	切片が一番高いところが最大値このとき円と直線が接した状態円中と直線の距離＝１ガ違う理由をおねがいしますｍ

	31410．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時29分
	違いません。左様で御座います。今回、最大の「整数値」を出す問題ですので・・・不等式で解く方がスマートだからでは

	31413．？？
	名前：N 日付：3月21日(水) 18時49分
	最大値と最大の整数値はちがうんですか？？？

	31416．Re: (untitled)
	名前：ラジオ聴きまくって生活に支障が出てるクズ日付：3月21日(水) 18時53分
	最大値が整数値でなければ範囲内で最もデカイ整数値を探さねばなりません。

	31418．Re: (untitled)
	名前：N 日付：3月21日(水) 18時59分
	どもありがとうございますめっさわかりました

31391．素数の存在

名前：セントアリシア 日付：3月21日(水) 7時56分

自然数 n に関して、
n < n²
が成り立つとき、
n < p < n²
を満たす素数 p は必ず存在すると言えるのでしょうか？

n が大きくなればなるほど p の範囲が広くなるので存在すると言えると思うのですが、
存在することの証明はどのように考えればよいのでしょうか…？

	31392．Re: 素数の存在
	名前：だるまにおん日付：3月21日(水) 9時0分
	チェビシェフの定理を使えば証明できそうですね。ちなみにこんなものもありましたので参考迄に。

	31427．Re: 素数の存在
	名前：セントアリシア日付：3月21日(水) 22時13分
	より厳しい条件でも成立するのですね。紹介ありがとうございました。質問文の範囲で素数の存在が保証されていればよいので利用できそうです。失礼しました。

31383．二次方程式の存在範囲です

名前：クレアセカンド 日付：3月20日(火) 15時55分

x,yが実数で、x^(2)+y^(2)=2xをみたすとき、x+yの最大値はいくつか
また、最小値はいくつか。

この問題、難しすぎて分かりません--
おねがいします

	31386．Re: 二次方程式の存在範囲です
	名前：ヨッシー日付：3月20日(火) 16時17分
	グラフで解く方法　x^2+y^2=2x を変形すると、　(x-1)^2+y^2=1 なので、x^2+y^2=2x　をみたすとは、図のような円上に(x,y)があるときというのと同じです。座標上のある点(x,y) を取ると、x+y は、その点から、左上４５度に線を引いて、ｙ軸と交わったところのｙ座標で表されます。ｘ＋ｙ＝ｋ　とおくと、ｙ＝－ｘ＋ｋ　で、傾き－１，ｋはｙ切片となるのと同じ意味です。円 x^2+y^2=2x 上の点から、そのような線を引いて、ｙ切片がなるべく大きくなるように、また、なるべく小さくなるようにとったときが、x+y の最大、最小になります。答え　最大値：１＋√2、最小値：１－√2 式だけで解く方法ｘ＋ｙ＝ｋとおいて、ｙ＝－ｘ＋ｋを　x^2+y^2=2x に代入すると、　2x^2-(2k+2)x+k^2=0 これが、実数解を持つためには、判別式をとって、　D/4＝(k+1)^2-2k^2＝-k^2+2k+1≧０　k^2-2k-1≦０これを解いて、　1-√2≦ｋ≦1+√2 答え　最大値：１＋√2、最小値：１－√2 　　 http://yosshy.sansu.org/

	31430．Re: 二次方程式の存在範囲です
	名前：クレアセカンド日付：3月22日(木) 6時20分
	ありがとうございました。ちょっと疑問なんですが、どうして円と接する線が斜めなんでしょうか幾とおりも考えられるような気がするんですがどうして斜めの線でなくてはいけないんでしょうか？おねがいします

	31432．Re: 二次方程式の存在範囲です
	名前：ヨッシー日付：3月22日(木) 8時40分
	x+y=k とおいて、k の最大、最小を求めるのが、この問題の目的です。 x+y=k が、円 x^2+y^2=2x と、共有点を持ちながら、k を増減させて、 k(y切片) の最大、最小を求めます。 x+y=k なので、傾きが -1 の状態で、k を変化させることになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31436．Re: 二次方程式の存在範囲です
	名前：クレアセカンド日付：3月22日(木) 18時15分
	ありがとうございました！うぅー、難しいですねーもっと勉強しなくちゃ！

31382．二次方程式の存在範囲

名前：クレアセカンド 日付：3月20日(火) 15時52分

x^(2)+y^(2)=1のとき、x^(2)+4yは(x,y)=( , )のとき
最大値( )をとり、(x,y)=( , )のとき、最小値( )をとる

( )は空欄で答えを埋めていく問題です。

yが突然、-1≦y≦1となっているんですが、
x^(2)=1- y^2
x=±√(1 -y^2)
とといていっています
でも、逆に考えれば、
y^(2)=1- x^2
でxの範囲を-1～１の範囲に設定できるんじゃないでしょうか？
どうしてyだけ設定するんでしょうか？
こことあとこの問題の解き方も悩んでいます。
できれば分かりやすく教えてほしいです
おねがいします。

	31431．Re: 二次方程式の存在範囲
	名前：クレアセカンド日付：3月22日(木) 6時22分
	この問題も、もしよければ教えてくださいおねがいします

	31433．Re: 二次方程式の存在範囲
	名前：ヨッシー日付：3月22日(木) 8時47分
	＞x=±√(1 -y^2) ＞とといていっていますの続きは、どうなってますでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	31435．Re: 二次方程式の存在範囲
	名前：クレアセカンド日付：3月22日(木) 18時7分
	x^(2)=1- y^2 x=±√(1 -y^2) のあとは 1-y^(2)≧0 となっていて（xが実数だからそうなるそうです。私には良く分からないです・・。ここも教えてほしいです） y^(2)≦1 となって -1≦y≦1となるそうです。これは前も言ったんですけど xでやっても-1≦x≦1となりますよねどうしてyだけ選んでこうといていってるんでしょうか・・？おねがいします！

	31437．Re: 二次方程式の存在範囲
	名前：ヨッシー日付：3月22日(木) 18時15分
	その模範解答が、この先どう発展していくかはわかりませんが、おそらく、x^2+4y=k とおいて、x^2=k-4y を x^2+y^2=1 に代入して、　k-4y+y^2=1 　y^2-4y+k-1=0 となります。このyについての２次方程式が、-1≦y≦1 の範囲に解を持つための、ｋの範囲を求める。というふうに続いていくのかなと思います。このときに、y の２次方程式になったので、ｙについて範囲を決めています。ｙを消去して、ｘの方程式にすることも可能ですが、簡単ではない式になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31458．Re: 二次方程式の存在範囲
	名前：クレアセカンド日付：3月26日(月) 6時18分
	わかりました！ありがとうございましたー

31380．(untitled)

名前：ゆい日付：3月20日(火) 15時19分

またまたお願いします！！
△ABCで点Mは辺ABの中点、点Pha辺ACを２：３にわける点である。
△AMPの面積をQとして△ABCの面積をQを使ってときなさい。
　
答え→△ABC＝２Q×２/５＝５Q

２Qはわかるんですが、何で２/５になるのかがわかりません！
教えてください！！

	31384．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月20日(火) 15時57分
	２分の５と書くなら、　５／２　です。　△ABC＝２Ｑ×５／２＝５Ｑですね。　Ｑ＝△ＡＢＣ×（　　）×（　　）というのを考えてみたらどうでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	31385．Re: (untitled)
	名前：朝までチャットして目が痛い奴日付：3月20日(火) 15時57分
	2Qがわかって何故5/2倍がわからないのか不思議ですが。まず△ABPは2Qになる。次に底辺をACと考えると底辺が5/2倍なので 2Q×5/2＝５Ｑとなる。

	31389．Re: (untitled)
	名前：ゆい日付：3月20日(火) 21時9分
	なんで5/2倍なんですか？底辺５じゃだめなんですか？

	31390．Re: (untitled)
	名前：マスゾウ日付：3月21日(水) 7時39分
	２Ｑは△ＡＢＰの面積の事ですね？　それから、△ＡＢＰ：△ＡＢＣの底辺が２：５になってますね。すると、△ＡＢＣ＝△ＡＢＰ×５/２になり、 △ＡＢＣ＝２Ｑ×５/２＝５Ｑになります。底辺は確かに５ですが、△ＡＢＰの底辺は△ＡＢＣの底辺を２等分したという点に注意を置く事が肝要です。焦らず、落ち着いて考えて下さいね…。

	31397．Re: (untitled)
	名前：ゆい日付：3月21日(水) 13時53分
	わかりました！色々とありがとうございました！

31378．距離の最小地

名前：haru 日付：3月20日(火) 12時28分

一般にｎ地点からの距離の和が最小になるようなある地点は、ｎ個の地点をｎ個の質点と考えたときのその質点系の重心にあるのでしょうか。わかりましたら教えてください。

	31388．Re: 距離の最小地
	名前：ダンディ海野日付：3月20日(火) 20時38分
	例えば　n＝2 のとき、すなわち２点A、Bを質点系とすると　線分AB上の点はすべてA,Bからの距離の和は最小になるが中点以外は質点系の重心ではない。よって「質点からの距離の和が最小になる点は重心にある」はいえない。もう１つ反例を挙げてみると　n＝３　のときで　A(100,1),B(100,-1),原点Oの３点を質点系とするとき重心Gは（200/3,0)の近くにありますが、A,B,Oからの距離の和は最小ではありません。たとえば点Pを（100,0)とするとあきらかに PA+PB+PO＜GA+GB+GO　　になっていますね。よって「距離の和は最小になる点は重心にある」はいえない・・となります

	31396．Re: 距離の最小地
	名前：haru 日付：3月21日(水) 13時26分
	回答ありがとうございました。計算してみたら本当にそうなりました。だとしたら、この問題を解く方法はあるのでしょうか。

	31399．Re: 距離の最小地
	名前：ダンディ海野日付：3月21日(水) 16時30分
	「この問題を解く方法はあるのでしょうか」の「この問題」とは、なにを指しているのでしょうか？

	31423．Re: 距離の最小地
	名前：haru 日付：3月21日(水) 20時57分
	一般にｎ地点からの距離の和が最小になるようなある地点を求める方法です。

	31428．Re: 距離の最小地
	名前：ダンディ海野日付：3月22日(木) 1時53分
	私の能力では無理。 n個の点の座標を（x1,y1,z1),(x2,y2,z2)...(xn,yn,zn)とするとき L＝Σ｛√（(xt-a)^2）+√（(yt-b)＾2）+√(zt-c)^2} 　 t:1～ｎが最小になる（a,b,c）をコンピュータに試行錯誤させて求める手はあるのでしょうが。

	31429．Re: 距離の最小地
	名前：らすかる日付：3月22日(木) 4時26分
	n=3で3点からなる三角形の内角がすべて120°以下の場合は、各頂点を見込む角度が120°になる点が解となります。これは「フェルマー点」で検索してみてください。また、一般の場合は「シュタイナー問題」として知られていますのでこれは「シュタイナー問題」で検索してみてください。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31434．Re: 距離の最小地
	名前：ダンディ海野日付：3月22日(木) 8時56分
	らすかるさん、いいことを教えていただきました。勉強になりました。 haruさん、２次元空間での３点に限定してすら、名前のつくような問題・点になっているぐらいですから n個まで一般化してひとまとめにして「こうだ」と結論を出すのは　やはり無理のように思えますが・・それから、上の私の投稿で「L＝・・・」のところは L＝Σ[√｛(xt-a)^2+(yt-b)＾2+(zt-c)^2} ]　 t:1～ｎの間違い

	31438．Re: 距離の最小地
	名前：haru 日付：3月22日(木) 18時45分
	らすかるさんも海野さんも回答ありがとうございました。実はある本の中にこの問題を力学的に解釈してあり、それによると３地点の場合、３つのところにおける力の釣り合いのところが、最小値になるとあった（つまり３つの所に同じ錘をかけるとどの錘も下へ下がろうとしてその系全体の位置エネルギーが低くなるようにはたらくので、つりあいの位置から３つの所までの距離の和が最小値になる）ので、そうなるとそこは重心ではなく何かのつりあいの点であるのだと思います。また詳しく調べてみます。

31373．高校数学

名前：ななな 日付：3月19日(月) 23時47分

実数x、ｙ、zが等式x＋y＋z＝３、xy＋yz＋zx＝－９を満たすとき、
xのとり得る範囲を求めよ。

上の２式からx＝(yz＋９)／x＋３となったのですが、
そのあとどうしたらいいのかわかりません。
むしろこの式変形が必要なのかさえも・・・
教えてください。よろしくお願いします。

	31375．Re: 高校数学
	名前：ダンディ海野日付：3月20日(火) 0時23分
	Z＝３－ｘ－ｙ　を xy+yz+zx=-9 　　に代入して Y　についての2次式と考え整理して判別式D ＞＝0 より　ｘについての２次不等式を作って解いてみてください。

	31376．ありがとうございます。
	名前：ななな日付：3月20日(火) 0時38分
	やってみました。－3≦x≦5になりました。判別式D ＞＝0 ↑でイコールが含まれているのは、 y＝zがあり得るからということでよろしいですか？

	31377．Re: 高校数学
	名前：ZELDA 日付：3月20日(火) 9時5分
	実数解条件を考えるので、『＝』が含まれているのだと思います。　実数係数の２次方程式が実数解をもつ。 ⇔（判別式）≧０

	31387．Re: 高校数学
	名前：ダンディ海野日付：3月20日(火) 19時4分
	ZELDAさんの説明を具体的にあらわすと　整理すれば　　ｙ^2+(x-3)y+(x^2-3x-9)＝0 となってさらに変形をすると　｛y+(x-3)/2}^2＝D/4　　（D：判別式）実数解を持つには　D>=0　でなければならないのですが D＝0　でも実数解を持つということです。すなわち　y+(x-3)/2＝0　のときで結果として　ｙ＝Z＝（3-X）/3　　のときということになります。

	31393．Re: 高校数学
	名前：ダンディ海野日付：3月21日(水) 9時41分
	上の説明の最後の行は　「ｙ＝Z＝（3-X）/2」の間違い。

31371．ベクトル　交点の求め方

名前：ローム 日付：3月19日(月) 20時55分

△ABCの辺ABを1:2に内分する点D、辺BCを2:3に内分する点をE、AEとCDの交点をP、BPと辺ACをQとする。
①AP→をAB→とAC→で表せ。
解説に
Pは直線AE上だからAP→＝kAE→とおける
と書いてあるのですが
共線条件で参考書に書いてあったのですが、
3点abcが同一直線上にある⇔AC→＝kAB→
問題ではPは直線AE上だからAP→＝kAE→
AE→＝kAPになると思いますが…
そこから全然問題が解けません。
申し訳ないのですが教えて下さい！！！
よろしくお願いします！！

	31379．Re: ベクトル　交点の求め方
	名前：ヨッシー日付：3月20日(火) 13時18分
	私のように小ずるい人は、メネラウスの定理で、　ＡＰ：ＰＥ＝５：６と出して、　ＡＰ＝(5/11)ＡＥ　ＡＥ＝(３ＡＢ＋２ＡＣ)／５より、　ＡＰ＝(３ＡＢ＋２ＡＣ)／１１と出すでしょう。一方、線分の内分だけで出すと、　ＤＰ：ＰＣ＝ｓ：(１－ｓ)　ただし、０＜ｓ＜１とおくと、　ＡＰ＝(１－ｓ)ＡＤ＋ｓＡＣ　　＝(１－ｓ)ＡＢ/３＋ｓＡＣ　・・・(1) また、ＡＰ＝ｋＡＥ　とおくと　ＡＰ＝ｋ(３ＡＢ＋２ＡＣ)／５　　＝(３ｋＡＢ＋２ｋＡＣ)／５　・・・(2) ＡＢとＡＣは並行でないので、(1)と(2)の係数を比較して、　(１－ｓ)/３＝３ｋ/５　ｓ＝２ｋ/５これを解いて、　ｋ＝５/１１、ｓ＝２/１１ (1) に、ｓ＝２/１１を代入して、　ＡＰ＝(３ＡＢ＋２ＡＣ)／１１　 http://yosshy.sansu.org/

	31394．Re: ベクトル　交点の求め方
	名前：ローム日付：3月21日(水) 10時13分
	チェバの定理とメネラウスの定理についてはこの参考書は触れていなかったのですごく参考になりました。ありがとうございました。

31370．軌跡②

名前：デブ日付：3月19日(月) 19時26分

xy平面上に2直線
l: kx -y=0
m: x +ky -2=0
があり、lとmの交点をPとする。kが0≦k≦1を満たして変化するとき、点Pの動く図形を図示せよ。

これはどのように考えればいいのでしょうか。

	31372．Re: 軌跡②
	名前：ダンディ海野日付：3月19日(月) 22時56分
	kx-y＝0・・・(1), x+ky-2＝0・・・・（2）において (1)y kxy-y^2＝0・・・・・（3） (2)x x^2+kxy-2x＝0・・・・（4） (4)-(3)より　　　x^2-2x+y^2＝0 変形をして　　　(x-1)+y^2＝1・・・・・・（5） (1),(2)にｋ＝0 を代入すると　x=2,y=0・・・・点（2,0）　　　　　　ｋ＝1 を代入すると　x-y=0,x+y-2=0 これを解くと　x=1,y=1 ・・・・・点（1,1）（5）とこのことより点P の動く図形は点(1,0)を中心とする半径1の円周のうち点（1,1）から点（2,0）までの部分である。これでどうでしょうか。（変化するｋを消去してしまうこと）

	31374．Re: 軌跡②
	名前：ダンディ海野日付：3月20日(火) 0時2分
	上の説明において、（5）の式は (x-1)＾2+y^2＝1・・・・・・（5）　の間違いです。スミマセン

31364．最大・最小から2次関数の決定

名前：クレアセカンド 日付：3月19日(月) 15時51分

２次関数y=-x^(2)+dx+eの、すべてのxにおける最大値は7,
x≦0における最大値は3である。このとき、定数d,eの値を求めよ。

すべてのxにおける～というのとx≦0における～というやつの
違いがよく分かりません。
ここを詳しく教えてほしいです。

もうひとつあるんですけど（似たような問題）

x^(2)の係数が2で、すべてのxにおける最小値が4,x≧0に
おける最小値が6の二次関数を求めよ。

これも同じくすべての～の場合とx≧0～の場合の違いがよく
分かりません。

おねがいします。

	31367．Re: 最大・最小から2次関数の決定
	名前：ヨッシー日付：3月19日(月) 16時51分
	こういうことです。上の方では、x=0 のとき、y=3 ということがすぐわかるので、 e=3 は確定です。下の方は、y=2(x-b)^2+4 とおけばいいでしょう。同様に、x=0 のとき、y=6 は確定です。　 http://yosshy.sansu.org/

	31381．Re: 最大・最小から2次関数の決定
	名前：クレアセカンド日付：3月20日(火) 15時45分
	ありがとうございましたすごいよくわかりましたー＾＾

31358．軌跡

名前：デブ日付：3月19日(月) 14時24分

直線l：y=2tx +t^2 -1について、tがt≧0の範囲を変化するとき、lの動く範囲を図示せよ。

考え方が、全然わかりません。解説お願いします。

	31362．Re: 軌跡
	名前：ヨッシー日付：3月19日(月) 15時15分
	逆に考えると、直線ｌ上の点(x,y) がいろんな点を動くとき、通ってはいけない場所は、ｔの２次方程式：y=2tx +t^2 -1　が、　１．虚数解になるような場合　２．２つの負の解を持つ場合です。t^2+2xt-y-1=0 とすると、通ってはいけないのは、判別式：　D/4＝x^2+y+1＜０２解をα、βとすると、解と係数の関係より、　α＋β＝-2x＜０　αβ＝-y-1＞０よって、ｘ＞０かつｙ＜－１よって、以下のようになります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	31363．Re: 軌跡
	名前：ヨッシー日付：3月19日(月) 15時44分
	上の図で、破線の境界線上の点は含まず、実線の境界線上の点は含みます。ついでに、こんなのも作ってみました。　 http://yosshy.sansu.org/

	31369．Re: 軌跡
	名前：デブ日付：3月19日(月) 19時21分
	なるほど、簡単でしたね。ありがとうございました。

31357．組み合わせ(?)　もしくは関数

名前：優子日付：3月19日(月) 13時57分

こんにちわ。
海外で大学に通っています。
数学の問題でつまづいてしまいました。

(a+b+c+d)^8を計算したときのa^2b^2c^3dの係数は何か?

（Original：What is the coefficient of a^2b^2c^3d in the expression (a+b+c+d)^8？）

	31360．Re: 組み合わせ(?)　もしくは関数
	名前：ヨッシー日付：3月19日(月) 14時43分
	これは、二項定理の拡張版で多項定理というのを使います。 (x1+x2+x2+…+xk)^n の展開式において、　x1^(a1)・x2^(a2)・x3^(a3)…xk^(ak) の係数は、　n!/(a1!・a2!・a3!…ak!) で表されます。ただし、0!＝1 とします。元々の考えは、 (a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d)(a+b+c+d) のように、(a+b+c+d) が８つ並んだところから、それぞれの括弧から１つずつ文字を選び、aabbcccd の８つを選ぶ方法は、何通りありますか？というものです。　 http://yosshy.sansu.org/

	31366．Re: 組み合わせ(?)　もしくは関数
	名前：優子日付：3月19日(月) 16時40分
	回答ありがとうございます。やってみます！

31349．山口県高校入試数学の問題がわかりません。

名前：図形苦手 日付：3月17日(土) 23時17分

今年の山口県高校入試数学の問題の８(2)がわかりません。よろしくお願いします。問題は以下の通りです。

（問題）
　線分ABを直径とする半円の周上に２点C、Dがある。（問題の図では、弧AB上で点C,Dは点Aより点Bに近いところにありました。また、点Dは点Cよりも点Bに近いところにありました。）線分ADは∠CABを二等分している。また、線分ADと線分BCの交点をEとする。
(1)△ACD∽△CEDであることを証明しなさい。←(1)はできました。
(2)AB=3cm、BD=1cmのとき、△ABEの面積の面積を求めなさい。

(2)の正解は（７√２）／８㎠だそうです。解き方を教えてください。
実際の問題はhttp://www.kry.co.jp/high_2007/sugaku_m1.htmにあります。
http://www.kry.co.jp/high_2007/sugaku_m1.htm

	31350．Re: 山口県高校入試数学の問題がわかりません。
	名前：廃人日付：3月17日(土) 23時31分
	CDが1であることはいいな？そうすると相似比がでるな？ ABDが直角三角形であることもよいな？

	31351．Re: 山口県高校入試数学の問題がわかりません。
	名前：図形苦手日付：3月17日(土) 23時57分
	「CDが1であること。△ABEと△CEDの相似比が３：１である。 ABDが直角三角形である。」はわかりましたが、その後がわかりません。教えてください。 http://www.kry.co.jp/high_2007/sugaku_m1.htm

	31352．Re: 山口県高校入試数学の問題がわかりません。
	名前：廃人日付：3月18日(日) 0時4分
	(1)の相似比ださなあきまへんよ (2)は(1)を使え！という言葉を頭に叩きこみましょう。

	31354．Re: 山口県高校入試数学の問題がわかりません。
	名前：図形苦手日付：3月18日(日) 0時57分
	(1)よりAD：CD=CD：EDだからED=CD^2/AD=√2/4　に気がつきませんでした。よくわかりました。この後は自分で解けました。ありがとうございます。 http://www.kry.co.jp/high_2007/sugaku_m1.htm

31346．絶対値の場合分け、≧か＞、≦か＜　の違いについて

名前：ShoWat 日付：3月17日(土) 20時10分

【設問】xy平面上に、|x|+|y|≦1 を満たす領域Ｄを図示せよ。

一般に絶対値は |a|= a (a≧0)
-a (a＜0) と表せるので
【私の答案】
i) x≧0 かつ y≧0
ii) x≧0 かつ y＜0
iii) x＜0 かつ y≧0
iv) x＜0 かつ y＜0
上記の４通りに場合分けしましたが、模範解答では
i) x≧0 かつ y≧0
ii) x≧0 かつ y≦0
iii) x≦0 かつ y≧0
iv) x≦0 かつ y≦0
のように、全て等号を含んだ≦を用いて場合分けしてありました。

この違いと、何故私のような場合分けではいけないのか、
あるいは、私のような場合分けが有効な時があるとすればどういう時か
教えてください。

	31348．Re: 絶対値の場合分け、≧か＞、≦か＜　の違いについて
	名前：廃人日付：3月17日(土) 21時28分
	あなたの場合分けでも問題ないと思いますが。要は平面全体を含んでいればよく模範解答の方がきれいと言えるでしょう。

	31356．場合分け
	名前：RYO 高１日付：3月18日(日) 8時12分
	う～ん。 ⅰ）ｙ≧０のとき　　ⅱ）ｙ＜０のときの２つに場合分けして絶対値グラフが平行移動したものを２つ図示ってこの中です、みたいなのもありですね。４種類も場合分けしなくて済むので、そっちの方が自分は好きですね。ただこんな解答あんまり見たこと無いんで「良くない解答」ではあると思いますが。。。 http://evergreen1.blog90.fc2.com/

31343．(untitled)

名前：ゆい日付：3月17日(土) 14時46分

（線分ABの長さは８ｃｍです。）大小のさいころを同時に投げる。大さいころがＰならＰ進む。小さいころがＱならＱ進む。この時、ＰとＱの差が２ｃｍになる確率は？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え、9/2
答えはわかっているのですが、なぜそうなるのか分かりません。

	31345．Re: (untitled)
	名前：廃人日付：3月17日(土) 19時7分
	P+Q=10 P+Q=6 を満たす組は全部で8通りよって 8/36=2/9

	31353．Re: (untitled)
	名前：ゆい日付：3月18日(日) 0時26分
	ありがとうございます。でももう１つ教えてください。Ｐ＋Ｑ＝１０や６はそれぞれ何を足しているんですか？

	31355．Re: (untitled)
	名前：廃人日付：3月18日(日) 1時9分
	それぞれ8+2,8-2でっす。

	31359．Re: (untitled)
	名前：ゆい日付：3月19日(月) 14時39分
	なんで、８＋２・８－２をするんですか？

	31361．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月19日(月) 14時55分
	問題の前提が書いていないので、想像で書きますが、 8cm の線分ＡＢがあり、ＡにＰさん、ＢにＱさんがいます。Ｐは大さいころの目ｃｍだけ、Ｂに向けて進みます。Ｑは小さいころの目ｃｍだけ、Ａに向けて進みます。このとき、ＰとＱの位置の距離が２になる確率は？ということとします。距離が２cmになる状況は、ＰとＱが出会う前に距離が２cmである状態→Ｐの進んだ距離とＱの進んだ距離の和が６ｃｍＰとＱがすれ違ったあと、距離が２cmである状態→Ｐの進んだ距離とＱの進んだ距離の和が10cm の２通りが考えられます。距離の和が６ｃｍになるのは、(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) の５通り距離の和が10cm になるのは　(4,6)(5,5)(6,4) の３通りで、計８通りです。　 http://yosshy.sansu.org/

	31365．Re: (untitled)
	名前：ゆい日付：3月19日(月) 16時20分
	わかりました！ありがとうございました！！

31342．式の証明

名前：ちこ日付：3月17日(土) 11時41分

教えてください。。　　２題あります。

１）実数a,b,cについて、a≧0、b≧0、c≧0のとき、
　　a+b+c≧√ab+√bc＋√ca を証明しなさい。

２）実数a,b,cについて、a≧0、b≧0、ｃ≧0のとき、

　　　√(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2 /3 ≧　a+b+c　/3
↑ルートと/3は左辺全体
　　　　を証明しなさい。

わかりにくくてごめんなさい。。
よろしくお願いします。

	31344．Re: 式の証明
	名前：ダンディ海野日付：3月17日(土) 19時5分
	1)について a+b-2√(ab)＝(√a)^2-2(√a)(√b)+(√b)^2 　　＝(√a-√b)^2>=0 よって　（a+b)/2>=√(ab)・・・・・公式です同様に　（b+c)/2>=√(bc)　　（c+a)/2>=√(ca) がいえ a+b+c-{√(ab)+√(bc)+√(ca)} ＝{（a+b)/2-√(ab)}+{（b+c)/2-√(bc)}+{（c+a)/2-√(ca)}>=0 ゆえに a+b+c＞＝√(ab)+√(bc)+√(ca) こんなのでどうでしょう。

	31347．Re: 式の証明
	名前：ちこ日付：3月17日(土) 20時59分
	ありがとうございました！

	31368．Re: 式の証明
	名前：ダンディ海野日付：3月19日(月) 18時22分
	a+b-c＝P, ｂ+c-a＝Q,　ｃ+a-b＝R　とおくと左辺＝ルート{(P^2+Q^2+R^2)/3}・・・・・（1）右辺＝（P+Q+R）/３　　・・・・・・・・（2）　となり {(P^2+Q^2+R^2)/3}ー{（P+Q+R）/３}＾2 ＝（1/9）｛3（p^2+Q^2+R^2)-(P+Q+R)^2｝＝（1/9）（2P^2+2Q^2+2R^2-2PQ-2QR-2RP）＝（1/9）*｛（P+Q)^2+(Q+R)^2+（R+P)^2}＞＝０ゆえに　{(P^2+Q^2+R^2)/3}＾2＞＝{（P+Q+R）/３}＾2 (P^2+Q^2+R^2)/3>=0、P+Q+R>=0　よりルート{(P^2+Q^2+R^2)/3}＞＝（P+Q+R）/３よって(1)(2)より示された不等式が言える。

31338．面積の関数とグラフ

名前：クレアセカンド 日付：3月16日(金) 11時10分

１辺の長さが２の正三角形ABCがある。
点Pが頂点Aを出発し、毎秒1の速さで左回りに辺上を１周するとき
線分APを１辺とする正三角形yを、出発後の時間x（秒）の関数として
表し、そのグラフを書け
ただし、点Pが点Aにあるときはy=0とする。

点Pが辺BC上(2<x≦4)にいるときの式の作り方が特に分かりません
教科書では辺BCの中点をMとしてそこに点Aから垂線を引き
2<x≦3 のときは　PM=1-(x-2) ←この式が何を表しているのかよく分かりません
3<x≦4 のときは　PM=(x-2)-1 ←これもよく分かりません

上の部分が特によく分からなくて、この問題自体が解けなくなっちゃってます
おねがいします

	31339．Re: 面積の関数とグラフ
	名前：ヨッシー日付：3月16日(金) 11時31分
	まずは、線分APを１辺とする正三角形の何をｙとするのでしょう？面積？周の長さ？ＢとＣの位置関係がわかりませんので、とりあえず、　２秒後にＢ、４秒後にＣを通る位置関係にあるとします。 2<x≦3 のときは　PM=1-(x-2) 時間が２秒から３秒の間は、点Ｐは、ＢとＭの間にあります。 PM=1-(x-2) は、このときの時刻ｘにおけるＰＭの長さを求めています。例えば、時刻2.5だと、点Ｐは、ＢＭの中点、つまりＰＭ＝0.5 の位置にありますが、たしかに、PM=1-(x-2)＝1-(2.5-2)＝0.5 です。また、x=3 のとき点Ｐは点Ｍに重なりますから、PM=1-(x-2)＝1-(3-2)＝０です。 3<x≦4 のときの同様です。時刻3.5 のとき、点Ｐは、ＣＭの中点にありますが、　PM=(x-2)-1＝(3.5-2)-1＝0.5 です。x=4 だと、点Ｐは点Ｃに来るので、　PM=(x-2)-1＝(4-2)-1＝1 です。　　 http://yosshy.sansu.org/

	31340．Re: 面積の関数とグラフ
	名前：ダンディ海野日付：3月16日(金) 18時39分
	2<x≦3 のときは　PM=1-(x-2)・・・これについては進んだ距離がこの範囲のときは、PがBとMの間にあるときで BPは進んだ距離ｘからAB（＝2）を引いたもので　（ｘ-2） PM＝BM-BP　だから　PM＝1-（ｘ-2） 3<x≦4 のときは　PM=(x-2)-1　・・・これについては PがMとCの間にあるときで BPは進んだ距離ｘからAB（＝2）を引いたもので　（ｘ-2） PM＝BP-BM　だから　PM=(x-2)-1 これは教科書のヒントがいまいちで、私なら 2<x≦3 のときは　PがBM上だから PMは　AB+BM（＝3）から進んだ距離ｘをひたものだから　PM＝3-ｘ 3<x≦4 のときは　PがCM上だから PMは　進んだ距離ｘからAB+BM（＝3）をひたものだから　PM＝ｘ-3 と書きますね。

	31341．Re: 面積の関数とグラフ
	名前：クレアセカンド日付：3月16日(金) 18時57分
	よく分かりました。ありがとうございました！

31335．清宮の定理について

名前：オサＱ 日付：3月15日(木) 23時7分

すみません，質問ではないのですが，
メールアドレスなどが見つからなかったのでここに失礼します。

清宮の定理について
http://yosshy.sansu.org/theorem/kiyomiya.htm
を拝見しました。

URLが kiyomiya.htm となっていますが，
「清宮」は，「きよみや」ではなく「せいみや」です。
http://www.geocities.jp/osaqmath/

	31336．Re: 清宮の定理について
	名前：ヨッシー日付：3月16日(金) 8時34分
	折を見て、直すようにします。ご指摘ありがとうございました。＃実は、外人さんのスペルも十分怪しいのですが(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/

31332．合成関数

名前：マリオ 日付：3月15日(木) 22時12分

２つの関数
f(x)=x+1(x<-1),0(-1≦x<1),x-1(1≦x)
g(x)=x^2-1/2　　について合成関数(fоg)(x)を求めよ。

どうやってとけばいいのか、教えてください。

	31337．Re: 合成関数
	名前：ヨッシー日付：3月16日(金) 8時45分
	g(x) の値が f に入るので、g(x) の値が　g(x)＜-1、-1≦g(x)＜１、１≦g(x) のどれかによって、場合分けされます。 g(x)=x^2-1/2 において、最小値は-1/2 なので、g(x)＜-1 はありません。 -√(3/2)＜ｘ＜√(3/2)　のとき　-1/2≦g(x)＜１　なので、　f(g(x))＝０ｘ≦-√(3/2) または √(3/2)≦ｘ　のとき　１≦g(x) なので、　f(g(x))＝g(x)－１＝x^2-3/2 　 http://yosshy.sansu.org/

31328．imaginary number

名前：デブ日付：3月14日(水) 16時40分

√iってどうなりますか。

	31329．Re: imaginary number
	名前：ヨッシー日付：3月14日(水) 16時57分
	こちらも参考にしていただくとして、 √ｉが、２乗してｉになる数、という意味であれば、　±(√2/2)(1+i) です。　 http://yosshy.sansu.org/

	31330．Re: imaginary number
	名前：豆日付：3月14日(水) 17時3分
	z^2=i　となるzのことであれば、 √i=±(1+i)/√2　です。 z=x+iy　(x,y：実数)として、あてはめればx,yが求まります。複素平面上の回転が分かっていれば、目算でも分かるかな？

31325．順列の総和

名前：大学生（１９歳） 日付：3月14日(水) 12時52分

Σ(k=1からn) nPk　（順列の総和）をnの多項式で表したいのですが、
できますでしょうか？教えてください、お願いします。

	31326．Re: 順列の総和
	名前：らすかる日付：3月14日(水) 16時6分
	[en!-1] と表されるようですので、“多項式”で表すのは無理ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31327．Re: 順列の総和
	名前：ヨッシー日付：3月14日(水) 16時33分
	不思議ですが、そうなりますね。 Excel で桁落ちしない程度で調べましたが。　 http://yosshy.sansu.org/

	31331．Re: 順列の総和
	名前：大学生（１９歳）日付：3月14日(水) 22時51分
	らすかるさん、ヨッシーさん、ありがとうございました。一見関係ないｅがでてくるなんて不思議ですね。

	31334．Re: 順列の総和
	名前：黒蟻日付：3月15日(木) 22時33分
	Σ[k＝0～n]nPk＝Σ[k＝0～n]n！/k！＝n！Σ[k＝0～n]1/k！＝n！(e－Σ[k＝n＋1～∞]1/k！) ＝en！－Σ[k＝n＋1～∞]n！/k！ここで、0＜Σ[k＝n＋1～∞]n！/k！＜Σ[k＝n＋1～∞]1/(n＋1)^k＝1/n≦1だから、 en！－1＜Σ[k＝0～n]nPk＜en！となり、Σ[k＝0～n]nPk＝[en！]となる。よってΣ[k＝1～n]nPk＝[en！]－1＝[en！－1]

31322．い

名前：あ日付：3月13日(火) 19時15分

整式P(x)は（ｘ＋１）＾２で割ると割り切れてｘ－２でわると１あまる
このP(x)を（ｘ＋１）＾２（ｘ－２）で割った余りをもとめよ
で
P(ｘ)＝（ｘ＋１）＾２（ｘ－２）Q（ｘ）＋a（ｘ＋１）＾２
a（ｘ＋１）＾２ってのがわかりませんax^2+bx+Cじゃないのかってかんじです　おねがいします

	31324．Re: い
	名前：ヨッシー日付：3月13日(火) 20時47分
	あまりは、たかだか２次なので、ax^2+bx+c とおいても良いのですが、 (ｘ＋１)^2 で割ると割り切れるということは、ax^2+bx+c 自体も、 (ｘ＋１)^2 で割り切れるので、ax^2+bx+c＝a(ｘ＋１)^2 とおけます。こうおくことで、(ｘ＋１)^2 で割り切れることは、折りこみ済みなので、ｘ－２でわると１あまる、だけを考えればいいことになります。　 http://yosshy.sansu.org/

31321．(untitled)

名前：ｎ日付：3月13日(火) 18時51分

x^3-ax+a-1から↓になるのがわかりません
(x-1)(x^2+x+1-a)

	31323．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：3月13日(火) 20時43分
	x^3-1 と -ax+a に分けて、それぞれ因数分解してみましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

31318．横置き皿形鏡板の容積計算方法

名前：おさむ 日付：3月12日(月) 21時56分

横置き皿形鏡板の容積計算方法をご教示願います。(社会人です、専門分野外ですので宜しくお願いします。）

	31319．Re: 横置き皿形鏡板の容積計算方法
	名前：らすかる日付：3月12日(月) 23時15分
	「横置き皿形鏡板」の形を正確に教えてください。その単語だけでは形がわかりません。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31312．xと分数の計算

名前：あさる 日付：3月12日(月) 1時18分

計算の仕方をすっかり忘れてしまいました。
x－x×0.9/25×10＝32000のxの出し方を教えて頂けませんか？
　答えは50000円になるらしいのですが・・・

年齢は31です。宜しくお願い致します

	31314．Re: xと分数の計算
	名前：らすかる日付：3月12日(月) 1時37分
	x-x×0.9/25×10=32000 まず0.9と10を掛けると x-x×9/25=32000 xでくくると x×(1-9/25)=32000 カッコ内を計算して x×(16/25)=32000 両辺に25/16を掛けて x=32000×(25/16) =32000×25÷16 =32000÷16×25 =2000×25 =50000 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31320．Re: xと分数の計算
	名前：あさる日付：3月13日(火) 1時22分
	らすかる様　本当に有難うございました。大人になってこれってまずいですね、、、

	31765．Xの求め方
	名前：中村　ひろみ日付：4月11日(水) 22時41分
	資格の勉強をしていて躓いています。 X（３００００－X）×０．２５=１５０００答え　１００００ Xの求め方がわかりません。レベルの低い問題で、すみません34歳です。よろしくお願いいたします。

31310．量多いですすみません

名前：みかげ　中２ 日付：3月11日(日) 18時12分

※番号など(問題集のページなどなどです)は自分が整理しやすいようにつけただけなので気にしないで下さい|￣|○・・・

★[問題］(実p142 37)　右図(図1)のような水槽に5cmの深さまで水が入っている。細い管から1分間に1lの速さで水を入れるとき
(3)10分ごとに5lずつ水を汲み出し、35分後の深さが初めの深さと同じになるためには、水を1分間に何lずつの速さで管から入れていけばよいか。
(4)1つの管から1分間に1lの速さで水を入れ、5分後からは別の管からも1分間に2lの速さで水を入れ、さらに10分毎に5lずつ汲み出すとき、深さが20cmになるのは何分後か。
[解説](３)1分間にxlの水を入れるとすると、水面は1分間に0.5xcmずつ上昇するから、35分間では17.5xcm上昇することになる。この間に15lの水が汲み出されて、水面は7.5cm下がるから、水面の高さが元と変わらないためには、17.5x=7.5∴x=3/7(l)　［答］x=3/7(l)
(4)初めの10分間で水は20l入れられるから、水の深さは15cmとなる。ここで5l水が汲み出されるので、水の深さは12.5cmとなり、そのあと水は毎分3lの割合で入るから、初めから測ると15分後に20cmの深さとなる。
[質問](3)なぜ17.5x=7.5という式を立てるのですか？
(4)「そのあと水は毎分3lの割合で入るから初めから測ると15分後に20cmの深さとなる」のはなぜですか？

★[問題］(実p142 39)　いま、A君とB君は自転車に乗って72KM離れているP市からQ市へ行くのに、右図(図2　見ににくくてすみません)のようなダイヤグラムを作った。A君は予定通り、11時に出発し12時半にX地点に着いた。B君も予定通り、9時に出発し11時にX地点に着いたが、1時間休んだのちに、急用のため、X地点からP市へ戻った。P市に着いたB君は、すぐ引き返してQ市に向かい、4時にA君とおちあった、B君の、予定を変更してからの速さは、P市からX地点へ向かうときの2倍の速さであった。このとき、次の問いに答えなさい。
(2)A君がP市からX地点に向かうときの速さは毎時何キロメートルですか。
(3)A君とB君はP市とX地点の間で出会った。その時刻を求めなさい、
[質問](2)(3)の解き方を教えて下さい。

★[問題](Ap121 [1］の(4))　△ABCの辺AC上に点D,Eを､CB=CD、AB=AEとなるようにとり、∠ABC=aとする。(図3)
△BDEが正三角形となるのは、△ABCがどんな三角形のときか。
[解説]x=x+y(∠BDE)=a-y(∠BED)=60°よりx=a=60°,y=0　[答] 正三角形のとき
[質問]なぜx=a=60°,y=0だと△ABCが正三角形になるのですか？

★[問題](Ap122[6])　△ABCの外側に2つの正三角形DBA,EACをつくると、△ADC≡△ABEで、かつ∠BCD+∠EBCは△ABCの形に関係なく一定となることを証明せよ。
[答]AD=AB、AC=AE、∠CAD=60°+∠CAB=∠EABより、△ADC≡△ABE。DCとBEの交点をOとする。∠BCD+∠EBC=∠EOC、∠BEA=aとすると、∠CEO=60°-a、∠OCE=60°+aより、∠EOC=60°　したがって、∠BCD+∠EBC=60°　
[質問]なぜ∠OCE=60°+aなんですか？

	31311．Re: 量多いですすみません
	名前：ヨッシー日付：3月11日(日) 22時42分
	問題(実p142 37) (3)解説に書いてあるとおりです。３５分の間に、入った水の量と、汲み出された水の量が同じであると、「35分後の深さが初めの深さと同じになる」ので、　(入った水の量)＝(汲み出された水の量) です。これを、深さで表したのが、　17.5x=7.5 です。 (4) 「そのあと水は毎分3lの割合で入る」の理由は、最初、毎分１ｌで入れていて、５分後から別の管から、毎分２ｌで入れるので、　１＋２＝３です。「15分後に20cmの深さとなる」の理由は、 10分の時点で、（汲み出したあと）12.5cm になっていて、毎分３ｌ＝深さ1.5cm　ずつ増えるので、20cm になるまでには、１０分からさらに　(20－12.5)÷1.5＝５（分）かかり、最初からは　１０＋５＝１５（分）次の汲み出しは、２０分なので、それまでに水は２０ｃｍになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31315．Re: 量多いですすみません
	名前：ヨッシー日付：3月12日(月) 10時58分
	[問題](Ap121 [1］の(4)) y=0 ということは、点Ｃと点Ｅが同一点になるということです。さらに x=a だと、∠ＡＢＤ＝０となり、点Ａと点Ｄも一致します。 CB=CD、AB=AE なので、 CB=CA、AB=AC となり、正三角形になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31316．Re: 量多いですすみません
	名前：ヨッシー日付：3月12日(月) 13時18分
	[問題](Ap122[6]) ＞なぜ∠OCE=60°+aなんですか？ ∠ＢＥＡ＝ａ　ですから、∠ＤＣＡ＝ａ　でもあります。（△ADC≡△ABE　より） ∠ＡＣＥ＝60°（正三角形の角の１つ）より、　∠OCE＝∠ＡＣＥ＋∠ＤＣＡ＝60°＋ａです。　 http://yosshy.sansu.org/

	31317．Re: 量多いですすみません
	名前：ヨッシー日付：3月12日(月) 16時53分
	[問題］(実p142 39) 図の赤丸の部分の時刻は１時でしょうか？ (1) も、問題を書いていただけますか？　 http://yosshy.sansu.org/

31306．画像の問題の解き方を教えてください

名前：敏章日付：3月11日(日) 1時50分

どれだけやっても、答えが出ないのです。
よろしくお願いします。

	31308．Re: 画像の問題の解き方を教えてください
	名前：らすかる日付：3月11日(日) 5時30分
	AからCDに垂線AHを下ろします。 BC=1とすると、CD=√3、AB=tan50°、DH=√3-tan50° ∴∠ADC=90°-arctan(√3-tan50°)≒61.6177707959…° 半端な角度ですので、三角関数が必要です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31395．Re: 画像の問題の解き方を教えてください
	名前：敏章日付：3月21日(水) 12時13分
	お返事遅れましてすみません。ご回答ありがとうございます。

31301．確率の問題です。

名前：みゅうきち 日付：3月10日(土) 22時26分

中2の問題です。＜袋の中に、1から7までの数字が1つずつ書かれた7個の玉が入っている。よくかき混ぜた後、この袋から同時に3個のたまを取り出す。この時取り出された3個の玉に書かれた数字の和が奇数になる確率を求めなさい。＞
　取り出し方は、3個を区別して考えると全部で210通り。は分かります。3個の玉に書かれた数字の和が奇数になる場合は、（1）3個とも奇数の時で24通り。（2）1個が奇数、2個が偶数の時で72とおり。従って

（24+72）／210=16／35が答えですが、72のだしかたが分からないのです。24は4x3x2でいいでしょうか。よろしくお願いします。

	31303．Re: 確率の問題です。
	名前：らすかる日付：3月11日(日) 0時25分
	24は4×3×2で正しいです。 72は、奇数が4個のうちどれか、偶数が3×2通りですが、分母で3個を区別して考えていますので、こちらも「奇数が何番目か」で区別する必要があります。これが 3通りですので、{4×(3×2)}×3=72となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31304．Re: 確率の問題です。
	名前：ヨッシー日付：3月11日(日) 0時25分
	奇数の出方は　1,3,5,7 の４通り。偶数の出方は　(2,4)(2,6)(4,6) の３通り　で、玉の取り出し方は　４×３＝１２（通り）たとえば、(1,2,4) は、そのうちの１つですが、それについて、　(1,2,4)(1,4,2)(2,1,4)(2,4,1)(4,1,2)(4,2,1) の６通りの並べ方があります。よって、１２×６＝７２（通り）です。　 http://yosshy.sansu.org/

	31309．Re: 確率の問題です。
	名前：みゅうきち日付：3月11日(日) 9時35分
	早速ありがとうございました。

31297．分かりません..

名前：コリオ 日付：3月10日(土) 13時43分

a + b + c = 10 , a - b - c = 3 を満たすとき、
abcの最大値と最小値を求めよ。

	31298．Re: 分かりません..
	名前：らすかる日付：3月10日(土) 14時40分
	2式を辺々足して2で割ると a=13/2 これより b+c=10-13/2=7/2 b,cが「任意の実数」の場合 bかcのどちらかを負にして絶対値を大きくすれば abcはいくらでも小さくなりますので、最小値は存在しません。 b+c=7/2から、b,cのうち少なくとも一つは正です。どちらかが0以下であればabcは0以下になりますので、最大値は bもcも正の場合となります。このとき、相加相乗平均より bc≦(b+c)^2/4=49/16（等号はb=c=7/4のとき）ですから abcの最大値は (13/2)×(49/16)=637/32 となります。よって、最大値は637/32, 最小値なし b,cが「負でない実数」の場合 abc≧0であり、bかcのどちらかが0のときabc=0となりますので最大値は637/32, 最小値0となります。 b,cが「正の実数」の場合 abc＞0ですが、bかcのどちらかを0に近づけるとabcはいくらでも 0に近い値が取れますが、0にはなりません。従って最小値は存在しません。よって、最大値は637/32, 最小値なし http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31300．Re: 分かりません..
	名前：キモオタ日付：3月10日(土) 21時50分
	らすかるさん。ありがとうございます。問題文に不備がありました、申し訳ありません。 a,b,cは実数で、abcではなく\|abc\|(\|\|は絶対値でした…）しかし、この場合でも同じような考え方になるんですよね？ a + b + c = 10 a - b - c = 3 2a = 13 a = 13/2 b+c = 7/2 であり、 \|abc\| = \|a\|\|b\|\|c\|である事から、 \|a\| > 0 \|b\| > 0 \|c\| > 0 \|a\|=13/2だから、\|abc\|=13/2\|b\|\|c\|になるんですよね。そして相加平均を使うと　0≦13/2\|b\|c\|≦13/4\|b^2\|+\|c^2\| =13/4(b^2+c^2)となって、\|b\|=\|c\|なので、13/2b^2になるのですよね。 b + c = 7/2 2b = 7/2 b =7/4なので、13/2*49/16 = 637/32 になり、よって最大値は637/32、最小値は0になる。これで宜しいのでしょうか？

	31302．Re: 分かりません..
	名前：らすかる日付：3月11日(日) 0時20分
	キモオタさん＝コリオさんでしょうか。 \|abc\|だと違いますね。 a=13/2, b+c=7/2 までは同じですが、例えば b=10000+7/2, c=-10000 のとき \|abc\|≒6.5億となるように、\|abc\|はいくらでも大きくなりますので、最大値が存在しないことになります。最小値は0ですので、「最大値は存在せず、最小値は0」という、修正前よりもつまらない答になりますが、問題がどこか違っていませんか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31294．19年度都立入試問題

名前：黄砂(中3) 日付：3月9日(金) 23時13分

図1(左の図)で、点Oは原点、点Aの座標は(-4,-3)であり、直線nは
一次関数 y=-x+5のｸﾞﾗﾌをあらわしている。
直線nとy軸との交点をBとする。
直線n上にあり、x座標が8より小さい正の数である点をPとする。
2点A,Pを通る直線をmとし、直線mとy軸との交点をQとする。
ただし、座標軸の1目盛りを1㎝とする。

図1において、AQ=QPとなるとき、点Qの座標を求めよ。

図2(右の図)は、図1において、2点A,Bを結び、点Pを通りx軸に平行な直線を引き、線分ABとの交点をRとした場合を表している。
△BRPの面積が27㎝²になるとき、△APRの面積は何㎝²か。

の2問です。お願いします＞＜

	31299．Re: 19年度都立入試問題
	名前：ヨッシー日付：3月10日(土) 21時49分
	（前半）Ａ，Ｑ，Ｐのｘ座標をＡx、Ｑx、Ｐx とすると、ｘ座標についても、　ＡxＱx＝ＱxＰx が成り立ちます。Ａのｘ座標は－４、Ｑのｘ座標は０　で一定なので、Ｐのｘ座標は４とわかります。Ｐは、ｙ＝－ｘ＋５　上の点なので、ｘ＝４のとき、ｙ＝１であり、Ｐの座標は（４，１）ＱはＰＡの中点なので、Ｑの座標は（０，－１）となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31307．Re: 19年度都立入試問題
	名前：to 日付：3月11日(日) 4時44分
	図２の問題 ●関数的に求めると y＝－x＋5 上の点P(p，－p＋5)とおいて、(0＜p＜8)　R の座標をpで表す　　直線ABの式をA(－4，－3)，B(0，5)より求めると　y＝2x＋5 　　x軸とPRが平行であることから、R の y座標が、－p＋5　　　Rがy＝2x＋5上の点であることから、y座標の値を代入しx座標を求め、　　　R{－(1/2)p，－p＋5} △BRPの面積をpで表し値が27であることからpを求める　　底辺　(p)－{－(1/2)p}＝(3/2)p、高さ　(5)－(－p＋5)＝p　で　(3/4)p^2 　　(3/4)p^2＝27　(0＜p＜8)　より、p＝6 A，P，Rの座標を確認し、△APRの面積を求める　　A(－4，－3)，P(6，－1)，R(－3，－1) 　　底辺　(6)－(－3)＝9、高さ　(－1)－(－3)＝2　で、△APR＝9 ●図形の相似(面積比と相似比の関係)と比を利用すると Aを通りx軸に平行な直線と直線y＝－x＋5の交点をSとして、 △BRP∽△BASから面積比から相似比を考え、BR：RAを求める　　A(－4，－3)より、S(8，－3)であることと、B(0，5)から、△BAS＝48 　　△BRP∽△BAS、△BRP＝27　から　相似比　√27：√48＝3：4 　　BR：BA＝3：4となり、BR：RA＝3：1 △BRPと△APRを、高さが共通で底辺の比AR：BRとして、△APRの面積を求める　　BR：RA＝3：1　から　△BRP：△APR＝3：1 　　△APR＝(1/3)△BRP、△BRP＝27　より、△APR＝27＊(1/3)＝9

31293．グラフの上下関係の求め方

名前：ShoWat 日付：3月9日(金) 22時55分

【問題】
区間 0≦x≦2 において、二次関数y=f(x)=-(1/2)*x^2+x-2 とｘ軸とではさまれる図形の面積Ｓを求めよ。

【模範解答】
与式を平方完成して、
y=f(x)=-(1/2)*x^2+x-2
=-(1/2)*(x-1)^2-(3/2)・・・①
①は、頂点（1,-3/2)で、上に凸の放物線なので、
x軸が上、f(x)が下に位置するとわかり、
-∫ from 0 to 2,(11/2x^2+x-2)dx　を解いて
Ｓ＝10/3

【私の答案】
平方完成をする代わりに、-(1/2)*x^2+x-2=0 の判別式を
とって、Ｄ=-3＜0 を求め、f(x)がｘ軸と交点を持たず、また、f(x)が上に凸なことから、x軸がf(x)より上に位置することを求め、Ｓ＝10/3
を導きました。

当然答えは同じですが、一般論としてはやはり模範解答のように、平行完成するのが定石なのでしょうか。その辺がよくわかりません。よろしくお願いいたします。

	31295．Re: グラフの上下関係の求め方
	名前：angel 日付：3月10日(土) 2時43分
	平方完成をするのも、判別式を計算するのも、やってることは同じですからね…。書きやすい方でかけば良いのではないでしょうか。「どちらが定石か」とこだわるよりは、「どちらでも本質は同じこと」と達観できた方が心安らかだと思いますよ。

	31296．Re: グラフの上下関係の求め方
	名前：ShoWat 日付：3月10日(土) 9時58分
	angel さまどうもありがとうございました。

31290．定積分を使った関数の最小値（答えは同じなのですが）

名前：ShoWat 日付：3月8日(木) 22時11分

【問題】
g(t)=∫from 1 to 0, (3t^2+2xt+x^2)dx　が成り立つとき、関数g(t)が最小となるときの t の値を求めよ。

【私の答案】
g(t)をxで積分して、g(t)=3t^2+t+1/3・・・①を求め、
①を平方完成して、g(t)=3(t+1/6)~2+1/4・・・②とする。
②は頂点(-1/6,1/4)で、下に凸の放物線となるので、g(t)は
t=-1/6のとき、最小値1/4をとる。
よって、答えはt=-1/6

【模範解答】
①を t で微分して、導関数g'(t)=6t+1を求める。
①はt^2の係数が正なので、下に凸の放物線なので、g'(t)=0のとき、
g(t)は最小となる。
g'(t)=6t+1=0
∴t=-1/6

当然答えは同じなのですが、やはり、【模範解答】の方が、一般的で汎用性があるので【私の答案】は避けた方がよいのでしょうか。
また、【模範解答】のようにする理由は、「平方完成が面倒で二次関数のグラフの底を打つ頂点の座標が求めにくい」ことなどを考慮してのことでしょうか。

どうかよろしくお願いします。

	31291．Re: 定積分を使った関数の最小値（答えは同じなのですが）
	名前：ZELDA 日付：3月8日(木) 22時36分
	この種の問題では次の２種類の問題があります。１、本問のように最小値を与える変数の値のみを問われている場合。模範解答のように解くのが定石だと思われます。２、本問とは異なり、最小値を与える変数の値とその最小値を問われている場合。ShoWatさんの答案のように解くのが定石です。

	31292．Re: 定積分を使った関数の最小値（答えは同じなのですが）
	名前：ShoWat 日付：3月9日(金) 21時52分
	ZELDA 様どうもありがとうございます。どういう場合に、どのような解答が定石になるかなどは、やはりたくさん問題に当たらないと身に付かないと思いますので、演習量がまだまだ不足している私には、大変有り難い解答を頂きました。本当にありがとうございます。これからもよろしくお願いいたします。

31287．図形の証明

名前：ビスタ　（中2） 日付：3月8日(木) 5時37分

【問題】平行四辺形ABCDにおいて、頂点Cから対角線BDに引いた垂線と頂点Aを通りBDに平行な直線との交点をEとする。このとき、AB＝EDであることを証明しなさい。

難しすぎて全然わかりません。教えてください。よろしくお願いします。

	31288．Re: 図形の証明
	名前：らすかる日付：3月8日(木) 5時53分
	BDとCEの交点をFとします。 △ABD≡△CDBより、AからBDに下ろした垂線の長さ(=EF)と CからBDに下ろした垂線の長さは等しいから、CF=EF。よって△DEF≡△DCFなので、ED=CD=AB。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31305．Re: 図形の証明
	名前：ビスタ　（中2）日付：3月11日(日) 1時41分
	らすかる様やーーーーっと理解できました！ありがとうございました＾＾

31282．用語の意味

名前：仮面日付：3月7日(水) 20時29分

線分と辺の違いを教えていただけませんか？おねがいします

	31283．Re: 用語の意味
	名前：ヨッシー日付：3月7日(水) 21時20分
	線分は、２つの異なる点を最短距離で結んだ線です。（最短距離というのは怪しい用語ではありますが）辺は、多角形の隣り合う頂点を結んだ線分です。多角形の隣り合わない２点を結んだ線分は、通常「対角線」といいます。円上の異なる２点を結んだ線分は、通常「弦」といいます。　 http://yosshy.sansu.org/

	31284．Re: 用語の意味
	名前：キモオタ日付：3月7日(水) 21時52分
	いい質問だね！！　そーゆうのを待っていたんだよ！！まあ、線分というのは、２点を結んだ直線の事で、辺というのは多角形を構成している一つの線分を指しているというように覚えておけば間違いないでしょう..。つまり、多角形を構成している各線分の事を特に辺と呼ぶだ！！ P.S.　単なる宿題を教えてもらうためにここに来ている馬鹿な連中と違って数学に対して興味・関心を持ち、素朴な疑問に対して質問をしている点には正直、感心してるよ。

	31285．Re: 用語の意味
	名前：√ 日付：3月7日(水) 23時11分
	ヨッシーさん表現の仕方も流石ですね。「最短距離」と言うだけで「線分」は曲線ではなく直線であることも言い表していますね。「弦」が円の中心を通った時、「弦」は直径になるのですね。キモオタさん私も素朴な質問、大好きです。（試験の為の勉強は大嫌いです。）なんで「三角形」は「三辺形」じゃ、いけないの。「平行四辺形」は「平行四角形」じゃ、いけないの。「曲線同士」でも「平行」と言うの。などなど・・・・・でも、こんな質問ばかりしているとアホだと思われそうで（＾＾；

31270．カードの並べ替え

名前：√ 日付：3月7日(水) 10時36分

ヨッシーさん　昨日は有り難うございました。
頼ってばかりで申し訳ないのですが、あと２つ、お願い致します。

下記の９枚のカードを並べ替えて等式を作る問題です。
「１」「２」「３」「４」「５」「６」「÷」「－」「＝」

下記の８枚のカードを並べ替えて等式を作る問題です。
「１」「２」「３」「４」「５」「６」「Ｘ」「＝」

８枚の方は解が１つしかないそうです。
宜しくお願い致します。

	31271．Re: カードの並べ替え
	名前：らすかる日付：3月7日(水) 11時40分
	９枚：例えば 54÷3-6=12 ８枚：54×3=162 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31272．Re: カードの並べ替え
	名前：√ 日付：3月7日(水) 12時13分
	らすかるさん　ありがとうございます。ところでどうやって探したのか、探し方のコツみたいなものが、あれば教えて頂きたいのですが。

	31277．Re: カードの並べ替え
	名前：らすかる日付：3月7日(水) 15時18分
	９枚の場合とりあえず ○÷△－□＝☆ という形を考えて変形すると ○＝(☆＋□)×△ となりますが、数字のカードを6枚使うためには ○が2桁、△が1桁、□と☆のどちらかが1桁でどちらかが2桁ならうまくいきそうなので、それで考えます。そうすると☆＋□は最小でも15ですから、△は4以下です。もし△=4とすると、 15×4=60で0があるので不適 16×4=64で4が2枚必要で不適、 17×4以上は65より大きくなって不適となりますので、△は4ではありません。もし△=3とすると、☆＋□は最小16ですから、 16×3=48は8があって不適 17×3=51は1が2枚必要で不適 18×3=54は18を12+6または16+2に分ければ適のように解が見つかります。８枚の場合掛け算のみですので、全部で6桁になるためには「2桁×1桁＝3桁」以外はあり得ません。「1桁」に入る数字は明らかに1以外です。「1桁」に5が入ると、「2桁」が偶数なら「3桁」の1の位が0になって不適、「2桁」が奇数なら「3桁」の1の位も5になって不適ですので、「1桁」は5ではありません。同様に、「2桁」の1の位も1,5以外です。残る2,3,4,6から「2桁」の1の位と「1桁」の組合せを考えると、 2×3＝6　可能性あり 2×4＝8　8はないので不適 2×6＝12　2が2枚必要になり不適 3×4＝12　可能性あり 3×6＝18　8はないので不適 4×6＝24　4が2枚必要になり不適のようになり、あり得る組合せは(2,3)(3,4)の2通りです。 □２×３＝○△６の場合：□に１、４、５のどれを入れても不適 □３×２＝○△６の場合：□に１、４、５のどれを入れても不適 □３×４＝○△２の場合：□に１、５、６のどれを入れても不適 □４×３＝○△２の場合：□に５を入れたときだけ適となり、54×3=162が唯一の解とわかります。この類の問題の解き方は、基本的に　条件を絞れるだけ絞って、残った候補の総当たりということになります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31279．Re: カードの並べ替え
	名前：√ 日付：3月7日(水) 18時56分
	らすかるさん　丁寧な説明ありがとうございました。計算しづらい「引き算」「割り算」を消すように式を変形させて、後は当てはめていくと、いうことですね。ありがとうございました。

31265．三角関数の質問です

名前：チョッキ 日付：3月6日(火) 22時17分

0<a<π/2において、sina=3/5のとき、sin2a,sina/2を求めよ。

という問題なのですが、ど忘れしてしまってどうしても解くことが
できなくなってしまったのでお願いしたいとおもいますm(__)m

	31266．Re: 三角関数の質問です
	名前：ヨッシー日付：3月7日(水) 20時15分
	sin の倍角の公式　sin2α＝2sinαcosα というのがあります。一方、sin^2α＋cos^2α＝１　より、　cos^2ａ＝１－sin^2ａ＝１－(3/5)^2＝16/25 0<a<π/2 より、cosａ＞０であるので、　cosａ＝4/5 倍角の公式より、　sin2a＝2(3/5)(4/5)＝24/25 cos の倍角の公式　cos2α＝cos^2α－sin^2α＝１－２sin^2α より、sin^2α＝(１－cos2α)/2 　α＝a/2 とおくと、　sin^2(a/2)＝(１－cosａ)/2＝1/10 0<a<π/2 より、sin(a/2)＞０であるので、　sin(a/2)＝1/√10 　　 http://yosshy.sansu.org/

	31267．Re: 三角関数の質問です
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 22時35分
	角の二等分線の公式を使えば、図形的に導くことも出来ます。 http://yosshy.sansu.org/

	31278．Re: 三角関数の質問です
	名前：キモオタ日付：3月7日(水) 16時26分
	式をもうすこし丁寧に書いた方が良いぞ！！＞sina/2 (sina)/2 か sin(a/2)かが分からんぞ！！

	31280．Re: 三角関数の質問です
	名前：チョッキ日付：3月7日(水) 19時30分
	お二方ありがとうございました！とても助かります。　これからも応援してますので、頑張ってください！

31263．９枚のカードの並べ替え

名前：√ 日付：3月6日(火) 21時45分

「１」「２」「３」「４」「５」「６」「＋」「－」「＝」

の９枚のカードを並べ替えて正しい式を作る問題です。

なかなか見つからず、解は沢山あるようですが、
宜しければ一例お願い致します。

	31264．Re: ９枚のカードの並べ替え
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 22時7分
	Ａ＋Ｂ－Ｃ＝Ｄ　の形になるなら、　Ａ＋Ｂ＝Ｃ＋ＤＡ＋Ｂ＝Ｃ－Ｄ　の形になるなら、　Ａ＋Ｂ＋Ｄ＝Ｃの形になり、足し算だけで考えることが出来ます。　２＋３＋６＝１１であることを利用して、　４２＋３＋６＝５１より、　４２＋３＝５１－６　４２＋６＝５１－３　３＋６＝５１－４２などが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	31268．Re: ９枚のカードの並べ替え
	名前：√ 日付：3月6日(火) 22時44分
	ヨッシーさん　流石ですね。早い。ありがとうございました。

	31269．Re: ９枚のカードの並べ替え
	名前：√ 日付：3月6日(火) 23時7分
	ヨッシーさん　改めて考え方が素晴らしいですね。私は、闇雲に探していました。本当に有り難うございました。

31262．見取り図

名前：クー太(主婦) 日付：3月6日(火) 15時32分

球やドーナツ型の見取り図を書けなんて言われたら、どう表現すればいいのでしょうか。

	31273．Re: 見取り図
	名前：haru 日付：3月7日(水) 12時44分
	球の場合は、紙の上に円を描いて、その円の内部にその直径線を描いて、その線の上にｓφ１０などと書き(ここで１０は例えば１０ミリなどの直径のサイズ）、ドーナツの場合は二重円を描き、その中心に当たる部分に中心線を一点鎖線で描いて、その一点鎖線の直径線を描いて、その線の上にφ１０などと書いて、さらにそのドーナツの断面図、この場合、円になるので、その円も描いてそして、その直径も同じようにφ１などのように書き込めば、その図を見た人はわかると思います。本当は、図を描いて説明できればわかりやすいのですが、自分はパソコン上でまだそこまでできないので、詳しいことは機械製図の本を見れば、載っています。誰か図を描いてくれるといいのですが。

	31274．Re: 見取り図
	名前：haru 日付：3月7日(水) 12時52分
	上の文章の中でφと出てしまいましたが、これは間違いでΦに似た文字で、団子を串刺しにしたような文字です。

31261．領域

名前：とも日付：3月6日(火) 14時26分

xy平面にy=1/xのグラフがある。Pはこのグラフのx＞0の部分を、Qはこのグラフのx＜0の部分を自由に動く。

このとき、PQを1:3に内分する点Rの存在領域を図示せよ。
という問題です。
どなたかお願いします。

	31275．Re: 領域
	名前：ぱんだ日付：3月7日(水) 14時51分
	ファクシミリの原理を使わないと大変な問題ですね。 P(s,1/s)Q(-t,-1/t) (s>0,t>0)とおきます。 R((3s-t)/4,(3t-s)/4st)とおけます。R(X,Y)とおきなおし、Ｘの値を一つ固定したときに、Ｙの値がどのような範囲をとるかを調べます。（例えばＸ＝２のときはＹは２～３まで動く、などの範囲が全てのＸについてわかれば領域が求まるわけです）Ｘを定数とみなすと、t=3s-4X(>0)より、s>4X/3 Y=(3t-s)/4st=(2s-3X)/3s^2-4Xs（=f(s)と定義）ポイント：今、f(s)(s>0かつs>4X/3)のとる範囲をＸで表したいわけです。（f(s)の範囲とはつまりＹの範囲です。Ｘ＜f(s)<2Xのような形を目標にします） f '(s)=-6(s-2X)(s-X)/(3s^2-4Xs)^2　（よって注目すべきはs=X,2X,0,4x/3のときです。） ①X>0のとき f(s)の増減表を書いて調べると、f(s)≦1/4X ②X<0のとき同様にf(s)≦1/X,f(s)>0 ③X=0のとき、f(s)=2/3sよりf(s)>0 以上より求める領域はx>0のときy≦1/4x x=0のときy>0,x<0のときy≦1/x,y>0

	31281．Re: 領域
	名前：とも日付：3月7日(水) 20時28分
	ありがとうございますm(_ _)m 最初の増減表はその通りになったんですが、X＜0のときの増減表が合わないのですが…

	31286．Re: 領域
	名前：ぱんだ日付：3月8日(木) 1時7分
	あ、失礼しました。Ｘ＜０のときは、「s>0かつs>4X/3」で範囲を求めるのですなわち「s>0」のときの範囲を求めないといけないですね。範囲はy>0だけです。（間違って「s>4X/3」のときの範囲を求めていました）

	31289．Re: 領域
	名前：とも日付：3月8日(木) 14時31分
	ありがとうございますなんとか書けました

31254．さっぱり分かりません

名前：レーン 日付：3月5日(月) 23時34分

最大値、最小値、ｙ＝０となるｘの値を求めよ(グラフを書く)
ｙ＝sinXー√３cosX(０≦X＜２π)
手がつけられません助けて下さい

	31257．Re: さっぱり分かりません
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 8時49分
	sinｘと cosｘの係数が　１：－√3 なので、 cosα：sinα＝１：－√3　となる角度として、α＝－60° を考えます。このとき、cosα＝1/2、sinα＝-√3/2 なので、　ｙ＝sinXー√３cosX＝２(cosαsinｘ＋sinαcosｘ) 　　＝２sin(ｘ＋α)＝２sin(ｘ－60°) と書けます。これで、ｙの最大、最小、ｙ＝０となるｘ　が求まるでしょう。　 ※いわゆる合成の公式　ａsinｘ＋ｂcosｘ＝√(ａ^2＋ｂ^2)sin(ｘ＋α) 　cosα＝ａ/√(ａ^2＋ｂ^2)、sinα＝ｂ/√(ａ^2＋ｂ^2) です。　 http://yosshy.sansu.org/

	31276．Re: さっぱり分かりません
	名前：キモオタ日付：3月7日(水) 15時11分
	ｙ＝sinXー√３cosX(０≦X＜２π) を微分してグラフを書けば万事解決！！

31253．極限

名前：デブ日付：3月5日(月) 22時31分

次の極限を求めよ。
lim[x→∞]2xsin(1/x)
この問題の解説でt=1/xとおくとx→∞よりt→+0
このようになっていたのですがどうして+0と限定できるのでしょうか。x→+∞のときであればわかるのですが・・・。

	31255．Re: 極限
	名前：らすかる日付：3月5日(月) 23時52分
	x→∞ と x→+∞ は同じ意味です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31251．お願いします…

名前：はる日付：3月5日(月) 19時20分

質問数が多いのでできる範囲で答えていただけますと幸いです。
明後日試験を控えているのでお願いします。

[問1]
2a≧b^2のとき、
2√a≧bが成り立つことを証明せよ。

この証明が解説ではb≧0のときとb＜0のときに場合分けする、とあるのですが…

■質問１
①b≧0
(2√a)^2-b^2=4a-b^2
2a≧b^2より4a-b^2＞0
∴4a＞b^2
aは実数、b≧0より2√a≧b
…と解いたのですがこれで正しいのかが不安です。また、等号成立を示した方が良いのかを知りたいです。

■質問２
②b＜0
(2√a)^2-b^2=4a-b^2
2a≧b^2より4a-b^2＞0
∴4a＞b^2

ここまで解いたのですがb＜0をどこに用いて証明すれば良いのかが分かりません。

[問2]
2つの整数の平方の和に1を加えた数が4の倍数でないことを証明せよ。

■質問３
この問題の類題で、整数m,nとおいてそれらがともに偶数or奇数の場合、または一方が偶数の場合など場合分けしているのでこの問題も場合分けするのかと思うのですが、どのように分ければよいのでしょう？

■質問４
m,nとおいて解いた場合
m^2+n^2+1となりますが式変形をして解くとしたらどのように式変形をすればよいのか教えて下さい。

[問3]
■質問５
√2(a^2+b^2)≧|a|+|b|
この証明が何度やってもできないので解法をお願いします。

[問4]
■質問６
|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1のとき、以下の不等式が成り立つことを証明せよ。
abc+2＞a+b+c

この問題を解く上で、ab+1＞a+bが前の問題で証明されているので、|ab|＜1,|c|＜1をそれぞれ|p|＜1,|q|＜1など置き換えてみたものの解けませんでした。置き換え方が間違っているのでしょうか？
長くなってしまい、ごめんなさい。

	31252．Re: お願いします…
	名前：キモオタ日付：3月5日(月) 20時46分
	ちょっと質問の数が多いけど、とりあえず一つだけ…。 2a≧b^2のとき、 2√a≧bが成り立つことを証明せよ。 2a≧b^2≧0になる事から、2a≧0になる事は分かるよな？つーことは、2a,b^2はそれぞれ正の数になるわけだ。すると、√2a≧\|b\|≧0になるってわけだ。んで、b≧0のとき、\|b\|=bであるので、√2a≧ b≧０となり、 b<0のときは、\|b\|=-bとなり、さらに、b<0<-bなので、 √2a≧-b>0>bとなり、結局、√2a≧bとなるわけだ！！分かったかな？？

	31258．Re: お願いします…
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 8時54分
	[問4] ab+1＞a+b (\|a\|＜１、\|b\|＜１)　がわかっているなら、　\|a\|＜１、\|b\|＜１　のとき　\|ab\|＜1　であるので　\|c\|＜1　とあわせて、　abc+1＞ab+c 　abc+2＞(ab+1)+c＞a+b+c となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	31259．Re: お願いします…
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 8時59分
	[問3] √{2(a^2+b^2)}≧\|a\|+\|b\| としてお答えします。両辺とも０以上なので、(左辺)^2≧(右辺)^2 と同値です。　(左辺)^2－(右辺)^2＝2(a^2+b^2)－a^2－b^2－2\|a\|\|b\| 　　＝a^2＋b^2－2\|a\|\|b\|＝(\|a\|-\|b\|)^2≧０　等号は　ａ＝±ｂ　のとき　 http://yosshy.sansu.org/

	31260．Re: お願いします…
	名前：ヨッシー日付：3月6日(火) 9時4分
	[問2] ２数をｍ、ｎとおきます。１）ｍ、ｎがともに偶数、またはともに奇数のとき　ｍ^2＋ｎ^2＋１は奇数になるので、４の倍数ではありません。２）ｍが偶数で、ｎが奇数のとき　ｍ＝２ｐ、ｎ＝２ｑ＋１　（ｐ、ｑは整数）とおきます。　ｍ^2＋ｎ^2＋１＝４ｐ^2＋４ｑ^2＋４ｑ＋１　　＝４(ｐ^2＋ｑ^2＋ｑ)＋１となり、４の倍数ではありません。３）ｍが奇数で、ｎが偶数のときも同様です。　 http://yosshy.sansu.org/

31243．またお願いします. ................

名前：ザ　エスジェー 日付：3月4日(日) 11時34分

葉数Lの二分木の高さの上限は（ア）であり、下限は（イ）である。

	31248．Re: またお願いします. ................
	名前：キモオタ日付：3月4日(日) 19時43分
	これって数学じゃなくて、情報学だろ？算数の知識でも十分に解けるじゃん。つーか、宿題は自分でやれよ。分からんかったらググって調べろよ！！

	31249．Re: またお願いします. ................
	名前：ザ　エスジェー日付：3月4日(日) 22時8分
	情報学の問題ではなく離散数学の問題です。離散数学は情報科学に応用されているので、情報系の学科でも基礎科目として取り入れているようですが、私は情報系の学科のものではなく、数学系の学科（応用数学）のものです。　この問題は宿題ではなく、試験の問題で、解答がなく、いろいろと調べてもよくわからなかったので（バカですみません）質問させてもらいました。

	31250．Re: またお願いします. ................
	名前：廃人日付：3月4日(日) 22時40分
	上限Ｌ-1 下限[logL](底2)

31242．中学数学

名前：鬼太郎 日付：3月4日(日) 6時23分

末位からひとつおきの位の数の和と、残りの位の数の和との差が
11の倍数になっている整数は、11の倍数である。このわけを
４ケタの整数で説明せよ。

11（91a+9ｂ+ｃ）+（ｂ+ｄ）-（a+ｃ）とできたのですが
（a+ｃ）-（ｂ+ｄ）とした場合くくれませんでした。
くくり方を教えてください、またはなぜくくれないのですか？

	31244．Re: 中学数学
	名前：mimi 日付：3月4日(日) 13時18分
	11（91a+9ｂ+ｃ）+（ｂ+ｄ）-（a+ｃ）において、11（91a+9ｂ+ｃ）は11の倍数なので、残りの（ｂ+ｄ）-（a+ｃ）が11の倍数になれば、11の倍数＋11の倍数となって、全体として11の倍数になります。全体がいつも11でくくれたら、４桁の数字はいつも11の倍数になってしまいます。あくまでも、４桁の数字が11の倍数になる条件を求めているのです。おなじような考えで、４桁の数字は、 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)と表せるので、a+b+c+dが9の倍数なら、全体として9の倍数になります。

	31245．Re: 中学数学
	名前：だるまにおん日付：3月4日(日) 13時56分
	少々気付きにくいですが 1000a+100b+10c+d=11(90a+10b+d)+10{(a+c)-(b+d)} とすればくくれますね。

	31256．Re: 中学数学
	名前：鬼太郎日付：3月6日(火) 5時10分
	ありがとうございました。

31240．ベクトルの応用

名前：ERI 高２ 日付：3月3日(土) 23時21分

△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとする。また、2つの線分CDとBEの交点をPとし、直線APと辺BCの交点をQとする。
（1）BP:PE、CP:PDを求めよ。・・・順に、8:1、1:2
（2）AP:PQを求めよ。・・・7:2

（2）がなぜそのようになるか分かりません。よろしくお願いします。

	31246．太字はベクトル
	名前：だるまにおん日付：3月4日(日) 13時56分
	(1)よりAP=(1/9)AB+(2/3)ACとなります。 AQはAPの実数倍だからAQ=kAP=(k/9)AB+(2k/3)ACとおけます。 B,Q,Cは一直線上にあるから、k/9+2k/3=1　∴k=9/7 よって、AP：PQ=AP：AQ-AP=AP：(9/7)AP-AP=AP：(2/7)AP=7：2

	31247．Re: ベクトルの応用
	名前：ERI 高２日付：3月4日(日) 14時18分
	ありがとうございました！

31239．お願いします。

名前：ザ　エスジェー 日付：3月3日(土) 20時32分

w=101100とする。これはBの六乗（ビット列）の要素とする。Bの六乗の要素を、０＜１の基づいて辞書式順に並べると、ooooooは一番目に、wは（ア）番目に現れる。同様にして、Bの五乗またはBの六乗のおいてはwは（イ）番目に、Bの六乗またはBの七乗においてはwは（ウ）番目に現れる。さらに、BまたはBの二乗またはBの三乗または......について次のことは正しいか吟味し、その理由も簡潔に述べよ。（エ）この集合はすべて辞書式順に列挙されていくので、可算である。（オ）この集合は、その要素を辞書式順に列挙することは不可能なので、非可算である。

31231．質問です（＞＿＜）

名前：miru 日付：3月3日(土) 1時15分

家庭教師先の中学１年生の子に聞かれたのですが、わからなくて困っています。学校の数学の宿題だそうなので、答えはわかりません。
どうぞよろしくお願いしますｍ(_ _)ｍ

	31232．Re: 質問です（＞＿＜）
	名前：らすかる日付：3月3日(土) 2時40分
	左 CD上に∠FBC=20°となるように点Fをとると、 BF=BC, BC=BA, ∠FBA=60°からBF=BA=AF, またFB=FDなのでFD=FAとなり∠FDA=70°なのでx=80° 右 BC上に∠CDG=27°となるように点Gをとると、 GC=GD, DB=DG となり、またDB=DE,∠EDG=60°なので DE=DG=EG、よってGC=GEで∠EGC=66°だから∠GCE=57°、これより∠DCE=30°なのでx=69° http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	31233．Re: 質問です（＞＿＜）
	名前：miru 日付：3月3日(土) 13時41分
	らすかる様ありがとうございました。目からウロコ・・・という感じの素晴らしい解答ですね！また、よろしくお願いいたします。

	31235．Re: 質問です（＞＿＜）
	名前：キモオタ日付：3月3日(土) 15時8分
	この問題どっかのサイトの質問で見たような？

	31237．Re: 質問です（＞＿＜）
	名前：ZELDA 日付：3月3日(土) 17時1分
	有名問題だから、見たことがあるのではないでしょうか？ラングレーの問題と調べれば、たくさん出てくると思います。

	31241．Re: 質問です（＞＿＜）
	名前：√ 日付：3月4日(日) 0時35分
	凄いですね。こんな補助線の引き方、私にはとても考えつきません。

31225．14角形の問題

名前：華麗なる１２（中２） 日付：3月2日(金) 21時28分

　14角形の頂点によって出来る3角形のうち、14角形の辺を共有しない三角形は何通り出来るか。
　答えと計算が合わなくて困ってます(ಥˇДಥ) ゔゔ〰。

	31226．Re: 14角形の問題
	名前：廃人日付：3月2日(金) 21時46分
	答えは２１０だ！

	31227．Re: 14角形の問題
	名前：華麗なる１２（中２）日付：3月2日(金) 21時57分
	廃人さん、そりゃ答えは分かってますよ。解き方です、解き方。

	31228．Re: 14角形の問題
	名前：廃人日付：3月2日(金) 22時3分
	ぼくがいいたいのはね答えがあるなら答えも書きましょうということです。三角形の作り方 14C3=364 １辺を共有 14 ２辺を共有 14×10=140 364-14-140=210です。

	31229．Re: 14角形の問題
	名前：廃人日付：3月2日(金) 22時4分
	１辺と２辺逆ね　間違えましたm(_ _)m

	31230．Re: 14角形の問題
	名前：華麗なる１２（中２）日付：3月2日(金) 22時47分
	どうも、失敬しましたｍ(＿＿；)ｍ

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